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1、生 物 统 计 学主讲教师：宋喜娥第七章 方差分析与平均数的比较 方差分析的基本原理 多重比较 单向分组资料的方差分析 两向分组资料的方差分析 数据转换第一节 方差分析的基本原理 自由度和平方和的分解 F分布与F测验第七章组别观察值(yij,i=1,2,k;j=1,2,n)总和 平均 均方y11y12y1jy1nT1s12y21y22y2jy2nT2s22 i yi1yi2yijyinTisi2 k yk1yk2ykjyknTksk2设有k组数据，每组有n个观察值一、自由度和平方和的分解 一、自由度和平方和的分解一、自由度和平方和的分解总变异是nk个观察值的变异，所以其自由度为nk-1总变异的
2、平方和为：自由度和平方和的分解组间（处理）变异由k个yi变异所引起，故其自由度为k-1，组间（处理）平方和为：组内（误差）变异为各观察值与组平均数的变异，所以组内（误差变异自由度为k(n-1)，组内平方和为：自由度和平方和的分解总自由度DFT组间自由度DFt组内自由度DFe总平方和SST组间平方和SSt+组内平方和SSe总的均方：组间的均方：组内的均方：自由度和平方和的分解以、四种药剂处理水稻种子，其中为对照，每处理各得个苗高观察值(cm)，其结果列于下表，试分解其平方和与自由度药剂 苗高观察值总和Ti平均18 21 20 13 72 1820 24 26 22 92 2310 15 17 1
3、4 56 1428 27 29 32 116 29 T=336=21自由度和平方和的分解总变异自由度：DFT=(nk-1)=(4 4)-1=15药剂间自由度：DFt=(k-1)=4-1=3药剂内自由度：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12矫正数总的平方和：组间平方和：组内平方和：二、F分布与F测验变异来源DF SS MS F F临界值处理间3 504 168 20.56*F0.05(3,12)=3.49F0.01(3,12)=5.95处理内（误差）12 98 8.17总15 602第二节 多重比较q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 如何选择多重比较的方
4、法第七章一、为什么要进行多重比较为什么要进行多重比较什么叫多重比较多重比较的优点1.为什么要进行多重比较？例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)变异来源DF SS MS F 显著F值药剂处理间药剂处理内（误差）312504 98168.00 8.1720.56*F 0.05(3,12)=3.49F 0.01(3,12)=5.92总15 60218231429 72 92 5611618 21 20 1320 24 26 2210 15 17 1411 28 27 29 32ABCD 平均 总和Ti苗高观察值 药剂经方差分析得下表：2.什么叫多重比较 多重比较就是指在 F 测验的前提下，对不同处理的
5、平均数之间的现两两互比。3.多重比较的优点 比较的精确度增大了 所得到的结论更全面，更可靠了第二节 多重比较q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择二、怎样进行多重比较常用的有三种方法：最小显著差数法(Least significant difference,LSD法)最小显著极差法(Least significant ranges,LSR法)新复极差测验(SSR法)q测验1.最小显著差数法(LSD法)A.计算LSD，即最小显著差数B.比较C.ta:通过附表4：学生氏t值表可得到1.最小显著差数法(LSD法)A.计算LSD，即最小显著差数B.
6、比较C.计算出LSDa后，任何两个平均数的差数与LSDa相比较，如果其差数绝对值LSDa，即为在a 水平上差异显著；反之，则为在a水平上差异不显著。1.最小显著差数法(LSD法)A.计算LSD，即最小显著差数B.比较C.小结D.2.新复极差测验(SSR法)A.计算LSRB.排序C.比较D.LSRa=SESSRaSSR通过查附表8求得查表时：列为误差自由度行p为测验极差的平均数个数2.新复极差测验(SSR法)A.计算LSRB.排序C.比较D.例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72 92 5611618 21 20 1320 24 26 2210 15 17 1428 27 29
7、 32ABCD 平均 总和Ti苗高观察值 药剂29231814DBAC平均数 处理2.新复极差测验(SSR法)A.计算LSRB.排序C.比较D.6.186.516.694.404.624.764.324.554.683.083.233.33234LSR 0.01LSR 0.05SSR 0.01SSR 0.05PD-C=15*D-A=11*B-C=9*D-B=6*B-A=5*A-C=429231814DBACP=4 P=3 P=2平均数 处理凡两极差LSRa，则为在a水平上差异显著；反之，不显著。2.新复极差测验(SSR法)A.计算LSRB.排序C.比较D.小结E.3.q测验 与SSR法相似，唯
8、一区别仅在计算LSRa时，不是查SSRa，而是查qa（附表7），查qa后 LSRa=SEqa所以不再详述。第二节 多重比较q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择三、如何表示多重比较的结果有三种方法：标记字母法 列梯形表法 划线法1.标记字母法例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72 92 5611618 21 20 1320 24 26 2210 15 17 1411 28 27 29 32ABCD 平均 总和Ti苗高观察值 药剂1.标记字母法差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均 药剂新复极差测验差
9、异显著性表a Ap LSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.696A11B1.标记字母法差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均 药剂新复极差测验差异显著性表a Ap LSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.69AB5B9C4C1.标记字母法p LSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.69差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均 药剂新复极差测验差异显著性表a AABBCCbcc2.列梯形表法处理 平均数差 异DBAC2923
10、181415*9*411*5*6*3.划线法29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)第二节 多重比较q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择四、多重比较方法的选择参考以下几点：v试验事先已确定了比较的标准，如所有处理均与对照相比时，用LSDa法；v根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，LSD法最低，SSR次之，q法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用q测验，一般试验可采用SSR法。第二节 多重比较q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择第二节 多重比较作业
