chap2系统的数学模型.ppt

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1、2 系统的数学模型 2系统的数学模型2.1 控制系统的分析方法2.2 系统的数学模型3.3 线性离散系统2.1控制系统的分析方法l l 对控制系统的研究经历了经典控制论和现代控制论两 对控制系统的研究经历了经典控制论和现代控制论两个阶段 个阶段l l 经典控制论：经典控制论：以传递函数为基础，属于输入输出分析法，又称外 以传递函数为基础，属于输入输出分析法，又称外部描述法 部描述法l l 现代控制论 现代控制论建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设 建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部 计提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部描述法

2、，描述法，经典控制论的分析方法时域分析法：通过 时域分析法：通过Laplace Laplace 反变换求出系统输出量的 反变换求出系统输出量的表达式，从而提供系统时间响应的全部信息 表达式，从而提供系统时间响应的全部信息建立微分方程 建立微分方程 求出传递函数 求出传递函数 输出量的表达式 输出量的表达式系统分析 系统分析频率响应方法：利用系统的频率特性进行分析，获 频率响应方法：利用系统的频率特性进行分析，获得系统的特性指标 得系统的特性指标根轨迹法：利用系统的根轨迹图分析其特性。根轨 根轨迹法：利用系统的根轨迹图分析其特性。根轨迹是开环系统某一参数变化时闭环系统特征方程式的 迹是开环系统某

3、一参数变化时闭环系统特征方程式的根在 根在s s 平面上的变化轨迹 平面上的变化轨迹现代控制理论建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计 建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部描述法，不仅研究输入输出的关系，同时 是一种内部描述法，不仅研究输入输出的关系，同时还以系统内部变量为研究对象。还以系统内部变量为研究对象。更适合于时变系统和多变量系统。而经典控制理论适 更适合于时变系统和多变量系统。而经典控制理论适合于分析定常系统和单输入输出系统。合于分析定常系统和单输入输出系统。可用更一般的输入函数代替特殊的、典

4、型的输入函数 可用更一般的输入函数代替特殊的、典型的输入函数来实现系统设计。来实现系统设计。本质上是在时域上研究问题。经典控制理论是一种复 本质上是在时域上研究问题。经典控制理论是一种复频域的分析方法。频域的分析方法。本章规划l l 在控制工程基础课程中，主要介绍了线性连续定常系统的两种分析方法时域分析法和频域响应法。本课程进行简单的回顾和复习。l l 本章主要以状态空间分析法和线性离散系统的介绍为主。2系统的数学模型2.1 控制系统的分析方法2.2 系统的数学模型3.3 线性离散系统 2.2 系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法一、经

5、典控制理论的数学模型l l建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。法。其输入和输出的微分方程为：其输入和输出的微分方程为：其中其中为微分算子为微分算子（11）在初始条件为在初始条件为00时，与上述微分方程对应的传递函数为：时，与上述微分方程对应的传递函数为：（22）系统的频率特性为：系统的频率特性为：令令（33）由由(1),(2),(3)(1),(2),(3)式可得三种数学模型的关系：式可得三种数学模型的关系：傅氏变换对傅氏变换对拉氏变换对拉氏变换对l l 这三种数学模型虽然形式不同，但都表达了系统的内在规律。应用最多的为传递函数 2.2 系统的数学

6、模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法二、传递函数与方块图1.传递函数的定义和推导2.系统的单位脉冲响应3.系统分析中图解描述方块图1.传递函数的定义和推导l l推导传递函数的步骤：推导传递函数的步骤：列出系统的微分方程 列出系统的微分方程假设系统的所有初始条件为零，取微分方程的拉氏 假设系统的所有初始条件为零，取微分方程的拉氏变换 变换求输出量与输入量拉氏变换之比。求输出量与输入量拉氏变换之比。l l传递函数：初始条件为零时输出量的拉氏变换传递函数：初始条件为零时输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比与输入量的拉氏变换之比传递函数应用说明：l l

7、 前提为零初始条件。对非零初始条件的系统，该方法便不能表征系统的动态特性。l l 系统内部往往有多种变量，而传递函数只反映输入量与输出量之间的关系，不能表达系统内部其它变量的情况。l l 传递函数的上述缺陷在状态空间方法中得以弥补例 例1.1 1.1：求图：求图1 1 7 7的 的R-C R-C振荡电路的 振荡电路的 传递函数 传递函数解：根据克希霍夫定律 解：根据克希霍夫定律假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有 假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有而 而则 则则 则S S的阶数为 的阶数为2 2，故系统，故系统为二阶系统 为二阶系统例例1.21.2：求图：求图1188电枢控制式直流电机的

