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1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础学 习 要 求掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函数描述逻辑问题的基本方法掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则学会用代数法化简逻辑函数掌握用卡诺图化简逻辑函数2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 逻辑代数是一个由逻辑变量集逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量，常量0和和1以及以及“与与”、“或或”、“非非”三种基本运三种基本运算构成的一个封闭的代数系统，记为算构成的一个封闭的代数系统，记为L=K,+,0,1。它是一个二值代数系统。它是一个二值代数系统。常量常量0和和1表示真和假，无大小之分。表示真和假，无大小之分。公理公理1 交换律交换律 A+B=
2、B+A ，A B=B A公理公理2 结合律结合律 （A+B）+C=A+（B+C）（A B）C=A（B C）公理公理3 分配律分配律 A+（B C）=（A+B）（A+C）A（B+C）=A B+A C公理公理4 0-1律律 A+0=A ，A 1=A A 0=0 ,A+1=1公理公理5 互补律互补律 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量逻辑变量：仅取值0或取值1的变量。这里0和1无大小之分，实际上代表着矛盾的双方或事件的真假。（例如：开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和1这两种不同的逻辑值来表征。一、一、“
3、或或”运算运算 如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为果关系称之为“或或”逻辑。在逻辑代数中，逻辑。在逻辑代数中，“或或”逻辑关系用逻辑关系用“或或”运算描述。运算描述。“或或”运算又称运算又称为逻辑加，其运算符为为逻辑加，其运算符为“+”或或“”，两个变量，两个变量的的“或或”运算可表示为：运算可表示为：F=A+B 或者或者 F=AB 读作读作“F等于等于A或或B”，其中，其中A、B是参加运算的两是参加运算的两个逻辑变量，个逻辑变量，F为运算结果。意思
4、是：只要为运算结果。意思是：只要A、B中有一个为中有一个为1，则，则F为为1；仅当；仅当A、B均为均为0时，时，F才才为为0.“或或”运算表运算表由由“或或”运算的运算表可知运算的运算表可知 0+0=0 1+0=1“或或”运算的法则为：运算的法则为：0+1=1 1+1=1实现实现“或或”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“或或”门！门！二、二、“与与”运算运算 如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为事件才能发生，这种因果关系称为“与与”逻辑。逻辑。逻辑代数中逻辑代数中“与与”逻辑关系用逻辑关系用“与与”运算描述。
5、运算描述。“与与”运算又称为逻辑乘，其运算符为运算又称为逻辑乘，其运算符为“”或或“”。两个变量的。两个变量的“与与”运算可以表示为运算可以表示为 F=AB 或或 F=AB 读作读作“F等于等于A与与B”，意思是若，意思是若A、B均为均为1，则，则F为为1，否则，否则F为为0“与与”运算表运算表由由“与与”运算的运算表可知运算的运算表可知 00=0 10=0“与与”运算的法则为：运算的法则为：01=0 11=1实现实现“与与”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“与与”门！门！三、三、“非非”运算运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关
6、系称为果关系称为“非非”逻辑。逻辑。“非非”逻辑用逻辑用“非非”运运算符描述。算符描述。“非非”运算又称为求反运算，运算符运算又称为求反运算，运算符为为“”或或“”。“非非”运算可以表示为运算可以表示为 F=或或F=A 读作读作“F等于等于A非非”，意思是若，意思是若A=0，则，则F为为1；反；反之，若之，若A=1，则，则F为为0.“非非”运算表运算表由由“非非”运算的运算表可知运算的运算表可知“非非”运算的法则为：运算的法则为：实现实现“非非”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“非非”门！门！逻辑函数逻辑函数一、逻辑函数的定义一、逻辑函数的定义 设某一电路的输入逻辑变量为设某一电路的输入逻
7、辑变量为A1,A2,An,输出逻辑变量为输出逻辑变量为F。如果当。如果当A1,A2,An的值确定的值确定后，后，F的值就唯一地被定下来，则的值就唯一地被定下来，则F称为称为A1,A2,An,的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为 F=f（A1,A2,An）逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点：与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点：1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和和1；2）逻辑函数与逻辑变量的关系由）逻辑函数与逻辑变量的关系由“与与”、“或或”、“非非”运算决定运算决定二、逻辑函数的相等二、逻
8、辑函数的相等 设有两个逻辑函数设有两个逻辑函数 F1=f1（A1,A2,An）F2=f2（A1,A2,An）若对应于若对应于A1,A2,An的任何一组取值，的任何一组取值，F1和和F2的值都相同，则称函数的值都相同，则称函数F1和函数和函数F2相等，记作相等，记作 F1=F2 亦称函数亦称函数F1和函数和函数F2是等价的是等价的 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法一、逻辑表达式一、逻辑表达式由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式 例：例：逻辑表达式书写省略规则：逻辑表达式书写省略规则：进行非运算可不加括号，如进行非运算可不加括号，如“与与”运算符
