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1、机机 械械 振振 动动 理理 论论于德介于德介绪 论 振振动动是是日日常常生生活活和和工工程程中中普普遍遍存存在在的的现现象象，有有机机械械振振动动、电磁振荡、光的波动等不同的形式。电磁振荡、光的波动等不同的形式。这这里里研研究究机机械械振振动动，如如钟钟摆摆的的摆摆动动、汽汽车车的的颠颠簸簸、混混凝凝土振动捣实以至地震等。土振动捣实以至地震等。特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。掌掌握握机机械械振振动动的的基基本本规规律律，可可以以更更好好地地利利用用有有益益的的振振动动而而减少振动的危害。减少振动的危害。广义振动：广义振动：任一物理量任一物理量(如位移、
2、电流等如位移、电流等)在在某一数值附近反复变化。某一数值附近反复变化。机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式一、振动工程的重要性一、振动工程的重要性 1.大型回转机械动态失稳造成事故大型回转机械动态失稳造成事故2.桥梁由于共振、风激振动倒塌桥梁由于共振、风激振动倒塌3.产品包装产品包装 4.汽车舒适性，航天工程汽车舒适性，航天工程5.机床加工质量机床加工质量6.夯士、振动检测夯士、振动检测 国家重点工程国家重点工程:长江三峡水利长江三峡水利枢纽工程枢纽工程,135米蓄水前中孔米蓄水前中孔闸门振动试验现场闸门振动试验现场(2003年年4月应用锤击模态法月应用
3、锤击模态法)武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行的的“秦秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁沈线中华之星高速列车通过桥梁振动及结构应变试验振动及结构应变试验”。中华之星高速中华之星高速列车设计时速列车设计时速260Km/h，实际测试时速，实际测试时速 321.5 Km/h。大桥为。大桥为 28 孔双线后孔双线后张法张法 预应力混凝土简支箱梁桥预应力混凝土简支箱梁桥，梁梁顶宽顶宽12.4m，梁高，梁高2.2m，梁跨长，梁跨长24.6m。案例：案例：齿轮箱故障诊断齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后析，确定最大频率分
4、量，然后根据机床转速和传动链，找出根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。故障齿轮。案例：螺旋浆设计案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。二、动态问题特点二、动态问题特点 1.复杂性：载荷作用的后效性，响应对复杂性：载荷作用的后效性，响应对载荷的记忆性载荷的记忆性 2.危险性：共振、自激振动（在无外力危险性：共振、自激振动（在无外力的激励情况下突然振动，振幅上升，如机的激励情况下突然振动，振幅上升，如机床、轧钢机、飞机）、颤振床、轧钢机、飞机）、颤振 3.超常性：振动现象难以直
5、观解释，如超常性：振动现象难以直观解释，如共振、调谐消振器共振、调谐消振器三、工程振动问题类型三、工程振动问题类型 1.振动分析振动分析(已知输入已知输入,系统求输出系统求输出)2.系统识别系统识别(已知输入和输出求系统）已知输入和输出求系统）3.载荷识别载荷识别(已知系统已知系统,输出求输入输出求输入)四、振动现象分类四、振动现象分类 1.按系统分：线性、非线性按系统分：线性、非线性 2.按响应分：定则、随机按响应分：定则、随机 3.按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈引按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈引起）、参数激励、（随机或周期改变系统特性）起）、参数激励、（随机或周期改变系统特
6、性）4.按自由度分、离散、连续按自由度分、离散、连续 离散：常微离散：常微 连续：偏微连续：偏微 本课程：线性、时不变系统。本课程：线性、时不变系统。第一章第一章 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动1.自由振动微分方程自由振动微分方程 工工程程中中许许多多振振动动可可简简化化为为一一个个质质量量和和一一个个弹弹簧簧的的弹弹簧簧质质量量系系统统，系系统统在在重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。一一.单自由度系统的自由振动
