《2021年河南洛阳中考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年河南洛阳中考数学试题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年河南洛阳中考数学试题含答案一、选择题12 的相反数是（）A2BCD22如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）ABCD3要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A中央电视台开学第一课的收视率B某城市居民 6 月份人均网上购物的次数C即将发射的气象卫星的零部件质量D某品牌新能源汽车的最大续航里程4如图，l1l2，l3l4，若170，则2 的度数为（）A100B110C120D1305电子文件的大小常用B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB210MB，1MB210KB，1KB210B某视频文件的大小约为1GB，1GB 等于（）A230BB830BC81010B
2、D21030B6若点 A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy1y3y2Dy3y2y17定义运算：mnmn2mn1例如：424224217则方程 1x0 的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D只有一个实数根8国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（）A500（1+2x）7500B50002（
3、1+x）7500C5000（1+x）27500D5000+5000（1+x）+5000（1+x）275009如图，在ABC 中，ACB90，边BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（）A（，2）B（2，2）C（，2）D（4，2）10如图，在ABC 中，ABBC，BAC30，分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为（）A6B9C6D3二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11请写出一个大于 1 且小于 2 的无
4、理数12已知关于x 的不等式组组的解集为其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式13如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是14如图，在边长为2的正方形 ABCD 中，点E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为15如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交上一动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为于点 D，点 E 为半径 OB三、解
5、答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16先化简，再求值：（1），其中 a+117为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择试用时，设定分装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20 袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501497498502513489506490505486502503498497491500505502504505乙：50549950249148
6、7506493505499498502503501490501502511499499501整理数据整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表质量频数机器甲乙212345774311485x490490 x495495x500500 x505505x510510 x515分析数据根据以上数据，得到以下统计量统计量机器甲乙499.7499.7501.5a42.0131.81b10%平均数中位数方差不合格率根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 a，b；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由18位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化
7、遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点A 的仰角为 45测角仪的高度为1.6m（1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到0.1m参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议19暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下方案一：购买一张学生暑期专享
8、卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元），且 y1k1x+b；按照方案二所需费用为 y2（元），且 y2k2x其函数图象如图所示（1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8 次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由20我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器 图 1 是它的示
9、意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长使用方法如图 2 所示，若要把MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过MEN的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO就把MEN 三等分了为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，求证：21如图，抛物线yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别
10、交于点A，B，且OAOB，点 G 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G 的坐标；（2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围22小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点 D 是上一动点，线段 BC8cm，点 A 是线段 BC 的中点，过点 C 作 CFBD，交 DA 的延长线于点 F当DCF 为等腰三角形时，求线段BD 的长度小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题请将下面的
11、探究过程补充完整：（1）根据点 D 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD 的长度，得到下表的几组对应值BD/cmCD/cmFD/cm08.08.01.07.77.42.07.26.93.06.66.54.05.96.15.0a6.06.03.96.27.02.46.78.008.0操作中发现：“当点 D 为的中点时，BD5.0cm”则上表中 a 的值是；“线段 CF 的长度无需测量即可得到”请简要说明理由（2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD的图象，如图所示请
12、在同一坐标系中画出函数 yCD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF 为等腰三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）23将正方形ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB，记旋转角为，连接BB，过点D 作 DE 垂直于直线 BB，垂足为点 E，连接 DB，CE（1）如图 1，当 60时，DEB的形状为，连接 BD，可求出为；（2）当 0360且 90时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点 B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值的值参考答案一、选
13、择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的12 的相反数是（）A2BCD2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案解：2 的相反数是2故选：A2如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）ABCD【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D3要调查下列问题，适合采用全
14、面调查（普查）的是（）A中央电视台开学第一课的收视率B某城市居民 6 月份人均网上购物的次数C即将发射的气象卫星的零部件质量D某品牌新能源汽车的最大续航里程【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解：A、调查中央电视台开学第一课的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民 6 月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意故选：C4如图，l1l2，l3l4，若170，则2
