《2023年七年级数学上册知识点归纳总结大全.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年七年级数学上册知识点归纳总结大全.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、七年级数学上册知识点大全 七年级数学上册知识点汇总 1、有理数:(1)凡能写成分数形式的数,都就是有理数,整数与分数统称有理数、注意:0 即不就是正数,也不就是负数;-a 不一定就是负数,+a 也不一定就是正数;不就是有理数;(2)有理数的分类:负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)自然数 0 与正整数;a0 a 就是正数;a0 a 就是负数;a0 a 就是正数或 0(a就是非负数);a 0 a 就是负数或 0(a 就是非正数)、(4)最大的负整数就是-1,最小的正整数就是 1 2.数轴:数轴就是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线、
2、3.相反数:(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个就是另一个的相反数;如 1、5 的相反数就是-1、5,-12的相反数就是 12,a 的相反数就是-a,0 的相反数还就是 0;(2)注意:3、14-的相反数就是-3、14;a-b 的相反数就是 b-a;a+b 的相反数就是-a-b;(3)相反数的与为 0,即:a+b=0 a、b 互为相反数、(4)相反数的商为-1(除 0 外)、(5)相反数的绝对值相等。4、绝对值:(1)正数的绝对值等于它本身,例如:|5|=5,|-3、14|=-3、14 0 的绝对值就是 0,负数的绝对值等于它的相反数;例如:|-5|=5,|3、14-|=-(3、14-)
3、注意:绝对值的意义就是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为:)0a(a)0a(0)0a(aa 或 )0()0(aaaaa;(3)0a1aa;0a1aa;(4)|a|就是重要的非负数,即|a|0;5、有理数比大小:(1)正数永远比 0 大,负数永远比 0 小;(2)正数大于一切负数;(3)两个负数,绝对值大的反而小;(4)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;6、倒数:乘积为 1 的两个数互为倒数;例如:1、2 的倒数就是 5/6,-4/7的倒数就是-7/4 注意:0 没有倒数;若 ab=1 a、b 互为倒数;等于本身的数汇总:(1)相反数等于本身的数:0(2)倒数等于本身的
4、数:1,-1 (3)绝对值等于本身的数:正数与 0(4)平方等于本身的数:0,1 (5)立方等于本身的数:0,1,-1、7、有理数加法法则:七年级数学上册知识点大全(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;例如:-2-1=-3,(-2-1 可理解为+号省略读作-2,-1 的与,也可读作-2 减 1)(2)异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;例如:-1+2=1,-2+1=-1,7-9=-2(7-9读为 7 与-9 的与)(3)一个数与 0 相加,仍得这个数、8.有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=
5、a+(b+c)、9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;例如 4-(-5)=4+5、10 有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个不为零因数连乘,积的符号由负因式的个数决定、奇数个负数为负,偶数个负数为正。4(-6)(-8)12(-9)=-468129 11 有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac、(简便运算)12.有理数除法法则:(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数;例如:7(-4/5)=7(-5/4)(2)两
6、数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0 除以任何非零数都得 0。(注意:零不能做除数,)13.有理数的乘方:(1)求 n 个相同因数 a 的积的运算,叫做乘方;即 an=a、a、a(2)乘方中,相同的因数 a 叫做底数,相同因数的个数 n 叫做指数,乘方的结果叫做幂;(3)|a|,a2就是非负数,即|a|,a20;若(a-2)2+|b+4|=0 a-2=0,b+4=0(即 a=2,b=-4);(4)正数的任何次幂都就是正数;例如:1n=1 (5)负数的奇次幂就是负数;例如:(-1)2n+1=-1 负数的偶次幂就是正数;(-1)2n=1(6)(-3)2 与-32的区别:(-3)2=(-3
