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1、课程简介苏丽苏丽自动化学院自动化学院406教研室教研室TEL：82519594Email：华长生制作1课程名称：数值计算方法课程名称：数值计算方法学学 时：时：32学时（学时（26学时理论课学时理论课+6学时上机）学时上机）学学 分：分：2学分学分所用教材：计算机数值方法（第二版）所用教材：计算机数值方法（第二版）施吉林等施吉林等 高等教育出版社高等教育出版社考核方式：开卷考试，卷面成绩考核方式：开卷考试，卷面成绩70%测验出席测验出席15%上机成绩上机成绩15%公共邮箱：公共邮箱：密码：密码：shuzhi2012现代科学研究的三大支柱科学实验理论研究科学计算21212121世纪信息社会的两个
2、主要特征：世纪信息社会的两个主要特征：世纪信息社会的两个主要特征：世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在计算机无处不在计算机无处不在计算机无处不在”“数学无处不在数学无处不在数学无处不在数学无处不在”21212121世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：-会会会会“用数学用数学用数学用数学”解决实际问题解决实际问题解决实际问题解决实际问题-会用计算机进行科学计算会用计算机进行科学计算会用计算机进行科学计算会用计算机进行科学计算课程介绍l数值计算方法数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解，是一种研
3、究并解决数学问题的数值近似解，并能够在计算机上求解的数学方法，简称并能够在计算机上求解的数学方法，简称计算方法计算方法。l应应用用领领域域：计计算算方方法法的的计计算算对对象象是是微微积积分分，线线性性代代数数，常常微微分分方方程程中中的的数数学学问问题题。在在科科学学研研究究和和工工程程技技术术中中都都要要用用到到各各种种计计算算方方法法。例例如如，在在航航天天航航空空、地地质质勘勘探探、汽汽车车制制造造、桥桥梁梁设设计计、天天气气预预报报，甚甚至至在在汉汉字字字字样样设设计计中都能用到计算方法。中都能用到计算方法。l特特点点：既既有有数数学学类类课课程程中中理理论论上上的的抽抽象象性性和和
4、严严谨谨性性，又又有有实实用用性性和和实实验验性性的的技技术术特特征征，是是一一门门理理论论性性和和实实践性践性都很强的学科。都很强的学科。第一章 绪论苏丽苏丽自动化学院自动化学院20122012年年1111月月1313日日华长生制作6第一章 绪 论1.1 计算机数值方法的研究对象 科科学学技技术术的的发发展展提提出出了了大大量量复复杂杂的的数数值值计计算算问问题题.而而这这些些问问题题中中有有许许多多是是在在理理论论上上有有解解而而又又无无法法用用手手工工计计算算的的.而而计计算算机机的的飞飞速速发发展展，为为解解决决这这些些问问题题开开辟辟了了广阔的前景广阔的前景.用计算机解决科学计算问题
5、时经历的几个过程：用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：实际问题实际问题数学模型数学模型数值方法数值方法程序设计程序设计上机计算求出结果上机计算求出结果计计算算机机数数值值方方法法就就是是研研究究将将数数学学模模型型变变成成数数值值问问题题,并并研究数值问题的数值方法，进而设计数值算法。研究数值问题的数值方法，进而设计数值算法。1.2 计算方法的概念一、计算方法（算法）：求解数学问题的方法。求解数学问题的方法。现在指：用计算机求解数学问题的方法。现在指：用计算机求解数学问题的方法。计算方法又称作数值分析。计算方法又称作数值分析。计算方法（数值分析）求解实际问题的过程：1.1.建模建模 ；2
6、.2.算法设计；算法设计；3.3.程序设计。程序设计。数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个 确定而无歧义的描述确定而无歧义的描述例例 二.数值问题求解二次方程求解二次方程是数值问题是数值问题数学模型并不都是“数值问题”求解微分方程求解微分方程不是数值问题不是数值问题将上述非数值问题变成数值问题的方法：将上述非数值问题变成数值问题的方法：离散化离散化三.数值方法常见的在计算机上不能直接运行的计算有：常见的在计算机上不能直接运行的计算有：开方、极限、超越函数、微分、积分开方、极限、超越函数、微分、积分等1.数值方法数值方法：是指求解数值问题的
7、系列计算：是指求解数值问题的系列计算公式公式。2.计计算算机机数数值值方方法法：是是指指求求解解数数值值问问题题的的计计计计算算算算机机机机上上上上可执行的可执行的可执行的可执行的系列计算系列计算公式公式。所所谓谓“计计算算机机上上可可执执行行的的系系列列计计算算公公式式”是是指指这这一一系列计算公式中的运算，只有系列计算公式中的运算，只有四则运算四则运算和和逻辑运逻辑运算算等计算机上可执行的运算。等计算机上可执行的运算。注：计算公式不一定都属于计算机数值方法。注：计算公式不一定都属于计算机数值方法。注：计算公式不一定都属于计算机数值方法。注：计算公式不一定都属于计算机数值方法。3.3.3.3
