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1、工程力学圆轴扭转的强度与刚度第1页，本讲稿共52页 工工工工程程程程上上上上将将将将主主主主要要要要承承承承受受受受扭扭扭扭转转转转的的的的杆杆杆杆件件件件称称称称为为为为轴轴轴轴，当当当当轴轴轴轴的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上仅仅仅仅有有有有扭扭扭扭矩矩矩矩（MMx x）作作作作用用用用时时时时，与与与与扭扭扭扭矩矩矩矩相相相相对对对对应应应应的的的的分分分分布布布布内内内内力力力力，其其其其作作作作用用用用面面面面与与与与横横横横截截截截面面面面重重重重合合合合。这这这这种种种种分分分分布布布布内内内内力力力力在在在在一一一一点点点点处处处处的的的的集集集集度度度度，即即即即为为
2、为为剪剪剪剪应应应应力力力力。圆圆圆圆截截截截面面面面轴轴轴轴与与与与非非非非圆圆圆圆截截截截面面面面轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转时时时时横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力分分分分布布布布有有有有着着着着很很很很大大大大的的的的差差差差异异异异。本本本本章章章章主主主主要要要要介介介介绍绍绍绍圆圆圆圆轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转时时时时的的的的应应应应力力力力变变变变形形形形分分分分析析析析以以以以及及及及强强强强度度度度设设设设计计计计和刚度设计。和刚度设计。和刚度设计。和刚度设计。分分分分析析析析圆圆圆圆轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转时时时时的的的的应应应应力力力力和和和和
3、变变变变形形形形的的的的方方方方法法法法与与与与分分分分析析析析梁梁梁梁的的的的应应应应力力力力和和和和变变变变形形形形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。第第第第9 9章章章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算第2页，本讲稿共52页返回返回 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴 及其
4、扭转变形及其扭转变形 第第第第9 9章章章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算第3页，本讲稿共52页请判断轴受哪些力请判断轴受哪些力请判断轴受哪些力请判断轴受哪些力将发生什么变形将发生什么变形将发生什么变形将发生什么变形 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形及其扭转变形及其扭转变形及其扭转变形 第4页，本讲稿共52页 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴 及
5、其扭转变形及其扭转变形及其扭转变形及其扭转变形 当圆轴承受绕轴线转动的外扭转当圆轴承受绕轴线转动的外扭转当圆轴承受绕轴线转动的外扭转当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭力偶作用时，其横截面上将只有扭力偶作用时，其横截面上将只有扭力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。矩一个内力分量。矩一个内力分量。矩一个内力分量。不难看出，圆轴受扭后，将产生不难看出，圆轴受扭后，将产生不难看出，圆轴受扭后，将产生不难看出，圆轴受扭后，将产生扭转变形（扭转变形（扭转变形（扭转变形（twistdeformationtwistdeformation），），），），圆轴上的每个微元的直角均
6、发生变圆轴上的每个微元的直角均发生变圆轴上的每个微元的直角均发生变圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为剪应变。化，这种直角的改变量即为剪应变。化，这种直角的改变量即为剪应变。化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都这表明，圆轴横截面和纵截面上都这表明，圆轴横截面和纵截面上都这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用将出现剪应力分别用将出现剪应力分别用将出现剪应力分别用 和和和和 表示。表示。表示。表示。ABCD ABCD第5页，本讲稿共52页返回返回 剪应力互等定理剪应力互等定理 第第第第9 9章章章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形
7、分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算第6页，本讲稿共52页yxzA AD DC CB Bdxdydz微元能不能平衡？微元能不能平衡？微元能不能平衡？微元能不能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？剪应力互等定理剪应力互等定理 第7页，本讲稿共52页yxzA AD DC CB Bdxdydz哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？剪应力互等定理剪应力互等定理 根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论第8页
8、，本讲稿共52页剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理yxzA AD DC CB Bdxdydz 剪应力互等定理剪应力互等定理 如果在微元的一对面上存在剪如果在微元的一对面上存在剪如果在微元的一对面上存在剪如果在微元的一对面上存在剪应力，另一对与剪应力作用线互相垂应力，另一对与剪应力作用线互相垂应力，另一对与剪应力作用线互相垂应力，另一对与剪应力作用线互相垂直的面上必然垂直大小相等、方向或直的面上必然垂直大小相等、方向或直的面上必然垂直大小相等、方向或直的面上必然垂直大小相等、方向或相对相对相对相对(两剪应力的箭头相对两剪应力的箭头相对两剪应力的箭头相对两剪应力的箭头相对)或