7、)(-3)=9;-32=-33、=-9 14.科学记数法:把一个大于 10 的数记成 a10n的形式,其中 a 就是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法、15、近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位例如:23、4精确到 0、1 或精确到十分位,5、78104(5、78 万)精确到百位。16、有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到末位数字止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字、例如:0、0403 有三个有效数字:4,0,3、17、混合运算法则:先乘方,再乘除,后加减;如果有括号,先算括号,同一级运算,从左到右进行、注意:不省过程,不跳步骤。18、特殊
8、值法:就是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明、常用于填空,选择。整式的加减 19.单项式:表示数与字母的乘积的式子,单独的一个数或字母也叫单项式。例如:单项式:3xy,a,-3ab/2,0,-7,不就是单项式:a/c,(m+n)/2,ab+ac 七年级数学上册知识点大全 20.单项式的系数与次数:单项式中的数字因数,称单项式的系数;例如:-32xy,a,-3ab/2,a2b 的系数分别就是-32,1,-3/2,单项式中所有字母指数的与,叫单项式的次数、例如:-32xy,a,a2b 的次数分别就是 2,1,3 21.多项式:几个单项式的与叫多项式、22.多
9、项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;例如:-x2y+5xy-2x-1 就是三次四项式,其中,三次项就是-x2y,三次项系数就是-1,二次项就是 5xy,二次项系数就是 5,一次项就是-2x,一次项系数就是-2,常数项就是-1 23.单项式与多项式统称整式、24.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式就是同类项、25.合并同类项法则:系数相加,字母与字母的指数不变、不就是同类项不能合并。26.去(添)括号法则:把括号与括号前面的符号去掉 若括号前边就是“+”号,括号里的各项都不变号;+(a
10、-b+c)=a-b+c 若括号前边就是“-”号,括号里的各项都要变号、-(a-b+c)=-a+b-c 27.整式的加减:一找(同类项):(划线);二加(系数相加)三合(字母部分不变)28、多项式的升幂与降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列)、经典例题透析 类型一:用字母表示数量关系 1.填空题:(1)香蕉每千克售价 3 元,m 千克售价_元。(2)温度由 5上升 t后就是_。(3)每台电脑售价 x 元,降价 10后每台售价为_元。(4)某人完成一项工程需要 a 天,此人的工作效率为_。思路点拨:用字母表示数量关系,关键
11、就是理解题意,抓住关键词句,再用适当的式子表达出来。举一反三:变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书 240 册,若每册图书的邮费为书价的 5,则共需邮费_元。类型二:整式的概念 2.指出下列各式中哪些就是整式,哪些不就是。(1)x1;(2)a 2;(3);(4)S R2;(5);(6)总结升华:判断就是不就是整式,关键就是了解整式的概念,注意整式与等式、不等式的区别,等式含有等号,不等式含有不等号,而整式不能含有这些符号。七年级数学上册知识点大全 举一反三:变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。x2y,ab,xy25,29,2ax9b5,600 xz,axy,xyz 1,。分析
12、:本题的实质就就是识别单项式、多项式与整式。单项式中数与字母、字母与字母之间必须就是相乘的关系,多项式必须就是几个单项式的与的形式。答案:单项式有:x2y,29,600 xz,axy 多项式有:ab,xy25,2ax9b5,xyz1 整式有:x2y,ab,xy25,29,2ax 9b5,600 xz,axy,xyz 1。类型三:同类项 3.若与就是同类项,那么 a,b 的值分别就是()(A)a=2,b=1。(B)a=2,b=1。(C)a=2,b=1。(D)a=2,b=1。思路点拨:解决此类问题的关键就是明确同类项定义,即字母相同且相同字母的指数相同,要注意同类项与系数的大小没有关系。解析:由同
