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1、第四章第四章 模态分析模态分析(fnx)振动(zhndng)与噪声控制研究所第一页，共110页。第四章第四章 模态分析模态分析(fnx)4.1 引言(ynyn)4.2 实模态分析4.3 复模态分析4.4 试验模态分析第二页，共110页。绪论绪论(xln)机械振动的研究对象(duxing)、意义数学准备和运动学第三页，共110页。绪论绪论(xln)机械振动的研究对象(duxing)、意义振动，是指物理量在它的平均值附近不断地经过极大值和极小值而往复变化的过程。机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动(yndng)。机械振动研究的对象是机械或结构，即具备质量和弹性的物体。在理论分析时
2、，需要把机械或结构按照力学原理，通过数学建模，抽象为力学系统（又称为数学模型）。可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。第四页，共110页。振动系统(xtng)三要素及其关系振动系统的三要素：激励、系统和响应外界对振动系统的激励或作用，称为振动系统的激励或输入。系统对外界影响的反映，称为振动系统的响应或输出。二者由系统的振动特性(txng)相联系。第五页，共110页。三种(sn zhn)基本振动问题响应分析：在扰动条件和系统特性已知的情形(qng xing)下，求系统的响应 系统识别：分析已知的激励(jl)与响应，确定振动系统的性质环境预测：已知振动系统和在未知激励下的响应，研究该未知激励的性
3、质第六页，共110页。响应分析车辆在给定的路面(lmin)上行走，求车身的加速度响应 第七页，共110页。工程提法：系统(xtng)设计在一定的激励(jl)条件下，如何来设计系统的特性，使得系统的响应满足指定的条件。第八页，共110页。系统(xtng)识别方法：以某种已知的激振力作用在被测振动系统上，使其产生响应，根据已知的激励和测量得到的响应量值，进而根据一定的分析方法（模态分析），确定系统的振动参数，如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的振型和固有频率(yu pn l)向量。模态试验 第九页，共110页。环境(hunjng)预测例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的工况监视与故障诊断。例：
4、用五轮仪来测量路面的不平度(pn d)对于五轮仪，其系统特性已知，通过测量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度(pn d)特性。第十页，共110页。机械振动的作用(zuyng)消极方面：影响仪器设备功能，降低机械设备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结构疲劳破坏。积极方面：利用振动(zhndng)性能的设备第十一页，共110页。机械振动的破坏(phui)作用 颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器产生振动（舒适性，机载仪表）自激振动：输电线的舞动1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造成坍塌事故1972年日本海南的一台6610
5、4kW汽轮发电机组，在试车过程(guchng)中发生异常振动而全机毁坏；步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共振现象造成桥梁坍塌第十二页，共110页。机械振动的积极(jj)作用 共振放大利用颗粒的振动进行清洗，抛光(pogung)，零件去毛刺；利用振动减小零部件之间的摩擦阻力和间隙第十三页，共110页。学习(xux)机械振动的意义1.进行结构动强度设计的需要 2.消除有害的振动 3.利用振动有利的一面 4.是学好相关(xinggun)知识的基础 第十四页，共110页。离散系统的基本(jbn)元件机械振动系统(xtng)：惯性元件，弹性元件，阻尼元件，外界激励。通常用物理量：质量M，刚度K，
6、阻尼C，和外界激励F表示。第十五页，共110页。振动(zhndng)分类按系统(xtng)分：线性系统(xtng)和非线性系统(xtng)离散系统(xtng)和连续系统(xtng)确定性系统(xtng)和随机系统(xtng)按激励分：自由振动(zhndng)受迫振动(zhndng)自激振动(zhndng)参数共振第十六页，共110页。振动(zhndng)分类按响应(xingyng)分：简谐振动 周期振动 非周期振动随机振动 按自由度分：单自由度振动(zhndng)多自由度振动(zhndng)连续体振动(zhndng)第十七页，共110页。运动学一、简谐运动一、简谐运动(jin xi(jin x
7、i yn dn)yn dn)按时间(shjin)的正弦函数(或余弦函数)所作的振动振幅(zhnf)相位初相位圆频率第十八页，共110页。运动学位移(wiy)速度(sd)加速度大小和位移成正比方向和位移相反，始终指向平衡位置第十九页，共110页。运动学不同(b tn)频率振动的叠加频率(pnl)接近于相等时拍的频率：每秒中振幅(zhnf)从最小值经过最大值到最小值的次数拍的圆频率：w1-w2第二十页，共110页。运动学复平面上的一点z代表一个矢量使该矢量以等角速度w在复平面内旋转（复数(fsh)旋转矢量）tPA实轴虚轴第二十一页，共110页。运动学位移(wiy)速度(sd)加速度对复数Aeit每
