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1、 2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校 考试联盟”学科网（北京）股份有限公司 2023 年春“荆、荆、襄、宜四 地七 校考试 联盟”高一期中联考 数学试题 考试时 间：2023 年 4 月 18 日 考试用 时：120 分钟 试卷满分：150 分 祝考试顺利 一、单 项 选择 题：本 题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在 每 小题 给出 的四 个 选项 中，只 有 一项 是符 合 题目 要求 的.1.一条弦 的长 等于 半径,则 这条 弦所 对的 圆心 角为（）A.1 B.2 C.3 D.6 2.已知在 复平 面内,O 是原点,向量,OA OB 对应的 复数 分别 为 3 5
2、 2 4 ii，,那么向量AB对应 的复 数的 虚部 是（）A 9i B 1 C i D 9 3.已知 3sin 35,则23cos（）A 45 B 53 C 35 D 45 4.已 知|4 a，e 为单 位向 量,当向 量,ae 的夹角 为23,则向量a 在向量e上的 投影 向量 为（）A a B e C 2e D e 5.设()fx是定 义在(,0)(0,)上的 奇函 数,对任 意的12,(0,)xx 满足 2 1 1 2120 x f x x f xxx 且(2)4 f,则不等式()2 f x x 的解 集为（）A(2,0)(2,)B(2,0)(0,2)C()(2),2,D(,2)(0,
3、2)6.宜昌奥 林匹 克体 育中 心为 了迎接 4 月 12 日湖 北省 第十 六届 运动 会开幕 式,将 中心内 一块 平面 四边 形ABCD 区域设计灯 带.已知 灯带=CD 10 AB 米,20 BC 米,10 2 AD 米,且34AC,则 cos BCD（）A.35 B.0 C.45 D.210ABC 4 AB 23ABC 2 213,MN,AC AB1,3CM CA 13AN AB BM CN P MPN 4367 2367 37743672=cos()6f x x 0,3 4,A B C D(1,3),(2,1),(3,2)A B C D(0,4)(6,1)(6,0)(4,6)(,
4、)2 tan yx|sin|yx 2cos yx sin cos y x x ABC P,AP AB AC R1 P ABC 2 P ABC 12 P ABC P ABC ABC 2 ABC,MNMN xMA yMB zMC(1,0)x y z x y z 2 MN MA MB 1 2 6 4 3 0tan 5 32 cos 2,abc|2,|2,|5 abc|2|a b c ABC tan,tan BC x230 mx x m A,2 2 2tan,22a x x xfxxx 或 32y f f x a”高一期 中联考 数学 试题 第 1 页（共 2 页）3 6 O,OA OB 3 5 2
5、4 ii，AB9i1 i 9 3sin 35 23cos 45 53 3545|4 a e,ae 23 a ea e 2e e()fx(,0)(0,)12,(0,)xx 2 1 1 2120 x f x x f xxx(2)4 f()2 f x x(2,0)(2,)(2,0)(0,2)()(2),2,(,2)(0,2)ABCD=CD 10 AB 20 BC 10 2 AD 34AC cos BCD 350452107.在 ABC 中,已知4 AB,23ABC,外接圆 半径 为2 213,点,MN分别是,AC AB的三 等分点（1,3CM CA 13AN AB）,BM 与CN 相交于点P,则 M
6、PN 的余弦值 为（）A.4367 B.2367 C.3774 D.3672 8.已知=cos()6f x x 在0,3上的 最 小 值为4,则 的 解 有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 二、多 项 选择 题：本 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在 每 小题 给出 的选 项 中，有 多项 符 合题 目要 求.全 部选 对 的得 5 分，部 分选 对的 得 2 分，有 选错 的得 0 分.9.已知平 面内 四点,A B C D 可构 成平 行四 边形,其中(1,3),(2,1),(3,2)A B C,则点D 的坐 标 可 能为（）A.(0,4)B.(6,1)C.(6,0
