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1、PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT18 五月 2023第第8章最优消费和投资离章最优消费和投资离散时间散时间PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT基本分析框架n典型消费者个人将生存一段时期0,T，他会有一个大于0 的初始财富或者说资源
2、禀赋W(0)；在生存过程中，他会获得一些非资本（non-capital）收入(t)（例如工资）；在生存的每一天中，他必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前消费C 和投资积累I 上（投资将提供下一时刻的资本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T)给后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少（也就是投资多少）和如何投资（资产组合），必须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的目的就是使得他们终身效用最大化。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT目标函数n其中T 是投资者的寿命；C(t)是投资
3、者年龄为t 时选择的消费数量；W(t)是t 时刻的财富（或者遗产）；Et(.)t是基于t 时刻所有已经揭示出的信息的条件期望算子。UtC(t),t 是效用函数，在整个定义域内，它被假定是单调递增和凹的；U2W（T），T 是基于期末财富或者说遗产的效用函数（bequest valuation function），它也是单调递增和凹的。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT约束条件其中 就是非资本收入，广义上I 泛指各种投资，但这里实际上仅仅包括对市场上可交易的有价证券的投资。经济体系中的风
4、险，就源自于非资本收入和投资机会集合（investment opportunity set）（也即资本收入）的不确定性。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT最优消费/投资决策：离散时间PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn所谓随机最优
5、控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量（controlled variable）或者说决策（decision），通过一系列遵循某种原则的最优的决策，即最优策略（policy），个人可以得到最大的效用满足。这里的原则，指的就是贝尔曼（Bellman R.）最优化原则（principle of optimality）：n“一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策是什么，余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的影是什么，余下的决策在考虑到第一个决策
6、导致的状态的影响下，都必须是最优的策略。响下，都必须是最优的策略。”n简单地说，这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定是最优的。这一原则将在后面的分析中一再的出现。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT简化的例子n假定：假定：n（1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点上，即t=0、1上做决策（t=3时，他就死亡了）；他被赋予一定量的初始资源W(0)0。n（2）理想化的资本市场上存在两种资产。一种是无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都没有变化，始终为1；另一种是有风险的股票，它
7、的价格过程假定由以下二项树描绘PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT股票价格运动的二项树模型简单地说，它表示在每一时点上，股票价格要么以4/9 的概率上涨一倍，要么以（1-4/9）的概率下跌一半。用w(0)和w(1)表示该投资者在0、1 时刻上，投资于风险资产（股票）上的财富分额。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn（3）投资者的非资本收入为0，效用函数具有以下特定形式：nU(
8、x)=n（4）为了简化分析，假定投资者也不进行任何消费，这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn目前的任务就是找到最优的投资决策变量（最优控制）w(0)和w(1)，使以上最优化问题得以解决。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT模型求解n“向前”推导的方法：即从t=0 时刻开始，事先决定一个策略w(0)，但它是不是最优还不清
9、楚。根据w(0)，我们仅仅能够知道t=1时刻的期望财富水平的函数表达式，但是最大化这个函数得到的“最优的”w(0)，并不一定是最优决策过程w(0),w(1)的必然组成部分，除非可以明确地知道在所有不同情况状态下的w(1)，并且它是惟一的。因此向前推导的方法是行不通的。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn逆向归纳法：从倒数第一期，即T-1期开始。这就是说，我们必须获得t=1时期，股票价格在p=200或者p=50 两种情况下的最优投资比例，这是一个单期静态优化问题。一旦获得了t=1时的相
10、应结果w(1)和W(1)，就可以按照同样的结构，进一步推测t=0时刻的最优投资比例，从而一层层地逐步解决了问题。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn第一步：t=1时刻n假定此时的财富W(1)为任意一正数（它是由上一期t=0 时的最优决策所产生的）。投资到股票上的财富比例为w(1)，则投向无风险资产上的就是1-w(1)。我们来计算最后的t=2 时刻，积累的财富的期望效用是多少。先考虑当股票价格p=200时的情形，根据二项树模型：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档
11、演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn为了找到最优投资比例w(1)，只要对f w(1)求导，并令一阶导数等于0 就可以了，容易得到：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn再考察当股票价格p=50 时的情形，我们发现仍旧可以使用上式。因为依然表示股票价格上涨一倍的情况下，投资在两种资产上，给投
12、资者带来的期末财富的期望效用；而则是投资机会相对较差时，期末财富的效用水平。所以最优解还是w(1)=13/19，因此这个最优投资比例决策独立于1 时刻股票价格和财富的绝对水平。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn第二步：t=0 时刻n根据上面的推理，我们只要知道1 时刻的财富水平W(1)，就可以知道最终财富的期望效用水平是多少，而1 时期的财富水平W(1)，也是由同第一步类似的决策过程所决定的，即：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Off
13、ice Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn同样对f w(0)求导数，并令一阶导数等于0，得到最优化条件还是：w(0)=13/19。因此最优投资决策方案就是：nw(0)=13/19,w(1)=13/19n尽管实际的问题要比这个简单的例子复杂得多，但从上述求解过程中，仍然可以归纳出最优个人消费/投资决策的动态规划解法的最显著特征即它是向后追溯的。而这正是贝尔曼最优化原理的体现。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档
14、演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT一般情形n现在考察多期离散时间情况下，个人最优消费/投资决策问题的标准建模方法和它的一般解法。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn假定：假定：n（1）有限生命。典型个人生存一段时期,0,T ，他可以在t=0,1,2,T-1 这些离散的时点上做决策；他被赋予一定量的初始资源，W(0)0。n（2）单一消费品。只有一种用于当期消费的易腐消费品。它不可以储藏，暂时不考虑它是如何生产出来的。PPTPPTPP