7、单自由度系统的自由振动在重力在重力P=mg 的作用下的作用下弹弹簧簧变变形形为为s，称称为为静静变变形形，该该位位置置为为平平衡位置。重力和弹簧力。衡位置。重力和弹簧力。平衡时满足：平衡时满足：设弹簧原长为设弹簧原长为l0，刚性系数为刚性系数为k。取取重重物物的的平平衡衡位位置置点点O为为坐坐标标原原点点，取取x轴轴的正向铅直向下。受力如图的正向铅直向下。受力如图。由质点运动微分方程可列：由质点运动微分方程可列：弹簧力弹簧力F：表明，物体偏离平衡位置于坐标表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正处，受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。比而与偏离方向相反的合力
8、，称此力为恢复力。在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。两端除以质量两端除以质量m，并设并设移项后得移项后得:无阻尼自由振动微分方程的标准形式无阻尼自由振动微分方程的标准形式是一个二阶齐次线性常系数微分方程。是一个二阶齐次线性常系数微分方程。方程解表示为：方程解表示为：两个根为：两个根为：设设：代入微分方程，消去代入微分方程，消去ert 得特征方程：得特征方程
9、：C1和和C2 2是是积积分分常常数数，由由运运动动的起始条件确定的起始条件确定。则解为：则解为：设：设：其运动图线为：其运动图线为：表明：无阻尼自由振动是简谐振动。表明：无阻尼自由振动是简谐振动。x（t）=x（t+T）T为常数，称为周期，单位为常数，称为周期，单位符号符号为为s。这种振动经过时间这种振动经过时间T后又重复原来的运动。后又重复原来的运动。考虑考虑无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程角度周期为角度周期为2，则有则有:则自由振动的周期为：则自由振动的周期为：解为：解为：2.无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点 （1）固有频率固有频率 无无阻阻尼尼自自由由振振动动是是简简
10、谐谐振振动动，是是一一种种周周期期振振动动，任任何何瞬瞬时时t，其其运动规律运动规律x（t）总可以写为总可以写为:其中其中称为振动的称为振动的频率频率表示每秒钟的振动次数，其单位符号为表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或或Hz（赫兹）。赫兹）。因为因为n=2f所以所以n表示表示2秒内的振动次数，称为圆频率秒内的振动次数，称为圆频率单位符号为单位符号为rad/s（弧度（弧度/秒）。秒）。由由可得：可得：自自由由振振动动的的圆圆频频率率n只只与与表表征征系系统统本本身身特特性性的的质质量量m和和刚刚度度k有有关关，而而与与运动的初始条件无关；运动的初始条件无关；它是振动系统的固有的特性，所以
11、称它是振动系统的固有的特性，所以称n为固有圆频率。为固有圆频率。固固有有频频率率是是振振动动理理论论中中的的重重要要概概念念，它它反反映映了了振振动动系系统统的的动动力力学学特特性性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。由由上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。固有频率。如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振
12、动频率比空载车厢低。满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。（2）振幅与初位相）振幅与初位相谐振振动表达式谐振振动表达式 A表示相对于振动中心点表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅的最大位移，称为振幅。（nt+）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的位置，它具有角度的量纲，而的位置，它具有角度的量纲，而称为初相位，它决定了质点称为初相位，它决定了质点运动的起始位置。运动的起始位置。自由振动中的振幅自由振动中的振幅A和初相位和初相位是两个待定常数，它们由运是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。动的初始条件确定。设
13、在起始设在起始t=0时，物块的坐标时，物块的坐标x=x0，速度速度v=v0。为求为求A和和，将初始条件代入以上两式，得到将初始条件代入以上两式，得到得到振幅得到振幅A和初相位和初相位的表达式为：的表达式为：自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。两端对时间两端对时间t求一阶导数，得物块速度求一阶导数，得物块速度3.简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)特点特点物体振动时，如果离开平衡位置的位移物体振动时，如果离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移)随时随时间间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数变化可表示为余弦函数或正弦函数(1).弹簧振子的振动弹簧振子的振动弹
