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1、内江市高中内江市高中 20202020 届第一次模拟考试题数学（理科）届第一次模拟考试题数学（理科）第卷第卷一、选择题（在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代一、选择题（在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）号填在答题卡的指定位置）1.已知集合A1,2,m，B 3,4，若AA.1或2【答案】D【解析】【分析】根据并集的运算结果可得出实数m的值.【详解】故选：D.【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数z A.第一象限【答案】A
2、【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数z表示为一般形式，即可得出复数z在复平面内对应的点所在的象限.【详解】z 集合A1,2,m，B 3,4，且AB.2或3B 1,2,3,4，则实数m为（）C.1或3D.3或4B 1,2,3,4，m 3或4.i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）2i1B.第二象限C.第三象限D.第四象限i12ii2i21i，2i112i12i555因此，复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.割圆术是估算圆
3、周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）A.1B.3C.3D.3 32【答案】B【解析】【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2，126所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为121 sin1226 3，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为故选：B.3.【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相
4、应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.14.在二项式x2的展开式中，含x4的项的系数是（）xA.10【答案】C【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x的指数为 4 求得【详解】解：对于Tr1 C5(x)对于 103r4，r2，则x4的项的系数是C52（1）210故选C点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）r2 5r5B.5C.10D.51()r(1)rC5rx103r，xrnrr考查二项展开式的通项公式Tr1 Cnab；（可以考查某一项，也可
5、考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5.函数y fx在P 1,f1处的切线如图所示，则f1 f1（）A.0【答案】A【解析】【分析】B.12C.32D.12由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率f 1和切线方程,然后求出f(1),即可得到f1 f 1的值.【详解】解:因为切线过(2,0)和(0,1),所以f(1)1x1,取x 1,则y211所以f1 f 1 0.22所以切线方程为y 故选:A.011,20211,所以f(1),22【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题.6.已知等比数列an是递增数列，a2 2，S3 7
6、，则数列A.31【答案】C【解析】【分析】B.31或 1 的前5项和为（）anD.3116314C.3116或314 1 qqaa设等比数列n公比为，根据题意求出1和的值，并确定出等比数列的首项和公an比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列a2 a1q 2a11q【详解】设等比数列an的公比为，由题意得，解得或2S a 1qq 7q 213a1 41，q 2由于等比数列an是递增数列，则a11，q所以，数列 1 1是以 为首项，以为公比的等比数列，1a2n1 115 1 231因此，数列的前5项和为.116an12故选：C.的x 1 的前5项和的值.an11aa112，n1n，且1a1an
7、1q2an1，【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7.函数fx x 2x2 1的图象大致为（）2A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据f(x),求出f(0),即可排除错误选项.2【详解】解:因为fx x 2x2 1,所以f(0)0,排除ACD.x故选:B.【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题.8.已知向量a（）A.2cos,2sin，,，b 0,1，则向量a与b的夹角为232B.2C.2D.【答案】C【解析】【分析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可
8、.【详解】解:因为a 2cos,2sin,b 0,1,所以cos a,b ab2sinsin,|a|b|2因为,所以 a,b,222.所以向量a与b的夹角为故选:C.【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.9.宋元时期数学名著算数启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5,2，则输出的n（）A.2【答案】C【解析】B.3C.4D.5由 程 序 框 图 可 得，n 1时，a 44 6 22 4 b，继 续 循 环；n 2时，26927a 6 9 24 8 b，继续循环；n 3时，a
