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1、.一、填空题（共 21 分每小题 3 分）z y21221 1曲线绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z x y 1x 0 x 3tx 2y 4z2 2直线L1:与直线L2:y 1 3t的夹角为2 253z 2 7t2223 3设函数f(x,y,z)x 2y 3z，则grad f(1,1,1)2,4,64 4设级数unun收敛，则nlimn100,x 05 5设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)则它的傅里叶级数在x 处1 x,0 x,收敛于126 6全微分方程ydx xdy 0的通解为xy Cx7 7写出微分方程y y 2y e的特解的形式y*axex二、解答题（共 18 分每小题 6 分）
2、x 2y z 3 01 1求过点(1,2,1)且垂直于直线的平面方程x y z 2 0ijk解解：设所求平面的法向量为n，则n 121 1,2,3 (4 分)111所求平面方程为x 2y 3z 0 (6 分)2 2将积分f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面22z 2(x y)及z x2 y2所围成的区域解解：:r z 2r,0 r 1,0 2 (3 分)2.f(x,y,z)dvdrdr00212r2rf(rcos,rsin,z)dz (6 分)3 3计算二重积分I eD(x2y2)dxdy，其中闭区域D:x2 y2 4.2r212142rded(r)2de(1e)0002
3、222解解I 02de02r2rdr 三、解答题（共 35 分每题 7 分）221 1设z ue，而u x y，v xy，求dzv解解：zzuz vev2x uev y exy(2x x2y y3)xu xv x(3 分)zzuz vev2y uev x exy(2y x3 xy2)(6 分)yu yv ydz exy(2x x2y y3)dx exy(2y x3 xy2)dy (7 分)zz2 2函数z z(x,y)由方程e xyz 0所确定，求,xyz解解：令F(x,y,z)e xyz，(2 分)z则Fx yz,Fy xz,Fz e xy,(5 分)zFyzxzFxzyz z，(7 分)z
4、yFze xyxFze xy3 3计算曲线积分向弧段解解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式L ydx xdy，其中L是在圆周y 2x x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有L ydx xdy 2dxdy OA ydx xdy (5 分)D 24 4设曲线积分.20 (7 分)Lex f(x)ydx f(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)1，.求f(x)PQx解解：由得e f(x)f(x)，yx即f(x)f(x)e (3 分)(1)dx(exedxdx C)ex(x C)，(6 分)所以f(x)ex代入初始条件，解得
5、C 1，所以f(x)ex(x 1)(7 分)(n!)25 5判断级数的敛散性n1(2n)!un1(n1)!2 lim解解：因为limnun(2n 2)!n(n!)2 (3 分)(2n)!1(n 1)21 (6 分)limn(2n 2)(2n 1)4故该级数收敛 (7 分)四、（7 7 分）分）计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy，其中是上半球面z 1 x y的上侧解解：添加辅助曲面1:z 0,x y 1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得2222xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdy1xdydz ydzdx zdxdy (4 分)13d
6、v 0 (6 分)1 4 3 2 (7 分)23五、（6 6 分）分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形解解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z，则x y z 2，.且面积为A 12R(sin x sin y sin z)，2令F sin x sin y sin z(x y z 2)(3 分)Fx cos x 0F cos y 02y由(4 分)得x y z 此3Fz cos z 0 x y z 23R 3R 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大 (6 分)时，其边长为2xn六、（8 8 分）分）求级数的收敛域，并求其和函数n1nan
7、(n1)lim1，故收敛半径为R 1 (2 分)解解：R limnannn1当x 1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当x 1时，级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为1,1)(5 分)xn设和为S(x)，即S(x)，求导得n1nS(x)xn1n11，(6 分)1 x再积分得S(x)0S(x)dx1dx ln(1 x)，(1 x 1)(8 分)01 xxx七、（5 5 分）分）设函数f(x)在正实轴上连续，且等式1xyf(t)dt yf(t)dt xf(t)dt11xy对任何x 0,y 0成立如果f(1)3，求f(x)解：解：等式两边对y求偏导得.x f(xy)f(t)dt x f(y)(2
8、分)1x上式对任何x 0,y 0仍成立令y 1，且因f(1)3，故有xf(x)f(t)dt 3x (3 分)1x由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得xf(x)f(x)f(x)3即f(x)3x(x 0)故通解为f(x)3ln x C当x 1时，f(1)3，故C 3因此所求的函数为f(x)3(ln x 1)(5 分)八八（5 分）已知y1 xexe2x，y2 xexex，y3 xexe2xex2x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解解 1 1：由线性微分方程解的结构定理知ex与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为将yy y 2y f
9、(x)xex代入上式，得f(x)ex2xex，因此所求的微分方程为y y2y ex2xex2x解解 2 2：由线性微分方程解的结构定理知ex与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故y求微分方程的通解，从而有 xexC1e2xC2ex是所y ex xex 2C1e2xC2ex，y 2ex xex 4C1e2xC2ex消去C1,C2，得所求的微分方程为0606 高数高数 B By y2y ex2xex一、填空题（共 30 分每小题 3 分）1 1 xoy坐 标 面 上 的 双 曲 线4x29y2 36绕x轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为.