14、簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：振动物体所受合外力平衡位置：振动物体所受合外力 为零的位置为零的位置物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。制约下，不断重复相同的运动过程。由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度:谐振动运动方程谐振动运动方程谐振动微分方程谐振动微分方程其通解为：其通解为：（1 1）（）（2 2）两式均为物体作谐振动的特征表述。）两式均为物体作谐振动的特征表述。(2)、弹簧振子的振动方程、弹簧振子的振动方程微分方程
15、形式微分方程形式 一个运动物体，它的一个运动物体，它的加速度加速度a与它离开平衡位与它离开平衡位置的距离恒成正比而反向置的距离恒成正比而反向那么此物体一定作简谐振那么此物体一定作简谐振动。动。物体离开平衡位置后，总是受物体离开平衡位置后，总是受到一个方向指向平衡位置，大小与到一个方向指向平衡位置，大小与物体离开平衡位置的距离成正比的物体离开平衡位置的距离成正比的力的作用，则此物体一定在作简谐力的作用，则此物体一定在作简谐振动。振动。-线性回复力线性回复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征上述谐振动的特征表述均等价。上述谐振动的特征表述均等价。简谐振动特点：简谐振动特点：(1)(1)等幅振
16、动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动简谐振动定义（判据）：简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程描述运动的物理量遵从微分方程或运动方程为或运动方程为 运动学特征运动学特征为维持运动物体所受合外力为维持运动物体所受合外力动力学特征动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动切向运动谐振动谐振动竖直方向悬挂的谐振子竖直方向悬挂的谐振子yO光滑斜面上的谐振子光滑斜面上的谐振子mkX0mk速度速度速度也是简谐振动速度也是
17、简谐振动 比比x领先领先/2/2 加速度加速度也是简谐振动也是简谐振动简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度t to oT T(3).(3).描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量-周期、振幅、相位周期、振幅、相位 a a、周期、周期T-物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。对弹簧振子：对弹簧振子：物体在单位时间内完成振动的次数物体在单位时间内完成振动的次数。频率频率 角频率角频率 b.b.振幅振幅 Ac.c.相位相位 t+决定振动物体的运动状态决定振动物体的运动状态谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。相位相位 t+=0
18、 =0 x=Av=0a=-2A相位相位 t+=/2 x=0v=-A a=0OAXOAX(t t+)是是 t t 时刻的相位时刻的相位 是是t t=0=0时刻的相位时刻的相位 初相初相(或或.T).).A 和和 三个特征量确定，则谐振动方程就三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。其中被唯一确定。其中(或或.T)由系统本身的性质决定由系统本身的性质决定A 和和 由初条件决定由初条件决定 如图如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm,v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点，写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若
