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1、第三章 统计推断 区间估计 假设检验第二节 参数的区间估计(3)当 已知或未知时,方差 2 的置信区间一、单个正态总体 X N(2)的参数区间估计置信区间常用公式(1)方差 2已知,的置信区间(2)方差 2未知,的置信区间 例3.2.12 设有一组来自正态总体N(,2)的样本值：0.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.510,0.510,0.515,0.512.(i)已知2=0.012，求的95%置信区间；(ii)2未知，求的95%置信区间；(iii)求2的95%置信区间.一、SAS/INSIGHT步骤：SolutionsAnalysisInteractive data
2、 analysis(在SAS/INSIGHT：OPEN窗口中)work 选中数据名(本例为Data E3212见V8 文件)(OPEN)AnalyzeDistribution(Y)(在Distribution(Y)窗口中将待分析变量X送入Y)OUTPUT 选中Basic Confidence Intervals设置Alpha(本例为默认值0.05)(OK)(OK)本例(ii)、(iii)问输出结果：95%Confidence Intervals95%Confidence IntervalsParameterParameterEstimateEstimate LCL LCL UCL UCLMea
3、nMeanStd DevStd DevVarianceVariance0.50890.50890.01090.01090.00010.00010.50050.50050.00730.00735.400E-055.400E-050.51730.51730.02080.02080.00040.0004x二、SAS/分析员应用(1)步骤：Solutions Analysis Analyst(出现空白数据表)FileOpen By Sas Name(在Select A Member窗口中)work 选中数据名(本例为Data E3212见V8文件)(OK)Statistics Hypothesis T
4、ests One-Sample Z-test for a Mean在One-Sample Z-test for a Mean窗口中将待分析变量X送入Variable中,并设置std.dev.of(本例为0.01)Tests 选中Interval设置confidence level(本例为默认值95.0%)(OK)(OK)本例(i)问输出结果：95%Confidence Intervals for the MeanLower Limit Upper Limit-0.50 0.52(2)(2)步骤：步骤：略 Statistics Hypothesis Tests Statistics Hypoth
5、esis Tests One-Sample t-test for a MeanOne-Sample t-test for a Mean(在在One-Sample t-test for a MeanOne-Sample t-test for a Mean窗口中将待分析变窗口中将待分析变量量XX送入送入VariableVariable中中)Tests)Tests 选中选中IntervalInterval设置设置confidence level(confidence level(本例为默认值本例为默认值95.0%)(OK)95.0%)(OK)(OK)(OK)本例(ii)问输出结果：95%Confid
6、ence Intervals for the MeanLower Limit:0.50 Upper Limit:0.52(3)(3)步骤：步骤：略 Statistics Hypothesis Tests Statistics Hypothesis Tests One-Sample Test for a VarianceOne-Sample Test for a Variance(在在One-Sample Test for a VarianceOne-Sample Test for a Variance窗口中将待分析窗口中将待分析变量变量XX送入送入VariableVariable中中,并在并在
7、Null:VarNull:Var中设置一大于中设置一大于00的的数数)Intervals)Intervals 选中选中IntervalInterval设置设置confidence confidence level(level(本例为默认值本例为默认值95.0%)(OK)(OK)95.0%)(OK)(OK)本例(iii)问输出结果：95%Confidence Interval for the Variance95%Confidence Interval for the VarianceLower Limit Upper LimitLower Limit Upper Limit-54E-6 0.0
8、004 54E-6 0.0004三、SAS 编程data E3212;input x;cards;0.497 0.506 0.518 0.524 0.488 0.510 0.510 0.515 0.512;proc capability;Intervals x/method=4 alpha=0.05;Intervals x/method=6 alpha=0.05;run;注：method=4 表示计算均值置信区间，method=6表示计算标准差置信区间第三节 假设检验一、单个正态总体的参数假设检验（1）关于 的检验 Z 检验法(2 已知)0 0 0 0 0 0原假设 H0备择假设 H1检验统计
9、量及其H0为真时的分布拒绝域 0 0 0 0 0 0T 检验法(2 未知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域 2 02 2 02 2 02 2=02 2 02原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 检验法（2）关于 2 的检验例3.3.1 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布.当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为(公斤)：0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.51
