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1、理论力学精品课程第十五章达朗伯原理第1页，本讲稿共37页 引引 言言 前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题研究动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫，因此这种方法又叫动静动静法法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单
2、，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。第2页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 一、质点的达朗伯原理一、质点的达朗伯原理 设质量为设质量为 的质点的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点时作用于质点M上的主动力为上的主动力为 ，约束反力为，约束反力为 ，其，其加速度为加速度为 。根据动力学基本方程有根据动力学基本方程有将上式改写成将上式改写成令令于是，假想于是，假想 是一个力，称之为质点的是一个力，称之为质点的惯性力惯性力。的的大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方
3、向与其加速度的方向相反其加速度的方向相反。则有则有即：即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系衡力系。这就是。这就是质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理。第3页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 例例1 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为 ，试求钢球的脱离角 。解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。钢球未脱
4、离筒壁前，作圆周运动，其加速度为惯性力 的大小为 假想地加上惯性力，由达朗伯原理第4页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 例例1解得：这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时，由此可求出其脱离角 为第5页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理 设非自由质点系由设非自由质点系由 个质点组成，其中第个质点组成，其中第 个个质点的质量为质点的质量为 ，其加速度为，其加速度为 ，作用在此质点上，作用在此质点上的外力的合力为的外力的合力为 ，内力的合力为，内力的合力为 。在该质点上。在该质点上假想地加上惯性力假想地加上惯性力
5、，则由质点的达朗伯，则由质点的达朗伯原理，有原理，有 对整个质点系来讲，有对整个质点系来讲，有 个这样的力系，将这个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即的主矩分别等于零，即第6页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理 因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有值反向，因此有 和和
6、 ；而剩下的；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设束反力系。设 、分别为作用在第分别为作用在第 个质点上的个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得即：即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。第7页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯
7、原 理 例例2 重P长 的等截面均质细杆AB，其A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速度 绕该轴转动，如图。求角速度 与角 的关系。解：以杆AB为研究对象，受力如图。杆AB匀速转动，杆上距A点 的微元段 的加速度的大小为 微元段的质量 。在该微元段虚加惯性力 ，的大小为第8页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 例例2 于是整个杆的惯性力的合力的大小为 设力 的作用点到点A的距离为 ，由合力矩定理，有即 假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理第9页，本讲稿共37页15.1达 朗 伯 原 理 例例2代入 的数值，有故有或第10页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 下面用静力学力系简化理
8、论研究刚体运动时惯下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。性力系的简化结果。首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点点 的质量为的质量为 ，加速度为，加速度为 ，刚体的质量为，刚体的质量为M，质心的加速度为，质心的加速度为 ，则惯性力系的主矢为，则惯性力系的主矢为由质心的矢径表达式知由质心的矢径表达式知 ，将其两边对时，将其两边对时间求两阶导数，有间求两阶导数，有于是有于是有此式表明：无论刚体作什么运动，此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，
9、方向与质心加速度的方向相反向与质心加速度的方向相反。第11页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。系的简化结果。一、刚体作平动一、刚体作平动 如图所示，将惯性力系向刚体的如图所示，将惯性力系向刚体的质心质心C简化，惯性力系的主矩为简化，惯性力系的主矩为式中，式中，是质心是质心C的矢径，由于的矢径，由于C为简化中心，显为简化中心，显然然
10、 ，于是有，于是有综上可得结论：综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通过质心的合力一个通过质心的合力 ，合力，合力 的大小等于刚体的的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反度的方向相反。第12页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 二、刚体绕定轴转动二、刚体绕定轴转动 如图所示，具有质量对称面且如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的体。其上任一点的惯性力的分量的大小为大小为方向如图所示。该惯性力
11、系对转轴方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为的主矩为由于由于 通过通过O点，则有点，则有 ，所以，所以故第13页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 综上可得结论：综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为通过转轴化为通过转轴O的一个惯性力的一个惯性力 和一个惯性力偶和一个惯性力偶 。力。力 的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶 的的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向
12、与角加速度的转向相反。乘积，转向与角加速度的转向相反。现在讨论以下三种特殊情况：现在讨论以下三种特殊情况：2、当刚体作匀速转动时，、当刚体作匀速转动时，若转轴不过，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力质心，惯性力系简化为一惯性力 ，且，且 ，同时力的作用线通过转轴同时力的作用线通过转轴O。1、当转轴通过质心、当转轴通过质心C时，时，。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3、当刚体作匀速转动且转轴通过质心、当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时，时，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。第14页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 三、刚体作平面运动三、刚体作
