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1、2020?届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题2020?届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题一、单选题1已知集合A 0,1,2,3，集合B x x|2，则AA3【答案】B【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】解：A 0,1,2,3,B0,1,2C1,2B（）D0,1,2,3B x|2 x 2，A B 0,1,2故选：B【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题2下列函数f(x)中，满足“对任意x1,x2(0,)，且x1 x2都有fx1 fx2”的是（）Af(x)【答案】B【解析】对任意x1,x2(0,)，且x1 x2都有fx1 fx2”，
2、可知函数f(x)在xB f(x)2xCf(x)lnxDf(x)x3(0,)上单调递减，结合选项即可判断【详解】解：“对任意x1,x2(0,)，且x1 x2都有fx1 fx2”，函数f(x)在(0,)上单调递减，结合选项可知，f(x)xx在(0,)单调递增，不符合题意，f(x)2x 1 在(0,)单调递减，符合题意，2f(x)lnx在(0,)单调递增，不符合题意，第 1 页 共 22 页f(x)x3在(0,)单调递增，不符合题意，故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题3“sin0”是“sin20”的（）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件A充分不必要条件C充分必
3、要条件【答案】A【解析】由sin即可得结果.【详解】解：由sin0可得，由sin20也可得，观察两个的范围之间的关系0可得 k,k Z，k,k Z，2由sin20可得所以“sin故选：A.【点睛】0”是“sin20”的充分不必要条件，本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出的取值，本题是基础题.4已知函数 y=f（x）+x 是偶函数，且 f（2）=1，则 f（-2）=（）A2【答案】D【解析】y fx x是偶函数fx x fxx当x 2时，f22 f22，又f21f25故选：D5一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A异面【答案】DB相交C不能确定D平行
4、B3C4D5第 2 页 共 22 页【解析】由题意设 l,m/,m/，然后过直线m作平面与,都相交，利用线面平行的性质定理与判定定理，即可求解.【详解】设记 l,m/,m/，过m作平面与,都相交，a,b，则有m/a,m/b,a/b，a,b,a/,a,a/l,m/l.故选:D l,【点睛】本题考查线面平行的性质定理和判定定理综合应用，属于基础题.6如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（）Ay x 2x eCy 2x2xsin xBy 4x1Dy 2x x21xln x【答案】A【解析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C 选项，对于选项 D 分析函数值的正负可得出错误，对选项 A 可通过求导，
5、求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确.【详解】选项 A：y x 2x e,y (x 2)e (x2)(x2)e，令y 0,x 2或x 2x2xx2,x(,2)(2,),y 0，第 3 页 共 22 页x(2,2),y 0，函数的单调递增区间是(,2),(2,)，单调递减区间是(2,2)，函数的极大值点为 2，极小值点为2，函数的零点为0,2，x(,0)(2,),y 0，x(0,2),y 0，故选项 A 满足题意；选项 B：函数定义域为(,)141(,)，不合题意；4选项 C：函数的定义域为(0,)，不合题意；选项 D：当x 1时,y 故选:A【点睛】本题考查了函数的图像和性质的应用问题
6、，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目.7已知p:0,3 0，不合题意.22，sin，q:x0N，x02x01 0，则下列选项中2是假命题的为（）Apq【答案】C【解析】命题p：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可【详解】解：命题p：由三角函数的定义，角终边与单位圆交于点P，过P作PM x轴，垂足是M，单位圆交x轴于点A，Bp (q)CpqDp (q)则sin MP，弧长PA即为角；显然MP 弧长PA；p:0,，sin是真命题；2第 4 页 共 22 页命题q：解方程x02x01 0，则x 12，2因此q:
