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1、 1 2011 级经济学专业（1-2班）博弈论期中考试试卷（开卷）班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 总得分 得分 答题要求：1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣 10 分；3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当 a、b、c、d、f、g、h 之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20 分）参考答案：1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2 分）2、对于博弈
2、方 1，如果 ae 且 cg，则 U 是相对于 D 的严格优势策略；如果 ae 且 cg，则 D 是相对于 U 的严格优势策略；（3 分）3、对于博弈方 2，如果 bd 且 f h 则 L 是相对于 R 的严格优势策略；如果 bd 且 f h，则 R 是相对于 L 的严格优势策略。（3 分）4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12 分）1）如果 ae 且 cg，bd 且 f h，严格优势策略均衡是（U，L）2）如果 ae 且 cg，bd 且 f h，严格优势策略均衡是（U，R）3）如果 ae 且 cg，bd 且 f h，严格优势策略
3、均衡是（D，L）4）如果 ae 且 cg，bd 且 f h，严格优势策略均衡是（D，R）（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条 5 分计算，共 20 分）二、一个工人给一个老板干活，工资标准是 100 元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于 50 元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉 60 元工资，工人不偷懒老板有 150 元产出，而工人偷懒时老板只有 80 元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教
4、材给出的格式来表示，并求出博弈的所有 Nash 均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共 30 分）参考答案 g，he，fc，da，bLRUD博弈方2博弈方1 2（1）动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2 分）该博弈的博弈树是：（2 分）用以下两种方法可求出该博弈的所有 Nash 均衡（16 分）方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡（偷懒，克扣，克扣)a偷懒不偷懒bc老
5、板老板克扣克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）工人不克扣不克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，克扣，不克扣)对局（不偷懒，克扣，克扣)对局（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（偷懒，克扣，克扣)对局（偷懒，克扣，不克扣)对局（偷懒，不克扣，不
6、克扣)对局（偷懒，不克扣，克扣)对局 3 方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（偷懒，克扣，克扣)博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4 分）（2）静态博弈、完全信息静态博弈（2 分）该博弈的支付矩阵是：（2 分）用划线法可求出该博弈的 Nash 均衡是（偷懒，克扣）（2 分）（本题也可以用反应函数法来做）解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数 50，50-10，110100，-2040，40克扣不克扣偷懒 P不偷懒 1-P老板工人
7、q 1-q老板工人克扣，克扣 偷懒不偷懒不克扣，克扣 不克扣，不克扣克扣，不克扣-10，110100，-2050，5050，50-10，110100，-2040，4040，40a偷懒不偷懒bc老板老板克扣克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）工人不克扣不克扣50，50-10，110100，-2040，40克扣不克扣偷懒不偷懒老板工人（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，不克扣，克扣)对局（不偷懒，不克扣，不克扣)对局 4 U工人=40pq100p（1q）10（1p）
8、q50（1p）（1q）=40pq100p100pq10q10pq5050p50q50pq =50p60q50 U老板=40pq20p（1q）110（1p）q50（1p）（1q）=40pq20p20pq110q110pq5050p50q50pq=60q70p50 2）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=0,1 q=1 p=0,1 3）作图 4）图中交点（1,1）即该博弈的混合 Nash 均衡（偷懒，克扣）三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“
9、冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是 9；如果对方不避让，那么他得到的支付是36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10 分）参考答案 1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略 Nash 均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2 分）2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2 分）u甲=9（1p）q36（1p）（1q）=9q 9pq3636p36q36pq =45pq36p45q36-36，-369，00，90，0避让冲过去避让冲过去乙甲-36，-369，00，90，0避让冲过去避让 P冲过去 1-P乙
10、甲q 1-qqp011（1，1）5 =9p（5q4）45q36 u乙=9p（1q）36（1p）（1q）=9p9pq3636p36q36pq =45pq36q45p36 =9q（5p4）45p36 3、根据期望支付函数写出反应函数（2 分）甲的反应函数 p=0 当 q0.8 p=0，1 当 q0.8 p=1 当 q0.8 乙的反应函数 q=0 当 p0.8 q=0，1 当 p0.8 q=1 当 p0.8 4、根据反应函数画反应函数曲线（2 分）5、反应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）该博弈的混合策略 Nash 均衡（2 分）四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是 Q=12P
11、，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20 分）参考答案 1）垄断产量和垄断利润的计算（5 分）由于假定生产成本为零，所以利润 =TRTC=TR =TR=PQ=（aQ）Q=aQ Q2 令=0；即 a2Q=0 Q=a/2 所以 q甲=a/4，q乙=a/4 Q=12P P=aQ=aa/2=a/2 甲=Pq甲=a/2a/4=a2/8 乙=Pq乙=a/2a/4=a2/8 2）古诺产量和利润的计算（5 分）根据已知条件 P=aQ=aq1q2；c=0 所以 甲=Pq1=（aq1q2）q1 乙=Pq2=（aq1q2）q2 令 甲=a 2q1
12、q2=0 乙=aq12q2=0 可求得 q1=a/3 q2=a/3 Q=q1q2=2a3 P=aQ=a3 甲=Pq1=a3 a3=a29 qp010.810.8qp010.810.8qp010.810.8 6 乙=Pq2=a3 a3=a29 3）如果一厂商生产垄断产量的一半a4，另一方生产古诺产量a3 P=aQ=a（a4 a3）=5a12 前者利润=5a12 a4=5a248 后者利润=5a12 a3=5a236 （5 分）4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：18=0.125，536 0.139；19 0.111，548 0.104 a28 5a236,5a248 a29 两厂商垄断产量的一半a
