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1、概率论与数理统计概率论与数理统计2.3 连续型随机变量连续型随机变量概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念二、常见的连续型分布二、常见的连续型分布概率论与数理统计一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念 定义2.2 如果对于随机变量 的分布函数F(x)，存在非负函数 p(x)，使得对于任意的实数 x，有则称 为连续型随机变量，其中函数 p(x)称为 的概率密度函数,简称概率密度（probability density function）.注：连续型随机变量 由其密度函数唯一确定1.1.定义定义概率论与数理统计xp(x)xF(x)分布函数
2、与密度函数的几何意义分布函数与密度函数的几何意义概率论与数理统计 由定义知道，概率密度 p(x)具有以下性质：p(x)0 x12.密度函数的性质（非负性）（规范性）反过来，定义在R上的函数p(x)，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数F(x)概率论与数理统计(3)F(x)在R上连续，且在 p(x)的连续点处，有 对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律(4)设 为连续型r.v.,对任意的实数 x 有这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出 并不意味着 是不可能事件概率论与数理统计p(x)x0
3、（5）对任意 ，有 这一个结果从几何上来讲，落在区间 中的概率恰好等于在区间 上曲线y=p(x)的曲边梯形的面积同时可发现整个曲线y=p(x)与x轴所围成的图形面积为1 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关概率论与数理统计例1 设 是连续型随机变量，其密度函数为解 由密度函数的性质知试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）从而于是(2)(3)概率论与数理统计例2 设 是连续型随机变量，其密度函数为解 由密度函数的性质知试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）从而于是概率论与数理统计(2)(3)于是当 时，当 时，概率论
4、与数理统计例3 设 是连续型随机变量，其分布函数为试求 密度函数.设 密度函数为p(x)，则概率论与数理统计3、常见的连续型分布、常见的连续型分布（1 1）.均匀分布均匀分布则称 服从区间 a,b 上的均匀分布.记为 U a,b.若随机变量 的密度函数为 的分布函数为概率论与数理统计xp(x)abxF(x)ba概率论与数理统计密度函数的验证是密度函数.概率论与数理统计即 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v.随机变量.应用场合应用场合
5、均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景概率论与数理统计例例 3解解设A=方程 有实根，则概率论与数理统计若 的d.f.为则称 服从参数为 的指数分布 记作 的分布函数为 0 为常数.（2 2）.指数分布指数分布概率论与数理统计1xF(x)0 xp(x)0概率论与数理统计密度函数的验证是密度函数.概率论与数理统计对于任意的 0 a b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布指数分布常作为各种常作为各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似指数分布的概率背景指数分布的概率背景概率论与数理统计若 (),则故又把指数分布称为“永
6、远年轻”的分布.特点：特点：指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上,命题概率论与数理统计 例例4 假定打一次电话所用的时间 （单位：分）服从参数 的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率解解 由题设知，故所求概率为(2)概率论与数理统计若 的密度函数 为（3）.正态分布正态分布则称 服从参数为 ,2 的正态分布记作 N(,2)亦称高斯(Gauss)分布（其中 为常数，）p(x)所确定的曲线叫作正态曲线.概率论与数理统计正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征概率论与数理统计（6)当固定当固定，改变，改变的大小
7、的大小时，时，p(x)图形的形状不变，图形的形状不变，只是沿着只是沿着x轴作平移变换；轴作平移变换；位置参数概率论与数理统计 形状参数形状参数概率论与数理统计正态分布的分布函数正态分布的分布函数概率论与数理统计密度函数的验证由数学分析知识可知从而是密度函数.概率论与数理统计 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背
8、景 概率论与数理统计正态分布的重要性正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布概率论与数理统计正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计
9、算转化为标准正态分布查表计算概率论与数理统计一种重要的正态分布一种重要的正态分布-标准正态分布N(0,1)分布函数记为其值有专门的表供查.概率论与数理统计例例5 证明证明证明证明概率论与数理统计解解例例6 概率论与数理统计对一般的正态分布：N(,2)，其分布函数为正态分布标准化正态分布标准化从而故设则概率论与数理统计例例7 设 N(1,4),求 P(0 1.6)解解概率论与数理统计例例8 已知且 P(2 4)=0.3,求 P(0).解一解一所以故概率论与数理统计解二解二 图解法由图0.20.3概率论与数理统计例例9 3 原理.设 N(,2),求解解 一次试验中,落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由3 原理知，当概率论与数理统计标准正态分布的上 分位数 z设 N(0,1),0 1,称满足的点 z 为X 的上 分位数.z常用数据概率论与数理统计若 的密度函数为4.分布分布则称 服从参数为 的 分布（其中 为常数，）特别的，当 时，随机变量 的密度函数为称 服从自由度为n的 分布，记作 特别地，当 时，就为参数为 的指数分布