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1、线性代数与解析几何第1页，本讲稿共17页第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 排列排列3 3 n阶行列式阶行列式4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开6 6 Cramer法则法则7 7 数域数域第2页，本讲稿共17页1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1 1 二阶行列式二阶行列式为一个二阶行列式为一个二阶行列式.给定给定四个复数，四个复数，称称为方便，记为方便，记其中元素其中元素的第一个下标的第一个下标为行指标为行指标，为列指标为列指标.主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则第3页，本讲稿共17
2、页通过消元法，有：通过消元法，有：考虑线性方程组：考虑线性方程组：于是，当于是，当有唯一解：有唯一解：第4页，本讲稿共17页写成行列式形式有：写成行列式形式有：第5页，本讲稿共17页2 2 三阶行列式三阶行列式如果如果 ，那么对于三元一次方程组：，那么对于三元一次方程组：第6页，本讲稿共17页其中，其中，利用消元法也有相同的结果，利用消元法也有相同的结果，第7页，本讲稿共17页例例按对角线法则，有按对角线法则，有对角线法则对角线法则解解第8页，本讲稿共17页定义定义例如例如 32541 32541 是一个是一个5 5级全排列；级全排列；3 3元全排列的全体元全排列的全体:元全排列共有元全排列共
3、有 个个元全排列元全排列.由由 组成的有序数组称为一个组成的有序数组称为一个213,231,123,132,312,3212 2 排列排列元全排列通常记为元全排列通常记为:一个一个或者或者1 1 排列与逆序排列与逆序第9页，本讲稿共17页例如例如 排列排列 32514 32514 中中 定义定义规定由小到大规定由小到大给定给定 个不同的自然数，个不同的自然数，定义定义定义定义 逆序数是偶数的排列称为逆序数是偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序数为，逆序数为奇数的称为奇数的称为奇排列奇排列3 2 5 1 4逆序逆序逆序的顺序的顺序为为标准顺序或者自然顺序标准顺序或者自然顺序.在一个排列中，如果一个大
4、的数排在一在一个排列中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，则称这一对数构成一个个小的数的前面，则称这一对数构成一个逆序逆序定义定义在一个排列中，所有逆序的总数称为这在一个排列中，所有逆序的总数称为这个排列的个排列的逆序数逆序数，记为，记为第10页，本讲稿共17页分别计算出排列中每个元素分别计算出排列中每个元素前面前面比它比它大大的数码的数码个数之和，即算出每个元素的逆序数，个数之和，即算出每个元素的逆序数，方法方法2 2 前看法前看法方法方法1 1 后看法后看法2 2 计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素分别计算出排列中每个元素后面后面比它比它小小的数码个的数码个
5、数之和，即算出每个元素的逆序数，数之和，即算出每个元素的逆序数，所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数.所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数.第11页，本讲稿共17页于是排列于是排列 32514 32514 的逆序数为：的逆序数为：5 5的前面没有比的前面没有比5 5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;0;1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个个,故逆序数为故逆序数为3;3;4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个个,故逆序数为故逆序数为1;1;例例 求排列求排列 32514 32
6、514 的逆序数的逆序数.解解在排列在排列 32514 32514 中，中，3 3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;0;2 2的前面比的前面比2 2大的数只有一个大的数只有一个3,3,故逆序数为故逆序数为1 1前看法：前看法：第12页，本讲稿共17页解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.例例 求排列求排列的逆序数的逆序数个个逆序数的性质逆序数的性质:第13页，本讲稿共17页定义定义在排列中，将任意两个元素的位置互换在排列中，将任意两个元素的位置互换其余元素不动，这种变换称为对换其余元素不动，这种变换称为对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列的一个排列中的任意
7、两个元素对换，排列的奇偶性改变奇偶性改变第14页，本讲稿共17页证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变,的逆序数不变的逆序数不变;的逆序数减少的逆序数减少1.1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当当 时，时，第15页，本讲稿共17页设排列为设排列为现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.第16页，本讲稿共17页推论推论 时，时，n个元素的所有排列中，个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，奇排列和偶排列的个数相等，各为各为推论推论 任何一个任何一个n 级排列与自然顺序级排列与自然顺序排列都可通过一系列对换互变，并且排列都可通过一系列对换互变，并且所做对换的次数与这个排列有所做对换的次数与这个排列有相同的相同的奇偶性奇偶性.第17页，本讲稿共17页