9、相背或相背或相背或相背(两剪应力的箭尾相对两剪应力的箭尾相对两剪应力的箭尾相对两剪应力的箭尾相对)，以使微元保，以使微元保，以使微元保，以使微元保持平衡。微元上剪应力的这种相互持平衡。微元上剪应力的这种相互持平衡。微元上剪应力的这种相互持平衡。微元上剪应力的这种相互关系称为关系称为关系称为关系称为剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理或或或或剪应力剪应力剪应力剪应力成对定理成对定理成对定理成对定理(theoremofconjugate(theoremofconjugateshearingstress)shearingstress)第9页，本讲稿共52页返回返回 圆轴扭转时的剪
10、应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 第第第第9 9章章章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算第10页，本讲稿共52页应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式变变变变形形形形应变分布应变分布应变分布应变分布平面假定平面假定平面假定平面假定物性关系物性关系物性关系物性关系静力方程静力方程静力方程静力方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 第11页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆
11、轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 静力学方程静力学方程 第12页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程 圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆圆轴
12、扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，假定假定假定假定：圆轴受扭发生圆轴受扭发生圆轴受扭发生圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。角度。角度。角度。这
13、就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓“刚性地转过一角度刚性地转过一角度刚性地转过一角度刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。第13页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程 称为称为称为称为
14、单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角（angleoftwistperunitangleoftwistperunitlengthoftheshaftlengthoftheshaft）。）。）。）。对于两相邻截面，对于两相邻截面，对于两相邻截面，对于两相邻截面，故上式表明：故上式表明：故上式表明：故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比点至截面中心之间的距离成正比点至截面中心之间的距离成正比点至截
15、面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的。上式即为圆轴扭转时的。上式即为圆轴扭转时的。上式即为圆轴扭转时的变形变形变形变形协调方程协调方程协调方程协调方程。第14页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的弹性范围内的 剪应力剪应变关系剪应力剪应变关系 第15页，本讲稿共52页 剪切胡克定律剪切胡克定律 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 若在弹性范围内加载，即剪应力若在弹性范围内加载，即剪
16、应力若在弹性范围内加载，即剪应力若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同小于某一极限值时，对于大多数各向同小于某一极限值时，对于大多数各向同小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性性材料，剪应力与剪应变之间存在线性性材料，剪应力与剪应变之间存在线性性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系关系关系关系此即为此即为此即为此即为剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律（HookelawinHookelawinshearingshearing），式中），式中），式中），式中G G为比例常数，为比例常数，为比例常数，为比例常数，称为称为称为称为剪切
17、弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量或或或或切变模量切变模量切变模量切变模量(shearingmodulus)(shearingmodulus)。第16页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 其中其中其中其中 于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到
18、横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。对于确定的横截面是一个不变的量。对于确定的横截面是一个不变的量。对于确定的横截面是一个不变的量。对于确定的横截面是一个不变的量。第17页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点
19、到横截面中心的距离成正于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。第18页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 静力学方程静力学方程 第19页，本讲稿共52页 静力学方程静力学方程静力学方程静力学方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的
20、剪应力分析 作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其中心简化结果为一力偶，其中心简化结果为一力偶，其中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是力偶矩即为该截面上的扭矩。于是力偶矩即为该截面上的扭矩。于是力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有有有有 此即静力学方程。此即静力学方程。此即静力学方程。此即静力学方程。第20页，本讲稿共52页 I IP P就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的就是圆截面对其中