11、：第128页习题第5、6、7题第七章第三节第三节 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析例：研究6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种5盆小麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（mg），试作方差分析施氮法1 2 3 4 5 612.9 14.0 12.6 10.5 14.6 14.012.3 13.8 13.2 10.8 14.6 13.312.2 13.8 13.4 10.7 14.4 13.712.5 13.6 13.4 10.8 14.4 13.512.7 13.6 13.0 10.5 14.4 13.712.52 13.76 13
12、.12 10.66 14.48 13.64第七章单向分组资料的方差分析 1.自由度和平方和的分解自由度：总变异的自由度=6 5-1=29处理间的自由度=6-1=5误差的自由度=6（5-1）=24平方和：（按照公式进行计算）SST=45.763 SSt=44.463 SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.3002.F 测验(见下表)变异来源 DF SS MS F F0.01处理间 5 44.463 8.8926 164.07*3.90误差 24 1.300 0.0542总变异 29单向分组资料的方差分析 3.各处理平均数的比较p 2 3 4 5 6SSR0.052.92 3.0
13、7 3.15 3.22 3.28SSR0.013.96 4.14 4.24 4.33 4.39LSR0.050.304 0.319 0.328 0.335 0.341LSR0.010.412 0.431 0.441 0.450 0.457单向分组资料的方差分析 多重比较结果：施氮法 平均数差异显著性 14.28 a A 13.76 b B 13.64 b B 13.12 c C 12.52 d D 10.66 e E单向分组资料的方差分析 二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析例：某病虫测报站调查四种不同类型的玉米田28块，每块田所得玉米螟的百丛虫口密度列于下表，试问不同类型玉米田的虫
14、口密度是否有显著差异？田块类型编号Ti yi ni1 2 3 4 5 6 7 81 12 13 14 15 15 16 17 102 14.57 72 14 10 11 13 14 11 73 12.17 63 9 2 10 11 12 13 12 11 80 10.00 84 12 11 10 9 8 10 12 72 10.29 7T=327 11.68 28单向分组资料的方差分析 方差分析结果：变异来源 DF SS MS F F0.01田块类型 3 96.13 32.04 5.91*4.72误差 24 129.98 5.42总变异 27 226.11单向分组资料的方差分析第四节 两向分组
15、资料的方差分析一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析例：用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一箱中移植4株，每组6个木箱，每箱1个处理。试验共有4组24箱，试验时按组排列于温室中，使同组各箱的环境条件一致。然后记录各箱见第一朵花时4株豌豆的总节间数，其结果为：处理 组总和 平均1 2 3 4对照 60 62 61 60 243 60.8赤霉素 65 65 68 65 263 65.8动力精 63 61 61 60 245 61.3吲哚乙酸 64 67 63 61 255 63.8硫酸腺嘌呤 62 65 62 64 253 63.3马来酸 61 62 62 65 25
16、0 62.5总和 375 382 377 375 T=15091 自由度和平方和的分解2 F测验3 各处理平均间比较方差分析结果为：变异来源 DF SS MS F F0.05组间 3 5.45 1.82 1处理间 5 65.87 13.17 4.56 2.90误差 15 43.30 2.89总变异 23 114.62推断：组间无显著差异，不同生长素处理间有显著差异。因为有预先指定的对照，故用LSD法，DF=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故；LSD0.05=1.202 2.131=2.56，Lsd0.01=1.202 2.947=3.54平均数比较的结果为：处理 平均数
17、 与对照的差数对照 60.8-赤霉素 65.8 5.0*动力精 61.3 0.5吲哚乙酸 63.8 3.0*硫酸腺嘌呤 63.3 2.5马来酸 62.5 1.7两项分组资料的方差分析 二、组内有重复观察值的两向分组资料的方差分析设有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。例：施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤，以小麦为批示作物，每处理组合种3盆，得产量结果于下表：肥料种类 盆土壤种类总和 平均B1B2B3A11 21.4 19.6 17.6169.2 18.82 21.2 18.8 16.63
18、 20.1 16.4 17.562.7 54.8 51.7A21 12.0 13.0 13.3118.2 13.42 14.2 13.7 14.03 12.1 12.0 13.938.3 38.7 41.2A31 12.8 14.2 12.0122.0 13.62 13.8 13.6 14.63 13.7 13.3 14.040.3 41.1 40.6总和平均141.315.7134.615.0133.514.8T=409.4方差分析的结果为：变异来源 DF SS MS F F0.01处理组合间 8 202.58 25.32 27.28*肥料间 2 179.38 89.69 96.65*土类间
19、 2 3.96 1.98 2.13肥料 土类 4 19.24 4.81 5.18*试验误差 18 16.70 0.928总变异 26 219.28平均数的比较：（）各处理组合数平均数的比较肥料土壤的互作显著，说明各处理组合的效应各不相同，所以应对各处理组合平均数进行比较。用LSR法：P 2 3 4 5 6 7 8 9SSR0.052.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.35 3.37 3.39SSR0.014.07 4.27 4.38 4.46 4.53 4.59 4.64 4.68LSR0.051.65 1.73 1.78 1.82 1.85 1.86 1.87 1.88LSR0.012.26 2.37 2.44 2.48 2.52 2.55 2.58 2.60各处理组合平均数比较结果为：处理组合 平均数差异显著性0.05 0.01A1B220.9 a AA1B218.3 b BA1B317.2 b BA2B313.7 c CA3B213.7 c CA3B313.5 c CA3B113.4 c CA2B212.9 c CA2B112.8 c C第五节 数 据 转 换方差分析的基本假定数据转换第七章方差分析的基本假定试验误差服从正态分布试验误差随机且相互独立试验误差的方差是同质的处理效应与误差效应是可加的第七章数 据 转 换反正弦转换平方根转换对数转换