15、 的度数为（）A100B110C120D130【分析】根据平行线的性质即可得到结论解：l1l2，170，3170，l3l4，2180318070110，故选：B5电子文件的大小常用B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB210MB，1MB210KB，1KB210B某视频文件的大小约为1GB，1GB 等于（）A230BB830BC81010BD21030B【分析】列出算式，进行计算即可解：由题意得：210210210B210+10+10230B，故选：A6若点 A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y
16、3y1Cy1y3y2Dy3y2y1y2、y3的值，【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、比较后即可得出结论解：点 A（1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，y16，y23，y32，又326，y1y3y2故选：C7定义运算：mnmn2mn1例如：424224217则方程 1x0 的根的情况为（）A有两个不相等的实数根C无实数根B有两个相等的实数根D只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案解：由题意可知：1xx2x10，141（1）50，故选：A8国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由
17、 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（）A500（1+2x）7500B50002（1+x）7500C5000（1+x）27500D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量（1+增长率）22019 年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可解：设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）27500，故选：C9如图，在ABC 中，ACB90，边BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，
18、6）和（7，0）将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（）A（，2）B（2，2）C（，2）D（4，2）【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质得到 DEOCOE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO3，于是得到结论解：如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0），AC6，OC2，OB7，BC9，四边形 OCDE 是正方形，DEOCOE2，OEOC2，EOBC，BOEBCA90，EOAC，BOEBCA，BO3，OC72
19、32，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2），故选：B10如图，在ABC 中，ABBC，BAC30，分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为（）A6B9C6D3【分析】连接 BD 交 AC 于 O，根据已知条件得到 BD 垂直平分 AC，求得 BDAC，AOCO，根据等腰三角形的性质得到ACBBAC30，根据等边三角形的性质得到DACDCA60，求得 ADCD解：连接 BD 交 AC 于 O，ADCD，ABBC，BD 垂直平分 AC，BDAC，AOCO，ABBC，ACBBAC30，ACADCD，ACD 是等边
20、三角形，DACDCA60，BADBCD90，ADBCDB30，ABBCADCD，AB3，3，AB3，于是得到结论四边形 ABCD 的面积2故选：D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数【分析】由于所求无理数大于1 且小于 2，两数平方得大于2 小于 4，所以可选其中的任意一个数开平方即可解：大于 1 且小于 2 的无理数是故答案为：其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式，答案不唯一12已知关于x 的不等式组组的解集为xa【分析】根据关于 x 的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x 的取值范围即可解：b0a，关于 x 的不等式组故
21、答案为：xa13如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是的解集为：xa，【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有 16 种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4 种，P（两次颜色相同）故答案为：14如图，在边长为2的正方形 ABCD 中，点E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长
22、度为1CE 交于 O，BCCDAB，【分析】设 DF，根据正方形的性质得到BDCF90，根据线段中点的定义得到 BECF，根据全等三角形的性质得到 CEDF，BCECDF，求得 DFCE，根据勾股定理得到CEDFH 分别是 EC，FD 的中点，根据射影定理即可得到结论解：设 DF，CE 交于 O，四边形 ABCDA 是正方形，BDCF90，BCCDAB，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，BECF，CBEDCF（SAS），CEDF，BCECDF，CDF+CFD90，BCE+CFD90，COF90，DFCE，点 G，CEDF，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，CGFH，DCF90，C
23、ODF，CF2OF DF，OF，OH，OD，OC2OF OD，OCOGCGOCHG故答案为：1，1，15如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交上一动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为于点 D，点 E 为半径 OB【分析】利用轴对称的性质，得出当点 E 移动到点 E时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧 CD 的长与 CD的长度和，分别进行计算即可OD，解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连接 DC 交 OB 于点 E，连接 ED、此时 EC+EC 最小，即：EC+ECCD，由题意得，CODDOBBOD30，COD90，CD的长 l，+2，阴影部分周长的最小值
24、为2故答案为：三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16先化简，再求值：（1），其中 a+1【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可解：a1，把 a+1 代入 a1+1117为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择试用时，设定分装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20 袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501497498
25、502513489506490505486502503498497491500505502504505乙：505499502491487506493505499498502503501490501502511499499501整理数据整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表质量频数机器甲乙212345774311485x490490 x495495x500500 x505505x510510 x515分析数据根据以上数据，得到以下统计量统计量机器甲乙499.7499.7501.5a42.0131.81b10%平均数中位数方差不合格率根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 a501，b
26、5%；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由【分析】（1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不合格的有 1 个，调查总数为 20，可求出不合格率，从而确定a、b 的值；（2）根据合格率进行判断解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b1200.055%，故答案为：501，5%；（2）选择甲机器，理由：甲的不合格率较小，18位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水平步道 MP
27、 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点A 的仰角为 45测角仪的高度为1.6m（1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到0.1m参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议【分析】（1）过 A 作 ADPM 于 D，延长 BC 交 AD 于 E，则四边形 BMNC，四边形 BMDE是矩形，于是得到BCMN16m，DECNBM1.6m，求得 CEAE，设 AECEx，
