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1、切线长定理切线长定理1、圆的切线的定义是什么？、圆的切线的定义是什么？2、圆的切线有哪些判定方法？、圆的切线有哪些判定方法？3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？、你能过圆上一点作出圆的切线吗？能说出作图的步骤吗？理论依据是能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？什么？O作图的步骤：作图的步骤：1、连接、连接OA;2、过点、过点A作直线作直线lOA.1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？、你能过圆外一点作出圆的切线吗？O2、能说出作图的步骤吗？、能说出作图的步骤吗？3、理论依据是什么？、理论依据是什么？4、过圆外一点能过圆外一点能作几条圆的切线作几条圆的切线吗？吗？过圆外一点作圆的切线，这点和过圆外一点
2、作圆的切线，这点和切点之的切点之的线段线段的长，叫做这点到的长，叫做这点到圆的圆的切线长。切线长。O思考：切线与切线长有区别吗？思考：切线与切线长有区别吗？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做段的长叫做切线长。切线长。数学探究数学探究OBPA切线长和切线的区别和联系切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。的一条线段的长，可以度量。如图，纸上有一如图，纸上有一 O，PA为为 O的一条的一条切线，沿着直线切线，沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上
3、与点A重合的点为重合的点为B。1.OB是是 O的一条半径吗？的一条半径吗？2.PB是是 O的切线吗？的切线吗？3.PA、PB有何关系？有何关系？4.APO和和BPO有何关系？有何关系？数学探究数学探究PAOB问题：问题：已知：已知：求证：求证：如图，如图，P P为为 O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为 O O的切线，的切线，A A、B B为切点，连结为切点，连结POPO切线长定理切线长定理 从从圆外一点可以引圆外一点可以引圆的两条切线，圆的两条切线，它们的切线长相它们的切线长相等，这一点和圆等，这一点和圆心的连线平分两心的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。OBPARtAOP Rt
4、BOPOPAB PA=PB PO平分平分APB12连结连结OA、OB、PA、PB与与 O相切，点相切，点A、B是切点是切点1=2OAAP，OBBPOAP=OBP=90OA=OB，OP=OPPA=PBPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线平分两条切线的夹角。切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法数学探究数学探究OBPA
5、思考：思考：连结连结AB，则，则AB与与PO有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？为什么？为什么？你还能得出什么结论？你还能得出什么结论？E E例例.PA.PA、PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，为切点，直线直线OPOP交于交于OO于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若）若PA=4、
6、PD=2，求半径，求半径OA（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC已知：如图已知：如图PAPA、PBPB是是 O O的两的两条切线，条切线，A A、B B为切点。直线为切点。直线OPOP交交 O O于于D D、E E，交，交ABAB于于C C。OPABCDE（1 1）如果半径为）如果半径为3cm3cm，PO=6cmPO=6cm，则点，则点P P到到 O O的切线长的切线长为为 cm cm，两切线的夹角等于，两切线的夹角等于 度度60我们学过的切线，有我们学过的切线，有 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和
7、圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解
8、决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。反思：在解决有关反思：在解决有关圆的切线长问题时，圆的切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从圆从圆外一点引圆的两条切外一点引圆的两条切线，它们的切线长相线，它们的切线长相等，圆心和这一点的等，圆心和这一点的连线平分两条切线的连线平分两条切线的夹角。夹角。小结：小结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，线段相等，角相等，弧相等，垂直关系垂直关系提供了理论依据。必
9、须掌握并能灵活应用。提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。一、判断一、判断（1 1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2 2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习练习(1)(1)如图如图PAPA、PBPB切圆于切圆于A A、B B两点，两点，连结连结POPO，则，则 度。度。PBOA二、填空二、填空25（3）如图，）如图，PA、PB、DE分别切分别切 O于于A、B、C，DE分别交分别交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切线的切线长为长为8CM，则，则 PDE的周长为（的周长为（）AA 16cmD 8
10、cmC 12cmB 14cmDCBEAP1、已知，如图，、已知，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）如果）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径求半径 OA的长的长.AOCDPBE例例2、如图，过半径为、如图，过半径为6cm的的 O外一点外一点P作圆作圆的切线的切线PA、PB，连结，连结PO交交 O于于F，过，过F作作 O切线分别交切线分别交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm，求求PED的周长。的周长。FOEDPBAO
11、PABCDE（5 5）如果）如果PA=4cmPA=4cm，PD=2cmPD=2cm，试求半径试求半径OAOA的长。的长。x即：解得：x=3cm半径OA的长为3cm例例1、如图，、如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切为切点，点，OAB30（1）求）求APB的度数；的度数；（2）当）当OA3时，求时，求AP的长的长 PBAO练习练习 如图，从如图，从OO外一点外一点P P作作OO的两条切线，的两条切线，分别切分别切OO于于A A、B B，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C作作OO的的切线分别交切线分别交PA PA、PBPB于于D D、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，
12、则PDEPDE的周长为的周长为_；若；若PA=aPA=a，则，则PDEPDE的周长为的周长为_。（2 2）连结）连结OD OD、OEOE，若，若P=40 P=40，则，则DOE=_;DOE=_;若若P=k,P=k,DOE=_ DOE=_ 度度。E OCBDPA42a70 70 随堂训练随堂训练(2)观察观察OP与与BC的位置关系，并给予证明。的位置关系，并给予证明。(1)若若OA=3cm,APB=60，则，则PA=_.PABCOM如图，如图，AC为为 O的直径，的直径，PA、PB分别切分别切 O于点于点A、B，OP交交 O于点于点M，连结，连结BC。试一试：已知：如图，试一试：已知：如图，P为
13、为 O外一点，外一点，PA，PB为为 O的切线，的切线，A和和B是切点，是切点，BC是直径。是直径。C50，求求APB的度数的度数求证：求证：ACOP。ABOCPAOBC试一试：试一试：如图如图1，一个圆球放置在，一个圆球放置在V形架中。图形架中。图2是它的平面示意图，是它的平面示意图，CA和和CB都是都是 O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A、B。如果。如果 O的半径为的半径为 cm，且且AB=6cm，求，求ACB。思考：当切点思考：当切点F在弧在弧AB上运动时，问上运动时，问PED的周长、的周长、DOE的度数是否发生变化，请说的度数是否发生变化，请说明理由。明理由。FOEDPBA思考思
