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1、 数学数学(shxu)(shxu)与工与工程应用程应用第一页，共60页。内容内容(nirng)滤波滤波空间矢量空间矢量数据统计和分析数据统计和分析拟合，矩阵拟合，矩阵(j zhn)与线性方程组与线性方程组Allan方差方差第二页，共60页。滤波器基础知识 滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换信号的系统。信号的系统。信号的系统。信号的系统。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻
2、滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下图）。图）。图）。图）。增益高的频率范围，称为增益高的频率范围，称为增益高的频率范围，称为增益高的频率范围，称为(chn wi)(chn wi)滤波器的通带滤波器的通带滤波器的通带滤波器的通带(pass band);(pass band);相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相
3、反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带(stop(stop band)band)。增益为最大值的增益为最大值的增益为最大值的增益为最大值的1/sqrt(2)0.7071/sqrt(2)0.707所对应的频率称为所对应的频率称为所对应的频率称为所对应的频率称为(chn wi)(chn wi)滤波器的截止频率。滤波器的截止频率。滤波器的截止频率。滤波器的截止频率。由由由由 增益增益增益增益(dB)=20(dB)=20(增益增益增益增益)得到截止频率为得到截止频率为得到截止频率为得到截止频率为-3dB-3dB。截止频率用来定义滤波器的带宽。截止频率用来定义滤波器的带宽。截止频率用来定义滤波器的带宽
4、。截止频率用来定义滤波器的带宽。第三页，共60页。低通低通高通高通低通与高通第四页，共60页。带通与带阻带通带通带阻带阻第五页，共60页。滤波器的串/并联(bnglin)低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解的滤波器都可以分解的滤波器都可以分解的滤波器都可以分解(fnji)(fnji)为这两种类型的滤波器。为这两种类型的滤波器。为这两种类型的滤波器。为这两种类型的滤波器。第六页，共60页。理想(lxi
5、ng)滤波器 理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带失真，阻带(z di)内的频率成分都衰减为零的滤内的频率成分都衰减为零的滤波器。波器。fcH(f)fQ(f)第七页，共60页。理想滤波器的物理(wl)不可实现理想滤波器在时域内的脉冲响应函数h（t）为sinc函数。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限(wxin)延伸。fcH(f)给理想滤波器一个脉冲激励，在t=0时刻单位脉冲输入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理(wl)不可实现。第八页，共60页。实际(shj)滤波器 理想滤波器是不存在的，实际滤波器幅频理想滤波器是不存在的，实际滤
6、波器幅频特性中通带和阻带间没有严格特性中通带和阻带间没有严格(yng)界限，界限，存在过渡带。存在过渡带。0fA第九页，共60页。实际(shj)滤波器1)1)截止频率截止频率fcfc：0.707A00.707A0所对应的频率所对应的频率2)2)纹波幅度纹波幅度d d：绕幅频特性均值：绕幅频特性均值A0A0波动值波动值3)3)带宽带宽B B和品质因数和品质因数QQ：下两截频间的频率范围：下两截频间的频率范围(fnwi)(fnwi)称称为带宽。中心频率和带宽之比称为品质因数为带宽。中心频率和带宽之比称为品质因数。0ffc1fc2A00.707A0dBQ=W0/B第十页，共60页。模拟(mn)滤波器
7、与数字滤波器模拟模拟模拟模拟(mn)(mn)滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活
8、性强、使用能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性强、使用能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性强、使用能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性强、使用方便、稳定性高。方便、稳定性高。方便、稳定性高。方便、稳定性高。信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。第十一页，共60页。数字(shz)滤波器的实
9、现数字滤波器的实现有两种主要的方式。数字滤波器的实现有两种主要的方式。用滤波器的差分方程计算滤波器的输出。用滤波器的差分方程计算滤波器的输出。利用卷积过程利用卷积过程(guchng)计算输出。需要计算输出。需要滤波器的脉冲响应。滤波器的脉冲响应。第十二页，共60页。差分(chfn)方程 差分方程差分方程差分方程差分方程(difference equation)(difference equation)可以用来描述线性、时不可以用来描述线性、时不可以用来描述线性、时不可以用来描述线性、时不变、因果数字滤波器。变、因果数字滤波器。变、因果数字滤波器。变、因果数字滤波器。滤波器的输出滤波器的输出滤波