7、x0N，x02x01 0，是假命题则下列选项中是假命题的为pq而 A，B，D 都是真命题故选：C【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8我国古代数学名著九章算术中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在222中，“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过的值为（）2方程2 x x确定 x 的值，类似地3 2 3 2 3A3【答案】AB13 12C6D2 2【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用
8、该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可【详解】解：令32 32 3 m(m 0)，则两边平方得，则32 32 3 m2，即3 2m m2，解得，m 3,m 1舍去故选：A【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题9已知函数f(x)Asin(x)(A 0,0,0)的图象如图所示，下列关于f(x)的描述中，正确的是（）第 5 页 共 22 页Atan33B最小正周期为2C对任意xR都有f x f(x)3个单位长度后图象关于坐标原点对称6D函数f(x)的图象向右平移【答案】D【解析】由三角函数图象得A,的值，得到f(x)的解析式，进而再判断每个命题的真假【详解】
9、解：由图知：A 1,而T T7,T，41232,2,x 3时，f 0又在递减区域，3232k,kZ，而0,3，所以f(x)sin2x最小正周期T,tan tan3，所以 A 不正确，3322，所以 B 不正确，2 f xsin2 xsin(2x)sin2x f(x)，所以 C 不正确；33 3 函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得sin2xsin2x，关于原点663 对称，所以正确故选：D【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题10若将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函nx数f(x)ae（其中 e 是自然对数的底数）
10、.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过 m min 后，甲桶中的水只有A9【答案】CB7aL，则 m 的值为（）4C5D3第 6 页 共 22 页【解析】由题意，函数y f(x)aenx满足f(5)111a，解出n ln再根据252f(k)1a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由4m k 5即可得到【详解】解：5min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数y f(t)aent，满足f(5)ae可得n 5n1a211ln，52a升，4因此，当kmin 后甲桶中的水只有1a，4111即lnk ln，524111即为lnk 2ln，522即f(k)解之得k 10，经过
11、了k 55分钟，即m 5故选：C【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一 着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题11 在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面 ABCD，且 ABCD 为矩形，DPA2，AD 2 3，AB 2，PA PD，则四棱锥P ABCD的外接球的体积为（）A163B323C643D16【答案】B【解析】连接 AC 交 BD 于 F，球心 O 在底面的射影必为点F，取 AD 的中点 E,在截面PEF 中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P ABCD 的外接球的体积【详解】第 7 页 共 22 页连
12、接 AC 交 BD 于 F，球心 O 在底面的射影必为点F，取 AD 的中点 E,在截面 PEF 中，连结PO在PAD中，DPA 2，PA PD，AD 2 3PE 3,又由已知得EF 1，设OF x，在RtOAF中，OA2 x24，在截面PEF中，OP21(3 x)2OPOAx2 4 1(3 x)2得x 0，球的半径为 2，四棱锥 PABCD的外接球的体积为2 故选：B.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥PABCD的外接球的体积，属于中档题12 已知函数f(x)log3x的图象与函数g(x)的图象关于直线y x对称，函数h(x)是最小正周期为 2 的偶函
13、数，且当x0,1时，h(x)g(x)1，若函数433323y k f(x)h(x)有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是（）A1,2log73【答案】BB2,2log53C2log53,1Dlog73,12第 8 页 共 22 页【解析】把函数y k f(x)h(x)有 3 个零点，转化为k log3x h(x)有 3 个不同根，画出函数y k log3x与y h(x)的图象，转化为关于k的不等式组求解【详解】x解：由函数f(x)log3x的图象与函数g(x)的图象关于直线y x对称，得g(x)3，x函数h(x)是最小正周期为 2 的偶函数，当x0,1时，h(x)g(x)1 3 1，函数y
