高等数学(下)综合练习题.pdf

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1、高等数学(下)综合练习题高等数学(下)综合练习题一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）221、z=loga(x y)(a 0)的定义域为 D=。2、二重积分|x|y|122ln(x y)dxdy的符号为。3、由曲线y ln x及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、设曲线L的参数方程表示为22x(t)y(t)(x),则弧长元素ds。5、设 曲 面 为x y 9介 于z 0及z 3间 的 部 分 的 外 侧，则（x2 y21)ds。dyyy tan的通解为。dxxx 4y 0的通解为。6、微分方程7、方程y8、级数(4)1的和为。n1n(n 1)二、选择题（

2、每小题 2 分，共计 16 分）1、二元函数z f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（）（A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；22（C）z fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y当(x)(y)0时，是无穷小；（D）limz fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y(x)(y)22x0 0。y0 xy2u2u2、设u yf()xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2 y2等于（）yxxy（A）x y；（B）x；(C)y；(D)0。3、设：x y z1,z 0,则三重积分I 222zdV等于（）0（A）420d

3、2dr3sincosdr；01（B）20ddr2sindr；001（C）200d2dr3sincosdr；01（D）220ddr3sincosdr。02104、球面x y z 4a与柱面x y 2ax所围成的立体体积 V=（）2222（A）420ddd2acos04a2 r2dr；（B）4202acos0r 4a2 r2dr；（C）8202acos0r 4a2 r2dr；（D）d222acos0r 4a2r2dr。5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy (L)（A）(DPQQP)dxdy；（B）(

4、)dxdy；yxyxD（C）(DPQQP)dxdy；（D）()dxdy。xyxyD6、下列说法中错误的是（）（A）方程xy 2y x y 0是三阶微分方程；（B）方程y2dydy x ysin x是一阶微分方程；dxdx23222（C）方程(x 2xy)dx (y 3x y)dy 0是全微分方程；（D）方程dy12y是伯努利方程。x dx2x7、已知曲线y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x y 6 0平行，而y(x)满足微分方程y 2y5y 0，则曲线的方程为y（）x（A）e sin2x；（B）e(sin2x cos2x)；x（C）e(cos2x sin2x)；（D）e sin2x

5、。xx8、设limnun 0,则n:un1n（）（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计15 分）1、（7 分）设f,g均为连续可微函数。u f(x,xy),v g(x xy)，求u u,。x y2、（8 分）设u(x,t)2xtxtf(z)dz，求u u,。x t四、求解下列问题（共计15 分）。1、计算I 2、计算I 2222xy 2z,z 1及z 2所围成的空间，其中是由(x y)dV20（7 分）dxeydy。x2闭区域（8 分）。五、（13 分）计算I Lxdy ydx，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经x2 y2过原点O(0,0)

6、的封闭曲线的逆时针方向。六、（9 分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(x y)f(x)f(y)，且f(0)存在，求1 f(x)f(y)f(x)。(x 2)2n1七、（8 分）求级数(1)的收敛区间。2n1n1n高等数学（下册）试卷（二）高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设2sin(x 2y 3z)x 2y 3z，则zz。xy39 xy2、lim。x0 xyy03、设I 20dx2xxf(x,y)dy，交换积分次序后，I。1t34、设f(u)为可微函数，且f(0)0,则limt022x2y2t2f(x2 y2)d。5、设 L为取正向的圆周x y 4，则

7、曲线积分Ly(yex1)dx (2yex x)dy。2226、设A (x yz)i (y xz)j(z xy)k，则divA。7、通解为y c1e c2e8、设f(x)x2x的微分方程是。，则它的 Fourier 展开式中的an。1,1,x 00 x 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。xy2,1、设函数f(x,y)x2 y40,x2 y2 0 x2 y2 0,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。2、设u(x,y)在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足2u2u2u 0及22 0，xxy

8、y则（）（A）最大值点和最小值点必定都在D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；;（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D：(x 2)(y 1)1，若I1则有（）（A）I1 I2；（B）I1 I2；（C）I1 I2；（D）不能比较。4、设是由曲面z xy,y x,x 1及z 0所围成的空间区域，则=（）（A）23xyz dxdydz2223，(x y)dI(x y)d2DD1111；（B）；（C）；（D）。361362363364x(t)5、设f(x,y)在曲线弧 L 上有定义且连续，L