28、得到 BE16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法解：（1）过 A 作 ADPM 于 D，延长 BC 交 AD 于 E，则四边形 BMNC，四边形 BMDE 是矩形，BCMN16m，DECNBM1.6m，AED90，ACE45，ACE 是等腰直角三角形，CEAE，设 AECEx，BE16+x，ABE22，tan220.40，x10.7（m），AD10.7+1.612.3（m），答：观星台最高点 A 距离地面的高度约为12.3m；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，本次测量结果的误差为12.612.30.3m，减小误差的合理化建议
29、为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法19暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元），且 y1k1x+b；按照方案二所需费用为 y2（元），且 y2k2x其函数图象如图所示（1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8 次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入 y
30、1k1x+b，得到关于 k1和 b 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；（3）将 x8 分别代入 y1、y2关于 x 的函数解析式，比较即可解：（1）y1k1x+b 过点（0，30），（10，180），解得，k115 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15 元，b30 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30 元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为150.625（元），则 k2250.820；（3）选择方案一所需费用更少理由如下：由题意可知，y11
31、5x+30，y220 x当健身 8 次时，选择方案一所需费用：y1158+30150（元），选择方案二所需费用：y2208160（元），150160，选择方案一所需费用更少20我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器 图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长使用方法如图 2 所示，若要把MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过MEN的顶点 E，
32、点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO就把MEN 三等分了为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，ABOB，EN切半圆 O 于 F求证：EB，EO 就把MEN 三等分【分析】根据垂直的定义得到ABEOBE90，根据全等三角形的性质得到12，根据切线的性质得到23，于是得到结论解：已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，ABOB，EN 切半圆 O 于 F求证：EB，EO
33、就把MEN 三等分，证明：EBAC，ABEOBE90，ABOB，BEBE，ABEOBE（SAS），12，BEOB，BE 是E 的切线，EN 切半圆 O 于 F，23，123，EB，EO 就把MEN 三等分故答案为：ABOB，EN 切半圆 O 于 F；EB，EO 就把MEN 三等分21如图，抛物线yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点 G 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G 的坐标；（2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N
34、）的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围【分析】（1）先求出点 B，点 A 坐标，代入解析式可求c 的值，即可求解；（2）先求出点 M，点 N 坐标，即可求解解：（1）抛物线 yx2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点B，点 B（0，c），OAOBc，点 A（c，0），0c2+2c+c，c3 或 0（舍去），抛物线解析式为：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点 G 为（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线 x1，点 M，N 为抛物线上两点（点M 在点 N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和 5 个单位长度，点 M 的横坐标为2
35、或 4，点 N 的横坐标为 6，点 M 坐标为（2，5）或（4，5），点 N 坐标（6，21），点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，21yQ422小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点 D 是上一动点，线段 BC8cm，点 A 是线段 BC 的中点，过点 C 作 CFBD，交 DA 的延长线于点 F当DCF 为等腰三角形时，求线段BD 的长度小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点 D 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD 的长度，得到下表的几组对应值BD/cm
36、CD/cmFD/cm08.08.01.07.77.42.07.26.93.06.66.54.05.96.15.0a6.06.03.96.27.02.46.78.008.0操作中发现：“当点 D 为的中点时，BD5.0cm”则上表中 a 的值是5；“线段 CF 的长度无需测量即可得到”请简要说明理由（2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD的图象，如图所示请在同一坐标系中画出函数 yCD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF 为等腰三角形时，线
37、段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）【分析】（1）由可求 BDCDa5cm；由“AAS”可证BADCAF，可得 BDCF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解解：（1）点 D 为，的中点，BDCDa5cm，故答案为：5；（2）点 A 是线段 BC 的中点，ABAC，CFBD，FBDA，又BADCAF，BADCAF（AAS），BDCF，线段 CF 的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数 yCF的图象；由图象可得：BD3.8cm 或 5cm 或 6.2cm 时，DCF 为等腰三角形23将正方形ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB，记
38、旋转角为，连接BB，过点D 作 DE 垂直于直线 BB，垂足为点 E，连接 DB，CE（1）如图1，当60时，DEB的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当 0360且 90时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点 B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值【分析】（1）由旋转的性质得出ABAB，BAB60，证得ABB是等边三角形，可得出DEB是等腰直角三角形证明BDBCDE，得出（2）得出EDBEBD45，则DEB是等腰直角三角形，得出证明BDBEDC，由相似三角形的性质可得出分两种情况画出图形
39、，由平行四边形的性质可得出答案解：（1）AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB，ABAB，BAB60，ABB是等边三角形，BBA60，DABBADBAB906030，ABABAD，ABDADB，ABD75，DBE180607545，DEBE，BDE904545，DEB是等腰直角三角形四边形 ABCD 是正方形，BDC45，同理，BDB+BDC45，EDC+BDC45，BDBEDC，BDBCDE，故答案为：等腰直角三角形，（2）两结论仍然成立证明：连接 BD，ABAB，BAB，ABB90，BAD90，ADAB，ABD135，45，EBDABDABB135DEBB，EDBEBD45，DEB是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，BDC45，EDBBDC，EDB+EDBBDC+EDB，即BDBEDC，BDBEDC，3 或 1若 CD 为平行四边形的对角线，点 B在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，取 CD 的中点连接 BO 交A 于点 B，过点 D 作 DEBB交 BB的延长线于点 E，由（1）可知BED 是等腰直角三角形，BDBE，CE+1+1+13由（2）可知BDBCDE，且 BB+1若 CD 为平行四边形的一边，如图3，点 E 与点 A 重合，13 或 1综合以上可得