14、k f(x)h(x)有 3 个零点，即k log3x h(x)有 3 个不同根，画出函数y k log3x与y h(x)的图象如图：要使函数y k log3x与y h(x)的图象有 3 个交点，则klog33 2，即2 k 2log53k 0，且klog 5 23实数 k 的取值范围是2,2log53故选：B【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题二、填空题13函数fx2log2x的定义域为_【答案】0,4【解析】根据函数有意义满足的不等式，即可求解.【详解】函数有意义须，2log2x 0,log2x 2，解得0 x 4，第 9 页 共 2
15、2 页所以函数的定义域是0,4.故答案为:0,4【点睛】本题考查函数的定义域，以及解对数不等式，属于基础题.x2,0 x 514设函数f(x)，那么f(18)的值为_.f(x5),x 5【答案】9【解析】推导出f(18)f(353)f(3)，由此能求出结果【详解】x2,0 x 5解：函数f(x)，f(x5),x 5f(18)f(353)f(3)32 9故答案为：9【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15当x x0时，函数f(x)cos2x 2sin_.【答案】x有最小值，则sin x0的值为232【解析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函
16、数的性质即可求解【详解】解：函数f(x)cos2x2sin x cos2x2cos x 2cos2x2cos x1，2根据二次函数的性质可知，当cos x0 则sin x0 1时，函数取得最小值，23,232故答案为：【点睛】第 10 页 共 22 页本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题16 已知正方体有 8 个不同顶点，现任意选择其中 4 个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的_.（写出所有正确结论的编号）每个面都是直角三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是全等的直角三
17、角形的四面体；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可【详解】解：每个面都是直角三角形的四面体；如：EABC，所以正确；每个面都是等边三角形的四面体；如EBGD，所以正确；每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，错误；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体如：ABDE，所以正确；故答案为：【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题三、解答题17已知函数f(x)13x x2 ax（其中 a 为实数）.3（1）若x 1是f(x)的极值点，求函数f(
18、x)的减区间；（2）若f(x)在(2,)上是增函数，求 a 的取值范围.【答案】（1）(1,3)第 11 页 共 22 页（2）1,)【解析】（1）对f(x)求导，代入x 1使导函数为零，求出a的值，进而利用导数可求出f(x)的减区间.（2）f(x)在(2,)上是增函数转化为f(x)在(2,)上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）因为f(x)13x x2 ax，所以f(x)x2 2x a，3因x 1是f(x)的极值点，所以f(1)0，即12a 0，所以a 3，故f(x)x22x 3，当x 1或x 3时，f(x)0，当-1 x 3时，f(x)0，所以a
19、 3符合题意，且f(x)的减区间为(1,3)；（2）因为f(x)在(2,)上为增函数，所以f(x)x 2x a 0在(2,)上恒成立，所以a x22x在(2,)上恒成立，因为g(x)x 2x在(2,1)上是增函数，在(1,)上是减函数，所以g(x)g(1)1，所以a 1，即 a 的取值范围为1,)，【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题.18在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知bsinC csin（1）求 B；（2）已知c 2，AC 边上的高BD【答案】（1）B 22AC.23 21，求 a 的值.73（2）a 3或a 6【解
20、析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果第 12 页 共 22 页（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果【详解】解:（1）由bsinC csin所以bsinC csinAC，2BB，即bsinC ccos，222B，2由正弦定理得sinBsinC sinCcos由于 C 为ABC的内角，所以sin C 0，所以sin B cosBBBB，即2sincos cos2222由于 B 为ABC的内角，cosB 0，2所以sinB1，22又因为B(0,)，所以B 3；11（2）因为S acsinB BDb，22代入c 2，BD 3 2137，sin B，
