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1、测量误差基本知识第1页，本讲稿共22页 7.1 7.1 测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类 1.1.测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源（1 1）使用）使用）使用）使用的测量仪器构造不十分完善。的测量仪器构造不十分完善。的测量仪器构造不十分完善。的测量仪器构造不十分完善。（2 2）观观观观测测测测者者者者感感感感觉觉觉觉器器器器官官官官的的的的鉴鉴鉴鉴别别别别能能能能力力力力有有有有一一一一定定定定的的的的局局局局限限限限性性性性，所所所所以以以以在在在在仪仪仪仪器器器器的的的的安置、照准、读数等方面都会产生误差。安置、照准、读数等方面都会产生误差。安置、照准、读
2、数等方面都会产生误差。安置、照准、读数等方面都会产生误差。（3 3）观观观观测测测测时时时时所所所所处处处处的的的的外外外外界界界界条条条条件件件件发发发发生生生生变变变变化化化化，例例例例如如如如，温温温温度度度度高高高高低低低低、湿湿湿湿度度度度大大大大小、风力强弱以及大气折光的影响等方面都会产生误差。小、风力强弱以及大气折光的影响等方面都会产生误差。小、风力强弱以及大气折光的影响等方面都会产生误差。小、风力强弱以及大气折光的影响等方面都会产生误差。这这三三方方面面因因素素综综合合起起来来，称称为为观观测测条条件件。显显然然，观观测测条条件件的的好好坏与观测成果的质量密切相关。坏与观测成果
3、的质量密切相关。第2页，本讲稿共22页2.测量误差的分类测量误差的分类211系统误差系统误差在在相相同同的的观观测测条条件件下下作作一一系系列列的的观观测测，如如果果误误差差在在大大小小、符符号号上上表表现现出出一一定定的的规规律律变变化化，这这种种误误差差称称为为系系统统误误差差。产产生生系系统统误误差差的的原原因因很很多多，主主要要是是由由于于使使用用的的仪仪器器不不够够完完善善及及外外界界条条件件所所引引起起的的。具有累积性。具有累积性。消除系统误差的影响，可以采用改正的方法，消除系统误差的影响，可以采用改正的方法，212偶然误差偶然误差在在相相同同的的观观测测条条件件下下作作一一系系列
4、列的的观观测测，如如果果误误差差在在大大小小和和符符号号上上都都表表现现出出偶偶然然性性，即即误误差差的的大大小小不不等等，符符号号不不同同，这这种种误误差差称称为为偶偶然误差。然误差。偶偶然然误误差差是是由由于于人人的的感感觉觉器器官官和和仪仪器器的的性性能能受受到到一一定定的的限限制制，以以及及观观测测时时受受到到外外界界条条件件的的影影响响等等原原因因所所造造成成。例例如如，水水准准测测量量估估读读毫毫米米时时，每每次次估估读读也也不不绝绝对对相相同同，其其影影响响可可大大可可小小，纯纯属属偶偶然然性性，但但在在相相同同条条件件下下重重复复观观测测某某一一量量，出出现现的的大大量量偶偶然
5、然误误差差却却具具有有一一定定的规律性。的规律性。第3页，本讲稿共22页 7.2 7.2 偶然误差的特性偶然误差的特性 在相同的观测条件下，独立地观测了在相同的观测条件下，独立地观测了217217个三角形的全个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于它的真值部内角，每个三角形内角之和应等于它的真值，由，由于观测值存在误差而往往不相等。三角形内角和的真误差应为：于观测值存在误差而往往不相等。三角形内角和的真误差应为：i=(L1+L2+L3)i-180(i=1、n)出出现现在在某某区区间间内内误误差差的的个个数数称称为为频频数数，用用表表示示，频频数数除除以以误误差差的的总总个个数数n n得得n
6、 n，称称误误差差在在该该区区间间的的频频率率。统统计计结结果果列列于于表表7 7，此表称为频率分布表。，此表称为频率分布表。第4页，本讲稿共22页误差区间误差区间d d（3 3）+-K K K/nK/n K K K/nK/n0 03 33 36 66 69 99 9121212121515151518181818212121212424242427272727以上以上303021211515141412128 85 52 21 10 00.1380.1380.0.0970970.0.0690690.0.0650650.0.0550550.0.0370370.0.0230230.0.00900
7、90.0.0050050 0292920201818161610108 86 62 20 00 00.0.1341340.0.0920920.0.0830830.0.0730730.0.0460460.0.0370370.0.0280280.0.0090090 00 01081080.4980.4981091090.5020.502表7-1第5页，本讲稿共22页 从表从表7 71 1中可以看出：小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正中可以看出：小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正负误差出现的百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也
8、显示出上负误差出现的百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也显示出上述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性：述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性：（1 1）在一定条件下的有限观测值中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。）在一定条件下的有限观测值中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。（2）绝绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大。对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大。（3）绝对值绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，或者说，它们出现的概率相等。相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，或者说，它们出现的概率相等。（4）当当