7、)D.(4,6)10.下列函 数中,以 为最 小正 周期,且 在区 间(,)2 上单调 递增 的是（）A.tan yx B.|sin|yx C.2cos yx D.sin cos y x x 11.在 ABC 所在 的平 面上 存在 一点P,AP AB AC R,则下列说 法错 误的 是（）A 若1，则点P 的轨 迹不 可能 经过 ABC 的外 心 B 若 2，则 点P 的轨迹 不可 能经过 ABC 的垂 心 C 若12，则 点P 的轨迹 可能 经过 ABC 的重心 D 若，则点P 的轨 迹 可 能经 过 ABC 的 内 心 12.已知 ABC 是边长 为 2 的等边 三角 形,平面ABC 内
8、有 两动 点,MN 满 足MN xMA yMB zMC(1,0)x y z x y z.若 2 MN,则MA MB 的值 可能 为（）A.1 B.2 C.6 4 3 D.0 三、填 空 题：本 题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.13.已知 tan 5,32,则 cos 2 _ 14.若平面 内不 共线 的 三 个向 量,abc 两两的 夹角 相等,且|2,|2,|5 abc,则|2|a b c _ 15.在 ABC 中,已知tan,tan BC是x的一元 二次 方程230 mx x m 的两 个实 根,则 A _ 16.已知函 数,2 2 2tan,22a x x xfxxx
9、或,若函数 32y f f x 有 5 个零点,则 实数a的取 值范 围是_ 2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校 考试联盟”四、解 答 题：本 题共 6 小 题，共 70 分.解答 应写 出 文字 说明、证明 过程 或 演算 步骤.17.（本 题满分 10 分）已知(1,0),(2,1)ab.(1)若,AB a b BC a mb,且,A B C三点 共线,求m的值.(2)当实 数k 为何值 时,a kb 与32 ab 垂直?18.（本 题满分 12 分）要得 到 函数2()2s3in 2 f x x的图 象,可以 从正 弦函 数或 余弦 函数 图象 出发,通 过图 象变换 得到,也可以
10、用“五点法”列表、描 点、连线 得到(1)由sin yx 图象变 换得 到函 数 fx的图象,写 出变 换的 步骤 和函 数；(2)用“五点 法”画出 函数()fx在区 间 7,66上的简 图 19.（本 题满分 12 分）已知函 数2()2sin 3 cos 2()4f x x x m 在区间0,2 上的 最大 值为 5(1)求常 数m的值;(2)求函 数()fx的单调 递减 区间.3()log()1xmfxx 1()4 2(0)xxgx m()gx 1,2ABC300 BC BC Q,QM QN,MN,ABAC,QM QN BC3 QMB QNC AMQNMN Q,QM QN MN,OM
11、a b cos sin f x a x b x x R,OM a b cos sin f x a x b x x RO 25 33 sin 2cos2 6 2xf x x x R()fx,M a b225 6 0(0)a ab b ab OM gx0 xx 0tan(2)4x 1,0 OA()hx()()()h h h()h”高一期 中联考 数学 试题 第 2 页（共 2 页）(1,0),(2,1)ab,AB a b BC a mb,A B C mka kb 32 ab 2()2s3in 2 f x xsin yx fx()fx 7,662()2sin 3 cos 2()4f x x x m
12、0,2 m()fx 20.（本 题满分 12 分）已知函 数3()log()1xmfxx 为奇函 数，1()4 2(0)xxgx,.(1)求实 数m;(2)求函 数()gx在区间1,2上的 最小 值;21.（本 题满分 12 分）宜昌卷 桥河 湿地 公园 是一 幅美 丽的 田园 湿地画 卷,它 将自然 山体、阳 光草 坪、亲水草 滩、芒草 湿地、溪 谷密 林等有机融 合,设计 的十 分精 致优 美.为了 迎接 2023 年的 春天,公 园里 开辟 了一 块等 腰直角 三角 形ABC 农田种 植七 彩油 菜,其斜边 300 BC 米.为了 方便 游客 观光,欲在BC 上选择 一点Q,修建两 条观
