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1、统计物理学第1页，本讲稿共19页阿伏伽德罗阿伏伽德罗引入引入“分子分子”概念概念克劳修斯克劳修斯提出了理想气体分子运动模型、提出了理想气体分子运动模型、引进统计概念推导理想气体压强公式引进统计概念推导理想气体压强公式 麦克斯韦麦克斯韦于发现分子热运动的无规性，导出于发现分子热运动的无规性，导出了麦克斯韦速率分布律了麦克斯韦速率分布律玻耳兹曼玻耳兹曼得到粒子按能量的分布规律得到粒子按能量的分布规律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 至此，气体动理论已能解释当时在气象、化学、物理学领域的研究中所发现的与气体运动有关的种种现象。第2页，本讲稿共19页7-17-1力学中的机械决定论力学中的机械决定论在显微镜
2、下观测时，每隔30s记录下来的布朗微粒所在位置的连线。显然，这些点与点之间的线段并不是微粒的运动轨迹.英國植物學家布朗 利用的顯微鏡觀察懸浮於水中的花粉粒時，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移動，這種移動稱為布朗運動。第3页，本讲稿共19页一、布朗运动与分形一、布朗运动与分形布朗粒子的轨迹具有标度变换（就是放大或缩布朗粒子的轨迹具有标度变换（就是放大或缩小）下的小）下的自相似性自相似性 “分形分形”的基本特征是自相似性的基本特征是自相似性 科希曲线 DLA分形集团 第4页，本讲稿共19页 数学家虽曾构想出一些奇异的东西，如充满平面的特殊曲线，处处连续而又处处不可微的特殊函数等等，但当时
3、他们并不相信自然界里真的存在这些“病态”的怪物。传统的物理学家也大都习惯于和光滑的规则形体打交道。最先打破上述传统的是芒德布罗(B.B.Mandelbrot)，他创造了fractal(分形分形)这个单词来表征那些被传统的数学和物理学排除在外的、传统的欧几里得几何不能描述的、复杂无规的几何对象。具有分形的物体，称为分形体分形体(fractal)。芒德布罗认为，看来貌似杂乱无章的东西，未必毫无自己的特征和内在规律。今天，分形理论已经发展成为一门描述自然界中许多不规则事物的规律性的科学。第5页，本讲稿共19页二、混沌二、混沌19世纪末，瑞典国王悬赏一笔奖金，奖给第一个能证明太阳系在整体上是完全稳定的
4、人。法国科学家彭加勒得出结论：国王的问题是不可证明的。1981年，天体力学家年，天体力学家Szebehely提出提出天体力学中的平面三体问题天体力学中的平面三体问题 有限制的平面三体问题：有限制的平面三体问题：小质量天体小质量天体m和两个等量的大和两个等量的大天体天体M1、M2 限制在一个平面限制在一个平面上运动，上运动，m 沿沿M1 和和M2 连线的连线的垂线上、下运动。垂线上、下运动。mM1M2来回摆动若干次以后，来回摆动若干次以后，m 的行为变得的行为变得“随机随机”起来，再也无起来，再也无法预测它的位置、速度及回归时间。法预测它的位置、速度及回归时间。令人惊奇的结果令人惊奇的结果：第6
5、页，本讲稿共19页1.虫口变化的抛物线模型虫口变化的抛物线模型 每年夏季成虫产卵后全部死亡；每年夏季成虫产卵后全部死亡；设第设第 n 年的虫口数目为年的虫口数目为 xn 第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子；第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子；设平均每只成虫产卵设平均每只成虫产卵a 个，则每年春天孵化出的虫个，则每年春天孵化出的虫子数总是前一年成虫数的子数总是前一年成虫数的a 倍。倍。一般规律：一般规律：一般规律：一般规律：虫口模型虫口模型第7页，本讲稿共19页 食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而相互咬食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而相互咬斗。斗。减员事件：减员事件：减员事件：减员事件