8、求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转p/2第二十二页，共110页。运动学把一个周期函数展开成傅立叶级数(j sh)，亦即展开成一系列简谐函数之和一般的周期振动可以(ky)通过谐波分析分解成简谐振动第二十三页，共110页。运动学傅立叶级数(j sh)w1:基频(j pn)第二十四页，共110页。两个频率相同(xin tn)的简谐振动可以合成一个简谐振动把谐波分析 的结果形象化：An，jn和w之间的 关系用图形(txng)来表示，称为频谱第二十五页，共110页。单自由度系统(xtng)自由振动(zhndng)简谐振动(zhndng)非周期强迫振动
9、(zhndng)第二十六页，共110页。自由(zyu)振动振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量(nngling)来自于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量(nngling)。振动规律完全取决于初始时刻存储的能量(nngling)和系统本身的性质。第二十七页，共110页。运动运动(yndng)微分方程微分方程 振动(zhndng)系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动(zhndng)时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。振动(zhndng)规律完全取决于初始时刻存储的能量和
10、系统本身的性质。第二十八页，共110页。运动运动(yndng)微分方程微分方程 运动(yndng)微分方程第二十九页，共110页。运动运动(yndng)微分方程微分方程 解 第三十页，共110页。运动运动(yndng)微分方程微分方程 单自由度系统无阻尼(zn)自由振动是简谐振动 第三十一页，共110页。能量能量(nngling)关系关系 意义(yy)：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零 第三十二页，共110页。能量能量(nngling)关系关系 第三十三页，共110页。能量能量(nngling)关系关系 Rayleigh商 动能(dngnng)系数 第三十四页，共110页。阻尼阻尼(
11、zn)自由振动自由振动 方程(fngchng)第三十五页，共110页。阻尼阻尼(zn)自由振动自由振动 解 特征方程临界阻尼 第三十六页，共110页。阻尼自由阻尼自由(zyu)振动振动 特征方程解 第三十七页，共110页。阻尼自由阻尼自由(zyu)振动振动 方程(fngchng)的通解 三种(sn zhn)情况 1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼=1，重根。阻尼等于临界阻尼 1=1第三十九页，共110页。阻尼自由阻尼自由(zyu)振动振动 1阻尼(zn)固有频率 第四十页，共110页。阻尼自由阻尼自由(zyu)振动振动 对数(du sh)衰减率第四十一页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qi
12、ng p)振动振动 方程(fngchng)解第四十二页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 系数(xsh)第四十三页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 放大系数01234X/A 0.51/n10.70.40.30.2第四十四页，共110页。012310.70.50.20.1简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 相频特性第四十五页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 全解第四十六页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 全解01234675012ABCy0/a0/n位移(wiy)测量计扰动(rodng)频率大于仪器的固有
13、频率（B点），记录的振幅逐渐接近于扰动(rodng)频率的振幅仪器的固有频率应该比要记录测量的频率低2倍当振动包含高阶频率时，不影响位移振动计的测量第四十七页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 01234675012ABCy0/a0/n振动加速度计的固有频率(yu pn l)应该是所记录测量的最高频率的2倍以上第四十八页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 r0/a/n00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0抛物线c/cc=0.5c/cc=0.7为了避免高阶谐振共振影响振动(zhndng)加速
14、度计工作，必须在振动(zhndng)加速度计中加入阻尼0.5和0.7临界阻尼比无阻尼曲线更接近理想加速度计曲线第四十九页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 12300306090180/nc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150当阻尼在0.5-0.7临界阻尼之间时，相位差特性曲线很接近低于共振区域的对角线：相位差近似正比于频率，记录的波 的 合 成 与 实 际(shj)波相同。第五十页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 k通过(tnggu)弹簧传给下层结构的力？012345-12-3-41x0/xstA