8、传递函数电枢控制式直流电机的传递函数电枢控制式直流电机的激磁绕组电流 电枢控制式直流电机的激磁绕组电流 i if f 恒定不变，仅改变加于电枢的电压 恒定不变，仅改变加于电枢的电压e ei i来 来控制其运行方式。控制其运行方式。电枢上的控制电压 电枢上的控制电压(输入 输入)电枢绕组电阻 电枢绕组电阻电枢绕组电感 电枢绕组电感激磁绕组电流 激磁绕组电流电枢电流 电枢电流电动机轴角位移（输出）电动机轴角位移（输出）电动机轴总的转动惯量 电动机轴总的转动惯量电动机轴上的粘性摩擦系数 电动机轴上的粘性摩擦系数电枢绕组中的反电动势 电枢绕组中的反电动势电磁转矩 电磁转矩解：根据克希霍夫定律，得到电压

9、平衡方程：解：根据克希霍夫定律，得到电压平衡方程：电枢转动时，在电枢绕组中将感应出反电动势 电枢转动时，在电枢绕组中将感应出反电动势eeb b，由于激磁电流 由于激磁电流iif f不变，所以激磁磁通也为常数。则 不变，所以激磁磁通也为常数。则eeb b与电机角速度成正比，即 与电机角速度成正比，即又磁通一定时，电磁转矩与电枢电流成正比，即 又磁通一定时，电磁转矩与电枢电流成正比，即该电磁转矩用以驱动负载，并克服摩擦力矩，所以 该电磁转矩用以驱动负载，并克服摩擦力矩，所以则 则将 将eeb b，iia a表达式带入电压平衡方程，得到 表达式带入电压平衡方程，得到假设初始条件为零，对上式进行拉氏变

10、换有 假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有一般 一般La La很小，可忽略不计，则有 很小，可忽略不计，则有式中 式中增益常数 增益常数 时间常数 时间常数含有 含有1/1/S S因子，所以该电机 因子，所以该电机可以看作积分环节 可以看作积分环节2.系统的单位脉冲响应l l 单位脉冲函数：如图 单位脉冲函数：如图1 1 9 9所示的矩形脉冲函数的表达 所示的矩形脉冲函数的表达式为：式为：其面积为 其面积为A A，当 当A A 1 1，且 且则为单位脉冲函数表达式为 则为单位脉冲函数表达式为面积为 面积为1 1t=t0 0处的单位脉冲函数为：处的单位脉冲函数为：l l系统的脉冲响应系统的脉冲

11、响应h(t)h(t)即 即所以 所以系统的单位脉冲响应为传递函数的拉氏反变换 系统的单位脉冲响应为传递函数的拉氏反变换而 而 由于 由于l l 卷积与系统任意输入的响应 若已知系统的单位脉冲响应函数 若已知系统的单位脉冲响应函数h(t)h(t)，则通过求卷积 则通过求卷积就可以求得系统对其它任何输入函数的响应便可确 就可以求得系统对其它任何输入函数的响应便可确定。尤其在信号以曲线形式表达或不能应用拉氏变 定。尤其在信号以曲线形式表达或不能应用拉氏变换的情况。换的情况。上述理论推导：上述理论推导：输入信号为 输入信号为u(t)u(t)，如图 如图1-11 1-11所示。传递函数为 所示。传递函数

12、为H H则输入信号可以表示为单位脉冲信号 则输入信号可以表示为单位脉冲信号的叠加 的叠加则输出信号可以线性算子表示为 则输出信号可以线性算子表示为当 当 时，上述和式可以用积分表示 时，上述和式可以用积分表示系统对输入函数的响应，即为该函数与系统的单位脉冲响应函 系统对输入函数的响应，即为该函数与系统的单位脉冲响应函数的卷积。若卷积可以直接计算，则无需进行拉氏变换。这便 数的卷积。若卷积可以直接计算，则无需进行拉氏变换。这便是卷积的意义。是卷积的意义。3.系统分析中图解描述方块图l l 方框图表示了系统的输入和输出变量之间的因果关系以及系统内部变量所进行的运算。是控制工程中描述复杂系统的一种有