10、4x29(y2 z2)3622 2设函数f(x,y,z)2x yz z，则grad f(1,0,1)(2,1,2)x 3tx 2y 4z3 3直线L1:与直线L2:y 13t的夹角为2253z 27t4.4.设是曲面z 2 x2 y2及z x2 y2所围成的区域积分，则f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分形式是5.5.设L是圆周y 02drdr012r2rf(rcos,rsin,z)dz2x x2，取正向，则曲线积分 ydx xdy L2(1)n1xn6.6.幂级数的收敛半径nn17 7设级数R 10unun收敛，则nlimn10,x 08 8设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)
11、则它的傅x,0 x,里叶级数在x 处收敛于29 9全微分方程xdx ydy 0的通解为xxy C1010写出微分方程y y 2y e的特解的形式y*axex二、解答题（共 42 分每小题分）x y z 2 01 1求过点(1,2,1)且垂直于直线的平面方程x 2y z 3 0ijk1,2,3 (4 分)解解：设所求平面的法向量为n，则n 1 21 111所求平面方程为x 2y 3z 0 (2 分).2 2函数z z(x,y)由方程sin(x 2y 3z)x 2y 3z所确定，求zx解解：令F(x,y,z)sin(x 2y 3z)x 2y 3z，(2 分)则Fx cos(x 2y 3z)1,Fz
12、 3cos(x 2y 3z)3 (2 分)Fx1 cos(x 2y 3z)z (2 分)xFz33cos(x 2y 3z)3 3计算xyd，其中D是由直线y 1,x 2及y x所围成的闭区域D解法一：解法一：原式211xydydx (2 分)2x2x3y2xxx1dx()dx11222x4x22111.(4 分)848y421解法二：解法二：原式xydxdyy 11.(同上类似分)1y88 2224 4计算D1 x2 y2dxdy，其中D是由x2 y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域解：解：选极坐标系原式20d011r2rdr (3 分)1122()1r d(1r)(3 分)22065
13、5计算(y2 z2)dx 2yzdy x2dz，其中是曲线x t,y t2,z t3上由t1 0到t21的一段弧解：解：原式01(t4t6)2t52t t23t2dt (3 分)(3t6 2t4)dt t7013725 11t 0 (3 分)535.6 6判断级数2n12n的敛散性n1解解：因为limun1(2n1)2n1 (3 分)limn1nnun22n11，(2 分)2故该级数收敛 (1 分)7 7求微分方程y3y 4y 0满足初始条件yx0 0,yx0 5的特解解：解：特征方程r 3r 4 0，特征根r1 4,通解为y C1ey 4C1e4x4x2r2 1C2ex，(3 分)C2ex，
14、代入初始条件得C1 1,C21，所以特解y e4xex(3 分)22三、（8 8 分）分）计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy，其中是上半球面z 1 x y的上侧解解：添加辅助曲面1:z 0,x y 1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得22xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdy1xdydz ydzdx zdxdy(4 分)13dv 0 (2 分)31 4 2(2 分)232四、（8 8 分）分）设曲线积分yf(x)dx 2xf(x)x dy在右半平面(x 0)内L与路径无关，其中f(x)可导，且满足f(1)1，求f(x)PQ解解：由，
15、得f(x)2 f(x)2xf(x)2x，yx.即f(x)1f(x)1，(3 分)2x1dx2x(所以f(x)e xe1dx2xdx C)12(23x212(1x2dx C)x3C)，(3 分)211代入初始条件，解得C，所以f(x)x (2 分)333 x33五、（6 6 分）分）求函数f(x,y)x y 3xy的极值2 f(x,y)3x 3y 0 x解：解：2fy(x,y)3y 3x 0得驻点(0,0),(1,1)(3 分)fxx(x,y)6x,fxy(x,y)3,fyy(x,y)6y2在点(0,0)处，B AC 9 0,故f(0,0)非极值；2在点(1,1)处，B AC 27 0,故f(1
16、,1)1是极小值 (3 分)六、（6 6 分）分）试证：曲面z xf()上任一点处的切平面都过原点证：证：因yxzy1yzyyy xf()f()(3 分)f()f(),yxxxxxxxy0则取任意点M0(x0,y0,z0)，有z0 x0f()，得切平面方程为x0z0 x0f(y0yyyy)f(0)0f(0)(x x0)f(0)(y y0)x0 x0 x0 x0 x0y0y0y0y0f()x f()y z 0即 f()x0 x0 x0 x0故切平面过原点 (3 分)07A一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分）.1 1设向量a 2,3,1,b,1,5，已知a