15、BC/n可传性第五十一页，共110页。简谐强迫简谐强迫(qing p)振动振动 w/wn隔振系数(xsh)10201230.250.50.5c/cc=0l/n1.41区域中，阻尼使隔振系数减小(但仍然比1大)l阻尼的存在使隔振系数更坏？l阻尼的存在可以有效防止共振l阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补第五十二页，共110页。非周期强迫非周期强迫(qing p)振动振动 脉冲脉冲(michng)力力t=时时的的单单位位(dnwi)脉脉冲力冲力重要性质：重要性质：F F(t t)在在t t=连续，则有连续，则有 第五十三页，共110页。非周期非周期(zhuq)强迫振动强迫振动 系统系统
16、(xtng)(xtng)的单位脉冲响应的单位脉冲响应 条件：条件：t=0t=0以前系统静止，以前系统静止，t=0t=0时刻受到一个单位时刻受到一个单位(dnwi)(dnwi)脉冲力作用脉冲力作用 解为单位脉冲响应解为单位脉冲响应 h(t)=0 t0 第五十四页，共110页。非周期非周期(zhuq)强迫振动强迫振动 卷积极卷积极(jj)分分把任意激励把任意激励F(t)F(t)看成看成(kn chn)(kn chn)一系列脉冲函数的叠加一系列脉冲函数的叠加 定解问题定解问题解解第五十五页，共110页。多自由度系统(xtng)多自由度系统振动方程 固有(gyu)振动动力响应分析 第五十六页，共110
17、页。多自由度系统振动多自由度系统振动(zhndng)方方程程 例例第五十七页，共110页。多自由度系统振动多自由度系统振动(zhndng)方方程程 x=x1，x2Tf(t)=f1(t)，f2(t)T第五十八页，共110页。多自由度系统多自由度系统(xtng)振动方程振动方程 质量矩阵，阻尼矩阵，刚度质量矩阵，阻尼矩阵，刚度(n d)矩阵的性矩阵的性质质对称性对称性正定性正定性(dng xng)耦合耦合惯性耦合惯性耦合阻尼耦合阻尼耦合弹性耦合弹性耦合耦合的消除耦合的消除第五十九页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 2 反向运动反向运动例：对称系统，例：对称系统，特殊特殊(tsh)初始条件下
18、的初始条件下的振动振动1 同向运动同向运动(yndng)x1(0)=x2(0)=x0，x1(0)=x2(0)=x0第六十页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 第六十一页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 3 任意任意(rny)初始条件初始条件 分解分解(fnji)为两个初始条件为两个初始条件第六十二页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 数学数学(shxu)提法提法 方程方程(fngchng)特征值问题特征值问题频率方程频率方程K=2Mu|kij2mij|=0解为解为固有频率固有频率 12，n振型振型 1，2，n固有频率矩阵固有频率矩阵 =diag(1，2，n)振型矩阵振型矩阵
19、 =1，2，nK =K 1，K 2，K n=12 1，22 2，n2 n第六十三页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 振型的正交性振型的正交性 当当 r s时时，如果，如果(rgu)rs，则则有有可证：振型之间线性无关可证：振型之间线性无关(wgun)可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交K=xTKy,M=xTMy 当当y=x时时K=xTKx,M=xTMx 第六十四页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 振型正交性的物理振型正交性的物理(wl)意意义义 如果如果(
20、rgu)x=arr+ass 则则 xTKx=ar2 rTK r+as2 sTK s第六十五页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 振型归一化振型归一化 1 令令2 令令 r的某一分量的某一分量(fn ling)为为 1。比如取。比如取 r 的分量的分量(fn ling)中中绝对值绝对值最大的分量最大的分量(fn ling)为为 1，第六十六页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 振型坐标振型坐标(zubio)的解耦的解耦性性 阻尼矩阵阻尼矩阵(j zhn)的处理的处理 Rayleigh阻尼阻尼 C=M+K Fawzy证明证明C可对角化应满足下述条件之一可对角化应满足下述条件之一 第六十
21、七页，共110页。固有固有(gyu)振动振动 方程方程(fngchng)特征方程特征方程令令 q=e tn对共轭复根对共轭复根(f n)第六十八页，共110页。动力动力(dngl)响应分析响应分析 物理坐标物理坐标(zubio)下的方程下的方程 x=y，且两边左乘，且两边左乘 T，得到振型坐标，得到振型坐标(zubio)下下的方程的方程写出分量形式写出分量形式 第六十九页，共110页。动力动力(dngl)响应分析响应分析 初始条件的处理初始条件的处理(chl)两边两边(lingbin)左乘左乘 TM同样同样 第七十页，共110页。动力动力(dngl)响应分析响应分析 展开展开(zhn ki)定