14、考 如图如图如图如图,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮,如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢?IDooo三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内切圆的圆心叫做三角形的做三角形的内心内心三角形的三角形的内心内心是三角形三是三角形三条条角平分线角平分线的交点
15、，它到的交点，它到三角形三角形三边三边的距离相等。的距离相等。数学探究数学探究DEF问题：如图问题：如图ABC，要求画，要求画ABC的内的内切圆，如何画？切圆，如何画？已知：已知：ABC求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆BCAID作作法法：1、作作B、C的的平平分分线线BM、CN，交点为，交点为I2、过点、过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 II就是所求的圆就是所求的圆 NMA AB BC CO O三角形的外接圆：三角形的内切圆：A AB BC CI ID 1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；
16、2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。试说明圆的外切四边形的两组试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等对边的和相等例例3、已知四边形已知四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA分别与分别与 O相切于相切于P、Q、M、N，求证：求证：AB+CD=AD+BC。DABCOMNPQABDLMNPO结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。已知：四边形已知：四边形ABC
17、DABCD的边的边 AB AB，BCBC，CDCD，DADA和圆和圆O O分别相切于分别相切于L L，M M，N N，P P。探索圆外切四边形边。探索圆外切四边形边的关系。的关系。C（1 1）找出图中所有相等的线段）找出图中所有相等的线段（2）填空：）填空：AB+CD AD+BC（,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比较圆的内接四边形的性质：比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形：角的关系圆的内接四边形：角的关系圆的外切四边形：边的关系圆的外切四边形：边的关系1、四边形ABCD外切于O（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=_（2）若AB：BC：CD=5：4：
18、7，周长为48 则最长的边为_2、圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_ABCDACBDOABCDOO3、圆内接梯形为等腰梯形4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为_ABDCEF反思：圆外切等腰梯形的腰长反思：圆外切等腰梯形的腰长等于中位线长等于中位线长（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为_ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为_ABDCEF如图，如图，ABC的内切圆分别和的内切圆分别和BC，AC，AB切切于于D，E，F；如果；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则则BC=cm,AC=AB=116cm9cmBDACFE274 练习
19、四练习四 已知：已知：ABCABC是是OO外切三角形，切点外切三角形，切点为为D D，E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。ABCDEFxxyyOzz解解:设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得:Z=5X+y+z=18x+y=13已知已知:如图如图,O是是RtABC的内切圆的内切圆,C是直角是直角,三边长分别是三边长分别是a,b,c.求求 O的半径的半径r.A
20、BCODEF（1 1）RtRt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、
21、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r
22、O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDC
23、ECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切点的切点分别为分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四则四边形边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。例例.如图，如图，ABCABC中中,C=90,C=90,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于
24、点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求OO的半径的半径r.r.OEBDCAF(2)已知已知:如图如图,ABC的面积为的面积为S,三边长分别为三边长分别为a,b,c.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.ABCOODEFBDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,r,ABCABC的的周长为周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD B
25、COE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算1.边长为边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为的三角形的内切圆的半径为2.边长为边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为的三角形的内切圆的半径为3.已知已知:ABC的面积的面积S=4cm,周长等于周长等于 10cm.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.
26、2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正
27、方形22cm22cm2cm2cm OABCDEF OABCDE选做题：如图，选做题：如图，ABAB是是OO的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCBC是切线，点是切线，点A A、E E、B B为切点，若为切点，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的长的长.例：例：如图，如图，ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x13xx13x9x9x例题选讲例题选讲ADCBOFE1、如图，、如图，ABC中中,ABC=50，ACB=75,点点O 是是ABC的内心，求
28、的内心，求 BOC的度数。的度数。AOCB随堂训练随堂训练变式：变式：ABC中中,A=40，点，点O是是ABC的内的内心，求心，求 BOC的度数。的度数。BOC=90+A2 2、ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r,ABC的周长为的周长为 l,求求ABC的面积。（提示：设内心为的面积。（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC。）。）OACBrrr知识拓展知识拓展若若ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r,周长为周长为 l,则则SABC=lr=lr同学们要好好学习同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！老师期盼你们快快进步！v9、静夜四无邻，荒居旧业贫。5月-235月-23Monday,M
29、ay 15,2023v10、雨中黄叶树，灯下白头人。11:00:3511:00:3511:005/15/2023 11:00:35 AMv11、以我独沈久，愧君相见频。5月-2311:00:3511:00May-2315-May-23v12、故人江海别，几度隔山川。11:00:3511:00:3511:00Monday,May 15,2023v13、乍见翻疑梦，相悲各问年。5月-235月-2311:00:3511:00:35May 15,2023v14、他乡生白发，旧国见青山。15 五月 202311:00:35 上午11:00:355月-23v15、比不了得就不比，得不到的就不要。五月 23
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