19、取x0=0，v0为计时零点，为计时零点，写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率并计算振动频率。XOmx解：解：确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/l 令向下有位移令向下有位移 x,则则 f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为由初条件得由初条件得由由x0=Acos=-0.0980 cos 0 x0=Acos=0,cos=0 =/2,3/2 v0=-A sin 0 ,sin 0,则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大,称称x2比比x1超前超前(或或x1比比x2落后落后)。超前和落后超前和落后x2TxoA1-A1A2-A2x
20、1t领领先先、落落后后以以 的的相位角来判断相位角来判断即即x1比比x2超前超前超前时间超前时间 t=/=T/2 b.比较同一振动不同时刻的位相关系比较同一振动不同时刻的位相关系A-AtTxt1t2xOO t1t2D=(t2+)-(t1+)=(t2-t1)振动状态（振动状态（1）超前振动状态（）超前振动状态（2）/3两振动状态间的时间间隔两振动状态间的时间间隔 t=(/2)T=T/6谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vxT/4T/4由图可见：由图可见：x t+ot=t (1).(1).解析法解析法(2).(2).曲线法曲线法o oxmx0
21、=0 =/2o oA-AtxT由由：已知表达式已知表达式A、T、已知已知A、T、表达式表达式已知曲线已知曲线A A、T T、曲线曲线已知已知 A、T、简谐振动的描述方法：简谐振动的描述方法：相位差相位差对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 =2-1初相差初相差已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解设振动方程为设振动方程为故振动方程为故振动方程为方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位
22、由图知由图知 5.谐振动的能量谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点:(1)(1)动能动能(2)(2)势能势能情况同动能。情况同动能。分析：分析：分析：分析：(3)(3)机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpEk(1/2)kA2oEt由起始能量求振幅由起始能量求振幅a.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿
23、定律列方程由牛顿定律列方程)b.由分析能量出发由分析能量出发(将能量守恒式对将能量守恒式对t求导求导)简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法 6.同一直线上谐振动的合成同一直线上谐振动的合成振动迭加原理振动迭加原理合振动的位移等于各个分振动位移的矢量和。合振动的位移等于各个分振动位移的矢量和。(1)(1)、同一直线上两个同频率谐振动的合成：、同一直线上两个同频率谐振动的合成：分振动分振动:合振动合振动:合振动是简谐振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为 两种特殊情况两种特殊情况如如 A1=A2,则则 A=0两分振动相互加强两分振动相互加强两分振动相互减弱两分振动相互减弱若两分振动同相：若
24、两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随缓变缓变随随快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动(2)2)、同一直线上两个不同频率谐振动的合成同一直线上两个不同频率谐振动的合成分振动分振动合振动合振动当当 2 2 1 1时时拍拍合振幅随时间作周期性变化，合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强，时而减弱的现象振动时而加强，时而减弱的现象拍频拍频-单位时间内加强单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数的次数xt tx2t tx1t t例例.质质量量为为m=0.5kg的的物物块块，沿沿光光滑滑斜斜面面无无初初速速度度滑滑下下，如
25、如图图所所示示。当当物物块块下下落落高高度度h=0.1m时时撞撞于于无无质质量量的的弹弹簧簧上上并并与与弹弹簧簧不不再再分分离离。弹弹簧簧刚刚度度k=0.8 kN/m，倾倾角角=30，求求此此系系统统振振动动的的固固有有频频率率和和振振幅，并给出物块的运动方程。幅，并给出物块的运动方程。解：解：1)1)取质量弹簧系统取质量弹簧系统物块于弹簧的自然位置物块于弹簧的自然位置A处碰上处碰上弹簧。若物块平衡时，由于斜面弹簧。若物块平衡时，由于斜面的影响，弹簧应有变形量的影响，弹簧应有变形量:2）以以物物块块平平衡衡位位置置O为为原原点，取点，取x轴如图。轴如图。3 3）物物块块在在任任意意位位置置x处