9、 的参数方程为(t)，y(t)其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数，且(t)(t)0，则曲线积分22Lf(x,y)ds（）(A)(C)f(t),(t)dt；(B)f(t),(t)2(t)2(t)dt；f(t),(t)2(t)2(t)dt；(D)f(t),(t)dt。2226、设是取外侧的单位球面x y z1，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=（）(A)0；(B)2；(C)；(D)4。7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1 y2也是它的解的方程是（）(A)y p(x)y q(x)0；(B)y p(x)y q(x)y 0；(C)y p(x)y q(x)y f(x)；(D

10、)y p(x)y q(x)0。8、设级数an1n为一交错级数，则（）(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若an 0(n 0)，则必收敛。三、求解下列问题（共计15 分）1、（8 分）求函数u ln(x，y2 z2)在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2）的方向的方向导数。2、（7 分）求函数f(x,y)x y(4 x y)在由直线x y 6,y 0,x 0所围成的闭区域 D 上的最大值和最小值。2四、求解下列问题（共计15 分）1、（7 分）计算I dv，其中是由x 0,y 0,z 0及x y z 13(1 x y z)所围成的立体域。

11、2、（8 分）设f(x)为连续函数，定义F(t)其中 (x,y,z)|0 z h,x y t；222z f(x y)dv，222，求dF。dt五、求解下列问题（15 分）1、（8 分）求I L(exsin y my)dx (excos y m)dy，其中 L 是从 A（a，0）经y ax x2到 O（0，0）的弧。2、（7 分）计算I 的外侧。，x dydz y22dzdx z2dxdy，其中是x2 y2 z2(0 z a)六、（15 分）设函数(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分L3(x)2(x)xe2xydx(x)dy与路径无关，求函数(x)。高等数学（下册）试卷（三）u。z一、填空题（

12、每小题 3 分，共计 24 分）1、设u yzxzetdt，则22、函数f(x,y)xy sin(x 2y)在点（0，0）处沿l (1,2)的方向导数fl(0,0)=。223、设为 曲 面z 1 x y,z 0所 围 成 的 立 体，如 果 将 三 重 积 分I f(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则 I=。4、设f(x,y)为连续函数，则I limt01t2f(x,y)d，其 中DD:x2 y2 t2。5、L(x2 y2)ds，其中L:x2 y2 a2。6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,

13、z)在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该关系式称为公式。7、微分方程y6y9y x 6x 9的特解可设为y。2*(1)n18、若级数发散，则p。pnn1二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）f(x a,b)f(a x,b)=（）x0 x1fx(a,b)。（A）fx(a,b)；（B）0；（C）2fx(a,b)；（D）21、设fx(a,b)存在，则lim2、设z xy2，结论正确的是（）2z2z2z2z（A）0；（B）0；xyyxxyyx2z2z2z2z（C）0；（D）0。xyyxxyyx3、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域 D 关于y轴对称，对称部分记

14、为D1,D2，f(x,y)在 D 上连续，则（A）0；（B）222f(x,y)d（）DD1D222（C）4f(x,y)d；(D)2f(x,y)d。f(x,y)d；D14、设：x y z R，则(x2 y2)dxdydz=（）816R5；（D）R5。1515（A）R；（B）R；（C）8354355、设在xoy面内有一分布着质量的曲线 L，在点(x,y)处的线密度为(x,y)，则曲线弧的重心的x坐标x为（）（）x=1x(x,y)dx；LLM1xds,其中 M 为曲线弧的质量。（C）x=x(x,y)ds；（D）x=LML1Mx(x,y)ds；（B）x=、设为柱面x y1和x 0,y 0,z 1在第一

15、卦限所围成部分的外侧，则曲面积分。22y2zdxdy xzdydz x2ydxdz（）（A）0；（B）5；（C）；（D）。4244、方程y 2y f(x)的特解可设为（）x（A）A，若f(x)1；（B）Ae，若f(x)e；432（C）Ax Bx Cx Dx E，若f(x)x 2x；2x（D）x(Asin5x Bcos5x)，若f(x)sin5x。1,、设f(x)1（A）x 00 x，则它的 Fourier 展开式中的an等于（）24。1(1)n；（B）0；（C）1；（D）nnnt为由方程F(x,y,t)0确定的x,y的函数，其中f,Fdydx。三、（分）设y f(x,t),具有一阶连续偏导数，

