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1、第一章第一章 晶体结构晶体结构后期编辑：霍团长后期编辑：霍团长1.11.1、如果将等体积球分别排成下列结构，设如果将等体积球分别排成下列结构，设 x x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构结构 X X简单立方简单立方6 0.52体心立方体心立方3 0.6882 0.7462 0.7463 0.346面心立方面心立方六角密排六角密排金刚石金刚石解解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就
2、是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r，V=nVVc43r，Vc=a3，n=134343rrx 3333 0.526a8r（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a 4r a n=2,Vc=a34 3x3442r32r3333 0.68x 8a34 33(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a 4r,a 2 2rn=4，Vc=a3444r34r3233x 0.7436a3(2 2r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6SABO 61aasin6
3、03 32=a22晶胞的体积：V=SC n=12123 328a a 3 2a3 24 2r32311 2 3=6个62444r34r3233x 0.74336a(2 2r)（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 42r a 8r3n=8,Vc=a3448r38r3333x 0.346a3833r3 31.31.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。aa 12(j k)a证明：证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(i k)2aa 32(i j)由倒格子基矢的定义：b12(
4、a2a3)0,a a1(a2a3),2a,2a,20,a,2ai,2aa3a，a2a3,242a0,2j,0,a,2kaa2(i j k)2404a22b1 23(i j k)(i j k)a4a2(i j k)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。2b3(i j k)ab2所以，面心立方的倒格子是体心立方。2aa 12(i j k)a（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(i j k)2aa 32(i j k)由倒格子基矢的定义：b12(a2a3)aaa,i,j,k222aaaa3aaaa2 a1(a2a3),，a2a3,(j k)22222222aaa
5、aaa,2222222a22b1 23(j k)(j k)a2a2(i k)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。2b3(i j)ab2所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.51.5、证明倒格子矢量、证明倒格子矢量G h1b1h2b2h3b3垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。的晶面系。证明：因为CA a1a3aa,CB 23，G h1b1h2b2h3b3h1h3h2h3利用aibj 2ij，容易证明Gh1h2h3CA 0Gh1h2h3CB 0所以，倒格子矢量G h1b1h2b2 h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。1.61.6、对于简
6、单立方晶格，证明密勒指数为、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距的晶面系，面间距d满足：满足：d a(h k l)，其中其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。322222解：简单立方晶格：a1 a2 a3，a1 ai,a2 aj,a3 ak由倒格子基矢的定义：b1 2倒格子基矢：b1a2a3a3a1a1a2，b2 2，b3 2a1a2a3a1a2a3a1a2a3222i,b2j,b3kaaa222倒格子矢量：G hb1kb2lb3，G hi kj lkaaa晶面族(hkl)的面间距
7、：d 2G1hkl()2()2()2aaaa2d 2(h k2l2)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。1.91.9、画出立方晶格（、画出立方晶格（111111）面、）面、（100100）面、）面、（110110）面，并指出（）面，并指出（111111）面与（）面与（100100）面、）面、（111111）面与（）面与（110110）面的交线的晶向。面的交线的晶向。解：(111)(111)1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB平移，A 与 O 点重合，B点位矢：RB aj ak，(111)面与(100)面的交线的晶
8、向AB aj ak，晶向指数011。2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB平移，A 与原点 O 重合，B点位矢：RB ai aj，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj，晶向指数110。4第二章第二章 固体结合固体结合2.12.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，和库仑相互作用能，设离子的总数为设离子的总数为2N。解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，