17、与b垂直，则2 2设a 3,b 2,(a,b)，则a b 3.16y2z23 3yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为abx2 y2z2212abx 2z 1 04 4过点(2,4,0)且与直线垂直的平面方程2x 3y z 8 0y 3z 2 05 5二元函数z x ln(x y)的定义域为D(x,y x 0,x y 06 6函数7 7设zf(x,y,z)ln(x2 y2 z2)，则gradf(1,0,1)exy，则dz 1,0,1exy(ydx xdy)yu8 8设u xf(x,)，f具有连续偏导数，则xx9 9曲线x t,y t,z t上点(1,1,1)处的切向量T
18、23yf xf1f2x1,2,31010交换积分顺序：0dy01111闭区域由曲面z21yf(x,y)dx dxf(x,y)dy0 x11 x2 y2及平面z 1所围成，将三重积分f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分为1212设L为下半圆周y0d0rdrrf(rcos,rsin,z)dz，则L(x2211 1 x22 y2)ds 1313设L为取正向圆周x y2 9，则L(2xy 2y)dx (x2 4x)dy 180f(x)x x 00 x 则它的傅里叶级数在1414设周期函数在一个周期内的表达式为x 处收敛于1515若limunn2 0，则级数un的敛散性是发散n1.2nn!16
19、16级数n的敛散性是收敛n1n1717设一般项级数un，已知n1n1un收敛，则un的敛散性是绝对收敛n11818微分方程xy2(y)35xy 0是 2阶微分方程 0的通解y 1919微分方程y 4y 4y2020微分方程y3y 2y二、二、（共（共 5 5 分）分）C1e2xC2xe2x xe2x的特解形式为x(axb)e2xxz z设z u lnv,u,v xy，求,yx y2zz uz v1u2x2 2ulnv y 22ln(xy)1解：解：xu xv xyvyzz uz vxu2x2 2ulnv(2)x 32ln(xy)1yu yv yyvy三、三、（共（共 5 5 分）分）设x 2y
20、 z 2 xyz 0，求zx解：解：令F(x,y,z)Fxx 2y z 2 xyzxyz xyxyzxyz yzFzxyzyz xyzFz xxFzxyz xy四、四、（共（共 5 5 分）分）计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域解：解：:0 x 1,0 y 1 x,0 z 1 x yxdxdydz 0dx0dy0111x1xyxdz 0dx0 x(1 x y)dy11x五、五、（共（共 6 6 分）分）.1111223x(1 x)dx(x 2x x)dx 020224.计 算xx(e sin y y)dx (e cos y 1)dy，其 中L为 由 点A(a
21、,0)到 点O(0,0)的 上 半 圆 周Lx2 y2 ax解：解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林公式xx(e sin y y)dx (e cos y 1)dyLdxdy(exsin y y)dx(excos y1)dyDOA1a2()0221a38六、六、（共（共 6 6 分）分）(x 3)n求幂级数的收敛域nn1n3解：解：对绝对值级数，用比值判敛法un1x 3lim limnnun(n1)3n1当n1x 31n1 lim x 3 x 3nnn33 n 13n1x 3 1时，即0 x 6，原级数绝对收敛3当1x 3 1时，即x 0或x 6，
22、原级数发散3(1)n当x 0时，根据莱布尼兹判别法，级数n1n当x收敛1 6时，级数发散，故收敛域为0,6)n1n七、七、（共（共 5 5 分）分）计算z2dxdy，其中为球面x2 y2 z21在第一卦限的外侧2解：解：在xoy面的投影Dxy：x2zdxdy y21,x 0,y 0.(1 x y)dxdyd0(1r)rdr22Dxy201212 48八、八、（共（共 7 7 分）分）1设f(1)0，求f(x)使ln x f(x)ydx f(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)xPQ11解解：由，得ln x f(x)f(x)，即f(x)f(x)ln xyxxx所以f(x)e
23、1 dxx(ln xexdx1112C)x(ln x dx C)x(ln x C)x2带入初始条件，解得C 0,所以f(x)1xln2x2(x,y)11u(x,y)(0,0)(ln x ln2x)ydx xln2xdy221122000 xln xdyxyln x22xy0707 高数高数 B B一、（共 60 分每题 3 分）得分1.设向量a 6,2,4，b,1,2，已知a与b平行,则 3y2z2x2 y2z2212.yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为aca2b3.设a 2,b 1,(a,b),则a b 33x2y 4 0垂直，则此平面方程为2x y 3z 03y