16、求四、（分）在椭圆x 4y 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。/22五、（分）求圆柱面x y 2y被锥面z 六、（分）计算I）22x2 y2和平面z 0割下部分的面积。222x y z1的x 0,y 0部分，其中为球面xyzdxdy的外侧。七、（10 分）设：df(cosx)1sin2x，求f(x)。d(cosx)八、（10 分）将函数f(x)ln(1 x x x)展开成x的幂级数。23高等数学（下册）试卷（四）高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、由方程xyz x2 y2 z22所确定的隐函数z z(x,y)在点（1，0，-1）处的全微分

17、dz。2、椭球面x 2y 3z 6在点（1，1，1）处的切平面方程是。3、设 D 是由曲线y x,y x 2所围成，则二重积分I 2222222(1 x)dxdy。D4、设是由x y 4,z 0,z 4所围成的立体域，则三重积分I(x2 y2)dv=。5、设是曲面z x2 y2介于z 0,z 1之间的部分，则曲面积分I(x2y2)ds。6、x2y2z2a2xyz02xds。7、已知曲线y y(x)上点 M(0,4)处的切线垂直于直线x 2y 5 0，且y(x)满足微分方程y 2y y 0，则此曲线的方程是。8、设f(x)是周期 T=2的函数，则f(x)的 Fourier 系数为。(二、选择题（

18、每小题 2 分，共计 16 分）1、函数z arcsinyxy的定义域是（）x（A）(x,y)|x y,x 0；（B）(x,y)|x y,x 0；（C）(x,y)|x y 0,x 0(x,y)|x y 0,x 0；（D）(x,y)|x 0,y 0(x,y)|x 0,y 0。2、已知曲面z 4 x y在点 P 处的切平面平行于平面2x 2y z 1 0，则点P 的坐标是（）（A）（1，-1，2）；（B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）；（D）（-1，-1，2）。3、若积分域 D 是由曲线y x及y 2 x所围成，则（A）（C）2222f(x,y)d=（）Dx22x211110dx2xx2y

19、2y2f(x,y)dy；（B）x211dxf(x,y)dy；dy2f(x,y)dx；（D）2222x2dyf(x,y)dx。122224、设1:x y z R,z 0;2:x y z R,x 0,y 0,z 0，则有（）（A）（C）xdv 4xdv；122（B）ydv 4ydv；1212xyzdv 4xyzdv；（D）zdv 4zdv。15、设为由曲面z x2 y2及平面z 1所围成的立体的表面，则曲面积分22(x y)ds=（）（A）122；（B）；（C）；（D）0。222、设是球面x y z a表面外侧，则曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy（）2222（A）121212

20、4a3；（B）a5；（C）a5；（D）a5。5555、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率k 此曲线方程为（）（A）y￥xln x，则x yln xxx xln(lnx)；（B）y xln x；eex ln(lnx)。e（C）y ex xln(lnx)；（D）y、幂级数(n 1)xn1n的收敛区间为（）（A）（-1，1）；（B）(,)；（C）（-1，1）；（D）-1，1。三、（分）已知函数u yf()xg()，其中f,g具有二阶连续导数，求xyyx2u2ux2 y的值。xyx四、（分）证明：曲面xyz c(c 0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。

21、、3五、（分）求抛物面z 4 x y的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面22(x 1)2 y21内部的部分的体积为最小。|六、（分）计算I L(exsin y y)dx (excos y x)dy，其中为y 4 x2由（，）至（，）的那一弧段。七、（分）求解微分方程y，2y2=0。1 yxn八、（分）求幂级数的和函数S(x)。n1n高等数学（下册）试卷（五）高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设z f(x,y)是由方程z y x xezyx 0所确定的二元函数，则dz。x2 y2 z23x 0、曲线在点（，）处的切线方程是。2x 3y 5z 4 0、设是由

22、x y z1，则三重积分222e dv。z、设f(x)为连续函数，a,m是常数且a 0，将二次积分化为定积分为。、曲线积分a0dyem(ax)f(x)dx0yL(AB)Pdx Qdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为。、设为z a2 x2 y2，则(x2 y2 z2)ds。2x、方程y3y e的通解为。、设级数an1n收敛，bn1n发散，则级数(an1nbn)必是。二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）￥x2y,、设f(x,y)x2 y20,(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)，在点（，）处，下列结论（）成立。（）有极限，且极限不为0；（）不连续；（）fx(0,0)fy(0,0)0