22、理定理 弹性力弹性力 位移位移(wiy)第七十一页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)方程方程(fngchng)引入辅助引入辅助(fzh)方程方程令令状态空间方程状态空间方程第七十二页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)令令 q=e t特征方程特征方程 n对共轭复根对共轭复根(f n)第七十三页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)由由得到得到(d do)n对对2n维共轭向量维共轭向量(特征向特征向量量)并有并有 称称r为第为第r阶模态向量阶模态向量(xingling)第七十四页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)令令则则 这里这里(zhl)称：称：为复模态矩阵为
23、复模态矩阵(j zhn)为特征向量矩阵为特征向量矩阵 为频率矩阵为频率矩阵 第七十五页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)复特征向量的正交性复特征向量的正交性r，s=1，2，,n第七十六页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)上面公式上面公式(gngsh)展开得展开得r，s=1，2，,n第七十七页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)分块有分块有第七十八页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)分块有分块有第七十九页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)复模态质量复模态质量(zhling)复模态参数复模态参数(cnsh)复模态刚度复模态刚度r=1，2，,n复模态阻
24、尼复模态阻尼并有并有r=1，2，,n第八十页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)复模态阻尼复模态阻尼(zn)衰减衰减系数系数复模态固有频率复模态固有频率(yu pn l)r=1，2，,n复模态阻尼比复模态阻尼比并有并有复模态阻尼固有频率复模态阻尼固有频率第八十一页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)物理物理(wl)坐标下的方程坐标下的方程 q=y，且两边左乘，且两边左乘 T，得到复特征向量坐标，得到复特征向量坐标(zubio)下下的方程的方程初始条件初始条件 第八十二页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)物理坐标物理坐标(zubio)下的自由下的自由振动解振动解 特征向
25、量坐标特征向量坐标(zubio)下下的解为的解为 由由q=y中取出前中取出前n项，得项，得第八十三页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)如果系统如果系统(xtng)以某阶阻尼固有频率振动时以某阶阻尼固有频率振动时，有，有 其中其中(qzhng)第第s个坐标的运个坐标的运动为动为 设设则则第八十四页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)一般粘性阻尼系统以一般粘性阻尼系统以r阶主振动做自由振动时，阶主振动做自由振动时，每个物理坐标的初相位每个物理坐标的初相位(srr)不仅与该阶主振不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标动有关，还与物理坐标s 有关，即各物理坐标初相有关，即各物理坐标初相位
26、不同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到位不同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化平衡位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化(binhu)的，即不具备模态保持性，主振型不再是的，即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点第八十五页，共110页。复模态分析复模态分析(fnx)简支梁二阶振型半个周期内的变化简支梁二阶振型半个周期内的变化(binhu)（a）实模态系统；（）实模态系统；（b）复模态系统）复模态系统第八十六页，共110页。连续(linx)体振动杆的纵向杆的纵向
27、(zn xin)振动振动轴的扭转振动轴的扭转振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动第八十七页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 假定假定(jidng)：细长等截面杆：细长等截面杆,振动时横截面仍保持为平振动时横截面仍保持为平面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。则同一横截面上各点在略不计。则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。方向作相等的位移。参数：杆长参数：杆长l，截面积，截面积S，材料密度，材料密度，弹性模量，弹性模量E第八十八页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 第八十九页，共110页。