24、z 04.设一平面经过点(1,1,1)，且与直线5.6.7.8.二元函数z lny22x1的定义域为(x,y)|y2 2x 1 0 xy设z e，则dz exy(ydx xdy)函数f(x,y,z)ln(x2 y2 z2)，则grad f(1,0,1)设u xf(x,)，f具有连续导数，则(1,0,1)yxuy fxf1 f2xx.9.曲面x2 y2 z21在点(1,0,2)处的法向量n 2,0,410.交换积分顺序：0dx0f(x,y)dy 0dyyf(x,y)dxf(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次1x1111.闭区域由曲面z x2 y2及平面z 1所围成，将三重积211积分为0dr
25、dr2f(rcos,rsin,z)dz0r12.设是闭区域的整个边界曲面的外侧,V是的体积，则13.设L为上半圆周y 1 x2，则xdydx ydzdx zdxdy=3VL(x2 y2)ds 0,x 014.设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)则它的傅里叶级数在x 处收敛x,0 x,于215.若limun 0，则级数nun的敛散性是 发散n1nn16.级数n的敛散性是 收敛 n15 n!17.级数sinn的敛散性是 收敛 2n1n18.微分方程x2y5(y)4 6y 0是 2 阶微分方程19.微分方程y2y y 0的通解为20.ex(C1C2x)微分方程y5y 6y 3xe2x的特解的形式
26、得分y*(ax2bx)e2x三、（共 5 分）函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，求222zx解：令F(x,y,z)x y z 4z，(1 分)则Fx 2x,Fz 2z 4,(2 分).Fxzx (2 分)xFz2 z五、（共 6 分）计算曲线积分得分L(x22y)dx(x sin2y)dy，其中L为由点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周x2 y2 2x解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D，根据格林公式LD(x22y)dx(xsin2y)dy(x22y)dx(xsin2y)dy (3 分)(1 2)dxdy dxdyD22OA012382x dx
27、1 (3 分)2323七、（共 6 分）得分设f(1)0，确定f(x)使sin x f(x)dx f(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分yx解解：由sin x f(x)PQ f(x)，得xyx1sin xf(x)(2 分)xx1dxx即f(x)所以f(x)esin xxdx(edxC)x1 eln x(sin xln xedx C)(2 分)x1(cosxC)，(1 分)x1(cos1cosx)(1 分)x代入初始条件，解得C cos1，所以f(x)八、(共共 6 6 分分)得分计算.2222z dxdyx y z1外侧在x 0,y 0的部分，其中是球面.解：zdxdyzdxdy dxd
28、y12 (2 分)Dxy2222(1 x y)dxdy(1)(1 x y)dxdy (2 分)Dxy 2(1 x2 y2)dxdyDxy20 2d(1r2)rdr014 (2 分)0808 高数高数 A A一、选择题（共 24 分每小题 3 分）1 1设s1m1,n1,p1，s1m2,n2,p2分别为直线L1，L2的方向向量，则L1与L2垂直的充要条件是（A）（A）m1m2 n1n2 p1p2 0（B）m1n1pmnp1（C）m1m2 n1n2 p1p21（D）1111m2n2p2m2n2p22 2Yoz 平面上曲线z y21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 (C )（A）z y21（B）z
29、 y2 x2（C）z y2 x21（D）z y2 x3二元函数z lny22x1的定义域为（B）（A）(x,y)|y2 2x 0（B）(x,y)|y2 2x 1 0（C）(x,y)|y2 2x 1 0（D）(x,y)|x 0,y 04交换积分顺序：1101dyf(x,y)dx（A）0111yy（A）0dxxf(x,y)dy（B）0dyyf(x,y)dx（C）0dy1f(x,y)dx（D）dxf(x,y)dy011x5空间闭区域由曲面r 1所围成，则三重积分2dv=（C）（A）2（B）2（C）84（D）336函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，则z=（D）x（A）.y2