9、于是有rj(1)1111 2 .rijr2r3 r4 r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 21.2342xx3x4.n(1 x)xx34111.234n111当 X=1 时，有12 2n22.32.3、若一晶体的相互作用能可以表示为、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)试求：试求：（1 1）平衡间距）平衡间距r0；（2 2）结合能）结合能W（单个原子的）（单个原子的）；（3 3）体弹性模量；）体弹性模量；rmrn（4 4）若取）若取m 2,n 10,r0 3A,W 4eV，计算，计算及及的值。的值。解：
10、解：（1 1）求平衡间距）求平衡间距 r r0 0由du(r)dr 0，有：rr0mmn 0 r 0m1n1r0r0.n称为结合能（用 w 表示）1mn n m1nm结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量（2 2）求结合能）求结合能 w w（单个原子的）（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即：W U(r0)（3 3）体弹性模量）体弹性模量rm0rn0（可代入 r0值，也可不代入）r02由体弹性模量公式：k 9V02U
11、r2r05（4 4）m=2m=2，n=10n=10，r0 3A，w=4eV w=4eV，求、，求、10r0 2U(r0)1858 1r20r.10 45r02(r085代入)W U(r0)4 4eV5r02将r0 3A，1eV 1.6021019J代入 7.2091038N m21152 9.45910N m详解：详解：（1）平衡间距 r0的计算晶体内能U(r)N(mn)2rr1nnmn)m 0，m1n1 0，r0(mr0r0dU平衡条件drrr0（2）单个原子的结合能1nn1)mW u(r0)，u(r0)(mn)，r0(m2rrrr01mnnmW(1)()m2nm2U)VV0（3）体弹性模量
12、K (V20晶体的体积V NAr，A 为常数，N 为原胞数目晶体内能U(r)3N(mn)2rrUU rNmn1(m1n1)2Vr V2 rr3NAr2UN r mn1()2m1n12V2 V rrr3NAr2UV2N1m2n2mnmnmn2 9V02r0r0r0r0V V0由平衡条件UVV V0mnNmn1n，得(m1n1)0m2r0r02 r0r03NAr062UV22UV2V V0N1m2n2mn22 9V0r0r0V V0N nmN1mn mn2 9V02r0mr0n2 9V02r0mr0nU02UV2N(mn)2r0r0V V0mnmn体弹性模量K U(U)009V09V02（4）若取
13、m 2,n 10,r0 3A,W 4eV11mnnmnnm)mr0()，W(1)(2nmmW10r0，r02102W2r01.210-95eV m10，9.01019eV m22.72.7、对于对于H2，从气体的测量得到从气体的测量得到 LennardLennardJonesJones参数为参数为 50106J,2.96 A.计算计算 fccfcc 结构的结构的H2的结合能的结合能 以以 KJ/molKJ/mol单位单位)，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJ0.751kJmo1mo1，试与计，试与计算值比较算值比较 解 以H2
14、为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：612126U 2NPijPij.RRjijP614.45392;Pij1212.13188,iji 501016erg,2.96A,N 6.0221023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U 26。02210/mol50102816126因此，计 2.96 2.96erg12.1314.45 2.55KJ/mol.3.163.16算得到的H2晶体的结合能为 255KJmol，远大于实验观察值 0.75lKJmo1对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考
15、虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因7第三章第三章 固格振动与晶体的热学性质固格振动与晶体的热学性质3.23.2、讨论、讨论 N N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a a），其，其 2N2N个格波解，当个格波解，当M=m时与一维单原子时与一维单原子链的结果一一对应。链的结果一一对应。解：质量为M的原子位于 2n-1，2n+1，2n+3；质量为m的原子位于 2n，2n+2，2n+4。牛顿运动方程m2n(22n2n12n1)M2n1(22n12n22n)N 个原胞，有 2N 个独立的方程设方程的解2n Aeit(2na)q2n1
16、Beit(2n1)aq，代回方程中得到2(2m)A(2cosaq)B 02(2cosaq)A(2M)B 0A、B 有非零解，2m22cosaq22cosaq2M2 0，则1(mM)4mM211sin aq22mM(mM)1(m M)4mM211sin aq22mM(mM)22两种不同的格波的色散关系(m M)4mM11sin2aq 2mM(mM)12一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N.当M m时4aqcosm24aqsinm2，两种色散关系如图所示：长波极限情况下q 0，sin(qaqa)，22(2m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.33.3、考虑