21、心的极惯性矩。式中的就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIGIP P称为圆轴的称为圆轴的称为圆轴的称为圆轴的扭转刚度扭转刚度扭转刚度扭转刚度（torsionalrigiditytorsionalrigidity）。）。）。）。静力学方程静力学方程静力学方程静力学方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 第21页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的 剪应力表达式剪应力表达式 第22页，本讲稿共5
22、2页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中MMx x由平衡条件确定；由平衡条件确定；由平衡条件确定；由平衡条件确定；I IP P由积分求得。由积分求得。由积分求得。由积分求得。第23页，本讲稿共52页 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的
23、剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 第24页，本讲稿共52页最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力Wp扭转截面系扭转截面系数数 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 第25页，本讲稿共52页截面的极惯性矩与截面的极惯性矩与截面的极惯性矩与截面的极惯性矩与扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数 =d d/D D 对于直径为对于直径为对于直径为对于直径为 d d 的实心圆截面的实心圆截面的实心圆截面的实心圆截面 对于内、外直径分
24、别为对于内、外直径分别为对于内、外直径分别为对于内、外直径分别为d d 和和和和 D D 圆环截面圆环截面圆环截面圆环截面 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 第26页，本讲稿共52页已知：已知：已知：已知：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,最大最大最大最大剪应力剪应力剪应力剪应力不得超过不得超过不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内空心圆轴的内空心圆轴的内空心圆轴的内外直径之比外直径之比外直径之比外直径之比 =0.5=
25、0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。二轴长度相同。二轴长度相同。例例例例 题题题题1 1求求求求:实心轴的直径实心轴的直径实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 第27页，本讲稿共52页解：解：解：解：首先由轴所传递的功率计算作首先由轴所传递的功率计算作首先由轴所传递的功率计算作首先
26、由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩用在轴上的扭矩用在轴上的扭矩用在轴上的扭矩实心轴实心轴实心轴实心轴 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题例题例题例题 1 1 第28页，本讲稿共52页解：解：解：解：对于空心轴，对于空心轴，对于空心轴，对于空心轴，算得算得算得算得d20.5D2=23mm 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题例题例题例题 1 1 第29
27、页，本讲稿共52页解：解：解：解：确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴空心轴空心轴D246mmd223mm 实心轴实心轴实心轴实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题
28、例题例题例题 1 1 第30页，本讲稿共52页已知：已知：已知：已知：P P1 114kW,14kW,n n1 1=n n2 2=120r/min,=120r/min,z z1 1=36,=36,z z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,=70mm,d d22=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.=35mm.求求求求:各各各各轴轴轴轴横截面上的最大剪应力。横截面上的最大剪应力。横截面上的最大剪应力。横截面上的最大剪应力。3例例例例 题题题题2 2 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭
29、转时横截面上的剪应力表达式 第31页，本讲稿共52页P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：解：解：解：计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题例题例题例题 2 2 第32页，本讲稿共52页Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：解：解：解：计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩 圆轴扭转时的
30、剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题例题例题例题 2 2 第33页，本讲稿共52页3解：解：解：解：计算各轴的横截面上的最大剪应力计算各轴的横截面上的最大剪应力计算各轴的横截面上的最大剪应力计算各轴的横截面上的最大剪应力 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题例题例题例题 2 2 2 2 第34页，本讲稿共52页返回返回 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设