13、类项的定义可得:a1=b,且 2a+b=3,解得 a=2,b=1,故选 A。举一反三:变式在下面的语句中,正确的有()a2b3 与a3b2 就是同类项;x2yz 与zx2y 就是同类项;1 与就是同类项;字母相同的项就是同类项。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解析:中a2b3 与a3b2 所含的字母都就是 a,b,但 a 的次数分别就是 2,3,b 的次数分别就是 3,2,所以它们不就是同类项;中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,所以x2yz 与zx2y 就是同类项;不含字母的项(常数项)都就是同类项,正确,根据可知不正确。故选 B。类型四:整式的加减 七年级数学上册知识
14、点大全 4.化简 mn(m+n)的结果就是()(A)0。(B)2m。(C)2n。(D)2m 2n。思路点拨:按去括号的法则进行计算,括号前面就是“”号,把括号与它前面的“”号去掉,括号里各项都改变符号。解析:原式=mnmn=2n,故选(C)。举一反三:变式 计算:2xy+3xy=_。分析:按合并同类项的法则进行计算,把系数相加所得的结果作为系数,字母与字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2 的错误。答案:5xy。5.(化简代入求值法)已知 x,y,求代数式(5x2y 2xy2 3xy)(2xy 5x2y 2xy2)思路点拨:此题直接把 x、y 的值代入比较麻烦,应先化简再代入求值。解析:原式
15、5x2y 2xy2 3xy2xy5x2y 2xy2 5xy 当 x,y时,原式5。总结升华:求代数式的值的第一步就是“代入”,即用数值替代整式里的字母;第二步就是“求值”,即按照整式中指明的运算,计算出结果。应注意的问题就是:当整式中有同类项时,应先合并同类项化简原式,再代入求值。举一反三:变式 1 当 x0,x,x-2时,分别求代数式的 2x2x1 的值。解:当 x0 时,2x2x1202011;当 x时,2x2x12;当 x-2时,2x2x12(-2)2(-2)124+2111。总结升华:一个整式的值,就是由整式中的字母所取的值确定的,字母取值不同,一般整式的值也不同;当整式中没有同类项时
16、,直接代入计算,原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意,当字母的取值就是分数或负数时,代入时,应将分数或负数添上括号。变式 2 先化简,再求值。3(2x2y 3xy2)(xy2 3x2y),其中 x,y1。解:3(2x2y 3xy2)(xy2 3x2y)(6x2y 9xy2)xy23x2y 6x2y 9xy2 xy23x2y 9x2y 10 xy2。七年级数学上册知识点大全 当 x,y1 时,原式9(1)10(1)2。总结升华:解题的基本规律就是先把原式化简为9x2y 10 xy2,再代入求值,化简降低了运算难度,使计算更加简便,体现了化繁为简,化难为易的转化思想。变式 3 求下列各式
17、的值。(1)(2x2 x1),其中 x (2)2mn(3m)3(2n mn),其中 mn2,mn 3。解析:(1)(2x2 x1)2x2x1x2x3x234x24 当 x时,原式44945。(2)2mn(3m)3(2n mn)2mn 6m6n3mn 5mn 6(m n)当 mn2,mn3 时 原式5(3)6227。类型五:整体思想的应用 6.已知 x2x3 的值为 7,求 2x22x3 的值。思路点拨:该题解答的技巧在于先求x2x 的值,再整体代入求解,体现了数学中的整体思想。解析:由题意得 x2x37,所以 x2x4,所以 2(x2 x)8,即2x22x8,所以 2x22x3835。总结升华
18、:整体思想就就是在考虑问题时,不着眼于它的局部特征,而就是将具有共同特征的某一项或某一类瞧成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析,抓住问题的整体结构与本质特征,全面关注条件与结论,加以研究、解决,使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见,尤其在化简题中经常用到。举一反三:变式 1 已知 x2x10,求代数式 x32x27 的值。分析:此题由已知条件无法求出 x 的值,故考虑整体代入。解析:x2x10,x21x,x32x27x(1 x)2(1 x)7xx222x7 -x2-x-5(-x2-x+1)-6=6。变式 2 当 x1 时,代数式 px3qx1 的值为 2003,则当 x
19、1 时,代数式 px3qx1 的值七年级数学上册知识点大全 为()A、2001 B、2002 C、2003 D、2001 分析:这就是一道求值的选择题,显然p,q 的值都不知道,仔细观察题目,不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析:当 x1 时,px3qx1pq12003,而当 x1 时,px3qx1pq1,可以把 pq 瞧做一个整体,由 pq12003 得 pq2002,于就是pq(pq)2002,所以原式2002 12001。故选 A。变式 3 已知 A3x32x1,B3x22x1,C2x21,则下列代数式中化简结果为 3x37x22 的就是()A、AB2C B、AB2C C、AB2C