9、9 28 16 b，继续222循环；结束输出n 3.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.10.定义在R上的偶函数fx满足：任意x1，x2x1 x2，有则（）A.f 2fx2 fx1x2 x1 0，log231 flog3 flog12921log23flog 2 flog f 2B.1392C.f2log31log23 flog 2 f 21921log23f 2
10、flog 2 flogD.1392【答案】A【解析】【分析】根据条件可知f(x)在0,)上单调递减,然后结合f(x)的奇偶性比较函数值的大小即可.【详解】解:由任意x1,x2,+)x1 x2,有fx2 fx1x2 x1 0,知f(x)在0,)上单调递减,又f(x)为R上的偶函数,13f(log12)f(1),所以f(2log2)f(3)f(log3)f(2)f(2)92即f 2log231 flog3 flog12.92故选:A.【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.11.函数fx xxS1xS2 xS8，其中Sn为数列an的前n项和，若an1
11、，则f 0（）nn1B.A.11214C.18D.19【答案】D【解析】【分析】先利用裂项相消法求出Sn,再求出f(x),进一步求出f(0)的值.【详解】解:因为an111,所以an,nn1nn1111n()=1.n1n1nn1所以Sn(1)()由fx xxS1xS2得f(x)xS1xS2121123xS8,xS8+x xS1xS2 xS8,所以f(0)S1S2故选:D.12S82381.99【点睛】本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前n项和,属中档题.2x 2x,x 012.已知函数f(x)，若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则|log x,x 02下
12、列结论：x1 x2 1，x3x4正确的个数是()A.1【答案】C【解析】【分析】B.21，0 x1 x2 x3 x41，0 x1x2x3x41，其中2C.3D.4根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得x1 x2 2，2 x1 1 x2 0,x3x41，数形结合求出1 x31 x4 2，进而可得结果.2【详解】画出函数f(x)的大致图象如下图，得出x1 x2 2，x3x4且2 x1 1 x2 0，x3 x41，错、正确；1 x31 x4 2，215 x4(2,)，x4211 x4(0,)，正确；x42则x1 x2 x3 x4 2因为x1x2 x1(2 x1)x122x1(x11)21(0,1)
13、，所以x1x2x3x4 x1x2(0,1)正确.故选 C.【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质第卷（非选择题）第卷（非选择题）二、填空题二、填空题13.已知随机变量服从正态分布N 2,2，则P 2_.【答案】12【解析】【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.【详解】解:因为随机变量服从正态分布N 2,所以正
14、态曲线关于 2对称,所以P 22,1.2故答案:1.2【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.14.设函数fxlg1x，则函数f【答案】（-9，1）【解析】【分析】先求出f(f(x),然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.【详解】解:因为fxlg1x,所以ffx的定义域为_.fx lg(1 f(x)lg1lg(1 x).由1lg(1 x)01 x 10,得,所以9 x 1,1 x 0 x 1所以函数ffx的定义域为(9,1).故答案为:(9,1).【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15.已知函数y fx是定义域为,的奇函数满足f3 x fx1 0.若
15、f11，则f1 f2 f3f2020_.【答案】0【解析】【分析】根据y fx是定义域为,的奇函数满足f3 x fx1 0,得到f(0)0和f(x)的周期,再结合f(1)1,求出f(1),f(1),f(3)和f(4)的值,进一步得到答案.【详解】解:因为y fx是定义域为,的奇函数满足f3 x fx1 0,所以f(0)0,f(x1)f(3 x)f(x3),则f(x)f(x4),所以f(x)的周期T 4,又f11,所以f(3)f(1)f(1)1,f(4)f(0)0,令x 1,则f(31)f(2)2 f(2)0,所以f(2)0,所以f(2)f(2)0,所以f(1)f(2)f(3)f(4)0,所以f
16、1 f2 f3f2020504 f(1)f(2)f(3)f(4)0.故答案为:0.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题.16.对于函数fx3sinx：若函数y fx的一个对称中1（其中0）3 y f x心到与它最近一条对称轴的距离为，则 2；若函数 在3,4上单调递4增，则的范围为,；若 2，则y fx在点0,f0处的切线方程为231 1013x2y 1 0；若 2，x0,，则y fx的最小值为；若 2，则22函数y 3sin2x1的图象向右平移个单位可以得到函数y fx的图象.其中正确命3题的序号有_.（把你认为正确的序号都填上）【答案】【解析】【分
17、析】T f(x)根据条件,可得,然后利用周期公式求出;根据在,上单调递增,可443 4 332得,然后求出的范围;当 2时,求出f(0)和f(x)的导函数,然后求出32 4x 0,直接利k f(x)0,f 0处的切线方程的斜率,再求出切线方程即可;根据 2用整体法求出f(x)的值域,从而得到f(x)的最小值;直接求出函数y 向右平移3sin2x1的图象个单位的解析式即可.3【详解】解:若函数y fx的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为,则4T2,所以T,所以 2,故正确;T44当x(,),则x(,),3 433343 3 32因为0,所以若函数y fx在,上单调递增,则,3 4432所以