13、平面运动 如图所示，设刚体作平面运动，取如图所示，设刚体作平面运动，取质心质心C为基点，这时可将刚体的作平面为基点，这时可将刚体的作平面运动分解为随同质心的平动和绕质心的运动分解为随同质心的平动和绕质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心向质心C简化，得简化，得将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心C简化，注简化，注意到转轴通过质心，得意到转轴通过质心，得 将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心性力系向质心C简化的结果简化的结果第15页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系
14、的简化综上可得结论：综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系，平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过质心可以简化为通过质心C的一个惯性力的一个惯性力 和一和一个惯性力偶个惯性力偶 。力。力 的大小等于刚体的质量的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶速度的方向相反；力偶 的矩等于刚体对过的矩等于刚体对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。转向与角加速度的转向相反。在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运
15、动形式，正确虚加惯性力和惯首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。性力偶，然后再列平衡方程求解。第16页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例3 如图所示，均质杆AB的质量 ，长 ，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度 向左运动时，求D处和铰A处的约束反力。解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。杆作平动，惯性力的大小为 。假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理于是得第17页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例3代入数据，解之得：第18页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例4 均质悬臂梁AB长l，重W，B端与重
16、G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束反力。解：先以轮和重物为研究对象，受力如图。轮的惯性力系向转轴简化，则 物体C的惯性力的大小为方向如图所示。假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理第19页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例4 将 ，代入，解之得 再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理第20页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例4 将 ，及 代入，解得第21页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例5 质量为 ，长为 的均质直杆AB的一端A焊接于
17、半径为 的圆盘边缘上，如图。今圆盘以角加速度 绕其中心O转动。求圆盘开始转动时，AB杆上焊接点A处的约束反力。解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。杆AB作定轴转动，在开始转动的瞬时，质心的加速度为 将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为第22页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例5 惯性力偶的矩为方向如图所示。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理第23页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例5由几何关系将已知数值代入以上三式，解之得第24页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例6 重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心C的加
18、速度，并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。解：以圆轮为研究对象，受力如图，建立如图坐标。圆轮作平面运动，轮心作直线运动，则 将惯性力系向质心简化，惯性力和惯性力偶矩的大小为方向如图所示。第25页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例6 假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理得解之得 由于圆轮没有滑动，则 ，即由此得所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数第26页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例7 均质杆的质量为m，长为2l，一端放在光滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当BD绳切断的瞬时，B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。解：以AB杆为研究对象，在BD绳切断的瞬时
19、，受力如图，建立如图坐标。杆AB作平面运动，如图，以B点为基点，则C点的加速度为其中 将惯性力系向质心C简化，得一惯性力 ，其中 ，和一惯性力偶，其力偶的矩为第27页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例7方向如图所示。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理即（2）即（1）即（3）第28页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例7 以B为基点，则A点的加速度为其中 将上式投影到本 轴上得即（4）联立求解（1）（4）式，得第29页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例8 如图所示，均质杆AB长为l，重为Q，上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l），下端A以
20、铰链和均质圆轮中心A相连，圆轮重P，半径为r，放在粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 ，求此瞬时A点的加速度。解：设系统运动的初瞬时，圆轮中心的加速度为 ，角加速度为 ；AB杆的角加速度为 ，质心C的加速度为 、。如图。轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为第30页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例8 先以整体为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理(1)第31页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例8 再以AB为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，
21、则由质点系的达朗伯原理（2）AB杆作平面运动，先以B点为基点，则A点的加速度为其中其加速度合成矢量图如图所示。将其投影于 轴，得（3）第32页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例8 再以A为基点，则C点的加速度为其中，加速度合成矢量图如图。将其投影于 、轴，得（4）（5）由式（3）、（4）、（5）可将 、都化为 的函数，即第33页，本讲稿共37页15.2刚体惯性力系的简化 例例8 将其代入式（1）、（2），并取 ，联立该两方程可解得第34页，本讲稿共37页绕轴承转动刚体的轴承动反力动反力：由惯性力引起的轴承反力。可引起机器的振动及轴承断裂。避免出现动反力的条件：转轴过质心，且对转轴的惯性积为零。惯性主轴：惯性积为零的转轴。中心惯性主轴：过质心的惯性主轴。故：若使动反力为零，则转轴必为中心惯性主轴第35页，本讲稿共37页例：质量为m1，倾角为的三棱柱ABC，可在光滑水平面上滑动。质量为m2，半径为R的均质圆柱可在三棱柱ABC上相对纯滚动，系统由静止释放，求：三棱柱的加速度？ABCOaraeaeOm1gm2gm2gF1rF1rF1eF11F1eMOgMOg第36页，本讲稿共37页15.6动力学普遍定理综合应用 第37页，本讲稿共37页