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1、学习必备 欢迎下载 抽象函数（一）常用抽象函数及其模型 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y)或)y(f)x(f)yx(f 指数函数 f(x)=ax (a0且 a1)f(x+y)=f(x)f(y)y(f)x(f)yx(f或 对数函数 f(x)=logax (a0且 a1)f(xy)=f(x)+f(y)y(f)x(f)yx(f或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f 余切函数 f(x)
2、=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f （二）抽象函数常出题型 1、定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。评析：已知 f(x)的定义域是 A，求 xf的定义域问题，相当于解内函数 x的不等式问题。例：已知函数 f(x)的定义域是 2,1，求函数xf3log21 的定义域。评析：已知函数 xf的定义域是 A，求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 x的值域。2、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,
3、则 f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)1(2)()1(,1,2fnfnfynx得令 令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令 x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n 故即 R上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则 f(2009)=.解析：由于求的是 f(2009)，可由 y=f-1(x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)=f(x)-2，又 f(0)=0,通
4、过递推可得 f(2009)=-4918.练习：函数 f(x)为 R上的偶函数，对xR都有(6)()(3)f xf xf 成立，若(1)2f，则(2005)f=（）A.2005 B.2 C.1 D.0 3、值域问题 学习必备 欢迎下载 例.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数 f(x)的值域。解：令 x=y=0，有 f(0)=0或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故 f(0)0，必有
5、 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此，0)2()(2xfxf,又因为若 f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与 f(0)0 矛盾,所以 f(x)0.4、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 1、设对满足 x0,x 1 的所有实数 x，函数 f(x)满足,xxxfxf 11,求 f(x)的解析式。解:(1)1),x0(x x1)x1x(f)x(f且-,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11 得中的代换再以x .12)()x-11f(xxxf-（3）1)x0(x
6、 x2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由 小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例 2、已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。5、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
7、例 1、设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,且 f(1)=-2,求 f(x)在-3，3 上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设 x1x2,则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0）所以 f(x)是 R上的减函数,故 f(x)在-3,3 上的最大值为 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为 f(-3),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.f(-3)=-f(3)=6.练习:已知偶函数f
8、(x)的定义域是x0 的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()f xxf xf x，且当1x 时()0,(2)1f xf，f(x)在(0,+)上是增函数；解：（1）设210 xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx 210 xx，211xx，21()xfx0，即21()()0f xf x，21()()f xf x()f x在(0,)上是增函数 6、奇偶性问题 例：已知函数 f(x)(x0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x y)=f(x)+f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性。知的定义域是求
9、的定义域问题相当于解内函数的不等式问题例已知函数使问题得以解决怎样赋值需要明确目标细心研究反复试验例对任意实数函数所以又通过递推可得练习函数为上的偶函数对都有成立若则值域问学习必备 欢迎下载 解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与 f(x)的关系：取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取 x=y=-1 有 f(1)=2f(-1)，取 x=y=1 有 f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x
10、+1)f(x)关于 x=1 对称。例 14：已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足)()(1)()()(1xfyfyfxfyxf，（2）存在正常数 a，使 f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。证明：设 t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(tfxfyfxfyfyfxfxfyfxyftf，所以 f(x)为奇函数。例 15：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122 aa，01232 aa，所以由)123()12(22aafaaf得12
11、31222aaaa，解得30a。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作一些调整）例 16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23 且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)求证f(x)为奇函数；证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)-令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即 f(-x)=-f(x)对任意 xR成立，f(x)是奇函数 7、
12、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号 周 期 性 对 称 性 1 axfaxfT=2a axfaxf对称轴ax y f x a是偶函数；axfaxf对称中心（a,0）y f x a是奇函数 知的定义域是求的定义域问题相当于解内函数的不等式问题例已知函数使问题得以解决怎样赋值需要明确目标细心研究反复试验例对任意实数函数所以又通过递推可得练习函数为上的偶函数对都有成立若则值域问学习必备 欢迎下载 2 xbfxafT=ab xbfxaf对称轴2bax；xbfxaf对称中心)0,2(ba；3 f(x)=-f(x+a)T=2a f(x)=-f(-x+a)对称中心0,2a 4
13、 xbfxafT=2ab xbfxaf对称中心 0,2ba 5 f(x)=xf1T=2a f(x)=b-f(-x+a)对称中心2,2ba 6 f(x)=1-0)(1xfaxfT=3a 结论：(1)函数图象关于两条直线 x=a，x=b 对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=2|a-b|(2)函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=2|a-b|(3)函数图象关于直线 x=a，及点 M(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=4|a-b|（4）应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与 y=f(b-
14、x)关于2abx对称；y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点)0,2(ab对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于 0，解得的 x 为对称轴）由恒等式判断：x前符号相同，判断函数的周期性（1）)(xf前有负号，周期为前后法则相减绝对值的 2 倍：baT 2（2）)(xf前无负号，周期为前后法则相减的绝对值：baT x前符号相反，判断函数的对称性（1）)(xf前无负号，函数图像关于轴对称，对称轴为，前后法则相加和的一半：2ba （2）)(xf前有负号，函数图像关于点对称，对称中心为：)0,2(ba 知的定义域是求的定义域问题相当于解内函数的不等式问题例已知函数使问题得以解决怎样赋值需要明确目标细心研究反复试验例对任意实数函数所以又通过递推可得练习函数为上的偶函数对都有成立若则值域问