13、效方法。l l 要求熟练掌握实际物理系统方框图的绘制方法及其简化。l l 希望同学们在课后认真复习方框图的有关知识。找一本控制工程基础系统的互联l l 串联、并联、复杂系统互联、反馈联接系统方块图l l 方块图：block diagraml l 包含了系统各个组成部分的传递函数、系统结构、信号流向等l l 不仅可以表达系统的输入输出变量之间的因果关系，而且描述了系统内部对信号进行的运算l l 是复杂系统的一种非常有效的描述方式系统方块图及合成点、分支点电路系统的方块图分析方法：建立每个单元的传递函数和方块图，然后合并电路系统的方块图分析方块图的等效变换l l 串联规则l l 并联规则l l 反

14、馈规则l l 分支点移动规则l l 综合点移动规则l l 综合点交换规则串联规则、并联规则和反馈规则分支点移动规则综合点移动规则综合点交换规则二阶RC 电路方块图的简化上节课内容回顾l l介绍了系统的分类，经典控制理论和现代控制介绍了系统的分类，经典控制理论和现代控制理论的特点。理论的特点。l l复习了传递函数和方框图，复习了传递函数和方框图，要求掌握具体物理要求掌握具体物理系统传递函数的推导和方块图的绘制系统传递函数的推导和方块图的绘制。讨论l l 建立系统微分方程数学模型后，若已知系统的输入，是否可以唯一确定系统的输出？已知 2.2 系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方

15、块图三、状态空间模型四、状态空间分析法三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵1、基本概念l l 状态l l 状态变量l l 状态向量l l 状态空间(1)(1)状态：状态：是确定系统运动状况最少数目的一组变量。是确定系统运动状况最少数目的一组变量。只要知 只要知道了这组变量在 道了这组变量在 时的值，以及 时的值，以及 时的系 时的系统的输入 统的输入，那么系统在，那么系统在 时的运动状况就 时的运动状况就可以完全确定。可以完全确定。系统在 系统在 时初始条件的总和

16、时初始条件的总和 就是系统在 就是系统在 时的状态 时的状态 右图系统的微分方程为 右图系统的微分方程为其拉氏变换为 其拉氏变换为系统在 系统在 t=0 t=0 时的状态可以由 时的状态可以由确定 确定如果 如果，则系统在，则系统在 t t时的状态 时的状态x(t)x(t)和 和v(t)v(t)就可以被确定，所以 就可以被确定，所以 可以作为上图系统的状态 可以作为上图系统的状态（2)2)系统响应和系统状态之间的关系系统响应和系统状态之间的关系对于图 对于图1-12 1-12单输入输出系统，有 单输入输出系统，有记 记 为 为 则 则在 在 时 时而 而 的取值时任意的，所以 的取值时任意的，

17、所以在任意时刻 在任意时刻t t，系统的响应 系统的响应y(t)y(t)完全可以由该瞬时的系统状态 完全可以由该瞬时的系统状态 x(t)x(t)和该瞬时的系统输入 和该瞬时的系统输入u(t)u(t)确定 确定右图的电路网络中，如果已知 右图的电路网络中，如果已知输入电压 输入电压u(t)u(t)电容上的电压 电容上的电压x x1 1和 和电感中的电流 电感中的电流x x2 2，试用这两个变 试用这两个变量表示网络中所有变量 量表示网络中所有变量在任意时刻 在任意时刻t t，网络的状态由该瞬电时容电压 网络的状态由该瞬电时容电压x x1 1和电感中的 和电感中的电流 电流x x2 2 确定，因此

18、，确定，因此，x x1 1 和 和x x2 2可以作为该网络的状态 可以作为该网络的状态（3)3)状态变量状态变量l l 构成控制系统状态的变量称为状态变量。构成控制系统状态的变量称为状态变量。l l 状态变量并非唯一 状态变量并非唯一l l 状态变量不一定选在物理上能观能控 状态变量不一定选在物理上能观能控l l 在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量 在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量（4)4)状态向量状态向量l l 如果完全描述一个系统的动态行为需要 如果完全描述一个系统的动态行为需要n n个状态变量 个状态变量xx1 1(t)(t),xx2 2(t)(t),xxn

19、n(t)(t)，那么这 那么这n n个状态变量所组成的 个状态变量所组成的n n维向量 维向量x(t)x(t)，就叫做状态向量。就叫做状态向量。（5)5)状态空间状态空间l l 所有状态向量 所有状态向量x(t)x(t)张成的空间称为状态空间 张成的空间称为状态空间l l 系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示 系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示l l 如果状态向量是 如果状态向量是n n维的，则张成的状态空间称为 维的，则张成的状态空间称为n n维状态 维状态空间。空间。三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方