23、；（）可微。2f、设函数z f(x,y)有且f(x,0)1，f y(x,0)x，则f(x,y)=（）2，2y1 xy y；1 xy y；1 x y y；1 x y y。（）（）（）（）、设：1 x y 4，f在 D 上连续，则于（）（）222222222Df(x2 y2)d在极坐标系中等21rf(r)dr；（）2rf(r2)dr；12（）220r f(r)dr 210r f(r)dr；（）2220rf(r)dr rf(r2)dr。021、设是 由x 0,y 0,z 0及x 2y z 1所 围 成，则 三 重 积 分xf(x,y,z)dv (，)（）10dx1y20dz1x2y0 xf(x,y,

24、z)dy；（）1010dxdy011x2y0 xf(x,y,z)dz；xf(x,y,z)dz；（）（）dx1x20dy101x2y010dxdyxf(x,y,z)dz。01、设是由x 0,y 0,z 0,x 1y 1,z 1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ()（）0；（）1；（）3；（）2。、以下四结论正确的是（）（）4222(x y z)dv a5；3x2y2z2a2（）（）x2y2z2a2。x2 y2 z2ds 4a4;(x2 y2 z2)dxdy 4a4；x2y2z2a2外侧（）以上三结论均错误。、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)1。并设曲线积分(,

25、)4 4(0,0)Lyg(x)tan xdx g(x)dy 与积分路径无关，则yg(x)tan xdx g(x)dy ()（）2222；（）；（）；（）。2828(1)n1、级数的和等于（）n1n12（）2/3；（）1/3；（）1；（）3/2。三、求解下列问题（共计分）、（分）设u xy,求；zu uu,。x yz、（分）设u f(,)，f具有连续偏导数，求du。四、求解下列问题（共计分）、（分）计算I x yy zaf(x)bf(y)d，其中D:x2 y2 R2。f(x)f(y)D、（分）计算I 2222:x y z R，其中。(x y z 1)dv五、（分）确定常数，使得在右半平面x 0上

26、，.L2xy(x4 y2)dx x2(x4 y2)dy与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。六、（分）将函数f(x)七、，八、1 x展开为x的幂级数。3(1 x)（分）求解方程y6y9y 0。高等数学（下册）试卷（六）高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1 设 函 数f(x,y)在P(x0,y0)的 两 个 偏 导fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都 存 在，则()Af(x,y)在P连续Bf(x,y)在P可微Clim f(x,y0)及lim f(x0,y)都存在Dxx0yy0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)存在ln x2若z y，则dz等于

27、（）ylnlnxlnln yylnlnxlnln yylnlnxlnln yB.A.xxyC.ylnlnxylnlnxlnln yylnlnxlnln yylnlnxlnlnxlnln ydx dyD.dx dyxxy223设是圆柱面x y 2x及平面z 0,z 1所围成的区域，则f(x,y,z)dxdydz (）A.20d 2coscos02coscosdr f(rcoscos,rsinsin,z)dz01B.20d 0rdr f(rcoscos,rsinsin,z)dz01C.2d 22coscos0rdr f(rcoscos,rsinsin,z)dz011D.d 02coscosx0rd

28、r f(rcoscos,rsinsin,z)dz04 4若a(x1)nn1n在x 1处收敛，则此级数在x 2处（）A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不能确定5曲线x y z 2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）.22z x yA.（-1，3，4）B.（3，-1，4）C.（-1，0，3）D.（3，0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1设x 2y 2xyz 0，则zx(1,1).2交 换I dx12elnx0f(x,y)dy的积分次序后，I _3 设u 2xy z，则u在点M(2,1,1)处的梯度为.4.已知xne n0n!x，则xex.5.函数z x y 3x

29、3y的极小值点是.3322三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）*1.（本小题满分 6 分）设z yarctanzzy,求,.xyx2.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 3y z 9的平行于平面2x3y 2z 1 0的切平面方程，并求切点处的法线方程3.（本小题满分 7 分）求函数z x y在点(1,2)处沿向量l 数。2222213i j方向的方向导224.（本小题满分 7 分）将f(x)1展开成x3的幂级数，并求收敛域。x）2225（本小题满分 7 分）求由方程2x 2y z 8yz z 8 0所确定的隐函数z z(x,y)的极值。6（本小题满分 7 分）计算二重积分及x 2围成