30、z（B）x（C）z2 y2 z（D）x2 z.xn7幂级数n的收敛域是（C）n1n3（A）3,3（B）0,3（C）3,3（D）3,3x8已知微分方程y y 2y e的一个特解为y*xex，则它的通解是（B）（A）C1x C2x2 xex（B）C1exC2e2x xex（C）C1x C2x2 ex（D）C1exC2ex xex二、填空题（共 15 分每小题 3 分）1曲面x2 y2 z在点(1,0,1)处的切平面的方程是2x z 1 02 2若limun 0，则级数nun的敛散性是 发散n13级数cosn的敛散性是 绝对收敛 2n1n4二元函数f(x,y)(x2 y2)sin1，当x,y0,0时
31、的极限等于 0。2x5 5全微分方程ydx xdy 0的通解为_xy c_三、解答题（共 54 分每小题 6 分）1 1用对称式方程及参数方程表示直线x y z i 0 x y z 1 02x y 3z 4 02x y 3z 4 0解解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为ijks 111 4,1,3 (4 分)213在直线上找出一点，例如，取x01代入题设方程组得直线上一点1,0,2（5 分）故题设直线的对称式方程为x 1y 0z 2 (6 分)413参数方程为x 1 4ty t（7 分）z 23t.4 4计算三重积分x2 y2dv，其中是平面z 2及曲面z x2 y2所
32、围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）解解：:r z 2,0 r 2,0 2 (3 分)x2 y2dvdrdrrdz（6 分）00r222L8（7 7 分）分）35 5计算曲线积分 ydx 2xdy，其中L是在圆周y 段2x x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有向弧解法解法 1 1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式（2 分）L ydx2xdy 3dxdy ydx2xdy (4 分)DOA 3解法解法 2 2：直接求曲线积分20 2 (6 分)6 6求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。解法解法 1 1：设长方体的长、宽、高分别为x,y,
33、z，则题设问题归结为约束条件(x,y,z)2xy 2yz 2xz a2 0下，求函数V xyz（x,y,z均大于 0）的最大值。（2 分）作拉格朗日函数L(x,y,z,)xyz(2xy 2yz 2xz a2)（4 分）由方程组LX yz 2(y z)0Ly xz 2(x z)0（5 分）Lz xy 2(y x)0进而解得唯一可能的极值点x y z 6a6由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为V.63a（6 分）36.解法解法 2 2：从条件中解出 z 代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。7 7计算x y zds，其中为平面y z 4被柱面x2 y216所截的部分
34、。解解：积分曲面的方程为z 4 y，它在xoy面上的投影为闭区域Dxyx,yx2 y216（2 分）22又1 zx zy2所以x y zds=x y 4 y2dxdy（4 分）Dxy =24 xdxdy=2d4 rcosrdr（5 分）Dxy0024 64 2（6 分）8将函数f(x)解法解法 1 1：因为而又124dxdy 4 16Dxy2 6421 x2,x(1,1)展开成 x 的幂级数。11 x11 x2（2 分）11 x x2 x3.xn.x(1,1)（4 分）1 x逐项求导，得11 x21 2x 3x2.nxn1.x(1,1)（6 分）解法解法 2 2：直接求展开式的系数，然后根据余
35、项是否趋近于零确定收敛域。9求微分方程y 1 y 的通解。2解解：令y u则原方程变为u1 u2（2 分）分离变量后积分得arctanu则，.x c1（4 分）y tanx c1（5 分）.故原方程的通解为y lncosx c1 c2（6 分）四、证明题（7 分）证 明：若 函 数f(x,y)在Ra1 x b1,a2 y b2上 连 续，,R，令Ra1 x,a2 y，则2Rf(x,y)dxdy f(,)1证：已知f(x,y)在R连续，,R，设F(,)f(x,y)dxdy adxaf(x,y)dy（3 分）R2因为(x)f(x,y)dy在a1,连续，所以，有a2Fa2f(,y)dy（5 分）又因
36、为f(,y)在a2,b2上连续，所以有2F f(,)2即0808 高数高数 B BRf(x,y)dxdy f(,)（7 分）一、选择题（共 24 分每小题 3 分）1 1设两平面的法向量分别是n1a1,b1,c1，n1a2,b2,c2，则这两平面垂直的充要条件是（C）（A）a1a2b1b2c1c21（B）a1b1c1a2b2c2（C）a1a2b1b2c1c2 0（D）a1b1c11a2b2c22 2Yoz 平面上曲线z y2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 (B )（A）z y21（B）z y2 x2.（C）z y2 x21（D）z y2 x3二元函数z y x的定义域为（A）x,x 0（A