31、计 与刚度设计与刚度设计第第第第9 9章章章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算第35页，本讲稿共52页 扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 试验结果表明，低碳钢的剪应试验结果表明，低碳钢的剪应试验结果表明，低碳钢的剪应试验结果表明，低碳钢的剪应力与剪应变关系曲线上，
32、类似于拉伸力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线正应力与正应变关系曲线，也存在线正应力与正应变关系曲线，也存在线正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用服强度和强度极限分别用服强度和强度极限分别用服强度和强度极限分别用s s和和和和b b表表表表示。示。示。示。对对对对于于于于铸铸铸铸铁铁铁铁，整整整整个个个个扭扭扭扭转转转转过过过过程程程程，都都都都没没没没有有有
33、有明明明明显显显显的的的的线线线线弹弹弹弹性性性性阶阶阶阶段段段段和和和和塑塑塑塑性性性性阶阶阶阶段段段段，最最最最后后后后发发发发生生生生脆脆脆脆性性性性断断断断裂裂裂裂。其其其其强强强强度度度度极极极极限限限限用用用用 b b b b表示。表示。表示。表示。第36页，本讲稿共52页 扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 韧性材料与脆性材料扭转韧性材料与脆性材料扭转韧性材料与脆性材料扭转韧性材料与脆性材
34、料扭转破坏时，其试样断口有着明显破坏时，其试样断口有着明显破坏时，其试样断口有着明显破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿的区别。韧性材料试样最后沿的区别。韧性材料试样最后沿的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、横截面剪断，断口比较光滑、横截面剪断，断口比较光滑、横截面剪断，断口比较光滑、平整。平整。平整。平整。铸铁试样扭转破坏时沿铸铁试样扭转破坏时沿铸铁试样扭转破坏时沿铸铁试样扭转破坏时沿4545 螺旋螺旋螺旋螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。面断开，断口呈细小颗粒状。面断开，断口呈细小颗粒状。面断开，断口呈细小颗粒状。第37页，本讲稿共52页 扭转强度设计扭转强度设
35、计 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计第38页，本讲稿共52页 扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 与与与与弯弯弯弯曲曲曲曲强强强强度度度度设设设设计计计计相相相相类类类类似似似似，扭扭扭扭转转转转强强强强度度度度设设设设计计计计时时时时，首首首首先先先先需需需需要要要要根根根根据据据据扭扭扭扭矩矩矩矩图图图图和和和和横横横横截截截截面面面
36、面的的的的尺尺尺尺寸寸寸寸判判判判断断断断可可可可能能能能的的的的危危危危险险险险截截截截面面面面；然然然然后后后后根根根根据据据据危危危危险险险险截截截截面面面面上上上上的的的的应应应应力力力力分分分分布布布布确确确确定定定定危危危危险险险险点点点点（即即即即最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力作作作作用用用用点点点点）；最最最最后后后后利利利利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。对于脆性材料，对于脆性材料，对于脆性材料，对于脆性材料，对于韧性材料，对于韧性材料，对
37、于韧性材料，对于韧性材料，其中其中其中其中 为许用剪应力。为许用剪应力。为许用剪应力。为许用剪应力。圆轴扭转时的强度设计准则为圆轴扭转时的强度设计准则为圆轴扭转时的强度设计准则为圆轴扭转时的强度设计准则为第39页，本讲稿共52页已知：已知：已知：已知：汽车发动机将功率通过主传动汽车发动机将功率通过主传动汽车发动机将功率通过主传动汽车发动机将功率通过主传动轴轴轴轴ABAB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传给后桥，驱动车轮行驶。设主传给后桥，驱动车轮行驶。设主传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为传动轴所承受的最大外力偶矩为传动轴所承受的最大外力偶矩为传动轴所承受的最大外力偶矩为MM
38、e e1.5kNm1.5kNm，轴由，轴由，轴由，轴由4545号钢无缝钢管制成，号钢无缝钢管制成，号钢无缝钢管制成，号钢无缝钢管制成，外直径外直径外直径外直径D D90mm90mm，壁厚，壁厚，壁厚，壁厚2.5mm2.5mm，60Mpa60Mpa。例例例例 题题题题3 3 扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计试试试试:1 1试校核主传动轴的强度；试校核主传动轴的强度；试校核主传动轴的强度；试校核主传动轴的强度；2.2.若改用实心轴，在具有与空心
39、轴相同的最大剪若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪 应力的前提下，试确定实心轴的直径；应力的前提下，试确定实心轴的直径；应力的前提下，试确定实心轴的直径；应力的前提下，试确定实心轴的直径；3.3.确定空心轴与实心轴的重量比。确定空心轴与实心轴的重量比。确定空心轴与实心轴的重量比。确定空心轴与实心轴的重量比。第40页，本讲稿共52页 扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计例题例题例题例题 3 3 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
40、与刚度设计与刚度设计与刚度设计解：解：解：解：11校核空心轴的强度校核空心轴的强度校核空心轴的强度校核空心轴的强度 根根根根据据据据已已已已知知知知条条条条件件件件，主主主主传传传传动动动动轴轴轴轴横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的扭扭扭扭矩矩矩矩MMx xMMe e1.51.5kNmkNm，轴的内直径与外直径之比，轴的内直径与外直径之比，轴的内直径与外直径之比，轴的内直径与外直径之比 因因因因为为为为轴轴轴轴只只只只在在在在两两两两端端端端承承承承受受受受外外外外加加加加力力力力偶偶偶偶，所所所所以以以以轴轴轴轴各各各各横横横横截截截截面面面面的的的的危危危危险险险险程程程程度度度度相