13、4 都是相对于古诺产量a3 的严格劣势策略；所以该博弈唯一的 Nash均衡，也是严格优势策略均衡，是（a3，a3），这个 Nash 均衡的双方的支付a29，显然不如双方都采用a4 的支付a28，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈（5 分）五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着 3 张卡片，分别写着 1、2 和 3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上
14、卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人 1 根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出 Nash 均衡和博弈的结果。（20 分）参考答案：该博弈可分为 6 种情况（1、2 各给 4 分，3、4、5、6 各给 3 分）1、甲取到 3，乙取到 1 该博弈的博弈树是：求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换aa5a5a5aaa2/9，2/92/36，5a2/482/48，2/362/8，2/8a/4a/3a/4a/3乙甲垄
15、断产量一半为a/4；古诺产量为a/3 7 8 张图中没有箭号的只有两张，所以 Nash 均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，换）方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）（不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换
16、换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（不换，不换，换)对局（不换，不换，不换)对局乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，不换3，21，33，13，13，21，31，21，2（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局 8 该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,
17、2），乙输甲 1 根火柴。2、甲取到 3，乙取到 2 该博弈的博弈树是：求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡 （1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（
18、3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局 9 8 张图中没有箭号的只有两张，所以 Nash 均衡是（不换，换，不换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，不换）方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲 1 根火柴。3、甲取到 2，乙取到 1 该博弈的博弈树是：乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，
19、不换3，12，33，23，23，12，32，12，1（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）（不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，不换，换)对局（不换，不换，不换)对局 10 求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出
20、该博弈的 Nash 均衡 （1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）（不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（1
21、，3）（1，2）（2，3）（2，1）乙乙换换换不换不换不换（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，不换，换)对局（不换，不换，不换)对局 11 8 张图中没有箭号的只有两张，所以 Nash 均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，换）方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙 1 根火柴。4、甲取到 2，
22、乙取到 3 该博弈的博弈树是：求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡 乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，不换2，31，22，12，12，31，21，31，3（1，3）（1，2）（2，3）（2，1）甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局 12 8 张图中没有箭号的
23、只有两张，所以 Nash 均衡是（换，不换，换)和（换，不换，不换)；博弈的结果是（换，不换）方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（换，不换，换)和（换，不换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲 1 根火柴。（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）（
24、不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，不换，换)对局（不换，不换，不换)对局乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，不换2，13，22，32，32，13，23，13，1（3，1）（3，2）（2，1）（2，3）甲乙乙换换换不换不换不换 13 5、甲取到 1，乙取到 2 该博弈的博弈树是：求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法
25、表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡 （2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）（不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换
26、换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局 14 8 张图中没有箭号的只有两张，所以 Nash 均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙 1 根火柴。6、甲取到
27、1，乙取到 3 该博弈的博弈树是：求该博弈的 Nash 均衡 方法 1：该博弈共有 2（22）=8 个策略组合；用粗线表示法表述 8 个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡 （2，3）（2，1）（1，3）（1，2）甲乙乙换换换不换不换不换乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，不换1，32，11，21，21，32，12，32，3（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）（换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（换，换，不换)对局 15 8 张图中没有箭
28、号的只有两张，所以 Nash 均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)方法 2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲 1 根火柴。（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（换，不换，换)对局（换，不换，不换)对局（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）（不换，换，换)对局甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，换，不换)对局（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，不换，换)对局（不换，不换，不换)对局乙甲换，换换不换不换，换不换，不换换，不换1，23，11，31，31，23，13，23，2