30、.222(x y)d,D由曲线x 1 y,y 1,y 1D7.（本小题满分 7 分）利用格林公式计算逆时针方向）.L222其中L是圆周x y a（按xy2dy x2ydx，8.（本小题满分 7 分）计算xydxdydz，其中是由柱面x y1及平面22z 1,x 0,y 0所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1（本小题满分 8 分）设级数u,vnn1n1n都收敛，证明级数(un1nvn)2收敛。2（本小题满分 8 分）设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数，且证明曲线积分 f 2x，xL2xydx f(x,y)dy与路径无关若对任意的t恒有(1,t)(0,

31、0)(t,1)(0,0)2xydx f(x,y)dy 2xydx f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式高等数学（下册）试卷（一）参考答案高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、1、当0 a 1时，0 x y1；当a 1时，x y 1；22222、负号；3、%dD10dye1yeydx;3；4、2(t)2(t)dt；25、180；6、siny Cx；x2x7、y C1cos 2x C2sin2x C3eC4e 2x；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、uu xg(x xy)；f1 yf2；yxuu f(x t)f(x t)；f(x t)f(x t

32、)；xt222y21y2y2y24四、1、dxedy dyedx yedy(1e)；0 x00022、2、I柱面坐标20d20drr dz 12320ddr12r3dz 22r2214；3yx,Q 五、令P 2x y2x2 y2Py2 x2Q则，(x,y)(0,0)；2y(x y2)2xP Q,在 D 内连续。所以由 GreenyxP Q,在 D 内除 O（0，0）yx于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时，公式得：I=0；当L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时，*外都连续，此时作曲线l为x y(0 1)，逆时针方向，并假设D为L222及l所围成区域，则I，LllLlGre

33、en公式(lD*QP)dxdy 2xyx2y22六、由所给条件易得：f(0)2 f(0)f(0)021 f(0)f(x)f(x)f(x)1 f(x)f(x)f(x x)f(x)又f(x)lim=limx0 x0 xx1 f2(x)f(x)f(0)2 lim f(0)1 f(x)x01 f(x)f(x)xf(x)f(0)即21 f(x)arctan f(x)f(0)x c即f(x)tan f(0)x c又f(0)0即c k,k Z f(x)tan(f(0)x)t2n1七、令x 2 t，考虑级数(1)2n1n1nt2n33 t2lim2nnt2n12n1当t21即t 1时，亦即1 x 3时所给级数

34、绝对收敛；;当t 1即x 3或x 1时，原级数发散；当t 1即x 1时，级数(1)n1n1n1收敛；2n 1当t 1即x 3时，级数(1)n11收敛；2n 1级数的半径为 R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）试卷（二）参考答案高等数学（下册）试卷（二）参考答案一、1、1；2、-1/6；3、20dyyy/2f(x,y)dxdy242y/2f(x,y)dx；4、2f(0)；35、8；6、2(x y z)；7、y y 2y 0；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函数u ln(x y2 z2)在点 A（1，0，1）处可微，且uxA1x y z22

35、(1,0,1)1/2；uyA1x y z22yy z22(1,0,1)0；uzA1x y z22zy z22(1,0,1)1/2而l AB (2,2,1),所以l (,232 1,),故在 A 点沿l AB方向导数为：3 3uzAulAuxAcos+uyAcos+cos1 221 1 0()1/2.2 332 3fx 2xy(4 x y)xy(1)02、由得 D 内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)4，2fy x(4 x 2y)0又f(0,y)0,f(x,0)0而当x y 6,x 0,y 0时，f(x,y)2x 12x令(2x 12x)0得x1 0,x2 4于是相应y1 6,y2 2且f(

36、0,6)0,f(4,2)64.#32(0 x 6)32 f(x,y)在 D 上的最大值为f(2,1)4，最小值为f(4,2)64.0 x 1四、1、的联立不等式组为:0 y x 10 z 1 x y所以I 10dx1x0dy1xy0dz3(1 x y z)1x1111dx0(1 x y)24dy201113 x15()dx ln202x 142162、在柱面坐标系中F(t)所以201ddrz f(r)rdz 2hf(r2)r h3rdr0003th22tdF11 2hf(t2)t h3t 2ht f(t2)h23dt3五、1、连接OA，由Green公式得：%LI OAxOALOAOAGreen

