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1、20232023 年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1B1322D3A4C5B6D147C28C9ABC10BCD11ABC1512ABC1616017183322或x(y3)10 x(y3)10221122n25（2）cosB 6（2）Sn（2）530,e（1）an 2n（1）证明过程详见解析19（1）A1F 52 1015（1）相关系数r 2021.621.6 0.997 0.75，故可以用线性回归模型拟合y与x的关系6 1321.66 0.048x0.5；（2）y（3）该企业每天的二氧化碳排放量Z超过 7 吨的
2、概率为 0.1586521（1）a 1，b 1（2）(1,)22（1）证明过程详见解析（2）存在定点M,0，使得AM532422 BM AB为定值91【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算【解析】i(1i)i1 11i1i2【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集【解析】因为B y|y 2x2x,x A0,1,2，所以A B 0,1,23【答案】A【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积【解析】a2b (1,2)(4,2)(
3、3,4)，a(a2b)1(3)(2)(4)54【答案】C【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质【解析】依题意，甲：a 5乙：b 4丙：c4丁：ac 8可知甲、乙、丁为真命题，丙a5为假命题5【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 4082【解析】由题意得R212，得R 20 cm，h 2016 4 cm，所以两个球冠的表面积之2【答案】第 1 页 共 8 页2和为2S 4Rh 320cm，灯笼中间球面的表面积为4R 3201280cm因为上下两个圆柱
4、的侧面积之和为2244 192cm，所以围成该灯笼所需布料的面积为12801921472cm6【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求【解析】由题可知P(X 2)P(X 3)，即2222222e36e，解得 3，3k33133故P(X k)e(k 0,1,2,)，P(X 1)e3，k!1!e9 3 故两个站台各有 1 个乘客候车的概率为P 36ee7【答案】C
5、【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小【解析】令f(x)22ln x1ln x2，则f(x)，当x e时，f(x)0，f(x)单调递减，因为e 7 3 e，2xx2ln7ln3lne2ln7ln3所以f(e)f(7)f(3)，2，即2，故b c ae73e738【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题【解析】如图，平面D1MN 平面ABCD PN，过点D作DG PN，垂足为G，连接D1G，则D1GD即为平面D1MN与平面ABCD所成的锐二面角，tanD1GD D1D，当DG最大时，D1GD最小，不妨设
6、AB 4，DG22因为DGDN CD CN4232 5，所以tan45 41，cos5419【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义【解析】对于A：因为SD 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以SD AB，因为ABCD是正方形，所以AB AD，因为SD AD D，SD,AD 平面SAD，所以AB 平面SAD，因为SA平面SAD，所以AB SA，故 A 项正确；对于B：因为SD AC,AC BD，因为SD BD D，SD,BD 平面SBD，所以AC 平面SBD，【答案】第 2 页 共 8
7、页因为SB 平面SBD，所以AC SB，故 B 项正确；对于 C：AD与SB所成的角为SBC，CD与SB所成的角为SBA，因为BCAB cosSBA，所以AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，故 C 项正确；SBSB对于 D：因为AB/CD，所以CD SA，则DC与SA所成的角为90，因为AB与SC所成的角为SCD 90，所以AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角，故 D 项不正确cosSBC 10【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数【解析】因为a lg2，b lg3，所以10 2，10 3，所以
8、10ab2ab12，A 项错误；2ab lg4lg3 lg12，B 项正确；a2b lg(29)lg18，11 log1810，C 项正确；a2blg18log365lg51lg21a，D 项正确lg362(lg2lg3)2a2b11【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想【解析】对于 A：由题意知F(1,0)，直线l的斜率存在且不为 0，设其方程为y k(x1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，y k(x1)联立2，可得k2x22(k22)xk2 0，y 4x2(k22)，x1