21、得b a，327由余弦定理得b2 a2c22accosB a2 42a，代入b 7a，得a29a 18 0，3所以a 3或a 6.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19如图，已知BD 为圆锥 AO 底面的直径，若AB BD 4，C 是圆锥底面所在平面第 13 页 共 22 页内一点，CD 2，且 AC 与圆锥底面所成角的正弦值为42.7（1）求证：平面AOC平面 ACD；（2）求二面角B ADC的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）cosOFH 217【解析】（1）首先找到 AC
22、与圆锥底面所成角ACO，求出AC,OC，可得CD OC，结合圆锥的性质，可证明CD平面 AOC，进而可得平面AOC平面 ACD；（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量和平面 ABD 的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角B ADC的平面角的余弦值；解法二：过点 O 作OF AD交于 F.过 F 作FHHO，得OFH为二面角B ADC的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH的余弦.【详解】（1）证明：由AB BD 4及圆锥的性质，所以ABD为等边三角形，AO 圆 O 所在平面，所以AO 2 3，ACO是 AC 与底面所成角，AD交 DC 于 H，
23、连接又 AC 与底面所成的角的正弦值为42，7在RtAOC中，AC AO42714，OC AC2 AO22，由CD 2，OD2，在OCD中，OC2 CD2 OD2，第 14 页 共 22 页所以CD OC，圆锥的性质可知：AO 圆 O 所在平面，因为CD 圆 O 所在平面，所以AO CD，又 AO，OC 平面 AOC，所以CD平面 AOC，又DC 平面 ACD，故平面AOC平面 ACD；（2）解法一：在圆 O 所在平面过点 O 作 BD 的垂线交圆 O 于点 E，以 O 为坐标原点，OE 为 x 轴，OD 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，B(0,2,0)，D(0
24、,2,0)，A(0,0,23)，由OC 2，DOC 4，所以C(1,1,0)，设平面 ACD 的一个法向量为m (x,y,z)，因为AC (1,1,2 3)，AD (0,2,2 3)，x y2 3z 0所以2y2 3z 0取z 1，则m (3,3,1)，平面 ABD 的一个法向量为n (1,0,0)，所以cosm,n mn21，7|m|n|21.7二面角B ADC的平面角的余弦值为解法二：过点 O 作OF AD交于 F.过 F 作FH所以OFH为二面角B ADC的平面角，AD交 DC 于 H，连接 HO，第 15 页 共 22 页在RtOFD中，因为AD 4，FOD 所以FD 1，OF 因为R
25、tHFD所以6，3，RtACD，HFAC，即HF 7DFCD则HD 2 2，故 C 是 HD 的中点，所以OH 2，在OFH中，OH2 OF2 FH2 2OF FH cosOFH，即4 (3)2(7)2 2 3 7 cosOFH，所以cosOFH【点睛】21.7本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题.20已知函数f(x)2cos x(sin x cos x)(x R).（1）求函数f(x)的最小值及取最小值时 x 取值的集合；（2）若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，且g()32,3，223g，求的值.2
26、3,k Z8【答案】（1）f(x)的最小值是12，此时 x 的集合为x|x k（2）4 2 23【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数f(x)得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数f(x)的最小值及取最小值时x取值的集合（2）由题意利用函数y Asin(x)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用第 16 页 共 22 页g两角和的正弦公式求得的值2【详解】解：（1）f(x)2cos xsin x 2cos x，22sin 2xsin2xcos2x11，4当2x 4 2 2k，即x k3(k Z Z)时，8sin2x 取得最小值是-1，4所以函数f(x)的最小值是12，此时 x 的集
27、合为x|x k3,k Z Z；8（2）f(x)的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)所以g(x)的最小正周期为4，故g(x)12sinx 1421 121sin因为g()2sin11，所以432432又3,221,，所以242所以cos2 21，24311g2sin12sin122442112sincoscossin1444422122 222132324 2 2.3第 17 页 共 22 页【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数y Asin(x)的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题21已知函数f(x)lnx，g(x)1 a（其中 a 是