37、公式x2y2ax,y0(e cos y excos y m)dxdy 01ma28z a2、作辅助曲面1:2，上侧，则由 Gauss 公式得：22x y aI+1=1112adxdy=x2y2z2,0za2(x y z)dxdydz x2y2a2=2a0dzax2y2z24zdxdy a 20z3dz a4 a42x12六、由题意得：3(x)2(x)xe(x)即(x)3(x)2(x)xe）2x2特征方程r 3r 2 0，特征根r11,对应齐次方程的通解为：y c1e c2ex2xr2 2*2x又因为 2是特征根。故其特解可设为：y x(Ax B)e代入方程并整理得：A 即y*1,2B 11x(

38、x 2)e2x2x2x故所求函数为：(x)c1e c2e1x(x 2)e2x2高等数学（下册）试卷（三）参考答案高等数学（下册）试卷（三）参考答案一、1、yey2z2 xex2z2；2、5；3、11dx1x2 1x2dy1x2y20f(x,y,z)dz；4、f(0,0);5、2a3；6、(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy，xyzGauss公式；7、Ax2 Bx C8、P 0。/二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于dy fx(x,t)dx ft(x,t)dt，Fxdx Fydy Ftdt 0由上两式消去dt，即得：dyfxFt ftFxdxF

39、t ftFy四、设(x,y)为椭圆x 4y 4上任一点，则该点到直线2x 3y 6 0的距离为22d 62x 3y13；令L (6 2x 3y)(x 4y 4)，于是由：222Lx 4(62x 3y)2x 0Ly 6(62x 3y)8y 022L x 4y 4 08 38 38383得条件驻点：M1(,),M2(,),M3(,),M4(,)3 55 55555依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin62x 3y13M113即为所求。1322z x y五、曲线在yoz面上的22x y 2yz2 2y投影为x 0(0 y z)于是所割下部分在yoz面上的投影域为：0 y 2Dyz:，y0

40、 z 2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。A 2Dyz1(x2x)()2dxyz 2Dyzdydz2y y2 2dy122y0dz2y y2 8六、将分为上半部分1:z 1 x2 y2和下半部分2:z 1 x2 y2，1,2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2 y21,x 0,y 0,于是：xyzdxdy 11 x2 y2dxdyDxy极坐标02d2sincos 12d011；15xyzdxdy 2Dxy22xy(1 x y)(dxdy)1，15I 1=2215七、因为df(cosx)1 sin2x，即f(cos x)1sin2xd(cosx)2所以f(x)2 x f(x)2x

41、 213x c32八、f(x)ln(1 x)(1 x)ln(1 x)ln(1 x)(1)n1nu,u(1,1又ln(1u)nn1(1)n1n(1)n12nx x,x(1,1f(x)nnn1n1(1)n1nx(1 xn),nn1x(1,1高等数学（下册）试卷（四）参考答案高等数学（下册）试卷（四）参考答案一、1、dx 2dy；2、x 2y 3z 6；3、x2153；4、32；5、22036、a；7、y 2(2 x)e】23；8、a0bk1f(x)21dx；ak2f(x)coskxdxk 1,2,n,f(x)sinkxdx1k 1,2,n,二、1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A

42、；8、C三、uxyyy f()g()g()xyxxx2u1xyyyyy2y2f()2g()2g()3g()yyxxxxxxxy2y1xf()3g()yyxxyy2uxx1y1y 2f()g()g()2g()xxxyyxxxxy xxyyf()g()22yyxx2u2u故x2 y 0 xyx33四、设M(x0,y0,z0)是曲面F xyz c 0上的任意点，则x0y0z0 c，￥在该点处的法向量为：n (Fx,Fy,Fz)M111c3c3c3(y0z0,z0 x0,x0y0)(,)c3(,)x0y0z0 x0y0z0111(x x0)+(y y0)+(z z0)=0 x0y0z0于是曲面在M点处

43、的切平面方程为：即xyz+=13x03y03z0因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：V 1993x0 3y0 3z0 x0y0z0c36222222这是一个定值，故命题得证。五、由于介于抛物面z 4 x y，柱面(x 1)y1及平面z 0之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面(x 1)y1及平面z 0之间的立体体积V为最大即可。设与z 4 x y切于点P(x0,y0,z0)，则的法向量为n (2x0,2y0,1)，且22z0 4 x0 y0，切平面方程为：2x0(x x0)2y0(y y0)(z z0)022即z 2x0 x 2y0y 4 x0 y0(2222于是V(x1)2y