18、11,又0,所以0,故错误;22当 2时,f(x)3sin(2x1)1,则f(0),32f(x)2 3cos(2x),所以切线的斜率k f(0)3,3所以y fx在点0,f0处的切线方程为2 3x2y 1 0,故错误;当 2时,f(x)3sin(2x 2)1,当x0,时,2x,33332所以当sin(2x3)331,1,所以f(x)min3()1,故正确;222当 2时,f(x)3sin(2x则y 3sin2(x故答案为:.3)1,若y 3sin2x1的图象向右平移个单位,2)1 f(x),故错误.333)13sin(2x【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移
19、变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17211721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题考生根据要求作答）题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题（一）必考题17.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设sin BsinC（1）求A；2 sin2Asin BsinC.（2）当a 6时，求其面积的最大值，并判断此时ABC的形状.【答案】（1）60；（2）ABC面积的最大值为9 3，此时ABC为等边三角
20、形.【解析】【分析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出cos A值；（2）对a利用余弦定理，利用基本不等式求出bc的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c，可判断出此时ABC的形状.【详解】（1）1，再结合角A的取值范围可得出角A的2sin BsinC2 sin2Asin BsinC，bc a2bc，2b2c2a2bc，b2c2a2bc1由余弦定理得cos A，0 A180，A 60；2bc2bc2（2）由余弦定理和基本不等式得a2 b2c22bccos A b2c2bc 2bc bc bc，bc a2 36，当且仅当b c a 6时，等号成立，113ABC的面积
21、SABCbcsin A36 9 3.222此时，由于b c 6，A60，则ABC是等边三角形.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题高效课堂教学模式及其运用，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20 名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22列联表
22、，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的学生中任意选取2 人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望.甲班乙班总计ndabc2附：K（其中n abcd）acbdabcd2PK2 k0.1002.7060.0503.8410.0106.6350.00110.828k【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，【解析】【分析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算K2,再对照
23、表得出结论;(2)先确定甲班人数X的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出22列联表如表所示,成绩优良成绩不优良总计甲班101020乙班16420总计2614404.3401041610根据22列联表中的数据,得K 3.9563.841,2614202022所以能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)甲、乙两班 40 个样本中,成绩在 60 分以下(不含 60 分)的学生人数为 6.由题意可知X的取值分别为X 0,X 1,X 2,则2112C2C2C4C4186PX 02；PX 1P X 2；.
24、22C615C615C615X分布列为XP其数学期望EX 0012115815615186412.1515153【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题.19.已知函数fxln x.x（1）求函数fx的单调区间；2xx2（2）证明对一切x0,，都有ln x x成立.ee【答案】（1）fx的递增区间是0,e，递减区间是e,；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数y fx的定义域和导数，然后分别解不等式f x0和f x 0，可得出函数y fx的递增区间和递减区间；ln x2x2x2xx2x，构造函数gxx，证明出（2）要证ln x x，即证x
25、eeeeeefxmax gxmin，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.【详解】（1）函数fxln x1ln x的定义域为0,，且f x.xx2令f x0，即ln x 1，解得0 x e；令f x0，即lnx 1，解得x e.因此，函数y fx的递增区间是0,e，递减区间是e,；ln x2x2x2xx2x，构造函数gxx，其中x 0.（2）要证ln x x，即证xeeeeee由（1）知，函数fxln x1在x e处取得极大值，亦即最大值，即fxmax fe.xegx2xx1x，gxx.eee令gx 0，得0 x 1；令gx 0，得x 1.所以，函数y gx的单调递减区间为0,1，单调递增区