9、一般可以省略，运算符一般可以省略，AB可以写成可以写成AB可根据先可根据先“与与”后后“或或”的顺序去括号的顺序去括号（AB）+（AC）=AB+AC二、真指表二、真指表2.2 逻辑代数的基本定理与基本规则逻辑代数的基本定理与基本规则2.2.1 基本定理基本定理2.2.2 逻辑代数的重要规则逻辑代数的重要规则一、代入规则一、代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。二、反演规则二、反演规则 如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原
10、函数的反函数使用反演规则时，应注意保持原函数中运算符号的优先使用反演规则时，应注意保持原函数中运算符号的优先顺序不变！顺序不变！三、对偶规则三、对偶规则 如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，则所得到的新逻辑函数F是逻辑函数F的对偶式。如果F是F的对偶式，则F也是F的对偶式，即F和F互为对偶式。求某一函数求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数中运算的对偶式时，同样要注意保持原函数中运算优先顺序不变！优先顺序不变！对偶规则：若两个逻辑函数对偶规则：若两个逻辑函数F和和G相等，则其对偶式相等，则其对偶式 F 和和G 也相等！也相等！2.3
11、 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换 逻辑函数表达式的基本形式逻辑函数表达式的基本形式两种基本形式：两种基本形式：“积之和”表达式 “和之积”表达式“积之和积之和”：由若干个“与”项经“或”运算形成的表达式：“和之积和之积”：由若干个“或”项经“与”运算形成的表达式：既不是既不是“与或与或”表达式，也不是表达式，也不是“或与或与”表达式！表达式！2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式一、最小项一、最小项 如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“积积”项项包含全部包含全部n个变量个变量，每个变量都以原变量每个变量都以原变量或反变量形式出现，
12、且仅出现一次或反变量形式出现，且仅出现一次，则这，则这个个“积积”项被称为最小项。项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成，那假如一个函数完全由最小项所组成，那么该函数表达式称为标准么该函数表达式称为标准“积之和积之和”表达表达式，即式，即“最小项之和最小项之和”，标准，标准“与或与或”式。式。三变量函数的最小项三变量函数的最小项注意注意 变量的顺序！变量的顺序！即即n个变量的所有最小项之和恒为个变量的所有最小项之和恒为1二、最大项二、最大项 如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“和和”项项包含全部包含全部n个变量个变量，每个变量都以原变量每个变量都以原变量或反变量形式
13、出现，且仅出现一次或反变量形式出现，且仅出现一次，则这，则这个个“和和”项被称为最大项。项被称为最大项。假如一个函数完全由最大项所组成，那假如一个函数完全由最大项所组成，那么该函数表达式称为标准么该函数表达式称为标准“和之积和之积”表达表达式，即式，即“最大项之和最大项之和”，标准，标准“或与或与”式。式。三变量函数的最大项三变量函数的最大项注意注意 变量的顺序！变量的顺序！即即n个变量的所有最大项之积恒为个变量的所有最大项之积恒为0三、两种标准形式的转换三、两种标准形式的转换 以最小项之和的形式表示的函数可以转以最小项之和的形式表示的函数可以转换为最大项之积的形式，反之亦然。换为最大项之积的
14、形式，反之亦然。2.3.3 逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换 任何一个逻辑函数，总可以将其转换成任何一个逻辑函数，总可以将其转换成“最小项之和最小项之和”及及“最大项之积最大项之积”的形式。的形式。常用代数转换法或真指表转换法。常用代数转换法或真指表转换法。一、代数转换法一、代数转换法 用代数法求一个函数“最小项之和”的形式，一般分为两步：类似地，类似地，用代数法求一个函数用代数法求一个函数“最大项最大项之积之积”的形式，也可分为两步：的形式，也可分为两步：二、真值表转换法二、真值表转换法 一个逻辑函数的真值表与它的最小项一个逻辑函数的真值表与它的最小项表达式和最大项表达式均存在一一对
15、应的表达式和最大项表达式均存在一一对应的关系。关系。函数函数F的最小项表达式由使的最小项表达式由使F取值为取值为1的全部最小项之和组成；函数的全部最小项之和组成；函数F的最大项表的最大项表达式由使达式由使F取值为取值为0的全部最大项之积组成。的全部最大项之积组成。注意注意 任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一！2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简2.4.1 代数化简法代数化简法 该方法运用逻辑代数的公理、定理和该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决简，没有固定的
16、步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。简。一、一、“与或与或”式的化简式的化简二、二、“或与或与”式的化简式的化简2.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法 该方法简单、直观、容易掌握，当变量该方法简单、直观、容易掌握，当变量个数小于等于个数小于等于6时非常有效，在逻辑设计中时非常有效，在逻辑设计中得到广泛应用！得到广泛应用！一、卡诺图的构成一、卡诺图的构成 n n个变量的卡诺图是一种由个变量的卡诺图是一种由2 2n n个方格构成个方格构成的图形，每一个方格表示逻辑函数
17、的一个的图形，每一个方格表示逻辑函数的一个最小项，所有的最小项巧妙地排列成一种最小项，所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚反映它们相邻关系的方格阵列。因能清楚反映它们相邻关系的方格阵列。因为任意一个逻辑函数都可以表示成为任意一个逻辑函数都可以表示成“最小最小项之和项之和”的形式，所以一个函数可用图形的形式，所以一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。中若干方格构成的区域来表示。二、逻辑函数的卡诺图表示方法二、逻辑函数的卡诺图表示方法 将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以相应方格中标以1 1，剩余方格中标以，剩余方格中标以0 0或不或不标。标。三、卡诺图的性质三、卡诺图的性质 四、卡诺图化简逻辑函数的步骤四、卡诺图化简逻辑函数的步骤