20、框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵（1 1）单输入输出系统的状态空间的表达式）单输入输出系统的状态空间的表达式例 例1.4 1.4：如果图：如果图1-7 1-7的 的R-C R-C振荡电路的的电 振荡电路的的电 流、电容电压 流、电容电压 以及 以及时的输入电压 时的输入电压 已知，则网络状态 已知，则网络状态可以完全确定。故 可以完全确定。故 可作为系统的状态变量 可作为系统的状态变量（1 1）取状态变量 取状态变量（2 2）带入回路方程有 带入回路方程有（3 3）2、状态空间表达式综合 综合(1)(2)(3)(1)(2)(3)式有 式有（4 4）输出量 输出量（5

21、 5）将 将(4)(5)(4)(5)写为矩阵形式：写为矩阵形式：（6 6）（7 7）l l 式 式(6)(6)为状态方程 为状态方程:表示输入量和状态变量的关系 表示输入量和状态变量的关系l l 式 式(7)(7)为输出方程 为输出方程:表示输出量和状态变量的关系 表示输出量和状态变量的关系l l 这两个公式联合起来就是状态空间表达式 这两个公式联合起来就是状态空间表达式例 例1.5 1.5：用右图所示质量：用右图所示质量 弹簧 弹簧 阻尼系统，如果有一外力 阻尼系统，如果有一外力 u u(输入 输入)在 在t t0 0时刻 时刻作用于系统，当质量 作用于系统，当质量m m在 在t t0 0时

22、刻的位置和速度已知时，其将来的位置 时刻的位置和速度已知时，其将来的位置 y y(输出 输出)即唯一确定。求其状态空间表达式。即唯一确定。求其状态空间表达式。解：取系统的状态变量为 解：取系统的状态变量为根据牛顿第二定律，系统动态 根据牛顿第二定律，系统动态方程为 方程为把状态变量带入有 把状态变量带入有写为矩阵形式，得到状态空间表达式：写为矩阵形式，得到状态空间表达式：上节课内容回顾及重点l l介绍了单输入输出系统状态空间的基本概念及介绍了单输入输出系统状态空间的基本概念及状态空间表达式（状态方程和输出方程），状态空间表达式（状态方程和输出方程），要要求掌握单输入输出系统状态空间表达式的求解

23、。求掌握单输入输出系统状态空间表达式的求解。步骤：步骤：建立系统微分方程 建立系统微分方程确定合适的状态向量 确定合适的状态向量列出状态方程和输出方程 列出状态方程和输出方程l l难点：确定合适的状态变量难点：确定合适的状态变量第二次课 第二次作业：第二次作业：2.2,2.32.2,2.3三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵下图为多输入多输出 下图为多输入多输出线性定常 线性定常系统。系统。其输入和输出为向量：其输入和输出为向量：n n阶系统有 阶系统有n n个状态

24、变量 个状态变量其状态向量：其状态向量：（2 2）多输入多输出线性定常系统的状态空间的表达式）多输入多输出线性定常系统的状态空间的表达式控制向量 控制向量其状态空间表达式可写为：其状态空间表达式可写为：l l 对于多输入多输出线性定常系统，对于多输入多输出线性定常系统，A A，B,C,D B,C,D均为常数矩阵，它们由 均为常数矩阵，它们由系统的性质确定。系统的性质确定。l l 若已知初始状态变量和输入，则可通过解状态方程求出状态变量。再利 若已知初始状态变量和输入，则可通过解状态方程求出状态变量。再利用输出方程就可以确定系统输出 用输出方程就可以确定系统输出l l 可见，单输入单输出系统是多

25、输入输出系统的特例，即 可见，单输入单输出系统是多输入输出系统的特例，即p=m=1 p=m=1式中：式中：状态矩阵（系统矩阵）状态矩阵（系统矩阵）输入矩阵 输入矩阵 输出矩阵 输出矩阵 前馈矩阵 前馈矩阵 在线性时变系统中，其系数矩阵是与时间有关的变量，一个 在线性时变系统中，其系数矩阵是与时间有关的变量，一个n n阶系统 阶系统状态空间的表达式为：状态空间的表达式为：式中：式中：（3 3）多输入多输出线性时变系统的状态空间的表达式）多输入多输出线性时变系统的状态空间的表达式上述系统的方框图为：上述系统的方框图为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方

26、程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵(1)(1)：用下面的微分方程描述的系统，输入为：用下面的微分方程描述的系统，输入为 u u,输出为 输出为 y y已知系统的初始条件 已知系统的初始条件 求系统状态空间表达式 求系统状态空间表达式（1 1）解：取系统的状态变量为 解：取系统的状态变量为（2 2）带入 带入(1)(1)有：有：（3 3）综合 综合(2)(3)(2)(3)将原三阶微分方程 将原三阶微分方程(1)(1)变换为 变换为3 3个一阶微分方程 个一阶微分方程（4 4）输出量 输出量（5 5）33、由系统微分方程列写状态空间表达式：、由系