26、处受受得得力力mg、斜面约束力斜面约束力FN和弹性力和弹性力F作用作用表明斜面角表明斜面角与物块运动微分方程无关。与物块运动微分方程无关。固有频率与斜面倾角固有频率与斜面倾角无关。无关。4）物块沿）物块沿x轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为固有频率固有频率此系统的通解为此系统的通解为5）当当物物块块碰碰上上弹弹簧簧时时，取取时时间间t=0，作作为为振振动动的的起起点点，此此时时物块的坐标即为初位移：物块的坐标即为初位移：物块碰上弹簧时物块碰上弹簧时,初始速度为：初始速度为：得振幅及初相位：得振幅及初相位：则此物块的运动方程为：则此物块的运动方程为：解解：1 1）此此无无重重弹弹性性梁梁相相当
27、当于于一一弹弹簧簧，其其静静挠挠度度相相当当于于弹弹簧簧的静伸长，则梁的刚性系数为的静伸长，则梁的刚性系数为2）重重物物在在梁梁上上振振动动时时，所所受受的的力力有有重重力力mg和和弹弹性性力力F，若若取取其其平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，x轴方向铅直向下。轴方向铅直向下。例例.如如图图所所示示无无重重弹弹性性梁梁,当当其其中中部部放放置置质质量量为为M的的物物块块,其其静静挠挠度度为为2mm。若将此物块在梁未变形位置处无初速释放若将此物块在梁未变形位置处无初速释放,求系统的振动规律。求系统的振动规律。设设则上式可改写为则上式可改写为3）列出运动微分方程为：）列出运动微分方程为：上述振
28、动微分方程的解为上述振动微分方程的解为其中圆频率其中圆频率在初瞬时在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上，物块位于未变形的梁上，其坐标其坐标x0=-st=-2mm，重物初速重物初速0=0，初相位初相位则振幅为则振幅为最后得系统的自由振动规律为：最后得系统的自由振动规律为：令令（1）弹簧并联）弹簧并联两两个个刚刚度度分分别别为为k1、k2的的弹弹簧簧并并联联。设设物物块块在在重重力力mg作作用用下下平平动动，其其静静变变形为形为st，两个弹簧分别受力两个弹簧分别受力F1和和 F2，7.弹簧的并联与串联弹簧的并联与串联keq称为等效弹簧刚性系数称为等效弹簧刚性系数当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于
29、两个弹簧刚度的和。这一结论也当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形可以推广到多个弹簧并联的情形。平衡时有：平衡时有：并联系统的固有频率为并联系统的固有频率为两个弹簧总的静伸长两个弹簧总的静伸长（2）弹簧串联弹簧串联两个刚性系数分别为两个刚性系数分别为k1、k2弹簧串联系统。弹簧串联系统。每个弹簧受的力都等于物块的重每个弹簧受的力都等于物块的重量，因此两个弹簧的静伸长分别为：量，因此两个弹簧的静伸长分别为：设串联弹簧系统的等效弹簧刚度为设串联弹簧系统的等效弹簧刚度为keq，则，则串联弹簧系统的固有圆频率为串联弹簧系统的固有圆频率为平衡时有：平
30、衡时有：当当两两个个弹弹簧簧串串联联时时，其其等等效效弹弹簧簧刚刚度度的的倒倒数数等等于于两两个个弹弹簧簧刚刚度倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。度倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。比较上面两式得：比较上面两式得：部分构件的刚度部分构件的刚度杆：杆：悬臂梁悬臂梁:简支梁中点简支梁中点:等直杆扭转等直杆扭转:J为极惯性矩为极惯性矩 8.其它类型的单自由度振动系统其它类型的单自由度振动系统除除弹弹簧簧与与质质量量组组成成的的振振动动系系统统外外，工工程程中中还还有有很很多多振振动动系系统统，如如扭扭振振系系统统、多体系统等。多体系统等。图图为为一一扭扭振振系系统统，
31、其其中中圆圆盘盘对对于于中中心心轴轴的的转转动动惯惯量为量为JO，刚性固结在扭杆的一端。刚性固结在扭杆的一端。扭扭杆杆另另一一端端固固定定，圆圆盘盘相相对对于于固固定定端端可可扭扭转转一一个个角角度度，扭扭杆杆的的扭扭转转刚刚性性系系数数为为kt，它它表表示示使使圆圆盘盘产生单位扭角所需的力矩。产生单位扭角所需的力矩。令令上式与无阻尼微分方程的标准形式相同。上式与无阻尼微分方程的标准形式相同。根根据据刚刚体体转转动动微微分分方方程程可可建建立立圆圆盘盘转转动动的的运运动动微微分方程为：分方程为：例例.如如图图为为一一摆摆振振系系统统，杆杆重重不不计计，球球质质量量为为m，摆摆对对轴轴O的的转转