20、D、AB2C 分析:将 A,B,C的式子分别代入 A,B,C,D四个选项中检验,如:AB2C3x32x1(3x2 2x1)2(2x2 1)3x32x13x22x14x223x37x22。故选 C。答案:C 变式 4 化简求值。(1)3(a bc)8(a bc)7(a bc)4(a bc),其中 b2 (2)已知 ab2,求 2(a b)ab9 的值。分析:(1)常规解法就是先去括号,然后再合并同类项,但此题可将abc,abc分别视为一个“整体”,这样化简较为简便;(2)若想先求出 a,b 的值,再代入求值,显然行不通,应视 ab 为一个“整体”。解析:(1)原式3(a bc)7(a bc)8(
21、a bc)4(a bc)4(a bc)4(a bc)4a4b4c4a4b4c8b。因为 b2,所以原式8216。(2)原式2(a b)(ab)9 (ab)9 因为 ab2,所以原式2911。类型六:综合应用 7.已知多项式 3(ax2 2x1)(9x2 6x7)的值与 x 无关,试求 5a22(a2 3a4)的值。思路点拨:要使某个单项式在整个式子中不起作用,一般就是使此单项式的系数为 0 即可、解析:3(ax2 2x1)(9x2 6x7)3ax2 6x39x26x7(3a 9)x2 4。因为原式的值与 x 无关,故 3a90,所以 a3。又因为 5a22(a2 3a4)5a22a26a83a
22、26a8,所以当 a3 时,原式33263837。总结升华:解答此类题目一定要弄清题意,明确题目的条件与所求,当题目中的条件或所求发生了变化时,解题的方法也会有相应的变化。举一反三:变式 1当 a(x 0)为何值时,多项式 3(ax2 2x1)(9x2 6x7)的值恒等为 4。七年级数学上册知识点大全 解析:3(ax2 2x1)(9x2 6x7)3ax2 6x39x26x7(3a 9)x2 4。因为(3a 9)x2 44,所以(3a 9)x2 0。又因为 x0,故有 3a90。即 a3,所以当 a3 时,多项式 3(ax2 2x1)(9x2 6x7)的值恒等于 4。变式 2当 a3 时,多项式
23、 3(ax2 2x1)(9x2 6x7)的值为多少？解析:3(ax2 2x1)(9x2 6x7)3ax2 6x39x26x7 (3a 9)x2 4,当 a3 时,原式(339)x2 44。8.已知关于 x 的多项式(a1)x5 x|b2|2xb 就是二次三项式,则 a_,b _。分析:由题意可知 a10,即 a1,|b2|2,即 b4 或 0,但当 b0 时,不符合题意,所以 b4。答案:1,4 举一反三:变式若关于的多项式:,化简后就是四次三项式,求 m,n 的值 答案:m=5,n=-1 一元一次方程 29.等式:用“=”号连接而成的式子叫等式、30.等式的性质:等式性质 1:等式两边都加上
24、(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍就是等式如:若 a=b,则 ac=bc 等式性质 2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍就是等式、如:若 a=b,则 am=bm 或 a/m=b/m(m 0)31.方程:含未知数的等式,叫方程、32.方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意“方程的解就能代入”33.移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项、移项的依据就是等式性质1、34.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数就是 1,并且含未知数项的系数不就是零的整式方程就是一元一次方程、35.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x就是未知数,a
25、、b 就是已知数,且 a0)、36.一元一次方程解法的一般步骤:(1)化简方程-分子分母同乘以 10 或 100、分数基本性质 (2)去 分母-等式两边同乘(不漏乘)最简公分母(3)去 括号-注意符号变化与不变的两种情况。(4)移 项-移动的项要变号(留下靠前)(5)合并同类项-合并后符号(6)系数化为 1-除最前面的数 37.列一元一次方程解应用题:(1)读题分析法:多用于“与,差,倍,分问题”七年级数学上册知识点大全 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,就是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量