10、5 0.512问机器是否正常？(数据名Data E331)一、SAS/INSIGHT步骤：SolutionsAnalysisInteractive data analysis(在SAS/INSIGHT：OPEN窗口中)work 选中数据名(本例为Data E331见V8 文件)(OPEN)AnalyzeDistribution(Y)(在Distribution(Y)窗口中将待分析变量X送入Y)OUTPUT 选中Tests for Location设置Alpha(本例为默认值0.05)及mu0(本例为0.5)(OK)(OK)本例输出结果：Num Num obsobs mu0:7 mu0:7Tes
11、tTestStatisticStatistic p-value p-valueStudents tStudents tSignSignSigned RankSigned Rank3.583.582.502.5019.5019.500.00710.00710.17970.17970.01950.0195xNum Num obsobs!=mu0:9!=mu0:9Tests for Location:mu0=0.5Tests for Location:mu0=0.5说明：因为在t检验中p-value p-value 值 值0.00710.05(0.00710.05(显著性水 显著性水 平 平)，所以
12、拒绝原假设，即认为机器不正常。，所以拒绝原假设，即认为机器不正常。软件有关结果评价指标p-value(或记作Prob、Pr)n n Z检验 upper-tailed test:p-value=P(ZZ Stat)lower-tailed test:p-value=P(ZZ Stat)two-tailed test:p-value=2P(Z|Z Stat|)n n T检验 upper-tailed test:p-value=P(Tt Stat)lower-tailed test:p-value=P(Tt Stat)two-tailed test:p-value=2P(T|t Stat|)n n
13、X2检验 upper-tailed test:p-value=P(X2 X2 Stat)lower-tailed test:p-value=P(X2 X2 Stat)two-tailed test:p-value=2P(X2 X2 Stat)或=21-P(X2 X2 Stat)n n F检验 upper-tailed test:p-value=P(FF Stat)lower-tailed test:p-value=P(FF Stat)two-tailed test:p-value=2P(FF Stat)或=21-P(FF Stat)说明说明:在假设检验中在假设检验中 p-value p-val
14、ue 是是零假设成立的概零假设成立的概率率.当当Pr Pr aa 时时接受接受零假设零假设;当当Pr Pr aa 时时拒绝拒绝零假设零假设.(.(aa是显著性水平是显著性水平)二、SAS/分析员应用步骤：步骤：Solutions Analysis Analyst(Solutions Analysis Analyst(出现空白出现空白数据表数据表)FileOpenFileOpen By By SasSas Name Name(在在Select A Select A MemberMember窗口中窗口中)work work 选中数据名选中数据名(本例为本例为Data Data E331E331见见
15、VV88文件文件)(OK)Statistics Hypothesis)(OK)Statistics Hypothesis Tests Tests One-Sample Z-test for a MeanOne-Sample Z-test for a Mean在在One-Sample Z-test for a MeanOne-Sample Z-test for a Mean窗口中将待分析变窗口中将待分析变量量XX送入送入VariableVariable中中,并设置并设置Null:Mean Null:Mean=(本例为本例为0.5)0.5)及及std.dev.ofstd.dev.of(本例为本例为
16、0.015)Tests 0.015)Tests 选中选中NoneNone设置设置confidence level(confidence level(本例为默认值本例为默认值95.0%)(OK)95.0%)(OK)(OK)(OK)本例输出结果：Hypothesis TestNull hypothesis:Mean of x=0.5Alternative:Mean of x=0.5With a specified known standard deviation of 0.015 Z Statistic ProbZ-2.244 0.0248说明：因为在Z检验中p-value p-value 值 值
17、0.02480.05(0.02480.05(显著性水平 显著性水平),),所以拒绝原假设，即认为机器不正常。所以拒绝原假设，即认为机器不正常。步骤：略Statistics Hypothesis Tests One-Sample t-test for a Mean在One-Sample t-test for a Mean窗口中将待分析变量X送入Variable中,并设Null:Mean=(本例为0.5)Tests 选中None设置confidence level(本例为默认值95.0%)(OK)(OK)本例输出结果：Hypothesis TestNull hypothesis:Mean of x
18、=0.5Alternative:Mean of x=0.5 t Statistic Df Probt-3.585 8 0.0071说明：因为在t 检验中p-value p-value 值 值0.00710.05(0.00710.05(显著性水平 显著性水平),),所以拒绝原假设，即认为机器不正常。所以拒绝原假设，即认为机器不正常。步骤：略Statistics Hypothesis Tests One-Sample Test for a Variance(在One-Sample Test for a Variance窗口中将待分析变量X送入Variable中,并设置Null:Var=(本例为2.
