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1、八年级几何全等证明题归纳八年级几何全等证明题归纳1.如图，梯形ABCD 中，ADBC，DCB=45，BDCD过点C 作 CEAB于 E，交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接 EG、AF求证：CF=AB+AF证明：在线段 CF 上截取 CH=BA，连接 DH，BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=BDCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+
2、AF，CF=AB+AF2.如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 边上一点，且 AE=DE，AE 与对角线 BD 交于点 F，连接 CF，交 ED 于点 G判断 CF 与 ED 的位置关系，并说明理由解：垂直理由：四边形 ABCD 为正方形，ABD=CBD，AB=BC，BF=BF，ABFCBF，BAF=BCF，在 RTABE 和DCE 中，AE=DE，AB=DC，RTABEDCE，BAE=CDE，BCF=CDE，CDE+DEC=90，BCF+DEC=90，DECF3.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，A90，ABAD，DECD 交AB 于 E，DF 平分CDE 交 BC 于 F，连接
3、EF 证AD明：CFEF解：EBFC过 D 作 DGBC 于 G由已知可得四边形 ABGD 为正方形，DEDCADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC 且 AD=GD，ADEGDC，DE=DC 且 AE=GC在EDF 和CDF 中EDF=CDF，DE=DC，DF 为公共边，EDFCDF，EF=CF4.已知：在ABC 中，A=900，AB=AC，D 是 AC 的中点，AEBD，AE 延长线交 BC 于 F，求证：ADB=FDC。证明：过点 C 作 CGCA 交 AF 延长线于 GG+GAC=90又AEBDBDA+GAC=90综合，G=BDA在BDA 与AGC 中，G=BD
4、ABAD=ACG=90BA=CABDAAGCDA=GCD 是 AC 中点，DA=CDGC=CD由1=45，ACG=90，故2=45=1在GCF 与DCF 中，GC=CD2=45=1CF=CFGCFDCFG=FDC,又G=BDAADB=FDC5.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，CDBC，BC=CD，O 是 BD 的中点，E 是 CD 延长线上一点，作 OFOE 交 DA 的延长线于 F，OE 交 AD 于H，OF 交 AB 于 G，FO 的延长线交 CD 于 K，求证：OE=OF提示：由条件知BCD 为等腰 Rt，连接 OC，可证OCKODH(AAS)，得 OK=OH，再证FOHEOK(AA
5、S)，得 OE=OFEFGOKBCAHD6.如图，在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 M，过点 C 作 CNDM交 AB 于 N，设正方形对角线交点为 O，试确定 OM 与 ON 之间的关系，并说明理由解：四边形 ABCD 是正方形，DC=BC，DCM=NBC=90，又CNDM 交 AB 于 N，NCM+CMD=90，而CMD+CDM=90，NCM=CDM，DCMCBN，CM=BN，再根据四边形 ABCD 是正方形可以得到OC=OB，OCM=OBN=45，OCMOBNOM=ON，COM=BON，而COM+MOB=90，BON+MOB=90MON=90OM 与 ON 之间的关系是 OM=
6、ON；OMON7.如图，正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CGBC），M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 CE 于 N探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明证明：根据题意，知 ADBCEAD=AEN（内错角相等），DMA=NME（对顶角相等），又M 是线段 AE 的中点，AM=MEADMENM（ASA）AD=NE,DM=MN（对应边相等）连接线段 DF，线段 FN，线段 CE 是正方形的对角线，DCF=NEF=45，根据上题可知线段 AD=NE，又四边形 CGEF 是正方形，线段 FC 等于 FEDCFNEF（SAS）线段 FD=FNFD
7、N 是等腰三角形线段 MD线段 MF8.如图，ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角NDM，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并加以证明证明：BM+CN=NM延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC 是等边三角形，BCD=30，ABD=ACD=90，DB=DC，CE=BM，DCEBMD，MDN=NDE=60DM=DE（上面已经全等）DN=ND（公共边）DMNDENBM+CN=NM9.如图，已知点 D 为等腰直角 ABC
8、内一点，CAD=CBD=15E 为AD 延长线上的一点，且 CE=CA，求证：AD+CD=DE；证明：AC=BC，ACB=90，CAB=ABC=45CAD=CBD=15，BAD=ABD=30AD=BD在 DE 上截取 DM=DC，连接 CM，AD=BD，AC=BC，DC=DC，ACDBCDACD=BCD=45CAD=15，EDC=60DM=DC，CMD 是等边三角形CDA=CME=120CE=CA，E=CADCADCEMME=ADDA+DC=ME+MD=DE即 AD+CD=DE10.如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分DAE，求证：AE=
9、EC+CD证明：AF 平分DAE，D=90，FHAE，DAF=EAF，FH=FD，在AHF 与ADF 中，AF 为公共边，DAF=EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），AHFADF（HL）AH=AD，HF=DF又DF=FC=FH，FE 为公共边，FHEFCEHE=CEAE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，AE=EC+CD11.已知梯形 ABCD 中，ABCD，BDAC 于 E，AD=BC，AC=AB，DFAB 于 F，AC、DF 相交于 DF 的中点 O求证：AB+CD=2BE证明：过 D 作 DMAC 交 BA 的延长线于 M梯形 ABCS 中，AD=BC，BD=A
10、C又CDAM，DMAC，四边形 CDMA 为平行四边形DM=AC，CD=AMMDAC，又 ACBD，且 AC=BD，DMBD，DM=BD，DMB 为等腰直角三角形又DFBM，DF=BFBM=2DF=2BFAM+AB=2BFCD=AM，AB+CD=2BFAC=BD=AB，在 BEA 和BFD 中，BEABFDBE=BFAB+CD=2BF，AB+CD=2BE12.已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=DC，CF 平分BCD，DFAB，BF 的延长线交 DC 于点 E求证：AD=DE证明：（1）CF 平分BCD，BCF=DCF在BFC 和DFC 中，BFCDFCBF=DF，FBD=FDB