9、x21，16(k 1)0，故x1 x2k22则AF BF x1 x22 44，2kAF BF (x11)(x21)x1x2 x1 x2112故 A 项正确441 4，所以AF BF AF BF，k2k2对于 B：过点A作AD x轴，垂足为D，因为K(1,0)，所以tanAKF y1，x11yycosMQF cosMFQ sinAFD 11，所以tanAKF cosMQF，故 B 项AFx112正确对于 C：因为y1 y2222，所以M点的纵坐标为，故N1,，kNF2kkk【答案】第 3 页 共 8 页21k，kNFkAB 1，2k故NF AB，故NF/MQ，故 C 项正确y12 4x1y y4
10、2(y1 y2)(y1 y2)4(x1 x2)，则k 12，所以MQ的方程对于 D：2x1 x2y1 y2y0y2 4x2为y y0 y0y(x x0)，令y 0，得y0 0(x x0)x 2 x0，所以Q(2 x0,0)，所以22FQ 2 x011 x0，所以AB x1 x22 2x02 2 FQ，故 D 项错误12【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义【解析】令x 1，可得f(1)f(3)4 0，所以f(3)5，A 项正确；令x 2，可得f(0)f(4)8 0，因为f(0)0，所以f(4)8，B 项正确；设g(x)f(x)2x，则g(x)为
11、R上的奇函数，又因为f(2 x)f(2 x)4x 0，所以f(2 x)2(2 x)f(2 x)2(2 x)，则g(2 x)g(2 x)，所以g(x)的图象关于直线x 2对称，因为g(4 x)g(x)g(x)，g(8 x)g(4 x)g(x)，所以g(x)的一个周期为 8，因为g(2023)g(1)g(1)1,g(2023)f(2023)220231，所以f(2023)4047，C 项正确；因为g(2024)g(0)0，则f(2024)22024 0,f(2024)4048，D 项错误13【答案】160【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题3r61
12、1 r6rrr6r2【解析】因为2x，的展开式的通项为Tr1 C6(2x)(1)C62xxx6r所以第四项的系数为(1)C62 1603333314【答案】x(y3)210或x(y3)21022【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程【解析】设圆心坐标为(a,2a)，可得(2a)110，解得a 222223 33，所以圆心坐标为,3或,3，22233故圆的标准方程为x(y3)210或x(y3)2102215【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数y Asin(x)中各参数对图象的影响【答案】第 4 页 共 8 页【解析
13、】因为f 658 f5，结合图象可知 7f572k(kZ Z)，解得，所以 2562862T510k55 5552(kZ Z)由图象可知，可得1，所以k 1，2172383T52 516【答案】0,e【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系xx【解析】f(x)(x1)(e ax)令g(x)e ax，因为函数f(x)xe x1312ax ax有唯一一个极32x值点，且g(0)1 0，所以g(x)0恒成立当a 0时，符合题意；当a 0时，g(x)e a 0，且当x 时，g(x)，
14、不合题意，舍去；当a 0时，由g(x)0，g(x)在(,)上单调递增，可得x lna，g(x)在(,ln a)上单调递减，在(lna,)上单调递增，所以由aalna0，解得0 ae 综上所述，实数a的取值范围是0,eg(x)min g(lna)aalna，17【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n项和，要求考生掌握数列的前n项和的求法，能运用等差数列解决相应问题【解析】（1）当n 1时，a1 24 8，a1 2，1分当n2时，a1a2a3an 2n(n1)，a1a2a3an1 2n(n1)，2 分两式相减得an 2n 4n 8n，即an 2n，4分当n 1时，也符合上式，故an 2n 5分（
15、2）因为bn3233333223333223221 11，7分anan12n2(n1)2nn1所以Sn1111111110分12223nn122n218【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题【解析】（1）因为bccos AabcosC 2accosB，b2c2a2a2b2c2a2c2b2由余弦定理可得bc，2分ab 2ac2bc2ab2ac整理得a c 2b，4分222【答案】第 5 页 共 8 页所以a，b，c成等差数列 5分（2）因为sin A 3sin C，所以a 3c7分又因为a c 2b，所以9c c 2b，即b 5c9分2