10、器的输出滤波器的输出(shch)(shch)依赖于现在和以前的输入，也依赖依赖于现在和以前的输入，也依赖依赖于现在和以前的输入，也依赖依赖于现在和以前的输入，也依赖于过去的输出于过去的输出于过去的输出于过去的输出(shch)(shch)。差分方程为：差分方程为：差分方程为：差分方程为：当a0=1是：当ak,bk为权系数(xsh)，又称为滤波器系数(xsh)。(1)第十三页，共60页。递归滤波器与非递归滤波器当数字系统当数字系统(xtng)依赖于输入与过去的输出时，依赖于输入与过去的输出时，称其为递归滤波器称其为递归滤波器(recursive filter)。式。式(1)给出给出了这类滤波器的一
11、般表达式。了这类滤波器的一般表达式。当数字系统当数字系统(xtng)仅依赖于输入，而不依赖于仅依赖于输入，而不依赖于过去的输出时，称其为非递归滤波器过去的输出时，称其为非递归滤波器(nonrecursive filter)。式。式(2)给出了这类滤波器给出了这类滤波器的一般表达式。的一般表达式。(2)第十四页，共60页。卷积 离散信号：离散信号：离散信号：离散信号：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：x(n)=x(1),x(2),x(3),x(n)
12、=x(1),x(2),x(3),其中其中其中其中x(n)x(n)表示表示表示表示n n时刻的采样时刻的采样时刻的采样时刻的采样(ci yn)(ci yn)值。值。值。值。单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：离散序列离散序列离散序列离散序列(xli)x(n)(xli)x(n)可用单位取样序列可用单位取样序列可用单位取样序列可用单位取样序列(xli)(xli)及其离散样值表示，表达式如下：及其离散样值表示，表达式如下：及其离散样值表示，表达式如下：及其离散样值
13、表示，表达式如下：第十五页，共60页。卷积线性时不变系统线性时不变系统我们讨论的数字系统是线性时不变系我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性是：满足叠统，它的两个重要的特性是：满足叠加原理和时不变性。加原理和时不变性。系统定义：输入序列系统定义：输入序列x(n)映射成输出序映射成输出序列列y(n)的唯一变换或运算。的唯一变换或运算。X(n)y(n)线性系统线性系统:如果输入乘以常数如果输入乘以常数(chngsh)，那么输出也会乘以该系，那么输出也会乘以该系数，即数，即 aX(n)ay(n)时不变系统有如下特征：如果时不变系统有如下特征：如果y(n)是系是系统对统对x(n)的响应
14、，则的响应，则y(n-m)是系统对是系统对x(n-m)的响应，即的响应，即X(n-m)y(n-m)第十六页，共60页。卷积 若输入为单位若输入为单位若输入为单位若输入为单位(dnwi)(dnwi)脉冲时，则其输出脉冲时，则其输出脉冲时，则其输出脉冲时，则其输出h(n)h(n)称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应(impulse(impulse response)response)。即。即。即。即 当输入被延迟(ynch)后，输出同样延迟(ynch)，即若输入的单位取样信号乘以一个常数，那么(nme)输出也会同样乘以该常数，即一般地，输入信号可以表示为
15、一系列延迟的单位取样序列的加权和，即第十七页，共60页。卷积 若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应y(n)y(n)不可能先于输入单位取样序不可能先于输入单位取样序不可能先于输入单位取样序不可能先于输入单位取样序列出现，因此必须列出现，因此必须列出现，因此必须列出现，因此必须(bx)(bx)满足满足满足满足n=mn=m，即，即，即，即作进一步的变换(binhun)，令k=n-m，即第十八页，共60页。FIR滤波器FIRFIR滤波器滤波器滤波器滤波器 只存在只存在只存在只存在(cnzi)(cnzi)有限个有限个有限个有限个h(n)
16、,h(n),即即即即因此(ync)其系统函数如下：优点：1.系统只在原点处存在极点，这使得FIR滤波器具有稳定性。2.FIR滤波器具有线性相位，可以保证系统的相移和频率(pnl)成正比，达到无失真的传输。缺点：1.滤波器的输入是采样值，具有量化噪声和混叠误差。2.滤波器系数自身的量化误差，将改变滤波器的最终特性，副作用包 括滤波器阻带内的低衰减及通带内的纹波。第十九页，共60页。IIR滤波器 通用通用通用通用(tngyng)(tngyng)输入输出公式输入输出公式输入输出公式输入输出公式:若|Pi|无穷大时，h(n)-0，系统稳定。若|Pi|1,当n-无穷大时，h(n)-无穷大，系统不稳定。I
