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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第七章第七章(Absolute maximum and minimum values)一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结与作业三、小结与作业5/16/20231返回返回上页上页下页下页目录目录一、一、多元函数的极值及最大值、最小值多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极
2、值点.的某邻域内有5/16/20232返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理定理1(必要条件必要条件)5/16/20233返回返回上页上页下页下页目录目录时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件充分条件)5/16/20234
3、返回返回上页上页下页下页目录目录5/16/20235返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:第一步 求驻点.第二步 判别.时,具有极值 1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.5/16/20236返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和最小值.5/16/20237返回返回上页上页下页下页目录目录 从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域 D的
4、内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明说明:5/16/20238返回返回上页上页下页下页目录目录把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面例例3 有一宽为 24cm 的长方形铁板,5/16/20239返回返回上页上页下页下页目录目录令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.5/16/202310返回返回上页上页下页下页目录目录二、条件极值二、条
5、件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化5/16/202311返回返回上页上页下页下页目录目录如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如例如,故 故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.5/16/202312返回返回上页上页下页下页目录目录引入辅助函数辅助函数L 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗
6、日乘数法.5/16/202313返回返回上页上页下页下页目录目录拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组得到条件极值的可能点.例如例如,求函数下的极值.在条件推广推广5/16/202314返回返回上页上页下页下页目录目录要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 例例45/16/202315返回返回上页上页下页下页目录目录得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为思考思考:1)当水箱封闭时,
7、长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等.5/16/202316返回返回上页上页下页下页目录目录提示：提示：目标函数：目标函数：约束条件约束条件：构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数：5/16/202317返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格
8、朗日乘数法5/16/202318返回返回上页上页下页下页目录目录设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)5/16/202319返回返回上页上页下页下页目录目录习题习题782、6、7、8作业作业5/16/202320返回返回上页上页下页下页目录目录思考练习思考练习下的条件极值.解：解：构造拉格朗日函数得方程组解得在指定条件1.求函数由于，所以因此函数在点处取得极小值解法2：（代入法）5/16/202321返回返回上页上页下页下页目录目录2.求三个正数,使它们的和为50而它们的积最大.解：解：设三个正数分别为则,要求函数的最大值.构造拉格朗日函数由解得由于和为50而积最大的三个正数一定存在,而可能取得极值的点（驻点）只有一个,因此使和为50而积最大的三个正数就是5/16/202322