15、TPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT（3）资产价格运动。理想化的资本市场上存在n+1 种资产，第0 种资产是无风险的债券，它的单位时间总收益率为R f；其他n 种都是风险资产，它们的总收益率定义为：Ri(t)是由外部经济环境外生决定的。外生经济环境用状态变量 S(t)来表示。目前假定存在m 个状态变量，而且基于当前状态 S(t)的：均具有马尔可夫性质（Markov property）。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Offic
16、e PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT基于上面的假定，最优消费和投资问题为：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT根据动态规划原则，从倒数第一期开始解，这样它就变成了熟悉的单期问题：n先引入T-1 时刻的价值函
17、数（valuation function）JW(T-1),T-1，即PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn最优化的一阶条件：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn根据上式中的第二个一阶条件，第一个一阶条件又可以表示为：PPTPPTPP
18、TPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT如果用T-1 期的价值函数（2-6）式对W 做微分（使用连锁法则和导数基本运算法则），就有：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn它的经济学含义就是：在消费者均衡时，当期消费的边际效用就等于财富（未来消费）的边际效
19、用。当期消费与投资比例的选择既影响生活质量U1（C），也影响投资预算基金的数量。当前每增加一单位的消费就减少可投资的财富，因而获得时际最优的标准条件就是 消费的边际效用等于财富的边际效用。而且根据上式容易知道，因为 U CC 0，所以有J WW 0，因此J 是财富的严格凹函数。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn可以继续对倒数第二期做类似的
20、工作，这时的价值函数为：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn把这一个重复（recursive）过程递推到T-3、T-4，t 时期。根据最优化原理，在t 期价值函数的一般形式是：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn类似地可以获得n+1 个一般最优化条件（general optimality condition）：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板
21、 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn把它们代入价值函数并求解，就可以得出JW(t),t。如此这般反复，叠代到最后的0时期，问题就彻底解决了。n回顾前一章中的静态问题，可以发现在静态模型中，个人以最大化期末财富为惟一目标，效用函数是外生的，且仅仅包含期末财富这一个变量（如最大化二次效用，进而导出均方原则）。而在跨期模型中的（期间）财富的效用函数是内生、引至的。不仅如此，它还取决于状态变量S(t)。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT特殊形式
22、的效用函数:对数效用函数n效用函数PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn根据（2-6）式,T-1 时期的价值函数就是：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT注意上面的T-1 是指T-1 到T 这一个时间段；而且以上W、w*和 C*均为T-1 时期的数值，化简得PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office
23、PPTPPTPPTPPTn结论1：我们看到在对数效用函数这样一个特例中，最优消费水平是独立于资产收益条件（投资机会）的，消费随着财富水平的增加而递增，随着贴现因子的增加而减少。如果消费者时间偏好为0，即=1，这就是说投资者对于同等数量的当前消费和未来消费是无差异的。则他会把财富的一半用于当期消费，而另一半作为投资（或者遗产）。如果他有正的时间偏好，即1，则他会消费得更多一些。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn结论2：最优资产组合比例：根据（2-7）式提供的第二个一阶最优条件，把函数
24、的具体形式代入，就有：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn（2-17）或者（2-19）式中的问题隐含着的最优资产组合解，它们同单期静态模型中具有对数效用的个人面临的问题是一样的。换句话说，最优资产组合决策是独立于财富水平和消费决策的。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn为了决定再早一期的最优策略，还必须知道价值函数 J W(T-1)。这可以通过对包络条件：PPTPPTPPT
25、PPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT由（2-5）式得：对倒数第二期做分析，会得到同上式形式相似的结果，价值函数（也即引对倒数第二期做分析，会得到同上式形式相似的结果，价值函数（也即引至效用函数）也是对数形式的。实际上这可以推广到任意时刻。至效用函数）也是对数形式的。实际上这可以推广到任意时刻。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn证明：假定第t+1 期的价值函数采用下面的形式：PPTPPTPPT
26、PPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn它表明F(t)通过F(t+1)而依赖于未来投资机会集，但是它并不影响最优资产组合。因为最优资产组合仅仅取决于J W，而J W却不受F 的影响。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT根据t 时期的第二个一阶条件可以得到
27、最优资产组合：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn可以证明，这同单期中具有对数效用最优化者的资产组合问题的解是一样的。因此我们看到在伯努利对数效用这一（惟一）特例中，最优决策具有双重的分离性质：（1）消费水平独立于金融变量而仅仅取决于当前财富水平；（2）资产选择是一个严格的静态问题，与未来投资机会无关。n这实际上是对数效用函数的常相对风险厌恶特征的一种体现。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPT
28、PPTPPTPPT特殊形式的效用函数:幂效用函数PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn结论1：容易发现在指数效用函数这样一个特例中，消费水平是依赖于投资机会集合的。n结论2：资产组合方面，根据第二个一阶条件，可得：PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn如同前面对数效用函数的例子，最后一期的最优资产组合比例仍然是独立于消费/储蓄决策的。同样对于包络条件PPTPPTPPTPPT文档
29、演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTn显然它也取决于未来投资机会集。尽管式（2-44）可以视为一个单期问题，但是必须注意，同前面对数效用的例子不同，这里期末财富的效用函数是状态依存的，它的边际效用同 成比例，而后者依赖T-1时期可以得到的收益率。PPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPTPPTPPTPPTPPT文档演模板文档演模板文档演模板文档演模板 Office Office Office Office PPTPPTPPTPPT