17、IR滤波器与FIR滤波器比较，具有相位特性差的特点(tdin)，但是因为运算量小，所以也被广泛的采用。第二十页，共60页。卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波简介(jin ji)第二十一页，共60页。4.什么是卡尔曼滤波：什么是卡尔曼滤波：卡尔曼滤波是美国工程师卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线性最小方差估计的在线性最小方差估计的基础上，提出的在数学结构上比基础上，提出的在数学结构上比较简单的而且较简单的而且(r qi)是最优线是最优线性递推滤波方法，具有计算量小、性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时性高的优点。特存储量低，实时性高的优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡别是对经历了初始滤波后
18、的过渡状态，滤波效果非常好。状态，滤波效果非常好。第二十二页，共60页。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声(zoshng)的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。第二十三页，共60页。卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测实测修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰(gnro)，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。第二十四页，共60页。卡尔曼滤波特点：卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与
19、预测的有力工具之一，它不需存储历史数据，就能够从一系列的不完全以及包含噪声(zoshng)的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。第二十五页，共60页。卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波器不同之处，在于(ziy)它是一种纯粹的时域滤波器，不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。第二十六页，共60页。5.卡尔曼滤波器的软硬件实现目前,卡尔曼滤波器已经有很多不同(btn)的实现形式。卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器。除此
20、以外,还有施密特扩展卡尔曼滤波器,信息滤波器以及平方根滤波器。最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，采用FPGA硬件可以实现卡尔曼滤波器。第二十七页，共60页。硬件实现：卡尔曼滤波器有良好的滤波效果(xiogu)，但由于其计算量大，当采样率高时，一个采样周期内难以完成计算，且计算机的字长有限，使计算中舍入误差和截断误差积累、传递，造成数值不稳定，因此用MCU和DSP难以实现。FPGA可以实现并行计算，它有多个乘法器和累加器并行处理数据，采用FPGA实现的卡尔曼滤波器，由于输入和输出数据计算同时进行，因此可以大大提高滤波速度。第二十八页，共60页。软件实现：許多物理进程，如路上行驶的車辆、围绕地球轨道运
21、转的卫星、由绕组电流驱动的电机轴或正弦(zhngxin)射頻載波信号，均可用线性系统來近似。线性系统是指能用如下两个方程描述的简单进程：状态方程：输出方程：第二十九页，共60页。在上述方程中，A、B和C均为矩陣，k是時間系数，x称为(chnwi)系統状态，u是系統的已知輸入，y是所測量的輸出。w和z表示噪音，其中变量w称为(chnwi)进程噪音，z称为(chnwi)測量噪音，它們都是向量。则卡尔曼滤波的算法流程为：第三十页，共60页。1.预估计X(k)=F(k,k-1)X(k-1)2.计算预估计协方差矩阵(jzhn)3.C(k)=F(k,k-1)C(k)F(k,k-1)+T(k,k-1)Q(k
22、)T(k,k-1)4.Q(k)=U(k)U(k)5.计算卡尔曼增益矩阵(jzhn)6.K(k)=C(k)H(k)H(k)C(k)H(k)+R(k)(-1)7.R(k)=N(k)N(k)第三十一页，共60页。8.更新估计9.X(k)=X(k)+K(k)Y(k)-H(k)X(k)10.计算更新后估计协防差矩阵(jzhn)11.C(k)=I-K(k)H(k)C(k)I-K(k)H(k)+K(k)R(k)K(k)12.X(k+1)=X(k)13.C(k+1)=C(k)14.重复以上步骤该算法可用C语言编程，在计算机上实现。第三十二页，共60页。6.卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研
23、发的，目前已成功应用在許多领域中。卡尔曼滤波器主要(zhyo)用来預估那些只能被系统本身間接或不精確观測的系统状态。許多工程系统和嵌入式系统都需要卡尔曼滤波。第三十三页，共60页。统计统计(tngj)的基本概念的基本概念参数估计参数估计假设检验假设检验数据数据(shj)(shj)的统计描述的统计描述和分析和分析第三十四页，共60页。一、统计一、统计(tngj)(tngj)量量第三十五页，共60页。第三十六页，共60页。二、分布二、分布(fnb)函数的近函数的近似求法似求法第三十七页，共60页。三、几个三、几个(j)(j)在统计中常用的概率分布在统计中常用的概率分布-4-2024600.050.