27、统微分方程列写状态空间表达式：将 将(4)(5)(4)(5)写为矩阵形式，得到状态空间表达式：写为矩阵形式，得到状态空间表达式：（6 6）（7 7）l l 系统输入量引起系统内部的变化 系统输入量引起系统内部的变化 状态方程 状态方程l l 系统内部的变化引起系统输出量的变化 系统内部的变化引起系统输出量的变化 输出方程 输出方程通过以上两个例子可以看出，用状态变量描述一个系统时，通过以上两个例子可以看出，用状态变量描述一个系统时，把输入输出间的关系分为两段加以描述：把输入输出间的关系分为两段加以描述：该方法可深入到系统内部，故称为内部描述法。该方法可深入到系统内部，故称为内部描述法。若已知系

28、统的初始条件 若已知系统的初始条件则可完全确定系统在 则可完全确定系统在 时刻的状态。时刻的状态。(2)(2)对于一个 对于一个不含控制量 不含控制量u u的微分的 的微分的n n阶单输入单输出线性定常系统 阶单输入单输出线性定常系统（1 1）由于不含控制量的微分 由于不含控制量的微分,取系统的状态变量为：取系统的状态变量为：（2 2）式 式(1(1)的 的n n阶微分方程可写为 阶微分方程可写为n n个 个1 1阶微分方程 阶微分方程（3 3）输出量 输出量（4 4）33、由系统微分方程列写状态空间表达式：、由系统微分方程列写状态空间表达式：写为矩阵形式，得到状态方程：写为矩阵形式，得到状态

29、方程：（5 5）式中：式中：（6 6）输出方程为：输出方程为：式中：式中：即 即n n阶单输入输出系统的状态空间表达式为：阶单输入输出系统的状态空间表达式为：状态方程 状态方程输出方程 输出方程(3)(3)对于一个 对于一个含控制量 含控制量u u的微分的 的微分的n n阶单输入单输出线性定常系统 阶单输入单输出线性定常系统（1 1）求其状态空间表达式 求其状态空间表达式则可以将式 则可以将式(1)(1)写为 写为n n个 个1 1阶微分方程 阶微分方程分析：如果仍然取状态变量为：分析：如果仍然取状态变量为：l l 上述一阶微分方程含有控制量的各阶微分项，若控制量为阶 上述一阶微分方程含有控制

30、量的各阶微分项，若控制量为阶跃函数，则其微分为脉冲函数，导致使上述状态轨迹产生无 跃函数，则其微分为脉冲函数，导致使上述状态轨迹产生无穷大的跳跃。所以该状态变量不能确定系统状态。穷大的跳跃。所以该状态变量不能确定系统状态。l l 对于上述系统，正确的状态变量选择原则是，状态方程中的 对于上述系统，正确的状态变量选择原则是，状态方程中的任何一个微分方程和输出方程都不能含有控制量的微分项。任何一个微分方程和输出方程都不能含有控制量的微分项。（3 3）则状态方程为：则状态方程为：根据上述分析，可以假设状态向量：根据上述分析，可以假设状态向量：（2 2）把式 把式(3)(3)第 第n n个方程，消去状

31、态变量 个方程，消去状态变量（5 5）（4 4）输出方程为：输出方程为：与式 与式(1)(1)比较 比较（1 1）与微分方程 与微分方程(1(1）比较，利用待定系数法，可知）比较，利用待定系数法，可知系统的状态方程矩阵形式为 系统的状态方程矩阵形式为（6 6）式中：式中：输出方程为 输出方程为（7 7）式中：式中：例 例1.6 1.6 设控制系统的运动微分方程为 设控制系统的运动微分方程为求该系统的状态空间表达式。求该系统的状态空间表达式。解：由运动微分方程可知 解：由运动微分方程可知取状态向量为：取状态向量为：则状态方程为：则状态方程为：根据上面的推导可以计算出 根据上面的推导可以计算出h

32、h0 0,h,h1 1,h,h2 2所以，状态方程为：所以，状态方程为：输出方程为：输出方程为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵出发点：出发点：l l 方框图形象地描述了系统信号流向及各物理量之间地关系，方框图形象地描述了系统信号流向及各物理量之间地关系，所以很多系统的数学模型通常由方框图表示。所以很多系统的数学模型通常由方框图表示。l l 对于简单系统的方框图，可以求出系统变换传递函数，然后 对于简单系统的方框图，可以求出系统变换传递函数，然后利用拉氏反变换求