44、21zd极坐标2222（2x0cos 2y0sin 4 x0 y0)d22(2x0 4 x0 y0)Vx(2 2x0)00则由，得驻点（1，0）V 2y0y0且V(1,0)5,z0 5.由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：z 2x 3六、联接BA，并设由 L及BA所围成的区域为 D，则I LBABALBABAGreen公式(excos y 1excos y 1)dxdy 0D 2122 42dzdz22z 0，于是原方程可化为：zdydy1 y2七、令y z(y)，则y zdydz21y 0，其通解为z c1e即 c1(y 1)2dy

45、1 ydydy c1dx c1(y 1)2即2(y 1)dx故原方程通解为：y 11c1x c2八、易求得该幂级数的收敛区间为(1,1).1xnxnx(1,1)，令S(x)，则S(x)()xn11 xn1n1nn1n注意到S(0)0，S(x)x0S(x)dx dx ln(1 x)01 xx高等数学（下册）试卷（五）参考答案高等数学（下册）试卷（五）参考答案adx (1 xezyx)dyx 1y 1z 1一、1、；2、；3、4、2；em(ax)f(x)(a x)dx；zyx01 xe16915、对任意闭曲线l，Pdx Qdy 0或lPQ或u(x,y),使得du Pdx Qdy；yx6、2a；7、

46、y ce43x1e2x；8、发散5二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、C；6、B；7、D；8、Auuuyzz1zyz1zyz xyzln x；三、1、y x；y xln xln yyxz2、u1f1xyux1 2f1f2yzyuy 2f2zzdu 1x1yuuudx dy dz f1dx (2f1f2)dy 2f2dz。yzxyzyz四、1、因为积分域 D 关于y x对称，所以I Daf(x)bf(y)af(y)bf(x)ddf(x)f(y)f(y)f(x)D1af(x)bf(y)af(y)bf(x)dd2Df(x)f(y)f(y)f(x)D故I=2、I 11(a b)d(a b)R2；2

47、D2222(x y z)dV 2x(y z 1)dV 2yzdV+2ydV 2zdV dV因为关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：I，432222 3z dV R(x y z)dV dV3 6R0dz443432z dxdy R R(1 R2)。33x2y2R2z22242五、令P 2xy(x y),Q x(x y)则P 2x(x4 y2)4xy2(x4 y2)1，yQ 2x(x4 y2)4x5(x4 y2)1x由已知条件得QP42，即有(x y)(1)0，所以 1xy所求的一个原函数为：

48、u(x,y)1(x,y)(1,0)2xyx2dx 4dyx4 y2x y2y0 x0dx x2ydy arctan422x yx六、易知1 x2(1 x)213332(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)(1 x 1)1xn又1 xn011n1()nx1 x(1 x)2n111n2n1()n(n 1)x(n 1)nx32(1 x)(1 x)n2n11 x(n 1)nxn13(1 x)n1nxn1n1n2xn1，其中n1(1 x 1)七、方程的特征方程为：r 6r 9 0，其特征根为r1 r2 3，故方程的通解为：y (c1 c2x)e3x2高等数学（下册）试卷（六）参考答案高等数学（下册）试

49、卷（六）参考答案一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）：2 D3 C4B5 A二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）2.I dy01eey(1)nxn1f(x,y)dx3.2 i 4 j 2k45.(2,2)n!n0三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）zy21解：;(3 分)2xx y2zxyy=arctan+2(6 分).yxx y22.解：记 切 点(x0,y0,z0)则 切 平 面 的 法 向 量 为n 2(2x0,3y0,z0)满 足：2x03y0z0切点为：(1,1,2)或(1,1,2)(3 分)，切平面：2x3y2z9or9(4，232x1y 1z 2x1y 1z

50、 2分)，法线方程分别为：或者(6 分)2322323.解：f(1,2)(2,4)(3 分),f(1,2)12 3(7 分)l4.解：f(x)11=3(x 3)31,(2 分)x 31()3因为(1)nxnn01，x(1,1),所以1 x131x 3n1x3n1(1)()=(1)n()n1(x 3)n,其中11，即x 33333n01()n030 x 6.(5 分)1n1当x 0时，级数为发散；当x 6时，级数为(1)发散,故3n03n01n1n1n=(1)()(x 3)，x(0,6)，(7 分)3xn04xzx12z8y05.解：由,得到x 0与y2z0,(2 分)z4(y2z)0y12z8