13、 赏小 径,QM QN,点,MN 分别在 边,ABAC 上,且小 径,QM QN 与边BC 的夹 角都 是3.区域QMB 和区 域QNC 种植粉 色油 菜,区域AMQN 种植 黄色 油菜.(1)随着 春天 到来,油 菜均 已开 花,为了 游客 深度 体验 观赏,准 备在 种植 黄色 油菜 区域内 修建 小径MN,当点Q 在何处时，三条 小径(,QM QN MN)的 长度 之和最 小?(2)种植 粉色 油菜 的成 本是 100 元/平方 米，求种植 粉色 油菜 的最 少费 用.22.（本 题满分 12 分）定义非 零向 量,OM a b 的“伴 随函 数”为 cos sin f x a x b
14、x x R,非零 向量,OM a b 为函 数 cos sin f x a x b x x R的“伴 随向 量”（其 中O 为坐标 原点）(1)设 25 33 sin 2cos2 6 2xf x x x R,求出与()fx的“伴 随向 量”共线 的单 位向 量;(2)已知 点,M a b满足225 6 0(0)a ab b ab,向量OM 的“伴随 函数”gx在0 xx 处取 得最 小值,求0tan(2)4x 的取值 范围;(3)向量 1,0 OA,其“伴随函 数”为()hx,已知()()()h h h,求()h 的取值范 围.参考答 案第1学科网（北京）股份 有限 公司 2023 年春“荆、
15、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考 数 学 参考 答案 一、单 项 选择 题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C 二、多 项 选择 题 s 9.ACD 10.AC 11.ABC 12.BCD 三、填空题 13.3121 14.67 15.6 16.(0,1 四、解答题 17.解：（1）(1,1)(1 2,)AB BC m m（2 分）因为 A，B，C 三点 共线，所以 存在 实数，使 得(),BC AB R 整理得(1 2,)(,),mm 所以12 mm，解 得 1 m.故m的值为 1.（5 分）（2）(1 2,),a kb k k 3 2(7,2).ab（7
16、 分）因为a kb 与32 ab 垂直，所以7(1 2)2()0,kk 解得716k.（10 分）18.解：（1）步 骤 1：把sin yx 图象 上所有 点向 左平移2 3个单位长 度，得到 函数2 sin()3yx 的图象；步骤 2：把2 sin()3yx 图象 上所 有点 的横坐 标变 为原 来的12倍（纵 坐标 不变），得 到函数2 sin(2)3yx 的图象；步骤 3：最后把 函数2 sin(2)3yx 的图 象的 纵坐标 变为 原来的 2 倍（横坐标 不变），得到函 数2 2sin(2)3yx 的图象（6 分）或者步 骤 1：步骤 1：把sin yx 图象上 所有点 的横 坐标 变
17、为原 来的12倍（纵坐 标不变），得 到函 数sin 2 yx sin 2 yx 3 2 sin 2()sin(2)33y x x 2 sin(2)3yx 2 2sin(2)3yx 2 2,3,3x 2 23x 3 22 5 23 x65 122 311 127 6y0 2 0 2 0()2sin(2)16f x x m 0,2x 5 2,66 6x 262x()fx3 m 35 m 2 m()fx 3 2 22(Z)6 22k x k k 5(Z)36k x k k()fx 5,(Z)36k k k fx 0 f x f x 23 3 3 2log log log 01 1 1x m x m
18、 x mx x x 2 2 21 x m x 21 m 1 m 1 m 31log1xfxx|1 xx fx1 m 31log1xfxx,1 1,13 3 3 31 1 1 1log log log log1 1 1 1x x x xf x f x f xx x x x 1 页 共 2 页 3121 676(0,1(1,1)(1 2,)AB BC m m(),BC AB R(1 2,)(,),mm 12 mm 1 m m1(1 2,),a kb k k 3 2(7,2).ab a kb 32 ab 7(1 2)2()0,kk 716k sin yx 2 32 sin()3yx 2 sin()3