24、10.150.20.250.30.350.41正态分布正态分布),(2smN密度(md)函数：222)(21)(smsp-=xexp分布(fnb)函数：dyexFyx222)(21)(smsp-=其中m为均值，2s为方差，+-x.标准正态分布：N（0，1）密度函数2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-=Fp，分布函数第三十八页，共60页。第三十九页，共60页。第四十页，共60页。返回返回(fnhu)F分布F（10，50）的密度(md)函数曲线第四十一页，共60页。第四十二页，共60页。一、点估计的求法一、点估计的求法(一）矩估计(gj)法第四十三页，共60页。(二）极大(j d)
25、似然估计法第四十四页，共60页。二、区间二、区间(q jin)估估计的求法计的求法第四十五页，共60页。1、已知、已知DX，求，求EX的置信区间的置信区间2 未知方差未知方差(fn ch)DX，求，求EX的置信区间的置信区间(一一)数学数学(shxu)期望的置信区间期望的置信区间（二）方差的区间（二）方差的区间(q jin)估计估计返回返回第四十六页，共60页。1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的参数检验的目的(m
26、d)往往是对总体的参数及其有关性质作出往往是对总体的参数及其有关性质作出明明 确的判断确的判断.对总体对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本的样本(yngbn)观察值，运用数理统计的分析方法，检观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如要求判断总体(zngt)分布类型的检验就是非参数检验.第四十七页，共60页。假
27、设检验的一般假设检验的一般(ybn)步骤是：步骤是：第四十八页，共60页。（一）单个正态总体（一）单个正态总体(zngt)均值检验均值检验一、参数检验一、参数检验第四十九页，共60页。第五十页，共60页。（二）单个正态总体（二）单个正态总体(zngt)方差检验方差检验第五十一页，共60页。（三）两个（三）两个(lin)正态总体均值检验正态总体均值检验第五十二页，共60页。（四）两个正态总体（四）两个正态总体(zngt)方差检验方差检验第五十三页，共60页。二、非参数检验二、非参数检验（二）概率（二）概率(gil)纸检验法纸检验法 概率纸是一种(y zhn)判断总体分布的简便工具.使用它们，可以
28、很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.返回返回(fnhu)第五十四页，共60页。拟拟 合合1.拟合(n h)问题引例第五十五页，共60页。曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据已知一组（二维）数据(shj)(shj)，即平面上，即平面上 n n个点（个点（xi,yi)xi,yi)i=1,n,i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),y=f(x),使使 f(x)f(x)在某种准则下在某种准则下与所有数据与所有数据(shj)(shj)点最为接近，即曲线拟合得最好。点最为接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为
29、点（为点（xi,yi)与曲线与曲线(qxin)y=f(x)的距离的距离第五十六页，共60页。曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法(ji f)线性最小二乘法的基本线性最小二乘法的基本思路思路第一步:先选定(xun dn)一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中 a1,a2,am 为待定系数。第二步第二步:确定确定(qudng)a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点（个点（xi,yi)与曲线与曲线 y=f(x)的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小。记记问题归结为
30、，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。第五十七页，共60页。线性最小二乘法的求解：预备线性最小二乘法的求解：预备(ybi)知识知识超定方程超定方程(fngchng)组：方程组：方程(fngchng)个数大于未知量个数的方程个数大于未知量个数的方程(fngchng)组组即即 Ra=y其中其中超定方程一般超定方程一般(ybn)是不存在解的矛盾方程组。是不存在解的矛盾方程组。如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解。第五十八页，共60页。线性最小二乘法线性最小二乘法(chngf)的求解的
31、求解定理定理(dngl)(dngl)：当：当RTRRTR可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 RTRa=RTy -RTRa=RTy -正则（正规）方程组正则（正规）方程组的解：的解：a=(RTR)-1RTya=(RTR)-1RTy所以，曲线拟合的最小二乘法所以，曲线拟合的最小二乘法(chngf)要解决的问题，实际上要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。其中其中Ra=y （3）第五十九页，共60页。线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数中函数(hnsh)r1(x),rm(x)的选取的选取 1.1.通过通过(tnggu)(tnggu)机理分析建立数学模型来确定机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.2.将数据将数据(shj)(xi,yi)i=1,n(shj)(xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)f(x)：第六十页，共60页。