17、一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和和10，令两种原子质量相等，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为且最近邻原子间距为a 2。试求在。试求在q 0,q a处的处的(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。这样的双原子分子晶体。8答：（1）第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程：浅色标记的原子位于 2n-1，2n+1，2n+3；深色标记原子位于 2n，2n+2，2n+4。m2n(12)2n22n112n1m2n1(12)2n112n222n体系
18、N 个原胞，有 2N 个独立的方程1it(2n)aq21it(2n1)aq21i aq2方程的解：2n Ae2，令121/m,22/m，将解代入上述方程得：2n1 Be21222()A(e(e1i aq22121e221i aq2)B 0e1i aq2222)A(1222)B 0A、B有非零的解，系数行列式满足：(),(e212121222(e211i aq2e221i aq2)1i aq2212222e1i aq222 01i aq21i aq21i aq21i aq22),(1222)21211i aq21i aq2()(e()(e2222ee22221i aq21i aq2)(e)(e2
19、121ee2222)0)022因为1、210，令0124(1102)2(10120cos aq)0 0c10c22,2100得到mm2两种色散关系：20(11 20cos qa101)2当q 0时，20(11 121)，220 0 200 20当q a时，(11 81)，2209（2）色散关系图：3.6.3.6.求出一维单原子链的频率分布函数求出一维单原子链的频率分布函数w。3.73.7、设三维晶格的光学振动在、设三维晶格的光学振动在 q=0q=0 附近的长波极限有附近的长波极限有(q)0 Aq2求证：求证：f()V11/2,0;f()0,0.023/24A2212解0时，0 Aq 0 f()
20、0,00 Aq q A依据q(q)2Aq,f()32012Vds，并带入上边结果有q(q)dsV1A1/2V11/2f4 00331/2223/22q(q)22A02AV3.103.10、设晶体中每个振子的零点振动能为、设晶体中每个振子的零点振动能为1，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0m0E0gd将E013V和g232代入积分有22vsE093V94N k得E NkBD，由于mBD0mm23816vs82一股晶体德拜温度为10 K，可见零点振动能是相当
21、大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟3.113.11、一维复式格子、一维复式格子m 51.671024g,M 4,1.5101N/m(即1.51104dyn/cm),求（求（1 1），光，光m1000A学波学波max，声学波，声学波max。,min（2 2）相应声子能量是多少电子伏。）相应声子能量是多少电子伏。（3 3）在）在 300k300k 时的平均声子数。时的平均声子数。0（4 4）与）与max相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。解（1），Axm a221.5104dyn/cm3 1 1 3.0010 s,24M451.6710omax2M m21.51044
22、551.671024dyn/cm131 6.7010 s2424Mm451.671051.6710Am a x221.5104dyn/cm1 3 1 5.9910 s24m51.6710Amax 6.5810165.991013s11.97102eV（2）omax 6.5810166.701013s1 4.41102eVomin 6.5810163.001013s1 3.95102eV（3）nAmax1eAmax/kBT10.873,nOmax1eOmax/kBT10.221Onmin1eOmin/kBT1 0.276（4）2c 28.1m11第四章第四章 能带理论能带理论4.24.2、写出一
23、维近自由电子近似，第、写出一维近自由电子近似，第 n n 个能带个能带(n=1(n=1，2 2，3)3)中，简约波数中，简约波数k)x1ikx1ikxi2amx1i2axi2amx1i2a(m14解(x)ee eeeeLLLL*k2a的的 0 0 级波函数。级波函数。ix1*第一能带：m 0,m 0,k(x)e2a2aL23ixixi221*第二能带：b b则bb,m,即m 1,（ea=e2a）k(x)e2aaaLx221i2axi2ax1i5*2a第三能带：c c,m,即m 1,k(x)eeeaaLL4.34.3、电子在周期场中的势能、电子在周期场中的势能122m2b(xna),当na b
24、x na b2V(x)0 0，当(n-1)a+b x na b其中其中 d d4b4b，是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I)题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以11a1abV(x)V(x)V(x)dx V(x)dxLLabab题设a 4b，故积分上限应为ab 3b，但由于在b,3b区间内V(x)0，故只需在b,b区间内积分这时，n 0，于是1bm2b2m222V V(x)dx(b x)dx b xab2ab2abb1x33bb126mb。（3
25、），势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)V0mm22bm1bmVmcosx,VmV(x)cosxdx V(x)cosxdx2b2b02bb02b12m2第一个禁带宽度Eg1 2V1,以m 1代入上式,Eg1b利用积分公式u2cosmudu b0(b2 x2)cosx2bdxu2musinmu 2cos musinmu得23mmEg116m23b2第二个禁带宽度Eg2 2V2,以m 2代入上式,代入上式b22m2Eg2b0(b x)cosxbdx再次利用积分公式有Eg22m22b24.44.4、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格、用紧束缚近似模型求出面心立方