16、22222222a2c2b29c2c25c25由余弦定理可得cosB 12分2ac2c3c619【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用【解析】（1）在BB1上取点M，使得B1M 1，连接A1M，延长CC1至点N，使得C1N 1，连接MN，A1N，则平面A1MN与平面重合 1分理由如下：因为A1D/BM，且A1D BM，所以四边形A1DBM是平行四边形，A1M/BD，2 分同理可得MN/BE，所以平面A1MN/平面BDE，又平面过点A1，且平面/平面BDE，(3
17、分)所以平面A1MN与平面重合，则F为MN与B1C1的交点又易知FB1M FC1N，所以FB1 FC1，即F为B1C1的中点，4分所以A1F A1B12 B1F222125 5分（2）因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC，所以BA，BC，BB1两两垂直分别以BA，BC，BB1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(2,0,2)，D(0,2,1)，F(1,0,3)，6 分A A1 1z zN NC C1 1B B1 1F FE Ex xMMC CB B 所以BE (2,0,2)，BD (0,2,1)，BF (1,0,3)，7 分y y 设
18、平面BDE的法向量为m (x,y,z)，则mBE 0，mBD 0，D DA A2x2z 0即，令y 1，得m (2,1,2)9 分2y z 0设直线BF与平面BDE所成的角为，BF m 123(2)2 10则sin|cosBF,m|，11分 1519414BF m所以直线BF与平面BDE所成角的正弦值为2 1012分1520【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求【答案】第 6 页 共 8 页【解析】(1)x 1(141721273239)25，1分61y
19、(0.20.30.50.81.01.4)0.7，2分6xiyi126.6，i16(x x)ii162450，(y y)ii1621.04，r x y 6x?yiii16x xy yiii1i1626221.621.6 0.997 0.75，4分6 1321.66故可以用线性回归模型拟合y与x的关系5分（2）bx y 6xyiii166(x x)ii1221.6 0.048，7分450 0.70.04825 0.5，8分a 0.048x0.5 9分y关于x的线性回归方程为y（3）Z N(5,4)，P(Z 7)1 P(52 Z 52)0.15865，11分2该企业每天的二氧化碳排放量Z超过 7 吨
20、的概率为 0.1586512 分21【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大(小)值的关系，掌握函数与方程的数学思想【解析】（1）因为f(x)lnx1a，所以f(a)lna，又因为f(a)1，所以曲线y f(x)在x ax处的切线方程为y1(xa)ln a，2分则a1 lna，易知a1lna，当且仅当a 1时取等号，4分b alna1(x2)ln x1x所以a 1，b 1 6分（2）当a 2时，由f(x)mx，可得(x2)ln x1 mx，m 令g(x)(x2)ln x12ln x x1，则g
21、(x)8分2xx设函数h(x)2ln x x1，易知函数h(x)为增函数，h(1)0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，10分所以g(x)的最小值为g(1)1，故实数m的取值范围是(1,)12分22【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想【答案】第 7 页 共 8 页2b22 3a 322【解析】（1）由已知可得，且a b 4，又a 0，解得，a3b 1x2所以双曲线C的方程为 y212分3当l x轴时，直线l的方程为x 2，则x1 x2 2，x1
22、y2 x2y1 2(y2 y1)成立；当直线l的斜率存在时，kAF kBF，y1y2，整理得x1y2 x2y1 2(y2 y1)4 分x12x22综上所述，x1y2 x2y1 2(y2 y1)成立5分（2）设点M的坐标为(m,0)，AM2 BM AB22当l x轴时，直线l的方程为x 2，不妨设A2,233，B 2,3312 3222则 2(m2)2 2m 8m333x2当l y轴时，直线l的方程为y 0，代入 y21，得x 3，3不妨设A(3,0)，B(3,0)，则(m3)2(m3)2(2 3)2 2m26令2m 8m22254 2m26，得m，2m26 7分339x2当l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为x ty 2(t 3)，代入 y21，得(ty 2)23y2 3，3即(t23)y24ty1 0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1 y2 224t1,y y 12t23t235552(y1 y2)2(1t2)对于点M,0，x1 y12x2 y23332t22(t21)8t226(t21)8t22 2(1t)y1y2(y1 y2)22239t 33(t 3)93(t 3)9262t222242 11分3(t 3)9399综上所述，存在定点M,0，使得AM532422 BM AB为定值12分9【答案】第 8 页 共 8 页