11、连接 BDDFAB，ABD=FDBABD=FBDADBC，BDA=DBCBC=DC，DBC=BDCBDA=BDC又 BD 是公共边，BADBEDAD=DE13.如图，在直角梯形ABCD 中，ADDC，ABDC，AB=BC，AD 与 BC延长线交于点 F，G 是 DC 延长线上一点，AGBC 于 E求证：CF=CG；证明：连接 AC，DCAB，AB=BC，1=CAB，CAB=2，1=2；ADC=AEC=90，AC=AC，ADCAEC，CD=CE；FDC=GEC=90，3=4，FDCGEC，CF=CG14.如图，已知 P 为AOB 的平分线 OP 上一点，PCOA 于 C，PA=PB，求证 AO+
12、BO=2CO证明：过点 P 作 PQOB 于 Q，则PQB=90OP 平分AOB，且 PCOA，PQOBPC=PQ在 RtPOC 与 RtPOQ 中，PC=PQPO=PORtPOCRtPOQ（HL）OC=OQ2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在 RtPCA 与 RtPQB 中，PC=PQPA=PBRtPCARtPQB（HL）CA=QB又 2OC=OC+OB+BQ2OC=OC+OB+CA=OA+OB15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，ADBC，ABC=90，DEAC于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE=AC 求证：BG=FG；证明:ABC=90，DEAC 于
13、点 F，ABC=AFEAC=AE，EAF=CAB，ABCAFEAB=AF连接 AG，AG=AG，AB=AF，RtABGRtAFGBG=FG16.如图，在平行四边形 ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作等边ABE、ADF，连接 CE、CF，求证：CDFEBC；CDF=EAF；ECF是等边解：ABE、ADF 是等边三角形FD=AD，BE=ABAD=BC，AB=DCFD=BC，BE=DCB=D，FDA=ABECDF=EBCCDFEBC，AF=FD，AE=DC，EF=CFEAFCDFCDF=EAF，AFC=AFE+EFD+DFC，AFE+EFD=60AFC-DFC=60AFE=DFCEFC=6
14、0同理，FEC=60CF=CEECF 是等边三角形17.已知正方形 ABCD 中，F 为对角线 BD 上一点，过 F 点作 EFBA 于E，G 为 DF 中点，连接 EG，CG求证：EG=CG；证明：延长 CG 至 M，使 MG=CG，连接 MF，ME，EC，在DCG 与FMG 中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在 RtMFE 与 RtCBE 中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC 为直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG18.如图，在 ABC 中，
15、ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、求证：AC=AE+CDACB，解：在 AC 上取 AF=AE，连接 OF，则AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE 分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=（180-B）=60则AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，则COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD19.已知：如图，ADBC，AE 平分BAD，AEBE；说明：AD+BC=AB解：如图，在 AB 上截取 AF=AD，AE 平分BAD，DAE
16、=FAE，AF=AD，AE=AE，DAEFAE，D=AFE，DEA=FEA，ADBC，DAB+CBA=180，AEBE，BAE+ABE=90，DAE+CBE=90，ABE=CBE，同理，FEB=CEB，BE=BE，BEFBEC，BF=BC，AB=AF+FB=AD+BC20.如图，已知 RtABCRtADE，ABC=ADE=90，与 DE 相交BC于点 F，连接 CD，EB求证：CF=EF证明：RtABCRtADE，AC=AE，AD=AB，CAB=EAD，CAB-DAB=EAD-DAB即CAD=EABCADEAB，CD=EB，ADC=ABE又ADE=ABC，CDF=EBF又DFC=BFE，CDF
17、EBFCF=EF21.将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 如图方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点 E 落在上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点求证：AF+EF=DEABF证明：连接 BFABCDBE，BC=BE，AC=DEACB=DEB=90，BCF=BEF=90BF=BF，RtBFCRtBFECF=EF又AF+CF=AC，AF+EF=DE初二几何全等证明题集锦（二）初二几何全等证明题集锦（二）1 1.（1）如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交
18、于点 E，连结 BC求AEB 的大小；BCBCEEDAOOD图 1图 2（2）如图 2，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.2如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合)，以 CG为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方
19、向旋转任意角度，得到如图 2、如图3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46），且 AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5 为例简要说明理由A（3）在第(2)题图 5 中，连结DG、BE，且 a=3，b=2，k=1，求BE2DG2的值23.如图甲，在ABC 中，ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC，BAC=90当点 D 在线