28、常数）.x（1）求过点P(0,1)与曲线f(x)相切的直线方程；（2）是否存在k 1的实数，使得只有唯一的正数a，当x 0时不等式1 1 fx g(x)kx 恒成立，若这样的实数 k 存在，试求 k，a 的值；若不存在.aa请说明理由.【答案】（1）y x1（2）存在,k 22 e,a ee【解析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，（2）假设存在k 1的正实数，使得只有唯一的正数a，当x 0时不等式1 1 kx1 fx g(x)kx 恒成立，转化为lnx 0，分类讨论求aaaakx1 lnx的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k，a 的值即可aa【详解】解：（1）设过
29、点P(0,1)的直线与曲线f(x)相切于点x0,ln x0，因f(x)lnx，则f(x)1，x所以在x0,ln x0处切线斜率为fx01，x0则在x0,ln x0处切线方程为y ln x01x x0，x0将P(0,1)代入切线方程得ln x0 0，所以x01，所以切线方程为y x1；（2）假设存在实数k 1，使得只有唯一的正数a，当x 0时不等式1 1 1 1 1 fx g(x)kx 恒成立，即a lnx kx 恒成立，aaxaa第 18 页 共 22 页取x 1，可知k 0，因为x 0，a 0，所以kx1 kx1 lnx(x 0)，lnx 0，令m(x)aaaakaakxa2 k则m(x)，
30、aax 1a(ax 1)a2k.由mx0 0得x0ak（1）当0 k a2时，1x0,x0时，mx0 0，则m(x)在,x0上为减函数，axx0,时，mx0 0，则m(x)在x0,上为增函数，kaln 0，a2kkaka即2 ln1，令h(a)2 ln(a k)，akak则m(x)min mx0112ka2 2kh则h(a)3，由a0 0，得a02k(a k)，3aaaak,a0时，h(a)0，则h(a)在区间k,a0上为减函数，aa0,时，h(a)0，则h(a)在区间a0,上为增函数，因此存在唯一的正数a 所以h(a)min ha0k，使得h(a)1，故只能h(a)min1.12 ln1，2
31、k所以k 22 e.，此时 a 只有唯一值ee（2）当k a2时，mx0 0，所以m(x)在(0,)上为增函数，m(x)lna 0，则a 1，所以limx0故k 1.所以满足1 a k的 a 不唯一综上，存在实数k【点睛】22 e，a 只有唯一值，当x 0时，恒有原式成立.ee第 19 页 共 22 页本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力22如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点A(2,0)为圆心、半径为2 的圆的一个交点为B2,，曲线M1是劣弧OB，曲线M2是优弧OB.3（1）求曲线M1的极坐标方程；（2）设点P1,为曲线M1上任意一点，点Q2,
32、在曲线M2上，若3|OP|OQ|6，求的值.【答案】（1）4cos（2）233【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果【详解】解：（1）设以点A(2,0)为圆心、半径为 2 的圆上任意一点(,)，所以该圆的极坐标方程为 4cos，则M1的方程为 4cos；23 4cosMP,（2）由点1为曲线1上任意一点，则11，23点Q2,3在曲线M2上，则2 4cos，3233即2 4cos2363，第 20 页 共 22 页因为|OP|1,|OQ|2，所以|OP|OQ|12，即|OP|OQ|4cos 4cos3 4 3sin
33、，3因为32，且62，所以，332因为|OP|OQ|6，所以4 3sin所以3 6，即，sin3323.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题23设f(x)|x-3|x 4|.（1）解不等式f(x)2；22（2）已知 x，y 实数满足2x 3y a(a 0)，且x y的最大值为 1，求 a 的值.【答案】（1）2.5,4.5（2）a 65【解析】（1）讨论x的取值范围，去掉绝对值求出不等式f(x)2的解集；2（2）结合题意，利用柯西不等式求得(x y)的最大值，列方程求出a的值【详解】解：（1）当x3时，不等式化为x3 x4 2，此时2.5 x 3，当3 x 4时，不等式化为x3 x4 2，成立，当x 4时，不等式化为x3 x4 2，此时4 x 4.5，综上所述，原不等式的解集为2.5,4.5；2211222（2）柯西不等式得(2x)(3y)(x y)，因为2 3 2x23y2 a(a 0)，第 21 页 共 22 页5a，（当2x 3y时，取等号），66又因为x y的最大值为 1，所以a.5所以(x y)2【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题第 22 页 共 22 页