33、出系统微分方程，再写出系统的状态空间 利用拉氏反变换求出系统微分方程，再写出系统的状态空间表达式。表达式。l l 对于复杂系统，求取变换传递函数并不是轻而易举的事。对于复杂系统，求取变换传递函数并不是轻而易举的事。l l 利用方框图直接求解状态空间表达式要比较简单。利用方框图直接求解状态空间表达式要比较简单。规则和步骤：规则和步骤：1 1、写出、写出各方框单元 各方框单元的传递函数，并用拉氏反变换求出其微分方 的传递函数，并用拉氏反变换求出其微分方程。程。2 2、以各、以各方框单元的输出变量 方框单元的输出变量和 和系统总输出变量的一阶导数 系统总输出变量的一阶导数作为 作为状态变量。以各 状

34、态变量。以各求和节点的输出 求和节点的输出为中间变量，写出状态方程 为中间变量，写出状态方程3 3、列出各求和节点方程，在状态方程中消去中间变量。得到系、列出各求和节点方程，在状态方程中消去中间变量。得到系统的状态方程和输出方程。统的状态方程和输出方程。4、由方框图直接列写状态空间表达式例：写出右图某顺馈控制系统状态 例：写出右图某顺馈控制系统状态 空间表达式 空间表达式(2)(2)指定状态变量和中间变量，代入微分方程，写出状态方程 指定状态变量和中间变量，代入微分方程，写出状态方程解 解:(1):(1)各方框单元的传递函数和微分方程为 各方框单元的传递函数和微分方程为状态变量 状态变量X X

35、中间变量 中间变量 状态方程 状态方程(1(1)(3)(3)列出各求和节点方程，在状态方程 列出各求和节点方程，在状态方程(1)(1)中消去中间变量 中消去中间变量(2(2)求和节点方程 求和节点方程将式 将式(2)(2)代入式 代入式(1),(1),得到状态方程为：得到状态方程为：即 即输出方程方程为：输出方程方程为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵例 例1.7 1.7：与例：与例1.4 1.4不同，选取如下变量为状态变量：不同，选取如下变量为状态变量：（1

36、1）又因 又因（4 4）把 把(2)(3)(2)(3)代入 代入(4)(4)得：得：（5 5）所以 所以（3 3）则 则（2 2）所以 所以（6 6）5、状态变量的非唯一性（7 7）联合式 联合式(3)(6)(3)(6)得系统状态方程为：得系统状态方程为：输出方程为 输出方程为（8 8）与例 与例1.4 1.4选取状态变量为 选取状态变量为时得到得状态方程和输出方式比较 时得到得状态方程和输出方式比较l l 上述两组状态变量都能描述该 上述两组状态变量都能描述该RLC RLC网络，因此状态变量不 网络，因此状态变量不是唯一的。是唯一的。l l 用状态变量描述系统时，状态空间表达式与所选的状态变

37、量 用状态变量描述系统时，状态空间表达式与所选的状态变量有关。即同一系统可以有不同的状态空间表达式 有关。即同一系统可以有不同的状态空间表达式假设一个 假设一个n n阶系统的状态空间表达式为：阶系统的状态空间表达式为：设 设Q Q是任意的非奇异 是任意的非奇异nn nn阶矩阵，并定义：阶矩阵，并定义：式中 式中那么，若以 那么，若以 为状态变量 为状态变量,系统的状态空间表达式为：系统的状态空间表达式为：证明：对 证明：对 取导数，有 取导数，有将状态方程带入，得到 将状态方程带入，得到再根据输出方程，可得 再根据输出方程，可得状态变量的非唯一性的理论证明状态变量的非唯一性的理论证明状态变换状

38、态变换状态变换的几点结论l l变换变换 称为状态变换。称为状态变换。l l对同一系统，采用不同的非奇异矩阵对同一系统，采用不同的非奇异矩阵QQ进行状进行状态变换态变换就可以得到不同的状态向量。就可以得到不同的状态向量。状态向量状态向量不是唯一的不是唯一的。l l不同的状态向量对应不同的状态方程。不同的状态向量对应不同的状态方程。l l状态变换的目的是从不同的角度观测系统（相状态变换的目的是从不同的角度观测系统（相当于状态空间的坐标系的变换）。当于状态空间的坐标系的变换）。l l状态变换不影响系统的传递函数、脉冲响应、状态变换不影响系统的传递函数、脉冲响应、能控性和能观性等系统基本性质能控性和能