32、动动惯惯量量为为J。弹弹簧簧刚刚度度为为k，杆杆于于水水平平位位置置平平衡衡，尺尺寸寸如如图图。求求此此系系统统微微小小振振动动的的运运动动微微分分方方程程及及振振动动频率。频率。解：解：1）取系统）取系统2）受力分析）受力分析有：有：以平衡位置为原点，摆在任一小角度处以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹簧压缩量为弹簧压缩量为0+d。摆在水平平衡处，弹簧已有摆在水平平衡处，弹簧已有压缩量压缩量0。由平衡方程由平衡方程：3）摆绕轴）摆绕轴O转动微分方程：转动微分方程：化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程以以平平衡衡点点为为原原点点，摆摆振振系系统统的的运运动
33、动微微分分方方程程也也有有无无阻阻尼尼自自由振动微分方程的标准形式。由振动微分方程的标准形式。列方程时，可由平衡位置计算弹性变形，而不再计入重力。列方程时，可由平衡位置计算弹性变形，而不再计入重力。摆振系统的固有频率为：摆振系统的固有频率为：能能量量法法从从机机械械能能守守恒恒定定律律出出发发计计算算较较复复杂杂系系统统的的固有频率。固有频率。图图示示无无阻阻尼尼振振动动系系统统，当当系系统统作作自自由由振振动动时时，物物块的运动为简谐振动。块的运动为简谐振动。它的运动规律可以写为：它的运动规律可以写为：一一个个振振动动系系统统，确确定定其其固固有有频频率率非非常常重重要要。通通过过系系统统的
34、的振振动动微微分分方方程程可可以计算系统的固有频率。以计算系统的固有频率。另外一种计算固有频率的方法另外一种计算固有频率的方法能量法。能量法。二二.计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法速度为：速度为：在瞬时在瞬时t物块的动能为物块的动能为系统的势能系统的势能V为弹簧势能与重力势能的为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点，有：和，选平衡位置为零势能点，有：可可见见，对对于于有有重重力力影影响响的的弹弹性性系系统统，如如果果以以平平衡衡位位置置为为零零势势能能位位置置，则则重重力力势势能能与与弹弹性性力力势势能能之之和和相相当当于于由由平平衡衡位位置置处处计计算算变变形形的的单独弹性力
35、的势能。单独弹性力的势能。当物块处于偏离振动中心的极端当物块处于偏离振动中心的极端位置时，其位移最大，系统具有位置时，其位移最大，系统具有最大势能最大势能当当物物块块处处于于平平衡衡位位置置时时，其其速速度度达到最大，物块具有最大动能达到最大，物块具有最大动能无无阻阻尼尼自自由由振振动动系系统统是是保保守守系系统统，系系统统的的机机械械能能守守恒恒。由机械能守恒定律，有：由机械能守恒定律，有：可得到系统的固有频率可得到系统的固有频率：这个原理可以求出其它类型机械振动系统的固有频率。这个原理可以求出其它类型机械振动系统的固有频率。可列出系统的运动微分方程，可容易得到系统的固有频率可列出系统的运动
36、微分方程，可容易得到系统的固有频率例例如如：图图示示在在水水平平面面匀匀速速运运动动的的均均质质圆圆柱柱质质量量为为m，半半径径为为r，弹弹簧簧刚刚性性系系数数为为k，求求系系统统微微振振的的固固有有频频率。率。取平衡位置微系统原点，受力如图取平衡位置微系统原点，受力如图由由实际问题中由机械能守恒，对保守系统，由：实际问题中由机械能守恒，对保守系统，由：例例.在在下下图图所所示示振振动动系系统统中中，摆摆杆杆AO对对铰铰链链点点O的的转转动动惯惯量量为为J，在在杆杆的的点点A和和B各各安安置置一一个个刚刚度度分分别别为为K1和和K2的的弹弹簧簧，系系统统在在水水平位置处于平衡，求系统作微振时的
37、固有频率。平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。解：解：1）取摆杆为研究对象）取摆杆为研究对象2）设摆杆）设摆杆AO作自由振动时，其作自由振动时，其摆角摆角的变化规律为的变化规律为则系统振动时摆杆的最大角速度则系统振动时摆杆的最大角速度3）计算最大动能和最大势能）计算最大动能和最大势能最大动能为最大动能为A最大势能等于两个弹簧最大势能的和：最大势能等于两个弹簧最大势能的和：4）应用机械能守恒定律）应用机械能守恒定律：即：即：得固有频率：得固有频率：A例例.如如图图一一质质量量为为m、半半径径为为r的的圆圆柱柱体体，在在一一半半径径为为R的的圆圆槽槽上上作作无无滑滑动动的的滚滚动动。求求圆圆
