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1、I.定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点 P（h，k）交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与 x 轴有交点 A（x，0）和 B（x，0）的抛物线 注：在 3 种形式的互
2、相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-bb2-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0 时，P 在 y 轴上；当=b2-4ac=0 时，P 在 x 轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0
3、时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右。5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c）6.抛物线与 x 轴交点个数=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。=b2-4ac 0 时，抛物线与x 轴没有交点。X 的取值是虚数（x=-bb2 4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以 2a）V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数 y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：