26、与量的关系填入代数式,得到方程、(2)画图分析法:多用于“行程问题”利用图形分析数学问题就是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系就是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数瞧做已知量),填入有关的代数式就是获得方程的基础、38.列方程解应用题的常用公式:(1)数字问题:abc表示一个三位数,则有10010abcabc(2)行程问题:距离=速度时间 时间距离速度 速度距离时间;(3)工程问题:工作量=工效工时 工时工作量工效 工效工作量工时;工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量(4)
27、顺水逆水问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;水流速度=(顺水速度-逆水速度)2 顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程(5)商品利润问题:售价=定价10几折,%100成本成本售价利润率;利润问题常用等量关系:售价-进价=利润(6)配套问题:(7)分配问题:39、列方程解应用题解题步骤:审题,特别注意关键的字与词的意义,弄清相关数量关系,设出未知数(注意单位),根据相等关系列出方程,解这个方程,检验并写出答案(包括单位名称)、七年级数学上册知识点大全 一些固定模型中的等量关系:40、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结)建模思想:通过对实际问题中的数量关系
28、的分析,抽象成数学模型,建立一元一次方程的思想、方程思想:用方程解决实际问题的思想就就是方程思想、化归思想:解一元一次方程的过程,实质上就就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等各种同解变形,不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程,最后逐步把方程转化为 x=a 的形式、体现了化“未知”为“已知”的化归思想、数形结合思想:在列方程解决问题时,借助于线段示意图与图表等来分析数量关系,使问题中的数量关系很直观地展示出来,体现了数形结合的优越性、分类思想:在解含字母系数的方程与含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论,在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在
29、过程中的运用、典型例题 例 1、已知方程 2xm3+3x=5 就是一元一次方程,则 m=、解:由一元一次方程的定义可知 m3=1,解得 m=4、或 m3=0,解得 m=3 所以 m=4 或 m=3 警示:很多同学做到这种题型时就想到指数就是 1,从而写成 m=1,这里一定要注意 x 的指数就是(m 3)、例 2、已知2x 就是方程 ax2(2a 3)x+5=0 的解,求 a 的值、解:x=2 就是方程 ax2(2a 3)x+5=0 的解 将 x=2 代入方程,得 a(2)2(2a 3)(2)+5=0 化简,得 4a+4a 6+5=0 a=81 七年级数学上册知识点大全 点拨:要想解决这道题目,
30、应该从方程的解的定义入手,方程的解就就是使方程左右两边值相等的未知数的值,这样把 x=2 代入方程,然后再解关于 a 的一元一次方程就可以了、例 3、解方程 2(x+1)3(4x 3)=9(1 x)、解:去括号,得 2x+212x+9=9 9x,移项,得 2+99=12x 2x9x、合并同类项,得 2=x,即 x=2、点拨:此题的一般解法就是去括号后将所有的未知项移到方程的左边,已知项移到方程的右边,其实,我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正,为了减少计算的难度,我们可以根据等式的对称性,把所有的未知项移到右边去,已知项移到方程的左边,最后再写成x=a的形式、例
31、4、解方程 175321416181x、解析:方程两边乘以8,再移项合并同类项,得1 113516 42x 同样,方程两边乘以 6,再移项合并同类项,得113142x 方程两边乘以 4,再移项合并同类项,得112x 方程两边乘以 2,再移项合并同类项,得 x=3、说明:解方程时,遇到多重括号,一般的方法就是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号,而本题最简捷的方法却不就是这样,就是通过方程两边分别乘以一个数,达到去分母与去括号的目的。例 5、解方程41.550.81.20.50.20.1xxx、解析:方程可以化为(41.5)2(50.8)5(1.2)100.520.2 50.1 10 x
32、xx 整理,得 2(41.5)5(50.8)10(1.2)xxx 七年级数学上册知识点大全 去括号移项合并同类项,得 7x=11,所以 x=117、说明:一见到此方程,许多同学立即想到老师介绍的方法,那就就是把分母化成整数,即各分数分子分母都乘以 10,再设法去分母,其实,仔细观察这个方程,我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位,第一个分数分子分母都乘以 2,第二个分数分子分母都乘以 5,第三个分数分子分母都乘以10、例 6、解方程 1.6122030 xxxx 解析:原方程可化为 1.2 33 44 55 6xxxx 方程即为 1.23344556xxxxxxxx 所以有 1.26xx