26、间为1,.则函数y gx在x 1处取得极小值，亦即最小值，即gxmin g11.e fxmaxln x2x2xx2 gxmin，所以，x，因此，ln x.xeeeex【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.已知数列log2an1（1）求数列an（2）设bnnN为等差数列，且a*1 3，a3 9.通项公式；2m4，Sn为数列bn的前n项和，若对任意nN*，总有Sn，求man13的取值范围.n【答案】（1）an 2 1；（2）10,.【解析】【分析】（1）设等 差数 列log2an1
27、的公差 为d，利用a1、a3求出d的值，可求出 数列loga2n1的通项公式，再利用对数式化指数式可求出an；（2）求出数列bn的通项公式，利用定义判断数列bn为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出Sn，可求出Sn的取值范围，即可得出关于m的不等式，解出即可.【详解】（1）设等差数列log2an1的公差为d，的则2d log2a31log2a11log28log22 2，解得d 1，log2a11log221，log2an11n11 n，an1 2n，an 2n1；1n221bn12n112n，且b11，（2）bn，1an12n2n1bn222n11 11n12 211
28、，所以，数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，则Snn12212由于数列Sn单调递增，S11，1 Sn 2，对任意nN*，总有Snm4m4 2，解得m 10.，33因此，实数m的取值范围是10,.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.x121.已知函数fx满足：fx f xe f0 x12x.2（1）求fx的解析式；12x，且当x 0时，xkgx x1 0，求整数k的最大值.212x【答案】（1）fx e xx；（2）2.2（2）若gx fx【解析】【分析】(1)直接对f(x)求导,然后令x=1
29、,求出f(0),再令x=0,求出f(1),从而得到f(x)的解析式;(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值.【详解】解:(1)fx f xef x f xex1x1 f0 x12x,2 f0 x,12x,2x1令x 1得,f01,即fx f 1e x令x 0得,f(1)e,x函数fx的解析式为fx e x12x.2x(2)由(1)有gx e x,则g(x)e 1,xxkgx x1xke 1 x1,xx1 xx 0,xe 1xxxee x2xe 1x11 x(x 0),则hxx令hxx,22xe 1e 1e 1故当x 0时,xkgx x1 0等价于
30、k 令函数Hxe x2,易Hx在0,上单调递增,x而H10,H20,所以Hx在0,内存在唯一的零点,故hx在0,内存在唯一的零点,设此零点为x0,则x01,2.当x0,x0时,hx0；当xx0,时,hx 0.hx在0,内的最小值为hx0.又由hx00可得e0 x02xx01 x01 x02,3,k 2,x0e1x1 xx 0恒成立,则整数k的最大值为 2.k xe 1hx0【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题.（二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分题中任选
31、一题作答如果多做则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy中，圆Cx 13cost,参数方程（t为参数），在极坐标系（与y 23sint平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2sin mmR.4（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）若圆心C到直线l的距离等于 2，求m的值.22【答案】（1）圆的普通方程为x1y2 9；x y m 0；（2）m=-32 2.【解析】试题分析：()消去参数可得圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程分别为x1y2 9,的22x y m 0；()由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m 的方
32、程，解方程可得m 32 2试题解析：（）消去参数t，得到圆C的普通方程为x1y2 9.222sin由 m，得4sincosm 0.所以直线l的直角坐标方程为x y m 0.（）依题意，圆心C到直线l的距离等于 2，即12m2 2，解得m 32 2.23.函数fx xa x2.（1）当a 1时，求不等式fx5的解集；（2）若fx 4，求a的取值范围.【答案】（1）2,3；（2）,6【解析】【分析】（1）将a 1代入函数y fx的解析式，然后分x1、1 x 2、x 2三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式fx5，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数fx xa x2的最小值为a
33、2，由题意可得出a2 4，解出该不等式即可得出实数a的取值范围.【详解】（1）当a 1时，fx x1 x2.当x1时，fx x12x 2x15，解得x2，此时2 x1；2,.当1 x 2时，fx x12x 15成立，此时1 x 2；当x 2时，fx x1 x2 2x15，解得x 3，此时2 x 3.综上所述，不等式fx5的解集为2,3；（2）由于不等式fx 4在R上恒成立，则fxmin 4.由绝对值三角不等式可得fx xa x2 xax2 a 2，a2 4，即a2 4或a2 4，解得a6或a 2.因此，实数a的取值范围是,6 2,.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.