9、观测次数无限增多时，观测次数无限增多时，偶然误差的偶然误差的算术平均值趋近于零，即算术平均值趋近于零，即式式中中为为误误差差总总和和的的符符号号，换换言言之之，偶偶然然误误差差的的理理论平均值为零。论平均值为零。特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律，差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律，称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿性。性。第6页，本讲稿共22页 为了充分反映误差分布
10、的情况，除去上述用表格的形式为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式(称误差称误差分布表分布表)，还可以用直观的图形来表示。，还可以用直观的图形来表示。在图在图7171中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数除以区间的间隔值出现的相对个数除以区间的间隔值(本例是本例是3)3)。这样，每一误差。这样，每一误差区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。图图7171第7页，本讲稿共22页 如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当如果继续观测更多的三角形
11、，即增加误差的个数，当 时，时，各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差出现在各区间的概率。如图出现在各区间的概率。如图7272所示所示图图7-1中各长方条顶边所形成的中各长方条顶边所形成的折线将成为一条光滑的连续折线将成为一条光滑的连续曲线，如图曲线，如图7-2所示。所示。这条曲线这条曲线称为误差分布曲线，也称正态称为误差分布曲线，也称正态分布曲线。分布曲线。曲线上任一点的纵曲线上任一点的纵坐标坐标y均为横坐标均为横坐标 的函数，其的函数，其函数形式为：函数形式为：式中式中e为自然对数的底为自然对数的底（e）；）；为
12、观为观测值的标准差（将在下节讨论），测值的标准差（将在下节讨论），其平方称为方差其平方称为方差图图7272第8页，本讲稿共22页7.3衡量精度的标准衡量精度的标准1中误差中误差中误差即为观测误差的标准差中误差即为观测误差的标准差上式求值要求观测数上式求值要求观测数n趋近无穷大，实际上是很难办到的。在实际测量工作中，观测数趋近无穷大，实际上是很难办到的。在实际测量工作中，观测数总是有限的，一般采用下述公式：总是有限的，一般采用下述公式：式是式是m中误差；中误差；一组同精度观测误差一组同精度观测误差自乘的总和；自乘的总和；N观测数观测数 比比较较式式（7-4）与与（7-5）可可以以看看出出，标标准
13、准差差与与中中误误差差m的的不不同同在在于于观观测测个个数数的的区区别别，标标准准差差为为理理论论上上的的观观测测精精度度指指标标，而而中中误误差差则则是是观观测测数数n为为有有限限时时的的观观测测精精度度指指标标。所所以以，中中误误差差实实际上是标准差的近似值，统计学上称为估值，随着际上是标准差的近似值，统计学上称为估值，随着n的增加，的增加，m将趋近。将趋近。（7-4）（7-5）第9页，本讲稿共22页例例7设有甲，乙两组观测值，其真误差分别为：设有甲，乙两组观测值，其真误差分别为：甲组：甲组：乙组：乙组：则两组观测值的中误差分别为：则两组观测值的中误差分别为：由此可以看出甲组观测值比乙组观
14、测值的精度高，因为乙组观测由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高，因为乙组观测值中有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，值中有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，测量工作测量工作中采用中误差作为衡量精度的标准。中采用中误差作为衡量精度的标准。第10页，本讲稿共22页2相对误差相对误差测测量量工工作作中中，有有时时以以中中误误差差还还不不能能完完全全表表达达观观测测结结果果的的精精度度。例例如如，分分别别丈丈量量了了1000m及及50m两两段段距距离离，其其中中误误差差均均为为 ，并并不不能能说说明明丈丈量量距距离离的的精精度度，因因为为量量距距时时其其中中误误差差或或相相对对误
15、误差差，它它是是中中误误差差的的绝绝对对值值与与观观测测值值的的比比值值，通通常常用用分分子子为为的的分分数数形形式式表表示示。例例如如上上例例中中前前者者的的相相对对误误差差为为 ，后者后者则为则为 前者分母大比值小，丈量精度高。前者分母大比值小，丈量精度高。第11页，本讲稿共22页3极限误差极限误差 中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个别误中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个别误差的大小，因此，差的大小，因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍，还要引要衡量某一观测值的质量，决定其取舍，还要引入极限误差的概念，极限误差又称为允许误差，简称限差。入极限误差的概念，