33、再来解之,就能很快得到答案:x=3、知识链接:此题如果直接去分母,或者通分,数字较大,运算烦琐,发现分母6=23,12=34,20=45,30=56,联系到我们小学曾做过这样的分式化简题,故采用拆项法解之比较简便、例 7、参加某保险公司的医疗保险,住院治疗的病人可享受分段报销,保险公司制度的报销细则如下表,某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额就是1260 元,那么此人的实际医疗费就是()住院医疗费(元)报销率(%)不超过 500 的部分 0 超过 5001000 的部分 60 超过 1000 3000 的部分 80 七年级数学上册知识点大全 A、2600 元 B、2200 元 C、2575
34、 元 D、2525 元 解析:设此人的实际医疗费为 x 元,根据题意列方程,得 5000+50060%+(x500500)80%=1260、解之,得 x=2200,即此人的实际医疗费就是 2200 元、故选 B、点拨:解答本题首先要弄清题意,读懂图表,从中应理解医疗费就是分段计算累加求与而得的、因为 50060%1260 200080%,所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算、例 8、我市某县城为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段计费方式收取水费:若每月用水不超过 7 立方米,则按每立方米 1 元收费;若每月用水超过 7 立方米,则超过部分按每立方米 2 元收费、如果某户居民今
35、年 5 月缴纳了 17 元水费,那么这户居民今年 5 月的用水量为_立方米、解析:由于 17 17,所以该户居民今年 5 月的用水量超标、设这户居民 5 月的用水量为 x 立方米,可得方程:71+2(x7)=17,解得 x=12、所以,这户居民 5 月的用水量为 12 立方米、例 9、足球比赛的记分规则为:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,输一场得 0 分,一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场,现已比赛了 8 场,输了 1 场,得 17 分,请问:前 8 场比赛中,这支球队共胜了多少场？这支球队打满 14 场比赛,最高能得多少分？通过对比赛情况的分析,这支球队打满 14 场比赛,得分不低
36、于 29 分,就可以达到预期的目标,请您分析一下,在后面的 6 场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标？解析:设这个球队胜了 x 场,则平了(81x)场,根据题意,得 3x+(8 1x)=17、解得 x=5、所以,前 8 场比赛中,这个球队共胜了 5 场、打满 14 场比赛最高能得 17+(14 8)3=35 分、七年级数学上册知识点大全 由题意知,以后的 6 场比赛中,只要得分不低于 12 分即可、胜不少于 4 场,一定能达到预期目标、而胜了 3 场,平 3 场,正好达到预期目标、所以在以后的比赛中,这个球队至少要胜 3 场、例 10、国家为了鼓励青少年成才,特别就是贫困家庭的孩子
37、能上得起大学,设置了教育储蓄,其优惠在于,目前暂不征收利息税、为了准备小雷 5 年后上大学的学费 6000 元,她的父母现在就参加了教育储蓄,小雷与她父母讨论了以下两种方案:先存一个 2 年期,2 年后将本息与再转存一个 3 年期;直接存入一个 5 年期、您认为以上两种方案,哪种开始存入的本金较少?教育储蓄(整存整取)年利率一年:2、25%;二年:2、27%;三年:3、24%;五年:3、60%、解析:了解储蓄的有关知识,掌握利息的计算方法,就是解决这类问题的关键,对于此题,我们可以设小雷父母开始存入 x 元、然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少、2 年后,本息与为 x(1+2、70%2)
38、=1、054x;再存 3 年后,本息与要达到 6000 元,则 1、054x(1+3、24%3)=6000、解得 x5188、按第二种方案,可得方程 x(1+3、60%5)=6000、解得 x5085、所以,按她们讨论的第二种方案,开始存入的本金比较少、例 11、扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示、如果长方体盒子的长比宽多 4cm,求这种药品包装盒的体积、七年级数学上册知识点大全 分析:从展开图上的数据可以瞧出,展开图中两高与两宽与为 14cm,所以一个宽与一个高的与为7cm,如果设这种药品包装盒的宽为 xcm,则高为(7x)cm,因为长比宽多4cm,所以长为(x+4)cm