19、yx 122 sin(2)3yx 2 sin(2)3yx 2 2sin(2)3yx sin yx 12sin 2 yx 的图象；步骤 2：把sin 2 yx 图象 上所 有点向 左平移3个单位长 度，得到 函数 2 sin 2()sin(2)33y x x 的图象；步骤 3：最后把 函数2 sin(2)3yx 的图 象的 纵坐标 变为 原来的 2 倍（横坐标 不变），得到函 数2 2sin(2)3yx 的图象（6 分）（2）因为2 2,3,3x 列表：2 23x 3 2 2 5 2 3 x 6 5 12 2 3 11 12 7 6 y 0 2 0 2 0（12 分）19.解：（1）化 简可 得
20、：()2sin(2)16f x x m，因为0,2x，所以 5 2,66 6x，则当 262x 时，()fx取得最 大值 3 m，故35 m，即 2 m.（6 分）（2）()fx的单调递 减区 间需 要满足：3 2 22(Z)6 22k x k k，解得 5(Z)36k x k k，所以()fx的单调 递减 区间为：5,(Z)36k k k.（12 分）20.解：（1）解：因 为 fx为奇函 数，所 以 0 f x f x，所以23 3 3 2log log log 01 1 1x m x m x mx x x 在定义 域内 恒成立，整理，得2 2 21 x m x 在定义 域内恒 成立，所
21、以21 m，解得 1 m，当 1 m 时，31log1xfxx 的定 义域 为|1 xx，定义域 不关 于原点 对称，此 时 fx没有奇偶 性，当 1 m 时，31log1xfxx 的定 义域 为,1 1,，关于原 点对 称，且 13 3 3 31 1 1 1log log log log1 1 1 1x x x xf x f x f xx x x x，符 合题 意，参考答 案第2学科网（北京）股份 有限 公司 综上可 得：1 m；（5 分）（2）214 2 2 2 2x x x xgx，1,2 x，令 2xt，则上述 函数 化为 22 y t t t，2,4.因为0，则 对称轴10 t 1）
22、当12，即12 时，函数 yt在 2,4上单调递 增，故 min(2)4 4 3 4 y t y；2）当124，即1142 时，函数 yt在12,上单调递 减，在1,4 上单调递 增，故min11()y t y；3）当14，即104 时，函数 yt在 2,4上单调递 减，故 min()4 15 8 y t y.综上 所 述：当12 时，gx的最小 值为34；当1142 时，gx的最 小值 为1；当104 时，gx的最小 值为15 8.（12 分）21 解：（1）在BMQ 中,53 4 12BMQ,由正 弦定理 可得：sin sinQM BQB BMQ,即sin 45sin 75QBQM 222
23、64QB(3 1)QB，同 理可 得(3 1)QN QC，所以(3 1)()QM QN QC QB(3 1)300(3 1)BC；（3 分）在QMN中，由余 弦定 理可得：2 2 22 cos60 MN QM QN QM QN，即22 2 2()()3()34QM QNMN QM QN QM QN QM QN，所以22()4QM QNMN，2QM QNMN，又 因为QM QN 300(3 1)，故 150(3 1)MN，当 且仅 当 150(3 1)QM QN 时等号成 立.故当Q 点是BC 的中点 时，三 条小 径（QM，QN，MN）的 长度 之和最 小，最小 为 450(3 1)；（7 分
24、）（2）由（1）可 知(3 1)QM QB，故1sin 602BQMS QB QM 23(3 1)4QB，同理可 得：23(3 1)4CQNS QC，所 以BQM CQNSS 223(3 1)()4QB QC 233()2 4QB QC QB QC 223 3()()2 44QB QCQB QC 233()8QB QC 2338BC 11250(3 3)150 QB QC 11250(3 3)11250(3 3)100 1125000(3 3)1 cos 3 1 3 33 2(cos sin)sin cos2 2 2 2 2xf x x x x x fx3,12OMOM21 2 7,77OM
25、22cos sin sin,tan gbx a x b xaa b x fx0 xx 03 2,Z2x k k 03 2,Z2x k k fx22ab 03 sin sin 2 cos2xk 03 cos cos 2 sin2xk 0cos 1tansin tanbxa 225 6 0(0)a ab b ab 21 5 6()0bbaa 1132ba011(,)t32anx 00 20002 tan 2tan 211 tantantanxxxxx 011(,an)t32tx 0011tantanxtxt 1,y y tt 11(,)321ytt11(,)32001 1 3 8tan(,)tan
