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1、第二章第二章 函数的连续性函数的连续性2.1 2.1 集合的映射集合的映射 一一 、映射定义、映射定义1.1.定义定义2.2.两要素两要素3.3.常用术语常用术语定义域，值域定义域，值域二、映射的分类二、映射的分类相等相等 满射满射单射单射一一对应一一对应恒等映射恒等映射甲乙丙一一对应（单射且满射）一一对应（单射且满射）甲乙丙g三、逆映射与复合映射三、逆映射与复合映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射的运算规律复合映射的运算规律结合律结合律?交换律交换律?可逆映射与恒等映射的关系可逆映射与恒等映射的关系2.2 2.2 集合的势集合的势 “有相同的势有相同的势”一、一、等价关系满足等价关系满足
2、自反性：自反性：对称性：对称性：传递性：传递性：利用等价关系可以对集合进行分类利用等价关系可以对集合进行分类 “等价类等价类”,“势是一种相同的特征势是一种相同的特征”.二、数集的分类二、数集的分类有限集有限集对于两个有限集对于两个有限集A和和B，A与与B有相等的势的充分有相等的势的充分必要条件是他们的元素个数相同必要条件是他们的元素个数相同.而对于无限集，我们通过一一对应映射来判断势而对于无限集，我们通过一一对应映射来判断势是否相等是否相等.例例1：设设A是整数的集合，则是整数的集合，则A是可数的是可数的.证明：把证明：把A排列成：排列成：0,1,-1,2,-2,3,-3,考虑从考虑从 到到
3、A的一个一一映射：的一个一一映射：例例2：证明证明(0,1)与与0,1有相同的势有相同的势.证明：考虑从证明：考虑从0,1到到(0,1)的一个一一映射：的一个一一映射：在例在例1和例和例2中，中，A和和0,1这两个无限集都与他们这两个无限集都与他们的真子集有相同的势的真子集有相同的势.而对于有限集，由于而对于有限集，由于“元素的个数相同元素的个数相同”，这，这是不是不 可能的。可能的。三、势的常识三、势的常识定理定理2.12.1：可数集：可数集A A的任意无限子集是可数集的任意无限子集是可数集.证明：证明：设设E是是A任一无限子集任一无限子集.A是可数的，因是可数的，因此可以将此可以将A排列成
4、排列成 按照如下方式构造数列按照如下方式构造数列 ：令：令 是最小的正是最小的正整数使得整数使得 .当当 选定之后，选定之后，令令 是大于是大于 的最小正整数使得的最小正整数使得 .这这样，便得到一个映射样，便得到一个映射 .具体地，具体地，定理定理2.22.2：-至多可数集列至多可数集列,则则(可数集的可列并是可数集可数集的可列并是可数集)证明：设对于证明：设对于 ，考虑如下的无穷陈列：考虑如下的无穷陈列：这个陈列包含这个陈列包含S中的所有元素中的所有元素.按照箭头所指按照箭头所指示的那样，这些元素可以拍成一行：示的那样，这些元素可以拍成一行：显然，这一行的元素至多可数个显然，这一行的元素至
5、多可数个.当两个集合当两个集合 和和 有公共的元素时，对那有公共的元素时，对那些重复的元素只保留第一次遇到的那一个，些重复的元素只保留第一次遇到的那一个，剔除其他相同的元素，仍然得到并集剔除其他相同的元素，仍然得到并集S.由此可知，由此可知，S至多可数至多可数.证明：先证明证明：先证明0,1)中全体有理数是可数的中全体有理数是可数的.显然，下面的排列：显然，下面的排列：穷尽了穷尽了0,1)中的有理数中的有理数.把上述数从左到右重新排列成把上述数从左到右重新排列成一行：一行：定理定理2.32.3：中全体有理数是可数的中全体有理数是可数的.然后剔除重复的数，得到的可数集就是然后剔除重复的数，得到的
6、可数集就是0,1)中中的有理数的全体的有理数的全体.很显然，当有理数很显然，当有理数 ，对任意整数，对任意整数n，映射映射 是是0,1)中的有理数同中的有理数同n,n+1)中中的有理数之间的一一对应，因此的有理数之间的一一对应，因此n,n+1)中的全中的全体有理数也是可数的体有理数也是可数的.由于由于R中有理数可以表示成中有理数可以表示成 依定理依定理2.2，R中全体有理数是可数的中全体有理数是可数的.定理定理2.42.4：00，11上的全体实数是不可数的上的全体实数是不可数的证明：证明：反证法反证法 “用用Cantor三分法三分法+闭区间套定理闭区间套定理”另证：反证法另证：反证法.若若0,1上实数可数，则上实数可数，则0,1)上实上实数也可数数也可数.将将0,1)排成排成把把 写成写成10进制小数的形式：进制小数的形式：考虑考虑 其中其中显然显然作业作业习题习题2.12.1 1 1；2 2；3.3.