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1、八年级数学(下)第八章 证明(三)8.1.平行四边形(1)直观是把“双刃剑”w直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?回顾与思考回顾与思考1 1abw要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验,观察,或实验是不够的,必需一步一步,有根有据地进行推理.w每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.w一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.w正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statemen
2、t).w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).“原名”知多少w定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).w命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).回顾与思考回顾与思考2 2w原名:某些数学名词称为原名.w公理:公认的真命题称为公理(axiom).w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w推论:w由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个
3、公理或定理的推论(corollary).w推论可以当作定理使用.“原名”知多少 回顾与与思考3 3w公理:公认的真命题称为公理(axiom).w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w本套教材选用如下命题作为公理:w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；w5.三边对应相等的两个三角形全等；w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.“原名”知多少 回顾
4、与与思考4 4平行线的判定w公理:w同位角相等,两直线平行.w 1=2,ab.w判定定理1:w内错角相等,两直线平行.w 1=2,ab.w判定定理2:w同旁内角互补,两直线平行.w 1+2=180。,ab.abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用.回顾与与思考5 5平行线的性质w公理:w两直线平行,同位角相等.w ab,1=2.w性质定理1:w两直线平行,内错角相等.w ab,1=2.w性质定理2:w 两直线平行,同旁内角互补.w ab,1+2=180。.abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用.回顾与与思考6 6三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角
5、形三个内角的和等于1800.wABC中，A+B+C=180。.wA+B+C=180。的几种变形:wA=180。(B+C).wB=180。(A+C).wC=180。(A+B).wA+B=180。-C.wB+C=180。-A.wA+C=180。-B.w这里的结论,以后可以直接运用.回顾与思考回顾与思考7 7ABC三角形的外角w三角形内角和定理的推论:w推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.w推论3:直角三角形的两锐角互余.wABC中:w1=2+3；w12，13.ABCD1234w这个结论以后可以直接运用.回顾与与思考8 8驶向
6、胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证)w(2)根据题意,画出图形；w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”；w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.)；w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考回顾与思考9 9等腰三角形性质w定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).w如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等角对等边).回顾与与思考1010ACB等腰三角形性质w推论:w等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,
7、底边上的高互相重合(三线合一).回顾与与思考1111ACBD12w如图,在ABC中,AB=AC,1=2(已知).BD=CD,ADBC（三线合一）.w如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD(已知).1=2,ADBC（三线合一）.w如图,在ABC中,AB=AC,ADBC(已知).BD=CD,1=2（三线合一）w轮换条件1=2,BD=CD,ADBC可得三线合一的三种不同形式的运用.等腰三角形性质w等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.回顾与与思考1212w如图,在ABC中,AB=AC=BC(已知).A=B=C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.ACB等腰三角形性质
8、w等腰三角形两底角的平分线相等.w等腰三角形两腰上的中线相等.w等腰三角形两腰上的高相等.回顾与与思考1313w如图,在ABC中,AB=AC=BC(已知).A=B=C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.ACBD1E2ACBACB等腰三角形的判定等腰三角形的判定w定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.回顾与与思考1414w在ABC中BC（已知），AB=AC（等角对等边）.ACB反证法反证法w在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to
9、absurdity)回顾与与思考1515w用反证法证明的一般步骤:w1.假设:先假设命题的结论不成立；w2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；w3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.w反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.等边三角形的判定等边三角形的判定w定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.回顾与与思考1616w在ABC中,AB=AC,B=600(已知).ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).ACB600等边三角形的判定等边三角形的判定w定理
10、:三个角都相等的三角形是等边三角形.回顾与与思考1717w在ABC中,A=B=C(已知),ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).ACB600600600特殊的直角三角形的性质w定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.回顾与与思考1818ABC300w在ABC中,ACB=900,A=300.BC=AB.(在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半).特殊的直角三角形的性质w定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.回顾与与思考1919w在ABC中ACB=900,BC=AB/2(已知),A=3
11、00(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).ABC300勾股定理w定理定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边斜边为为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（哥拉斯定理（pythagoras theorem）.回顾与与思考2020w在ABC中ACB=900(已知),a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方).acb勾弦股勾股定理的逆定理w定理定理l如果三角形两
12、边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.回顾与与思考2121l在ABC中lAC2+BC2=AB2(已知),lABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)命题与逆命题命题与逆命题定理与逆定理定理与逆定理w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.回顾与与思考2222w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.直角三角形全等直角三角形全等的判定定理的
13、判定定理l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).回顾与与思考2323w如图,在ABC和ABC中,C=C=900,wAC=AC,AB=AB(已知),wRtABCRtABC(HL).ABCABC直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定方法方法直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法:l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).w公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.w推论:两角及其中一角的对边对应相等的两
14、个三角形全等（AAS）.综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；w两边对应相等的两个直角三角形全等；w切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.w即(SSA)是一个假冒产品!回顾与与思考2424线段垂直平分线的性线段垂直平分线的性质质w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等离相等.回顾与与思考2525w如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(P
15、A=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等两个端点距离相等).).ACBPMN线段垂直平分线的性线段垂直平分线的性质质w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.回顾与与思考2626w如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线在这条线段的垂直平分线上上).).ACBPMN三角形的外心三角形的外心w定理:三角形三条边的垂直平
16、分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.回顾与与思考2727w如图,在ABC中,c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc角平分线的性质角平分线的性质w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等.回顾与与思考2828w如图如图,wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(P
17、D=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等).).OCB1A2PDE角平分线的性质角平分线的性质w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离相等的点相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.回顾与与思考2929w如图如图,wPA=PB,PDOA,PEOB,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分在这个角的平分线上线上).).
18、OCB1A2PDE三角形的内心三角形的内心w定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.回顾与与思考3030w如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).ABCPMNDEF尺规作图尺规作图w尺规作图的尺规作图的基本作图基本作图:w作一条线段等于已知线段；w作一个角等于已知角；w作线段的垂直平分线(或中点)；w作已知角的平分线；w已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.回顾与与思考3131w尺规作图的解题格式尺规作图的解题格式(六步骤六步骤):):w已知,求作,分析,作法,证明,讨论.知识的升华独立独立作业作业1、我们探索过的有关四边形的性质及判定,请把你记得的知识整理；2、试着用公理和已有的定理来证明它们.祝你成功！结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!