39、,根据展开图可知一个长与两个高的与为 13cm,由此可列出方程、解:设这种药品包装盒的宽为 xcm,则高为(7x)cm,长为(x+4)cm、根据题意,得(x+4)+2(7 x)=13,解得 x=5,所以 7x=2,x+4=9、故长为 9cm,宽为 5cm,高为 2cm、所以这种药品包装盒的体积为:952=90(cm3)、例 12、某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了 14%、求这个月的石油价格相对上个月的增长率、解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 x、根据题意得(1x)(1 5%)=1 14%解得 x=20%答:这
40、个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%、点评:本题就是一道增长率的应用题、本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用,也就就是本月的石油进口量乘以本月的价格、设出未知数,分别表示出每一个数量,列出方程进行求解、列方程解应用题的关键就是找对等量关系,然用代数式表示出其中的量,列方程解答、例 13、某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为 78 分,其中参赛的男选手比女选手多 50%,而女选手的平均分比男选手的平均分数高 10%,那么女选手的平均分数为_、解析:总平均分数与参赛选手的人数及其得分有关、因此,必须增设男选手或女选手的人数为辅助未知数、不妨设男选手的平均分数为x 分,女选手的
41、人数为a 人,那么女选手的平均分数为 1、1x分,男选手的人数为 1、5a 人,从而可列出方程1.51.1781.5a xx aaa,解得 x=75,所以 1、1x=82、5、即女选手的平均分数为 82、5 分、四、数学思想方法的学习 1、解一元一次方程时,要明确每一步过程都作什么变形,应该注意什么问题、七年级数学上册知识点大全 2、寻找实际问题的数量关系时,要善于借助直观分析法,如表格法,直线分析法与图示分析法等、3、列方程解应用题的检验包括两个方面:检验求得的结果就是不就是方程的解;就是要判断方程的解就是否符合题目中的实际意义、一元一次方程应用题分类讲评 事实上,方程就就是一个含未知数的等
42、式。列方程解应用题,就就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义,它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此,解方程应用题的关键就就是要“抓住基本量,找出相等关系”。1、行程问题 行程问题中有三个基本量:路程、时间、速度。关系式为:路程=速度时间;速度=;时间=。可寻找的相等关系有:路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中,相等关系就是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系,而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系,在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。航行问题就是行程问题中的一种特殊情况,其速度
43、在不同的条件下会发生变化:顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);逆水(风)速度=静水(无风)速度水流速度(风速)。由此可得到航行问题中一个重要等量关系:顺水(风)速度水流速度(风速)逆水(风)速度+水流速度(风速)静水(无风)速度。例.某队伍 450 米长,以每分钟90米速度前进,某人从排尾到排头取东西后,立即返回排尾,速度为 3 米/秒。问往返共需多少时间？讲评:这一问题实际上分为两个过程:从排尾到排头的过程就是一个追及过程,相当于最后一个人追上最前面的人;从排头回到排尾的过程则就是一个相遇过程,相当于从排头走到与排尾的人相遇。在追及过程中,设追及的时间为 x 秒,队伍行进(即
44、排头)速度为 90 米/分=1、5 米/秒,则排头行驶的路程为 1、5x 米;追及者的速度为 3 米/秒,则追及者行驶的路程为 3x 米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程被追者的路程=原来相隔的路程”,有:3x 1、5x=450 x=300 在相遇过程中,设相遇的时间为 y 秒,队伍与返回的人速度未变,故排尾人行驶的路程为 1、5y 米,返回者行驶的路程为 3y 米,由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有:3y+1、5y=450 y=100 故往返共需的时间为 x+y=300+100=400(秒)七年级数学上册知识点大全 例 2 汽车从 A地到 B地,若每小时行驶