19、25E-4)Intervals 选None 设置confidence level(本例为默认值95.0%)(OK)(OK)本例输出结果：Hypothesis TestNull hypothesis:Variance of x=0.000225Alternative:Variance of x=0.000225 Chi-square Df Prob-3.136 8 0.1489说明：因为在卡方检验中p-value p-value 值 值0.14890.05(0.14890.05(显著性水平 显著性水平),),所以接受原假设，即认为机器正常。所以接受原假设，即认为机器正常。二、两个正态总体的参数假
20、设检验设 X N(1 12),Y N(2 22)两样本 X,Y 相互独立,样本(X1,X2,Xn),(Y1,Y2,Ym)样本值(x1,x2,xn),(y1,y2,ym)显著性水平 1 2=(12，22 已知)(1)关于均值差 1 2 的检验1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1 2=1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12,22未知12=22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12 22 12 22 12 22(2)关于方差比 12/22 的检验(1,2 均未知)原假设 H0备择假设 H1
21、检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12=22 12 22例例3.3.53.3.5 在在2020世纪世纪7070年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).(NDMA).到了到了2020世纪世纪8080年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程.下面给出分下面给出分别在新老两种过程中形成的别在新老两种过程中形成的NDMANDMA含量含量(以以1010亿份中的份数亿份中的份数计计).).老过程老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 46 4
22、5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 32 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3设两样本分别来自正态总体，两样本独立设两样本分别来自正态总体，两样本独立.分别以分别以 记记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设(取取=0.05)=0.05)1,2 H0：1 2 2，H1：1 2 2解：先判断“12=22”是否成立，然后再判断“1 2 2”是否成立.一、SAS/分析员应用步骤步骤11：F F 检验检验Solutions Analysis Analyst(Solutions Analysis
23、 Analyst(出现空白出现空白数据表数据表)FileOpenFileOpen By By SasSas Name Name(在在Select A Select A MemberMember窗口中窗口中)work work 选中数据名选中数据名(本例为本例为Data Data E335E335见见VV88文件文件)(OK)Statistics Hypothesis)(OK)Statistics Hypothesis Tests Tests Two Sample test for VariancesTwo Sample test for Variances(在在Two-Sample test
24、for VariancesTwo-Sample test for Variances窗口中选择窗口中选择Two Two variables,variables,将待分析变量将待分析变量XX送入送入Group1Group1中中,将待分析变将待分析变量量YY送入送入Group2Group2中中,并选中并选中Variance1/Variance21Variance1/Variance21)Intervals Intervals 选中选中NoneNone设置设置confidence level(confidence level(本例本例为默认值为默认值95.0%)(OK)(OK)95.0%)(OK)(
25、OK)本例步骤1输出结果：Hypothesis TestNull hypothesis:Variance1/Variance2=1Alternative:Variance1/Variance2=1-Degrees of Freedom-Degrees of Freedom-F Numer.Denom.PrF-0.93 11 11 0.9089说明：因为在F检验中p-value p-value 值 值0.90890.05(0.90890.05(显著性水平 显著性水平)，所以接受原假设，即认为两总体方差无显著性差异。所以接受原假设，即认为两总体方差无显著性差异。步骤2：两独立样本均值的T检验略St
26、atistics Hypothesis Tests Two Sample t-test for Means在Two-Sample t-test for Means窗口中选择Two variables,将待分析变量X送入Group1中,将待分析变量Y送入Group2中,并设置“Mean1-Mean2=”（本例为2)，然后选中Mean1-Mean22 Tests 选中None设置confidence level(本例为默认值95.0%)(OK)(OK)本例步骤2输出结果：Hypothesis TestHypothesis TestNull hypothesis:Mean1-Mean2=2Null
27、hypothesis:Mean1-Mean2 2Alternative:Mean1-Mean2 2 If Variances Are t Statistic If Variances Are t Statistic DfDf ProbProbtt-Equal 4.362 22 0.0001 Equal 4.362 22 0.0001 Not Equal 4.362 21.97 0.0001 Not Equal 4.362 21.97 0.0001说明：因为在t 检验中p-value p-value 值 值0.00010.05(0.00010.05(显著性水平 显著性水平)，所以拒绝原假设，即认为两个过程含量均值差异显著超过 所以拒绝原假设，即认为两个过程含量均值差异显著超过2 2。