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1、 1相交定理相交定理 圆内的两条圆内的两条 ，被交点分成的两，被交点分成的两条线段长的条线段长的 如图，弦如图，弦AB与与CD相相交于交于P点，则点，则PAPB .相交弦相交弦积相等积相等PCPD 2割线有关定理割线有关定理 (1)割线定理：割线定理：文字叙述：文字叙述：从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条 ，这一点到每条割线与圆，这一点到每条割线与圆的的 的的 的积相等的积相等 图形表示：图形表示：如图，如图，O的割线的割线PAB与与PCD，则有：则有：.割线割线交点交点两条线段长两条线段长PAPBPCPD (2)切割线定理：切割线定理：文字叙述：文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切
2、线长是这点到割线从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的与圆交点的两条线段长的 ；图形表示：图形表示：如图，如图，O的切线的切线PA，切点为，切点为A，割线割线PBC，则有，则有 .比例中项比例中项PA2PBPC 3切线长定理切线长定理 (1)文字叙述：文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆，圆心和这一点的连线平分心和这一点的连线平分 的夹角的夹角 (2)图形表示：图形表示：如图：如图：O的切线的切线PA、PB，则，则PA ，OPA .长相等长相等两条切线两条切线PBOPB 例例1如图，已知在如图，已知在 O中，中，P是弦是
3、弦AB的中点，过点的中点，过点P作半径作半径OA的垂线分别交的垂线分别交 O于于C、D两点，垂足是点两点，垂足是点E.求证：求证：PCPDAEAO.思路点拨思路点拨由相交弦定理知由相交弦定理知PCPDAPPB，又，又P为为AB的中点，的中点，PCPDAP2.在在RtPAO中再使用射影定理即可中再使用射影定理即可证明证明 连接连接OP，P为为AB的中点，的中点，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEAO.PDPCPAPBAP2，PDPCAEAO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相也经常与垂径定理、射
4、影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论结合证明某些结论1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和和16 cm两段，第二条弦的长为两段，第二条弦的长为32 cm，求第二条弦被交点，求第二条弦被交点分成的两段长分成的两段长解：解：设第二条弦被交点分成的一段长为设第二条弦被交点分成的一段长为x cm，则另一段长为则另一段长为(32x)cm.由相交弦定理得：由相交弦定理得：x(32x)1216，解得解得x8或或24，故另一段长为故另一段长为32824或或32248，所以另一条弦被交点分成的两段长分别为所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和和2
5、4 cm.证明：证明：例例2如图，如图，AB是是 O的一条切线，切点为的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是都是 O的割线，已知的割线，已知ACAB.证明：证明：(1)ADAEAC2；(2)FGAC.思路点拨思路点拨(1)利用切割线定理；利用切割线定理；(2)证证ADCACE.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等4如图，如图，PA切切 O于点于点A，割
6、线，割线PBC交交 O于点于点B，C，APC的角平分线分的角平分线分 别与别与AB，AC相交于点相交于点D、E，求证：，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.证明：证明：(1)因为因为AEDEPCC，ADEAPDPAB，PE是是APC的角平分线，的角平分线，故故EPCAPD，因为因为PA是是 O的切线，故的切线，故CPAB.所以所以AEDADE.故故ADAE.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即即切线长相等，切线长相等，圆外点与圆心的连线平分两条切线圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与的夹角，然后
7、结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明证明5 两个等圆两个等圆 O与与 O外切，过外切，过O作作 O的两条切线的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则是切点，则AOB ()A90B60C45 D30答案：答案：B6.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA和和 O分别相切于分别相切于L、M、N、P.求证：求证：ADBCABCD.证明：证明：由圆的切线长定理得由圆的切线长定理得CMCN，BLBM，APAL，DPDN，ABALLB，BCBMMC，CDCNND，ADAPPD，ADBC(APPD)(BMMC)(ALND)(BLCN)(ALBL)(NDCN)ABCD，即即ADBCABCD.点击下图进入应用创新演练点击下图进入应用创新演练