45、40km,就要晚到半小时:若每小时行驶 45km,就可以早到半小时。求 A、B 两地的距离。讲评:先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题,我们通常都称其为“先后问题”。在这类问题中主要考虑时间量,考察两者的时间关系,从相隔的时间上找出相等关系。本题中,设 A、B两地的路程为 x km,速度为 40 km/小时,则时间为小时;速度为 45 km/小时,则时间为小时,又早到与晚到之间相隔 1 小时,故有 =1 x=360 例 3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需 6 小时,逆流航行需 8 小时,已知水流速度每小时 2 km。求甲、乙两地之间的距离。讲评:设甲、乙两地之间的距离为
46、 x km,则顺流速度为km/小时,逆流速度为km/小时,由航行问题中的重要等量关系有:=+2 x=96 2、工程问题 工程问题的基本量有:工作量、工作效率、工作时间。关系式为:工作量=工作效率工作时间。工作时间=,工作效率=。工程问题中,一般常将全部工作量瞧作整体 1,如果完成全部工作的时间为 t,则工作效率为。常见的相等关系有两种:如果以工作量作相等关系,部分工作量之与=总工作量。如果以时间作相等关系,完成同一工作的时间差=多用的时间。在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量,这时不能瞧作整体 1,此时工作效率也即工作速度。例 4.加工某种工件,甲单独作要 20 天完成,乙只
47、要 10 就能完成任务,现在要求二人在 12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？七年级数学上册知识点大全 讲评:将全部任务的工作量瞧作整体 1,由甲、乙单独完成的时间可知,甲的工作效率为,乙的工作效率为,设乙需工作 x 天,则甲再继续加工(12 x)天,乙完成的工作量为,甲完成的工作量为,依题意有 +=1 x=8 例 5.收割一块麦地,每小时割 4 亩,预计若干小时割完。收割了后,改用新式农具收割,工作效率提高到原来的 1、5 倍。因此比预计时间提前 1 小时完工。求这块麦地有多少亩？讲评:设麦地有 x 亩,即总工作量为 x 亩,改用新式工具前工作效率为 4 亩/
48、小时,割完 x 亩预计时间为小时,收割亩工作时间为/4=小时;改用新式工具后,工作效率为 1、54=6 亩/小时,割完剩下亩时间为/6=小时,则实际用的时间为(+)小时,依题意“比预计时间提前 1 小时完工”有 (+)=1 x=36 例 6、一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙就是进水管,丙就是排水管,甲单独开需10小时注满一池水,乙单独开需6小时注满一池水,丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开,需多少时间注满水池？讲评:由题设可知,甲、乙、丙工作效率分别为、(进水管工作效率瞧作正数,排水管效率则记为负数),设小时可注满水池,则甲、乙、丙的工作量分别为,、,由三水管完成整体工作量 1,有
49、+1 x=5 七年级数学上册知识点大全 3.经济问题 与生活、生产实际相关的经济类应用题,就是近年中考数学创新题中的一个突出类型。经济类问题主要体现为三大类:销售利润问题、优惠(促销)问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同,在寻找相等关系时,一定要联系实际生活情景去思考,才能更好地理解问题的本质,正确列出方程。销售利润问题。利润问题中有四个基本量:成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率。基本关系式有:利润=销售价(收入)成本(进价)【成本(进价)=销售价(收入)利润】;利润率=【利润=成本(进价)利润率】。在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
50、优惠(促销)问题。日常生活中有很多促销活动,不同的购物(消费)方式可以得到不同的优惠。这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验,预测其变化趋势。存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关,也就是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量,还有与之相关的利率、本息与、税率等量。其关系式有:利息=本金利率期数;利息税=利息税率;本息与(本利)=本金+利息利息税。例 7、某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件,后来又到深圳以每件 12、5元的价格购进同样商品 40 件。如果商店销售这种