28、杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 微元分析微元分析(fnx)：第九十页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 第九十一页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 第九十二页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 解解：设：设 u(x,t)=X(x)T(x)即即 第九十三页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 解解为为时间时间(shjin)域，初值问题域，初值问题空间空间(kngjin)域，边值问题域，边值问题固支边条件固支边条件x=0时时，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0 x=l时时，u(l,t)=X(0
29、)T(l)=0，即X(l)=0 自由边条件自由边条件x=0时时,，即，即 x=l时时,，即，即 第九十四页，共110页。杆的纵向杆的纵向(zn xin)振动振动 例：如果例：如果(rgu)两端固支，两端固支，有有两端固支杆纵向振动特征方程（频率两端固支杆纵向振动特征方程（频率(pnl)方程）方程）这这就就是是两两端端固固支支杆杆纵纵向向振振动动的的各各阶阶频频率率，相相应应的的各各阶阶固固有有振振型是：型是：（n=1,2,）（n=1,2,）C2=0 显然，显然，C10，故有：，故有：第九十五页，共110页。轴的扭转轴的扭转(nizhun)振动振动 方程方程(fngchng)弹性轴轴向坐标弹性轴
30、轴向坐标(zubio)x，扭转变形扭转变形(x,t)，单位长度对，单位长度对x轴轴的转动惯量的转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度为为GJ(x)。当转动惯量当转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度GJ(x)与与x无关时无关时第九十六页，共110页。梁的弯曲梁的弯曲(wnq)振动振动 方程方程(fngchng)用分离用分离(fnl)(fnl)变量法求解，令变量法求解，令 令令 ，则上式为：，则上式为：第九十七页，共110页。梁的弯曲梁的弯曲(wnq)振动振动 方程方程(fngchng)边界条件边界条件简支简支第九十八页，共110页。梁的弯曲梁的弯曲(wnq)振动振动 固支固支自由自
31、由(zyu)第九十九页，共110页。梁的弯曲梁的弯曲(wnq)振动振动 固支固支自由自由(zyu)第一百页，共110页。随机振动随机过程 相关函数功率谱函数激励响应(xingyng)关系 第一百零一页，共110页。随机随机(su j)过程过程 样本样本(yngbn)函数函数 xr(t)t(，)随机随机(su j)函数函数 状态状态 数字特征数字特征 均值均值 x=EX(t)均方值均方值 x=EX2(t)方差方差 E(X(t)x)2 第一百零二页，共110页。相关相关(xinggun)函数函数 相关相关(xinggun)函数函数 自相关自相关(xinggun)(xinggun)函数函数 平稳随机
32、过程平稳随机过程 统计性质、趋势与时间无关统计性质、趋势与时间无关 互相关函数互相关函数 均值、均方值和方差为常数均值、均方值和方差为常数 相关函数是时差的函数相关函数是时差的函数 各态遍历过程各态遍历过程 第一百零三页，共110页。相关相关(xinggun)函数函数 自相关自相关(xinggun)函数性质函数性质 1 1 偶函数偶函数 2 周期周期(zhuq)随机过程的自相关函数仍是周期随机过程的自相关函数仍是周期(zhuq)函数函数345 如果不是周期随机过程如果不是周期随机过程第一百零四页，共110页。相关相关(xinggun)函数函数 互相关函数互相关函数(hnsh)性质性质 1 12
33、34 X(t)、Y(t)相互相互(xingh)独立独立第一百零五页，共110页。功率功率(gngl)谱函数谱函数 自谱自谱 性质性质(xngzh)1 自谱是非自谱是非(shfi)负偶函数负偶函数 23 导数过程的自谱导数过程的自谱单位：单位：（物理单位）（物理单位）2/（频率单位）。（频率单位）。第一百零六页，共110页。功率功率(gngl)谱函数谱函数 互谱互谱 性质性质(xngzh)1 互谱一般互谱一般(ybn)是复函数是复函数 23|Sxy()|2 Sx()Sy()4 如果如果X(t)和和Y(t)是相互独立且均值为零的随机过程，是相互独立且均值为零的随机过程，则必有则必有 Sxy()=0
34、单位：单位：(X(t)的单位的单位)(Y(t)的单位的单位)/(频率单位频率单位)第一百零七页，共110页。激励(jl)响应关系 线性振动系统在单一随机激励线性振动系统在单一随机激励(jl)(jl)下的响应下的响应 1 响应响应(xingyng)的均值的均值 x=H(0)f2 响应的自谱和均方值响应的自谱和均方值 Sx()=|H()|2 3 激励与响应的互谱激励与响应的互谱 Sfx()=H()Sf()激励激励f(t)，响应响应 x(t)，系统频响函数，系统频响函数H()第一百零八页，共110页。激励响应(xingyng)关系 例：单自由度系统在白噪声激励例：单自由度系统在白噪声激励(jl)(jl)下响应的自谱均下响应的自谱均方值方值 解：白噪声解：白噪声(zoshng)激励的自谱激励的自谱 Sf()=0第一百零九页，共110页。激励响应(xingyng)关系 例：单自由度系统基础例：单自由度系统基础(jch)(jch)以白噪声运动时响应的自谱和均方值以白噪声运动时响应的自谱和均方值 解：白噪声解：白噪声(zoshng)激励的自谱激励的自谱 Sy()=0第一百一十页，共110页。