39、观性等系统基本性质。三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵 对 对n n阶子系统，若输入为 阶子系统，若输入为p p维向量为 维向量为U(t U(t)，输出为 输出为m m维向量 维向量Y(t Y(t）,在初始 在初始条件为零时，存在 条件为零时，存在mp mp维矩阵 维矩阵G(s)G(s),使 使（1 1）定义）定义将上式写为矩阵形式有：将上式写为矩阵形式有：其中 其中G Gij ij(s)(s)为 为yyi i(s)(s)对 对uuj j(s)(s)的传递函数。的

40、传递函数。当 当p=m=1 p=m=1时，传递矩阵 时，传递矩阵G(s)G(s)成为单输入输出系统的传递函数 成为单输入输出系统的传递函数因此，传递矩阵 因此，传递矩阵G(s)G(s)也叫广义传递函数。也叫广义传递函数。6、传递矩阵则 则G(s)G(s)定义为该系统的传递矩阵。定义为该系统的传递矩阵。如图所示的闭环系统，已知 如图所示的闭环系统，已知则 则所以 所以如果 如果 非奇异，则 非奇异，则所以图 所以图1 1 18 18闭环系统的传递矩阵为 闭环系统的传递矩阵为（2 2）闭环系统的传递矩阵）闭环系统的传递矩阵假设一个 假设一个n n阶系统的状态空间表达式为：阶系统的状态空间表达式为：

41、在初始条件为零时进行拉氏变换 在初始条件为零时进行拉氏变换：所以 所以则可得传递矩阵为 则可得传递矩阵为（3 3）由状态空间表达式求传递矩阵）由状态空间表达式求传递矩阵解：解：(分析）用方框图简化方法求传 分析）用方框图简化方法求传递函数比较复杂。先建立状态空间表 递函数比较复杂。先建立状态空间表达式，然后求出传递矩阵。对于此单 达式，然后求出传递矩阵。对于此单输入输出系统，传递矩阵与传递函数 输入输出系统，传递矩阵与传递函数是等价的。是等价的。例 例1.8 1.8 求图 求图1-19 1-19系统的传递函数 系统的传递函数从系统机构可知，从系统机构可知，x x1 1,x,x2 2为系统的一组

42、 为系统的一组状态变量，其状态方程和输出方程分 状态变量，其状态方程和输出方程分别为：别为：写为矩阵形式：写为矩阵形式：由系统传递矩阵公式，有 由系统传递矩阵公式，有因为系统为单输入单输出，则上式传递矩阵就是 因为系统为单输入单输出，则上式传递矩阵就是系统的传递函数 系统的传递函数伴随矩阵 伴随矩阵2.2 控制系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法五、非线性数学模型的线性化四、状态空间分析法1、求解状态方程（求系统的时间响应）2、系统的能控性和能观性分析。3、系统的稳定性分析。基本手段是线性代数方法 基本手段是线性代数方法1 1、求解状态

43、方程、求解状态方程 状态空间分析法的基本任务就是通过求解状态方程，得到系 状态空间分析法的基本任务就是通过求解状态方程，得到系统在时域内的时间响应函数。统在时域内的时间响应函数。线性非齐次方程：线性非齐次方程：强迫响应 强迫响应线性齐次方程：线性齐次方程：自由响应 自由响应 上述方程的求解方法有矩阵指数法、拉氏变换法和一般法。上述方程的求解方法有矩阵指数法、拉氏变换法和一般法。本节重点介绍 本节重点介绍拉氏变换法 拉氏变换法。由于齐次方程为非齐次方程的特例，所以下面以非齐次方程 由于齐次方程为非齐次方程的特例，所以下面以非齐次方程为例讲解状态方程的解法 为例讲解状态方程的解法 用拉氏变换法求解

44、非齐次求解状态方程用拉氏变换法求解非齐次求解状态方程 设非齐次状态方程为：设非齐次状态方程为：（1 1）式 式(1)(1)两边同时取拉氏变换：两边同时取拉氏变换：（2 2）则：则：（3 3）式 式(3)(3)两边同时取拉氏反变换 两边同时取拉氏反变换,得到状态方程的解 得到状态方程的解：（4 4）利用拉氏变换的卷积定理 利用拉氏变换的卷积定理由于式 由于式(4)(4)的计算比较复杂，可进行如下简化：的计算比较复杂，可进行如下简化：定义：定义：为系统的 为系统的转移矩阵 转移矩阵（5 5）有：有：（6 6）关键是计算转移矩阵 关键是计算转移矩阵将式 将式(5)(6)(5)(6)带入 带入(4)(