37、）(x,y)|y（B）(x,y)|x 1 0（C）(x,y)|y2 x（D）(x,y)|x 0,y 04交换积分顺序：dxf(x,y)dy=（B）0 x11（A）0dyyf(x,y)dx（B）0（C）01y1111dyf(x,y)dx0 x1ydyf(x,y)dx（D）dxf(x,y)dy015空间闭区域由曲面r 1所围成，则三重积分3dv=（D）（A）3（B）2（C）4（D）436函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，则y2 zz2 zz=（A）y（A）（C）（B）（D）x2 yx2 zxn7幂级数n的收敛域是（D）n1n5（A）（C）5,5（B）0,5 5,5（D）5
38、,5x8已知微分方程y y 2y e的一个特解为y*xex，则它的通解是（A）（A）C1exC2e2x xex（B）C1x C2x2 xex（C）C1x C2x2 ex（D）C1exC2ex xex二、填空题（共 15 分每小题 3 分）1曲面x2 y2 z在点(0,1,1)处的切平面的方程是2Y z 1 02若级数un的敛散性，则数列u当n 时的极限是n1n 0.sin2n3级数2的敛散性是 收敛 nn14二元函数f(x,y)(x2 y2)sin1，当x,y,时的极限等于 1。22x y5 5微分方程ycxyy)_1的通解为_x2x三、解答题（共 54 分每小题 6 分）1 1设平面过点(1
39、,2,1)且垂直于两平面1：x 2y z 02：x y z 0求此平面的方程解解：设所求平面的法向量为n，则n 1ijk 21 1,2,3 (4 分)111所求平面方程为x 2y 3z 7 (6 分)x 2y 3z 82求两个底圆半径都等于 2 的直交圆柱面所围成的立体的体积。解解：设两个圆柱面的方程分别为x2 y2 4x2 z2 4（2 分）由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以 8 即可。V14 x2dxdy（4 分）D204x22164 x dy dx03128（6 分）3从而所求立体的体积为V 8V1v223 3设z ue，而u x y，v xy，求dz解解：zzu
40、z vev2x uev y exy(2x x2y y3)xu xv x(2 分).zzuz vev2y uev x exy(2y x3 xy2)(4 分)yu yv ydz exy(2x x2y y3)dx exy(2y x3 xy2)dy (6 分)4 4计算三重积分x2 y2dv，其中是曲面z x2 y2及平面z 1所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）解解：:r z 1,0 r 1,0 2 (2 分)x y dv22drdrrdz（5 分）00r2116（6 6 分）分）5 5求内接于半径为a2的球而体积为最大的长方体的体积。解解：设长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z，则题设问题归
41、结为约束条件(x,y,z)x2 y2 z2 a2 0下，求函数V 8xyz（x,y,z均大于 0）的最大值。（2 分）作拉格朗日函数L(x,y,z,)8xyz(x2 y2 z2 a2)（4 分）由方程组LX 8yz 2x 0Ly 8xz 2y 0（5 分）Lz 8xy 2z 0进而解得唯一可能的极值点，x y z 33a93a由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值3，点。故该问题的最大体积为V 6 6计算曲线积分 ydx 2xdy，其中L是由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周x2 y2 a2的有向弧L段B(a,0)解解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记
42、为D，根据格林.公式（2 分）L ydx2xdy 3dxdy ydx2xdy (4 分)DOA 38 8设2a20 32a (6 分)2为平面y z 3被柱面x2 y2 9所截的部分，计算曲面积分x y zds。解解：积分曲面的方程为z 3 y，它在xoy面上的投影为闭区域Dxyx,yx2 y2 9（2 分）22又1 zx zy2所以x y zds=x y 3 y2dxdy（4 分）Dxy =23 xdxdy=2d3 rcosrdr（5 分）Dxy0023 =27 2（6 分）9求微分方程y1 y的通解。解法解法 1 1：令y u则原方程变为u分离变量后积分得ln1u 1 u（2 分）xc（4 分）xxy ce 1y c e x c2（6 分）则，故原方程的通解为11解法解法 2 2：可通过观察或求解二阶常系数非齐次线性微分方程的办法先得原方程的一个特解y*x。之后再根据相应的齐次方程的通解而构造出原问题的通解。.