8、.数值方法的主要任务数值方法的主要任务数值方法的主要任务数值方法的主要任务:1 1）将计算机上不能直接计算的运算化为在计算）将计算机上不能直接计算的运算化为在计算机上可执行的运算；机上可执行的运算；2 2）针对数值问题研究在计算机上可执行的且）针对数值问题研究在计算机上可执行的且行之有效的系列计算公式；行之有效的系列计算公式；3 3）因因为为可可能能采采用用了了近近似似等等价价运运算算,故故要要进进行行误误差差分析分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性。即数值问题的性态及数值方法的稳定性。四、数值算法 数值算法：数值算法：数值算法：数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程。指有步骤地完成解数
9、值问题的过程。五.算法描述1.1.数学语言数学语言2.2.图示法：流程图、结构化框图图示法：流程图、结构化框图3.3.自然语言描述法自然语言描述法4.4.程序语言程序语言六.评价算法的优劣1.1.计算量的大小计算量的大小2.2.存储量存储量3.3.精度精度一、误差的来源舍舍入入误误差差：由由于于计计算算机机字字长长有有限限，原原始始数数据据在在计计算算机机上上表表示示时时，对对超超过过位位数数的的数数字字要要进进行行舍舍入入，另另外外在在计计算算过过程程中中也也可可能能产产生生误误差差，这这种种误误差差称称为舍入误差。为舍入误差。截截断断误误差差：由由于于计计算算机机只只能能完完成成有有限限次
10、次算算术术运运算算和和逻逻辑辑运运算算,因因此此要要将将有有些些需需用用极极限限或或无无穷穷过过程程进进行行的运算有限化的运算有限化,对无穷过程进行截断对无穷过程进行截断,这就带来误差这就带来误差.二、误差的基本概念1.绝对误差：绝对误差：2.绝对误差限：绝对误差限：绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限,注意：注意：3.相对误差：相对误差：4.相对误差限：相对误差限：相对误差绝对值的任一个上界 均称为相对误差限，简记为注意：注意：代替相对误差代替相对误差限5.由于实际计算中，准确值由于实际计算中，准确值x往往未知，所以当往往未知，所以当 较小时，可用较小时，可用x*代替代替x，即用，即用哪个更
11、精确呢?解：三、有效数字()已知已知 ，则，则例例有有5位有效数字位有效数字只有只有4位有效数字位有效数字有有3位有效数字位有效数字定义定义1若若 作为作为 的近似值，其绝对误差的绝对值的近似值，其绝对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单位，而该位数字到不超过某一位数字的半个单位，而该位数字到 的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n 位，则称用位，则称用 近似近似 时具有时具有n 位有效数字，简称位有效数字，简称 有有n 位位 有效数字有效数字定理1.P14.定义3.4有错误五、数值方法的稳定性与算法设计原则1.1.数数值值方方法法的的稳稳定定性性：若若原原始始数数据据或或某某一一步步的的
12、舍舍入入误误差差，在在执执行行过过程程中中能能够够得得到到控控制制，则则称称该该数数值值方方法法是是数数值值稳稳定定的的。（反反映映了了舍舍入入误误差差对对计计算算结果的影响）结果的影响）影响数值问题计算精度的几个因素：1 1、数值问题计算精度与数值方法的稳定性有关；、数值问题计算精度与数值方法的稳定性有关；2 2、数值问题计算精度与数值问题的性态好坏有关；、数值问题计算精度与数值问题的性态好坏有关；3 3、数值问题计算精度与截断误差有关、数值问题计算精度与截断误差有关.例8.计算定积分解:误差放大 5千倍!2）如果利用递推公式 计算，1 1）四则运算中的稳定性问题）四则运算中的稳定性问题例：
13、例：作一个有效数字为作一个有效数字为4 4位的连加运算位的连加运算2.2.算法设计时应注意的原则算法设计时应注意的原则(1)(1)防止大数吃小数防止大数吃小数(2)(2)连连加加进进行行时时，应应将将绝绝对对值值小小的的数数放放在在前面计算，绝对值大的数放在后面计算。前面计算，绝对值大的数放在后面计算。而如果将小数放在前面计算而如果将小数放在前面计算（2 2）作减法时应避免相近数相减）作减法时应避免相近数相减 两两个个相相近近的的数数相相减减,会会损损失失有有效效数数字字的的位位数数，在在算算法法设设计计中中,若若出出现现两两个个相相近近数数相相减减,则则应应改改变计算公式变计算公式,如使用三
14、角变换、有理化等等如使用三角变换、有理化等等 （3 3）避免小数作除数和大数作乘数）避免小数作除数和大数作乘数 小小数数作作除除数数会会放放大大商商的的误误差差，大大数数作作乘乘数数会会放大积的误差。放大积的误差。对于对于2 2）提高算法效率问题）提高算法效率问题(1)尽量减少运算次数尽量减少运算次数(2)尽量使用耗时少的运算尽量使用耗时少的运算（3）充分利用存储空间充分利用存储空间 主要是要注意节省原始数据的存储空间和节省工作单元主要是要注意节省原始数据的存储空间和节省工作单元.如如:比比 ,比比 ,比比 都要都要节省节省运算时间运算时间例：例：直接计算直接计算 需要计算需要计算254254次乘法，若用公式次乘法，若用公式 计算，只需作计算，只需作1414次次乘法乘法.