45、4)，得到，得到：（7 7）状态方程解的几点说明：状态方程解的几点说明：(1)(1)对线性齐次状态方程：对线性齐次状态方程：其解为式 其解为式(7)(7)中 中B=0 B=0时的值 时的值(2)(2)转移矩阵的含义：转移矩阵的含义：，它包含自由响应的全部信息，它包含自由响应的全部信息(3)(3)系统的输出：根据输出方程 系统的输出：根据输出方程(4)(4)当 当状态方程的解为 状态方程的解为：已知 已知解 解:(1):(1)求转移矩阵 求转移矩阵例 例1.9 1.9 求下面系统状态方程的解（系统的时间响应）求下面系统状态方程的解（系统的时间响应）(2)(2)系统的响应为 系统的响应为(1)(1

46、)能控性 能控性定 定 义 义：若对系统在：若对系统在t t0 0时刻的任意状态 时刻的任意状态X(X(t t0 0),),都存在一个有限的时间区间 都存在一个有限的时间区间 t t0 0,t tf f(t tf f t t0 0)和定义在 和定义在 t t0 0,t tf f 上的适当的控制量 上的适当的控制量U(t),U(t),使得 使得X(X(t tf f)=0,)=0,则称系 则称系统在 统在t t0 0时刻是可控的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可控，时刻是可控的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可控，则称系统为具有完全可控性。则称系统为具有完全可控性。假设一个 假

47、设一个n n阶线性定常系统的状态空间表达式为：阶线性定常系统的状态空间表达式为：状态方程的解为：状态方程的解为：物理意义 物理意义：系统的每个状态变量都受到控制变量的影响而改变。即在有限的：系统的每个状态变量都受到控制变量的影响而改变。即在有限的时间内，控制变量能够使状态变量从任意的初始状态转移到零状态。时间内，控制变量能够使状态变量从任意的初始状态转移到零状态。完全可控性充分必要条件 完全可控性充分必要条件：下面：下面2 2、系统的能控性和能观性分析、系统的能控性和能观性分析(2)(2)能观性 能观性定 定 义 义：在有限时间区间：在有限时间区间 t t0 0,t tf f 内，若已知矩阵

48、内，若已知矩阵A,B,C,D A,B,C,D和系统在 和系统在 t t0 0,t tf f 上的 上的U(t)U(t)和 和Y(t),Y(t),X(X(t t0 0)能够唯一确定，则称系统在 能够唯一确定，则称系统在t t0 0时刻是可观测的。如果 时刻是可观测的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可观测的，则称系统为具有完全能 系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可观测的，则称系统为具有完全能观性。观性。物理意义 物理意义：若系统的每个状态变量都对输出的分量有影响，即任一状态变量：若系统的每个状态变量都对输出的分量有影响，即任一状态变量在系统的输出中都能观测到，则称系统具有能观性。在系

49、统的输出中都能观测到，则称系统具有能观性。充分必要条件 充分必要条件：下面：下面l l 能控性表示系统的控制变量和状态变量的关系。能控性表示系统的控制变量和状态变量的关系。l l 能观性表示系统的状态变量和系统输出的关系。能观性表示系统的状态变量和系统输出的关系。例 例1.10 1.10 判断下面系统的能控性和能观性 判断下面系统的能控性和能观性解 解:因为 因为所以 所以则 则 系统能控 系统能控又 又因为 因为所以 所以则 则 系统不能观 系统不能观3 3、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析假设一个 假设一个n n阶线性定常系统的状态方程为：阶线性定常系统的状态方程为：则系统的特征方程为：

50、则系统的特征方程为：其特征值为：其特征值为：稳定性的充分必要条件 稳定性的充分必要条件：所有特征值位于 所有特征值位于s s平面的左半平面 平面的左半平面连续系统分析过程框图 连续系统分析过程框图第三次作业2-4,2-5,2-6 2-4,2-5,2-6补充作业：补充作业：2-2-A:A:对于线性定常系统，试证明状态变换不改变系统的 对于线性定常系统，试证明状态变换不改变系统的传递矩阵。传递矩阵。2-2-B:B:系统状态方程为 系统状态方程为已知 已知当 当u(t)u(t)为单位阶跃函数 为单位阶跃函数，求系统的时，求系统的时间响应。间响应。2 2 C C 试判断下面系统的能控性 试判断下面系统