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1、向量空间与线性变换向量空间与线性变换在数学大厦中的重要地位在数学大厦中的重要地位 侯维民侯维民 教授教授 向量空间与线性变换在数学大厦中的重向量空间与线性变换在数学大厦中的重要地位主要体现在以下三方面：要地位主要体现在以下三方面：一、在大学数学课程体系中的核心地位二、对诸多数学知识的领导作用三、对现代数学思想方法的奠基作用一一.在大学数学课程体系中的核心地位在大学数学课程体系中的核心地位1 高等代数是数学类专业的骨干基础课高等代数是数学类专业的骨干基础课2 线性代数是高等代数的主要内容3 向量空间、线性变换在线性代数中的核心地位线性代数是高等代数的主要内容线性代数是高等代数的主要内容三部分内容
2、简介三部分内容重要性比较多项式论群环域简介线性代数高等代数高等代数二二 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （一）（一）向量空间对诸多数学知识的领导作用向量空间对诸多数学知识的领导作用对中学数学对中学数学设C表示复数域，则(C,+,)作成C上的向量空间设R表示复数域，则(R,+,)作成R上的向量空间设Q表示复数域，则(Q,+,)作成Q上的向量空间2 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 向量空间对诸多数学知识的领导作用向量空间对诸多数学知识的领导作用对解析几何对解析几何设v1=a|a是直线上的向量,则(v1,+,数乘)作成R上的向量空间设v2=a|a是平面上的向量,则
3、(v2,+,数乘)作成R上的向量空间设v3=a|a是几何空间的向量,则(v3,+,数乘)作成R上的向量空间设R2=(a,b)|a,b,则(R2,+,数乘)作成R上的向量空间对数学分析对数学分析2 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 向量空间对诸多数学知识的领导作用向量空间对诸多数学知识的领导作用2 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 向量空间对诸多数学知识的领导作用向量空间对诸多数学知识的领导作用对对高等代数高等代数(1)(1)令令F F是一个是一个数域，则数域，则(F F,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(2)Fx=f(x)|f(x)(2)
4、Fx=f(x)|f(x)是是F F上的多项式上的多项式,则则(FxFx,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(3)(3)令令FxFx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上多元多项式的集合，则上多元多项式的集合，则 （FxFx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(4)(4)令令F Fm mxx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上上m m次齐次多项式的集合，则次齐次多项式的集合，则(F(Fm mxx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的
5、向量空间上的向量空间(5)(5)令令F F对对xx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上对称多项式的集合，则上对称多项式的集合，则 (F (F对对xx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间（6 6）令）令M Mmnmn(F)=A|A(F)=A|A是是F F上的上的mnmn矩阵矩阵，则，则(M(Mmnmn(F),+,(F),+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(7)(7)令令M M是是F F上上n n阶对称（反对称）矩阵的集合，则阶对称（反对称）矩阵的集合，则(M(M，+，数乘，数乘)作成作成F F上
6、的向量空间上的向量空间（8 8）令）令M M是是F F上上n n阶上（下）三角形矩阵的集合，则阶上（下）三角形矩阵的集合，则(M(M，+，数乘，数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间（9 9）设）设V V是是F F上的向量空间，则上的向量空间，则L(V)L(V)作成作成F F上的向量空间上的向量空间2 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 线性变换线性变换对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用对中学数学 正比例函数正比例函数 y=kx2 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 线性变换线性变换对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用对解析几何2 对
7、诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 线性变换线性变换对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用对数学分析如不计较常数的差异，也可看成Ca,b的线性变换注意注意则 是Ca,b上的线性函数，而不是线性变换二二对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 线性变换线性变换对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用对高等代数 正比例函数正比例函数 y=kx三三.对对现代数学思想方法的奠基作用现代数学思想方法的奠基作用 现代数学思想方法：形式公理化方法、结构化方法、矩阵表示方法 三三.对对现代数学思想方法的奠基作用现代数学思想方法的奠基作用 （一）形式公理化方法（一）形式公理化方法抽象代数：群、环、域、模、格拓扑学：拓扑、同胚泛函分析：距离、线性赋范空间概率论 三三.对对现代数学思想方法的奠基作用现代数学思想方法的奠基作用 （二）结构化方法（二）结构化方法 数学结构代数结构拓扑结构序结构三三.对对现代数学思想方法的奠基作用现代数学思想方法的奠基作用 （三）矩阵表示方法（三）矩阵表示方法取定一个基后，向量、向量组、线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数.基变换公式