20、段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为，数量关系为当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？FEAAAFFCBBCDB DDECE图甲图乙图丙（2）如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动试探究：当ABC 满足一个什么条件时，CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值4.已知：如图 5132，点 C 在线段 AB 上，以 AC 和 BC 为边在 AB 的同侧作正三角形ACM 和BCN，连结 AN、BM，分别交 CM、CN 于点 P
21、、Q求证：PQAB5.如图，在正方形ABCD中，PBC、QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。求证：PM=QM。6.如图，在ABC 中，AD 平分BAC，ABACBD，则BC 的值为多少？B7、如图，ABC 中，ABAC，D、E、F 分别是 BC、AB、AC上的点，BDCF，CDBE，G 为 EF 中点，连结 DG，问 DG与 EF 之间有何关系?证明你的结论。8.已知：三角形 ABC 和 CDE 为等腰直角三角形，点 F、G 分别为 BE 和 AD 的中点，连接 FG和 GC，求证：FG 和 GC 的关系。DCA9.如图 1，已知ABC，ACB=90，
22、分别以 AB、BC 为边向外作ABD 与BCE，且 DA=DB，BE=EC，若ADB=BEC=2ABC，连接 DE 交 AB 于点 F，试探究线段 DF 与 EF 的数量关系，并加以证明。10.已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA150A求证：PBC 是正三角形BDPC11.已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证：DENF12.如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点D求证：点 P 到边 AB 的距离等
23、于 AB 的一半GCEPFABQ13 如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECFDAFEBC14、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAFADFBCE15、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPFADFBPCE16、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PAB PCBAB17.如图 2-1，在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，（1）将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 RtAC
24、B，直线 BB交直线 CC于点 D，连接 AD.探究：AD 与 BB之间的关系，并说明理由。（2）如图 2-2，若将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗？为什么？DPC18.在ABC 与BDE 中，ABC=BDE=90，BC=DE，AC=BE，M.N 分别是 AB.BD的中点，连接 MN 交 CE 于点 K（1）如图 3-1，当 C.B.D 共线，AB=2BC 时，探究 CK 与 EK 之间的数量关系，并证明；（2）如图 3-2，当 C.B.D 不共线，AB2BC 时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将题目中的条件“A
25、BC=BDE=90，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明）19.如图，ABO 与CDO 均为等腰三角形，且BAO=DCO=90，M 为 BD 的中点，MNAC，试探究 MN 与 AC 的数量关系，并说明理由。20.填空或解答：点 BCE 在同一直线上，点 AD 在直线 CE 的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线 AE、BD 交于点 F。（1）如图，若BAC60，则AFB_；如图，若BAC90，则AFB_；（2）如图，若BAC，则AFB_（用含 的式子表示）；（3）将图中的ABC 绕点 C 旋转（点
26、F 不与点 A B 重合），得图或图。在图中，AFB 与 的数量关系是_；在图中，AFB 与 的数量关系是_。请你任选其中一个结论证明。20.已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB AC，AD AE，BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE CD；AMN是等腰三角形（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；CNEMDBA图CNBME图DA2.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和 ACDE，连接 EG求证：SABC
27、SAEG22.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和 ACDE，连接 EG。若 O 为EG 的中点求证:BC=2AO23.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O为 EG 的中点，OA 的延长线交 BC 于点 H求证：AHBC24.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 AHBC，HA 的延长线交 EG 于点 O求证：O 为 EG 的中点25.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和 ACDE，连接 BE，CG求证：（1
28、）BE=CG（2）BECG26.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和 ACDE，连接 BE，CG作 FMBC，交 CB 的延长线于点 M，作 DNBC，交 BC 的延长线于点 N求证：FM+DN=BC27.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和 ACDE，连接BE，CG、FDO 是 FD 中点，OPBC 于点 P求证：BC=2OP28.如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 CE，BG、GEM、N、P、Q 分别是 EG、GB、BC、CE 的中点求证：四边形 MNPQ 是正方形29.如图，已知 P 是等边ABC 的 BC 边上任意一点，过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、PD，垂足为 E、D。问：AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系？30.如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 ABCD，P 为MON 的平分线上一点。问：（1）ABP 与PCD 是否全等？请说明理由。（2）ABP 与PCD 的面积是否相等？请说明理由。31.