6、：虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。减员修正：减员修正：减员修正：减员修正：第8页，本讲稿共19页重新定义变量和参量，可以把方程写为：重新定义变量和参量，可以把方程写为：这个方程称为抛物线映射这个方程称为抛物线映射这个方程称为抛物线映射这个方程称为抛物线映射 固定参量固定参量m m 之后，取初值之后，取初值 x0代入，算出代入，算出x1，再把再把x1作为新的变量，计算作为新的变量，计算x2,.如此不断迭代下去。如此不断迭代下去。出一条轨道出一条轨道x0,x1,x2,.xi,xi+1,。其中每个。其中每个xi 是一个轨道是一个轨道点。点。迭代计算
7、：迭代计算：迭代计算：迭代计算：第9页，本讲稿共19页迭代次数足够大后，轨道表现出稳恒行为。迭代次数足够大后，轨道表现出稳恒行为。可能出现的几种迭代结果可能出现的几种迭代结果 从某次迭代开始，从某次迭代开始，xi=x*，不再变化，不再变化 从某次迭代始，从某次迭代始，xi 进入有限个数字周而复始、无限重复状态进入有限个数字周而复始、无限重复状态若干年后出现周期轮回的虫口数若干年后出现周期轮回的虫口数若干年后出现周期轮回的虫口数若干年后出现周期轮回的虫口数 轨道点像是随机地取值，但其中有某些重复图式或轨道点像是随机地取值，但其中有某些重复图式或“结构结构”更复杂的实际过程更复杂的实际过程更复杂的
8、实际过程更复杂的实际过程 若干年后虫口数有模糊的重复规律，但轨道点永不准确重复若干年后虫口数有模糊的重复规律，但轨道点永不准确重复迭代不动点迭代不动点迭代不动点迭代不动点准周期轨道准周期轨道准周期轨道准周期轨道 第10页，本讲稿共19页不动点(周期为1的点)：周期为3的点：周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。1975年，约克和李天岩发表了“Period Three Implies Chaos”第11页，本讲稿共19页2.分岔分岔抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图 纵坐标：纵坐标：xn 的一维相空间，的一维相空间，即区间即区间-1,1。
9、横坐标：参量空间横坐标：参量空间 m m(0,2)。用数值计算和绘图的方法研用数值计算和绘图的方法研究抛物线映射的结果究抛物线映射的结果:扫过全部扫过全部m m 值值范围，得分岔图范围，得分岔图m mx第12页，本讲稿共19页抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图每个参量对应一个每个参量对应一个 值，值，为不动点或周期为不动点或周期1的范围的范围处发生第一次分岔处发生第一次分岔分岔结构分析分岔结构分析数据在上、下两点之间来回跳动数据在上、下两点之间来回跳动数据在上、下两点之间来回跳动数据在上、下两点之间来回跳动 第13页，本讲稿共19页在在m m=1.25 处
10、发生第二次处发生第二次倍周期分岔倍周期分岔诞生稳定的周期诞生稳定的周期4轨道轨道周期周期4轨道的稳定范围轨道的稳定范围比周期比周期2窄，只到窄，只到1.3681 抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图第14页，本讲稿共19页根本没有周期，根本没有周期，达到了混沌态！达到了混沌态！从从 到到 倍周期分岔序列，倍周期分岔序列，其周期为其周期为抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图周期倍增周期倍增第15页，本讲稿共19页3.自相似结构自相似结构取出分岔图的一小部分加以取出分岔图的一小部分加以放大，它包含相同的结构。放大，它包含相同的结构。从从 m m=1.75 到到 m m=1.8 的上、中、的上、中、下三支任取一支，适当改变比下三支任取一支，适当改变比例，都可以得到同整个分岔相例，都可以得到同整个分岔相似的图形。似的图形。抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图抛物线映射的分岔图第16页，本讲稿共19页任取一支，都可以得到同整个分岔相似的图形任取一支，都可以得到同整个分岔相似的图形第17页，本讲稿共19页m mxm m1m m2m m3费根鲍姆常数：第18页，本讲稿共19页作业7-1第19页，本讲稿共19页