16、极限误差又称为允许误差，简称限差。偶然误偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对值有一定的限值。差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间 的概率分别为：的概率分别为：(7-6)式式(7-6)说明，绝对值大于两倍中误差的误差，说明，绝对值大于两倍中误差的误差，在测量规范中，为确保观测成果的在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定以三倍或两倍中误差为偶然误差的允许误差或限值，即质量，通常规定以三倍或两倍中误差为偶然误差的允许误差或限值，即 超过上述限差的观测
17、值应舍去不用，或返工重测。超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。第12页，本讲稿共22页 7.4 7.4 观测值函数的中误差观测值函数的中误差误差传播定律误差传播定律 1线性函数线性函数线性函数的一般形式为线性函数的一般形式为为为独独立立观观测测值值，其其中中误误差差分分别别为为m1、m2mn,k1、k2kn为为常常数数设设函函数数的的中中误误差差为为mz，下面来推导两者中误差的关系下面来推导两者中误差的关系中误差的定义，得中误差的关系式：中误差的定义，得中误差的关系式：推广之，可得线性函数中误差的关系式为推广之，可得线性函数中误差的关系式为第13页，本讲稿共22页2非线性函数非线性函数
18、非线性函数即一般函数，其形式为非线性函数即一般函数，其形式为函数的中误差为函数的中误差为 第14页，本讲稿共22页3误差传播律的应用误差传播律的应用 1)按问题的要求写出函数式按问题的要求写出函数式 z=f(x1,x2,xn)2 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式 3)写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。在误差传播定律的上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。在误差传播定律的推导过程中
19、，要求观测值必须是独立观测值，它们的真误差之间须满足：推导过程中，要求观测值必须是独立观测值，它们的真误差之间须满足：第15页，本讲稿共22页例例7-2 在在1:1000比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得某某坝坝的的坝坝轴轴线线长长为为234.5mm，其其中中误误差差m为为。求求坝坝线线的的实实际际长长度度及及其其中中误误差差mD。解：坝轴线的实际长度与图上量得长度之间是倍数函数关系，即解：坝轴线的实际长度与图上量得长度之间是倍数函数关系，即 最后结果写为最后结果写为234.5第16页，本讲稿共22页例例7-3 自水准点自水准点向水准点向水准点进行水准测量进行水准测量(图图7-3)，设各段
20、所测高差分别为，设各段所测高差分别为求求、两点间的高差及其中误差。两点间的高差及其中误差。解：解：、之间的高差之间的高差h=h1+h2+h3=7.811m;高差中误差高差中误差图7-3 第17页，本讲稿共22页例例7-4x=Dcos，测得测得D=63.210.04m,=20300012,试求的试求的中误差。中误差。解：解：x=Dcos在计算中，在计算中，=206265 。第18页，本讲稿共22页 7.5 7.5 误差传播律在测量中的应用举例误差传播律在测量中的应用举例 1算术平均值的中误差算术平均值的中误差设设对对某某量量在在相相同同条条件件下下观观测测了了n次次，观观测测值值分分别别为为l1
21、，l2，ln，其其中中误误差差m1=m2=mn=m现在来推求算术平均值的中误差现在来推求算术平均值的中误差M。x=根据线性函数的中误差式(7-10)，则x的中误差为 或表明：算术平均值的中误差表明：算术平均值的中误差mx比观测值的中误差小比观测值的中误差小 倍。因此，增加观测倍。因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。次数可以提高算术平均值的精度。第19页，本讲稿共22页2.观测值的中误差观测值的中误差在在中中误误差差的的定定义义式式(7-5)中中，是是观观测测值值的的真真误误差差。但但在在一一般般情情况况下下，真真值值X是是不不知知道道的的，故故也也不不知知道道。因因此此，实实际际上上不
22、不能能用真误差用真误差来计算中误差。来计算中误差。然然而而算算术术平平均均值值是是知知道道的的，它它又又最最接接近近真真值值，于于是是选选用用观观测测值值l，与与算算术术平平均均值值x之之差差v(称称为为最最或或然然误误差差，)来来计计算算观观测测值的中误差。值的中误差。用改正数用改正数v计算观测值中误差的公式为：计算观测值中误差的公式为：第20页，本讲稿共22页32加权平均值及中误差加权平均值及中误差3.2.1加权平均值加权平均值不等精度观测时，考虑各观测值的可靠程度，采用加权平均的办法计算观测的最或是值。不等精度观测时，考虑各观测值的可靠程度，采用加权平均的办法计算观测的最或是值。设对某量
23、进行设对某量进行n次不等精度观测，观测值、中误差及权各为：次不等精度观测，观测值、中误差及权各为：观测值观测值l1,l2 ,ln中误差中误差m1,m2,mn权权P1,P2Pn其加权平均值为其加权平均值为L=3.2.2加权平均值的中误差加权平均值的中误差加权平均值的中误差为：加权平均值的中误差为：其中：其中：第21页，本讲稿共22页 本本 章章 小小 结结测测量量误误差差是是测测量量过过程程中中必必然然会会存存在在的的，也也是是测测量量技技术术人人员员必必须要面对和处理的问题。本章主要介绍了须要面对和处理的问题。本章主要介绍了（1）测量误差的来源，性质，并简单介绍了测量误差的特点。）测量误差的来源，性质，并简单介绍了测量误差的特点。（2）衡量误差大小的数字指标衡量误差大小的数字指标中误差。中误差。（3）观观测测值值中中误误差差的的计计算算及及观观测测值值函函数数中中误误差差的的计计算算误误差差传传播律。播律。（4）误差传播律有线性函数和非线性函数误差传播律。）误差传播律有线性函数和非线性函数误差传播律。（5）误差传播律的应用。误差传播律的应用。第22页，本讲稿共22页