26、晶格和体心立方晶格 s s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带Es(k)函数。函数。解：我们求解面心立方，同学们做体立方。（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：Es(k)s J0Rs近邻J(Rs)eik(Rs)在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm 0，则这12个最近邻的坐标是：aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222由于S态波函数是球对称的，在各个方
27、向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即s(r)s(r)在近邻重叠积分J(Rs)J10。于是，把近邻格矢RS代入E(RS)表达式得到：s*i(Rs)U()V(Rs)i()d中，波函数的贡献为正Es(k)S J0 J1Rs近邻aaa(kxky)i(kxky)i(kxky)i(kxky)iae2e2e2=S J0 J1e2eikRs13eai(kykz)2eai(kykz)2eai(kykz)2eai(kykz)2+eai(kxkz)2eai(kxkz)2eai(kxkz)2eai(kxkz)2=S J02J1cos(kxky)cos(kx
28、ky)cos(kykz)cos(kykz)a2a2a2a2acos(kzkx)cos(kzkx)2 cos()cos()2coscosaaaaaakxcoskycoskycoskzcoskzcoskx222222=s J04J1cos（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：aaaaaaaa(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)22222222aaaEs(k)s J08J1(coskxcoskycoskz)2224.74.7、有一一维单原子链，间距为、有一一维单原子链，间距为 a a，总长度为
29、，总长度为 N Na a。求（。求（1 1）用紧束缚近似求出原子）用紧束缚近似求出原子 s s 态能级对应的能带态能级对应的能带E(k)E(k)函数。函数。（2 2）求出其能态密度函数的表达式。）求出其能态密度函数的表达式。（3 3）如果每个原子）如果每个原子 s s 态只有一个电子，求等于态只有一个电子，求等于 T=0KT=0K的的00费米能级费米能级EF及及EF处的能态密度。处的能态密度。解（1）E(k)s J0 J1(eikaeika)s J02J1coska E02J1coskaikRsE(k)E J J(p)e0s(2),N(E)2Ldk2Na1N22dE2J1asinkaJ1sin
30、ka(3),N 0kF002NakFNa002(k)2dk 22kFkF22a00EF E(kF)E 2J1cos2a0a Es,N(EF)NJ1sin2aaNJ1 2x 2y cos.aa4.124.12、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为Ux,y 4U cos用基本方程，近似求出布里渊区角用基本方程，近似求出布里渊区角,处的能隙处的能隙a a14,b,解 以i j表 示 位置 矢量 的单 位矢 量，以b12表 示 倒易 矢量 的单 位矢 量，则有，G b2g b yi,G G1br xi1221 1 g2b2,g1,g2为整数。a晶体势能Ux,y 4U
31、cos 2x 2y cos.aai2xi2xi2yi2yiG11Ur UeeeeUG11eG11其中UG11 U，而其他势能傅氏系数UG10UG20.0。这样基本方程kCKUGG(K GG)变为 0KCKUG11CK G11UG11CK G11UG11CK G11UG11CK G11 0求 布 里渊区角顶1 11,，即k G(,)G11处的能隙，可利用双项平面波近似2 22a a C(K)eiKr C(K G)ei(KG)r来处理。当K 1G11,K 1G11时依次有22K G11 11G11,K G1 1 G11而其他的22K G11，K G11 G11 11CG11,CK G11 CG11
32、;，所以在双项平面波近似下上式中只有22 11CG11,C K G11 CG11;22111G11CG11UCG11 0222111G11CG11UCG11 022212G11uu21 G112=0，因为22212G111 G1121G 11 2mma22222由行列式有()U 0解得=U 22maU,所以在（,-）处的能隙为=+2u.aa15第五章第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动5.15.1、设有一维晶体的电子能带可写成、设有一维晶体的电子能带可写成E(k)是电子的质量。是电子的质量。试求（试求（1 1）能带宽度；）能带宽度；（2 2）电子在波矢）电子在波
33、矢k k状态的速度；状态的速度；（3 3）带顶和带底的电子有效质量。）带顶和带底的电子有效质量。71(coskacos2ka)，其中其中a为晶格常数，为晶格常数，m2ma882解：（1）E(k)71(coskacos2ka)ma28821272 =coska+(2coska1)288ma24ma2(coska2)21当 ka(2n+1)时,n=0,1,222Emax(k)2ma当 ka=2n时,Emin(k)0能带宽度Emax Emin（2）*222ma1 dE(k)1(sinkasin2ka)dkma421 (3)m 2E m(coskacos2ka)12k2当k 0时,带底，m*2m当k 2时,带顶，m*m3a16