38、柱柱体体在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微小小振振动动的固有频率的固有频率。由运动学知，当圆柱体作纯动时，其角速度为：由运动学知，当圆柱体作纯动时，其角速度为：解：解：1）取圆柱为研究对象）取圆柱为研究对象2）分析运动规律）分析运动规律设设t时刻，圆柱体微振角为时刻，圆柱体微振角为设设的变化规律为的变化规律为3）计算系统机械能）计算系统机械能圆圆柱柱在在最最低低处处平平衡衡，取取该该处处圆圆心心位位置置C为为零势能点，系统的势能即重力势能为零势能点，系统的势能即重力势能为系统的动能：系统的动能：整理后得：整理后得：系统的最大动能系统的最大动能系统的最大势能系统的最大势能得系统的固有频率：得系
39、统的固有频率：4）应用机械能守恒定理）应用机械能守恒定理 三三.固有频率计算方法小结固有频率计算方法小结1.静变形法静变形法 k m2.能量法能量法 动能动能 质点质点 定轴转动定轴转动 J为转为转动惯量动惯量 平面运动平面运动 势能势能 弹性势能弹性势能 重力势能重力势能 能量守恒能量守恒 或或 例例a k m 例例 设设 则则 m l k a 3.瑞利法瑞利法 假设振动形式假设振动形式例：考虑弹簧质量影响例：考虑弹簧质量影响 u k x m假定：质量的位移为假定：质量的位移为x时，离弹簧上端时，离弹簧上端u处，处，截面位移为截面位移为 动能为动能为 势能势能 有有 例例:悬臂梁等效质量悬臂
40、梁等效质量 x m 从材力，在梁端作用力从材力，在梁端作用力P时截面时截面x处挠度为处挠度为 假定假定全梁动能最大值全梁动能最大值 势能最大值势能最大值 系统动能最大值系统动能最大值 四四.振动测试问题振动测试问题已知已知m，测，测k，可从测可从测 求得。求得。m k m,k未知，可先测未知，可先测 ，再附加已知，再附加已知质量质量m。测。测 测弹模测弹模E 1.阻尼阻尼 上上节节所所研研究究的的振振动动是是不不受受阻阻力力作作用用的的，振振动动的的振振幅幅是是不不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。实实际际中中的的振振动动系系统统由由于于存存在在阻
41、阻力力，而而不不断断消消耗耗着着振振动动的的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。五五.单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼类型：阻尼类型：1）介质阻尼）介质阻尼 2）结构阻尼）结构阻尼 3）库仑阻尼）库仑阻尼当当振振动动速速度度不不大大时时，介介质质粘粘性性引引起起的的阻阻力力与与速速度度一一次次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此研究。这种阻尼实际上较多，这里将以此研究。振动系统中存在粘性阻尼时，经常
42、用阻尼元件振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。表示。比例常数比例常数c称为粘性阻尼系数称为粘性阻尼系数负号表示方向负号表示方向设振动质点的速度为为设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力则粘性阻尼的阻力FC可表示为可表示为：一般的机械振动系统都可以简化为：一般的机械振动系统都可以简化为：由惯性元件（由惯性元件（m）弹性元件（弹性元件（k）阻尼元件（阻尼元件（c）组成的系统。组成的系统。下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。当当以以平平衡衡位位置置O为为坐坐标标原原点点，建建立立此此系系统统的的振振动动微微分分方方程程时时可可以以不不
43、再再计计入重力作用。入重力作用。（2）粘性阻尼力）粘性阻尼力Fc，方向与方向与速度方向相反，速度方向相反，2.振动微分方程振动微分方程振动过程中作用在物块上的力有：振动过程中作用在物块上的力有：（1）恢复力恢复力Fk，方向指向平衡位置方向指向平衡位置O大小为：大小为：大小为：大小为：物块的微分方程为物块的微分方程为：整理得：整理得：它是一个二阶齐次常系数线性微分方程它是一个二阶齐次常系数线性微分方程有阻尼自由振动微分方程的标准形式有阻尼自由振动微分方程的标准形式该方程通解为：该方程通解为：其解可设为：其解可设为：特征方程特征方程：两个特征根为：两个特征根为：两端除以两端除以m，并令并令：当当n
44、n时时，阻尼系数阻尼系数特征根为共轭复数，即：特征根为共轭复数，即：微分方程的解可以表示为：微分方程的解可以表示为：特特征征根根为为实实数数或或复复数数时时，运运动动规规律律有有很很大大不不同同，因因此此下面按下面按nn和和n=n三种不同情形分别进行讨论。三种不同情形分别进行讨论。3.小阻尼情形小阻尼情形阻尼较小，称为小阻尼情形。阻尼较小，称为小阻尼情形。A和和为两个积分常数，由运为两个积分常数，由运动的初始条件确定动的初始条件确定或或其中称有阻尼自由振动的圆频率称有阻尼自由振动的圆频率当当初瞬时初瞬时t=0，质点的坐标为质点的坐标为x=x0 速度速度v=v0 可求得有阻尼自由振动中的振幅和相