41、相相相同同同同，轴轴轴轴的所有横截面上的最大剪应力均为的所有横截面上的最大剪应力均为的所有横截面上的最大剪应力均为的所有横截面上的最大剪应力均为 由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。第41页，本讲稿共52页 扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计例题例题例题例题 3 3 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计解：解：解：解：22确定实心轴的直径确定实心轴的
42、直径确定实心轴的直径确定实心轴的直径 根根根根据据据据实实实实心心心心轴轴轴轴与与与与空空空空心心心心轴轴轴轴具具具具有有有有同同同同样样样样数数数数值值值值的的的的最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力的的的的要要要要求求求求，实实实实心心心心轴轴轴轴横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力也也也也必必必必须须须须等等等等于于于于50.9MPa50.9MPa。若若若若设设设设实实实实心心心心轴轴轴轴直直直直径径径径为为为为d d1 1，则有，则有，则有，则有 据此，实心轴的直径据此，实心轴的直径据此，实心轴的直径据此，实心轴的直径 第42页，本讲稿共
43、52页 扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计扭转强度设计例题例题例题例题 3 3 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计解：解：解：解：33计算计算计算计算空心轴与实心轴的重量比空心轴与实心轴的重量比空心轴与实心轴的重量比空心轴与实心轴的重量比 由由由由于于于于二二二二者者者者长长长长度度度度相相相相等等等等、材材材材料料料料相相相相同同同同，所所所所以以以以重重重重量量量量比比比比即即即即为为为为横横横横截截截截面面面面的的的的面面面面积比，即积比，即积比，即积比，即第43页，本讲稿共52页
44、承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计 第44页，本讲稿共52页 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计 扭扭扭扭转转转转刚刚刚刚度度度度计计计计算算算算是是是是将将将将单单单单位位位位长长长长度度度度上上上上的的的的相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角限限限限制制制制在在在在允允允允许许许许的的的的范范范范围围围围内
45、内内内，即必须使构件满足刚度设计准则：即必须使构件满足刚度设计准则：即必须使构件满足刚度设计准则：即必须使构件满足刚度设计准则：其中单位长度上的相对扭转角其中单位长度上的相对扭转角其中单位长度上的相对扭转角其中单位长度上的相对扭转角 式式式式中中中中 的的的的称称称称为为为为单单单单位位位位长长长长度度度度上上上上的的的的许许许许用用用用相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角，其其其其数数数数值值值值视视视视轴轴轴轴的的的的工工工工作作作作条条条条件件件件而定。而定。而定。而定。第45页，本讲稿共52页 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的
46、强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计 刚度设计中要注意单位的一致性：刚度设计中要注意单位的一致性：刚度设计中要注意单位的一致性：刚度设计中要注意单位的一致性：中中中中 的的的的单单单单位位位位为为为为rad/mrad/m；而而而而 通通通通常常常常所所所所用用用用的的的的单单单单位位位位为为为为()mm。因因因因此此此此，在在在在实实实实际际际际设设设设计计计计中中中中，若若若若不不不不等等等等式式式式两两两两边边边边均均均均采采采采用用用用radradmm，则则则则必必必必须须须须在在在在不不不不等等等等式式式式右右右右边边边边
47、乘乘乘乘以以以以（180180）；若若若若两两两两边边边边均均均均采采采采用用用用()mm，则则则则必必必必须须须须在在在在左左左左边边边边乘乘乘乘以以以以（180180）。）。）。）。第46页，本讲稿共52页已知：已知：已知：已知：钢制空心圆轴的外直径钢制空心圆轴的外直径钢制空心圆轴的外直径钢制空心圆轴的外直径D D100mm100mm，内直径，内直径，内直径，内直径d d50mm50mm。若。若。若。若要求轴在要求轴在要求轴在要求轴在2m2m长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过1.5(1.5()，材料的切变模量，材
48、料的切变模量，材料的切变模量，材料的切变模量G G80.4GPa80.4GPa。例例例例 题题题题5 5试：试：试：试：1 1 求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；2 2 确定此时轴内最大剪应力。确定此时轴内最大剪应力。确定此时轴内最大剪应力。确定此时轴内最大剪应力。承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计 解：解：解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩确定
49、轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有 第47页，本讲稿共52页解：解：解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为 空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转
50、时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计例题例题例题例题 5 5 第48页，本讲稿共52页解：解：解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩9.688109.688103 3N.mN.m9.688kN.m9.688kN.m 承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计与刚度设计与刚度设计与刚度设计 扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计扭转刚度设计例题例题例题例题 5 5 第49页，本讲稿共52页解