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1、 余洁余洁学与教的目标学与教的目标 1.1.掌握平面向量的数量积及其几何意义掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题角度和垂直的问题 4.4.了解向量垂直的条件了解向量垂直的条件重点和难点重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。平面向量数量积的运用和推广。问题问题sF 一
2、个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，且，且F与与s的夹角为的夹角为,那么力那么力F 所做的功应所做的功应当怎样计算？当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.数量数量 叫做叫做力力F 与位移与位移s的数量积的数量积 向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作作 ，与与 反向反向OABOA 与与 同向同向OABB则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的例例
3、1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 （1）两两向向量量的的数数量量积积是是一一个个数数量量，而而不不是是向向量
4、量，符符号号由由夹角决定夹角决定（3）a b不能写成不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律例题讲解例题讲解例例1已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为 ，|a|=2，|b|=3，求，求a b.a b=|a|b|cos平面向量的数量积平面向量的数量积讨论总结性质：讨论总结性质：（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向
5、时，同向时，a b=|a|b|，当，当a 与与b 反向反向时，时，a b=-|a|b|特别地特别地（4）（5）a b|a|b|练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有8.例例2、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与A
6、C的数量积；的数量积；（2）AB与与BC的数量积；的数量积；（3）的数量积的数量积.ABC平面向量的数量积及运算律n n1a b=b a 交换律交换律n n2.(a)b=a (b)=(a b)=a bn n3.(a+b)c=a c+b c 分配律分配律思考思考思考思考:结合律成立吗结合律成立吗结合律成立吗结合律成立吗:(a b)c=a (b c)?物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功向上的力做功sF，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则，则|b|cosOABabOABab|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律讨论总结性质：讨论总结性质：（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当，当a 与与b 反向反向时，时，a b=|a|b|特别地特别地（4）（5）a b|a|b|a b=|a|b|cos运算律运算律