26、 2 3xtxt 00 20002 tan 2 3 4tan 2(,)11 tan 4 3tantanxxxxx 0000tan 2 1 2tan(2)14 1 tan 2 1 tan 2xxxx 034(,an 2)t43kx 211yk 34(,)432 1 11(,)1 7 7yk 0tan(2)4x 11(,)77()cos h x x cos cos cos()sin sin(1 cos)cos cos 22sin(1 cos)sin()cos 2 2cos sin()cos cos 1 cos 1 cossin()1,12 2cos cos 1,3 1 2 页 共 2 页 1 m
27、214 2 2 2 2x x x xgx 1,2 x 2xt 22 y t t t 2,4 0 10 t 12 12 yt 2,4 min(2)4 4 3 4 y t y 124 1142 yt12,1,4 min11()y t y 14 104 yt 2,4 min()4 15 8 y t y 12 gx 34 1142 gx1 104 gx 15 8 BMQ 53 4 12BMQ sin sinQM BQB BMQ sin 45sin 75QBQM 22264QB(3 1)QB(3 1)QN QC(3 1)()QM QN QC QB(3 1)300(3 1)BC QMN2 2 22 cos
28、60 MN QM QN QM QN 22 2 2()()3()34QM QNMN QM QN QM QN QM QN 22()4QM QNMN 2QM QNMN QM QN 300(3 1)150(3 1)MN 150(3 1)QM QN Q BC 450(3 1)(3 1)QM QB 1sin 602BQMS QB QM 23(3 1)4QB 23(3 1)4CQNS QC BQM CQNSS 223(3 1)()4QB QC 233()2 4QB QC QB QC 223 3()()2 44QB QCQB QC 233()8QB QC 2338BC 11250(3 3)（当且 仅当 150
29、 QB QC 时取 得最小 值11250(3 3)），故最少 费用 为11250(3 3)100 1125000(3 3).（12 分）22.解：（1）因 为 1 cos 3 1 3 33 2(cos sin)sin cos2 2 2 2 2xf x x x x x 故 fx的“伴随 向量”3,12OM，所以，与OM 共线的单 位向 量为21 2 7,77（3 分）（2）OM 的“伴随函 数”22cos sin sin,tan gbx a x b xaa b x，因为 fx在0 xx 处取 得最 小值，所以，当03 2,Z2x k k，即03 2,Z2x k k 时，fx有最小值22ab，所
30、以03 sin sin 2 cos2xk，03 cos cos 2 sin2xk，所以 0cos 1tansin tanbxa，因为225 6 0(0)a ab b ab，所 以21 5 6()0bbaa，即1132ba 所以011(,)t32anx，则00 20002 tan 2tan 211 tantantanxxxxx，令011(,an)t32tx，则 0011tantanxtxt，因为1,y y tt 均为11(,)32上的单 调递减 函数，所 以1ytt 在11(,)32上单调 递减，故001 1 3 8tan(,)tan 2 3xtxt，所以，00 20002 tan 2 3 4t
31、an 2(,)11 tan 4 3tantanxxxxx，又因为0000tan 2 1 2tan(2)14 1 tan 2 1 tan 2xxxx，令034(,an 2)t43kx，211yk 在34(,)43上单调 递增，故2 1 11(,)1 7 7yk，故 0tan(2)4x 的取值 范围 为11(,)77.（8 分）（3）由 题意可 知，()cos h x x，则cos cos cos()，化简可 得sin sin(1 cos)cos cos，即22sin(1 cos)sin()cos，即 2 2cos sin()cos，当 cos 1 时，不符合 题意，舍 去；当 cos 1 时，cossin()1,12 2cos，故 cos 1,3 1（12 分）