45、位：可求得有阻尼自由振动中的振幅和相位：这这种种振振动动的的振振幅幅是是随随时时间间不不断断衰衰减减的的，称称为为衰衰减减振振动动。衰衰减减振动的运动图线如图所示。振动的运动图线如图所示。由衰减振动的由衰减振动的表达式：表达式：这种振动不符合周期振动的定义，所以不是周期振动。这种振动不符合周期振动的定义，所以不是周期振动。但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时间称为衰减振动的周期，记为的时间称为衰减振动的周期，记为Td
46、，如上图所示。如上图所示。称称为为阻阻尼尼比比。它它是是振振动动系系统统中中反反映映阻阻尼尼特特性性的的重重要要参参数数。在在小小阻阻尼尼情情形形下下，1。有有阻阻尼尼自自由由振振动动周周期期Td、频频率率fd和和圆频率圆频率d与相应的无阻尼自由振动的与相应的无阻尼自由振动的T、f和和n的关系：的关系：表表明明：由由于于阻阻尼尼的的存存在在，使使系系统统自自由由振振动动的的周周期期增增大大，频频率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：其中：其中：d=n，Td=T经过一个周期经过一个周期Td，系统到达另一个比前者略小的最大偏离值系统到达
47、另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1这两个相邻振幅之比为这两个相邻振幅之比为设在某瞬时设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为振动达到的最大偏离值为Ai有有由衰减振动运动规律：由衰减振动运动规律：Ae-nt相当于振幅相当于振幅这这个个比比值值称称为为振振幅幅减减缩缩率率。任任意意两两个个相相邻邻振振幅幅之之比比为为一一常常数数，所所以衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。以衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。上上述述分分析析表表明明，在在小小阻阻尼尼情情况况下下，阻阻尼尼对对自自由由振振动动的的频频率率影影响响较较小小；但但阻阻尼尼对对自自由由振振动动的的振振幅幅影影响响较较大大，
48、使使振振幅幅呈呈几几何何级数下降。级数下降。上式表明对数减缩率上式表明对数减缩率与阻尼比与阻尼比之间只差之间只差2倍，倍，也是反映阻尼特性的一个参数。也是反映阻尼特性的一个参数。称为对数减缩率称为对数减缩率两端取自然对数得两端取自然对数得例例如如当当阻阻尼尼比比=0.05时时，可可以以计计算算出出其其振振动动频频率率只只比比无无阻阻尼尼自自由由振振动动时时下下降降0.125%，而而振振幅幅衰衰减减率率为为0.7301。经经过过10个个周周期期后后，振振幅幅只只有有原原振振幅幅的的4.3%。对数减缩率与阻尼比的关系为：对数减缩率与阻尼比的关系为：当当n=n（=1）时时，称称为为临临界界阻阻尼尼情
49、情形形。这这时时系系统统的的阻阻尼尼系系数数用用cc称称为为临界阻尼系数。临界阻尼系数。在临界阻尼情况下，特征根为两个相等的实根，即：在临界阻尼情况下，特征根为两个相等的实根，即：得微分方程的解为得微分方程的解为其中其中C1和和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。为两个积分常数，由运动的起始条件决定。上上式式表表明明：这这时时物物体体的的运运动动是是随随时时间间的的增增长长而而无无限限地地趋趋向向平平衡衡位置，因此运动已不具有振动的特点。位置，因此运动已不具有振动的特点。4.临界阻尼和大阻尼情形临界阻尼和大阻尼情形从式从式当当nn(1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数时，称为大阻尼情形。
50、此时阻尼系数c c c cc c 。在这种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：在这种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：微分方程的解为微分方程的解为其中其中C1、C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图线如下为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图线如下图所示，也不再具有振动性质。图所示，也不再具有振动性质。例例.图图示示一一弹弹性性杆杆支支持持的的圆圆盘盘，弹弹性性杆杆扭扭转转刚刚度度为为kt，圆圆盘盘对对杆杆轴轴的的转转动动惯惯量量为为J。如如圆圆盘盘外外缘缘受受到到与与转转动动速速度度成成正正比比的的切切向向阻阻力力，而而圆圆盘盘衰衰减减扭扭振的周期为振的周期为T