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1、学习必备 欢迎下载 容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。这一讲我们先介绍容斥原理 1 对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质 a 分类与性质 b 分类（如图 1），那么，具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=Na+Nb-Nab。例 1一个班有 55 名学生，订阅小学生数学报的有 12 人，订阅今日少年报的有 9 人，两种报纸都订阅的有 5 人。（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例 2一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会俄语
2、的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？例 3在 1 到 100 的全部自然数中，既不是 6 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？例 4艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有 23 幅画不是五年级的，有 21 幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有 8 幅。其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考 1.将边长分别为 4 厘米和 5 厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图 6），已知重叠的部分为 9 平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2二（2）班有 50 名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有 35 人，
3、做完数学作业的有 40 人，两种作业都做完的有多少人？3有 62 名学生，其中会弹钢琴的有 11 名，会吹竖笛的有 56 名，两样都不会的有 4 名，两样都会的有多少名？4某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有 14 人，数学比赛获奖的有 12 人，有 3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5四（1）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组，23 人参加航模水组，有 19 人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6在一次数学测验中，所有同学都答了第 1、2 两题，其中答对第 1 题的有 35 人，答对第 2 题的有 28 人，这两题都
4、答对的有 20 人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？7一个俱乐部里，会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人，都会下的有 30 人。这个俱乐部里有多少人？8某班上体育课，全班排成 4 行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第 6 个，从后面数第 7 个。这个班共有多少名学生？9在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？10科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 114 件不是一年级的，有 96 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共 32 件。其他年级参展
5、的作品共有多少件？学习必备 欢迎下载 容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理 2 n 个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质 a 分类、性质 b 分类与性质 c 分类（如图 1），那么，具有性质 a 或 b 或 c 的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。例 1五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球 17 人 18 人 15 人 6 人 6 人 6 人 2 人
6、求全班人数。例 2某班有学生 50 人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是 20 人、20 人和 12 人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有 4 人，既参加航模小组又参加生物小组的有 5 人，既参加生物小组又参加无线电小组的有 3 人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？例 3一个体育锻炼小组有 35 名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有 16 人，参加排球队的有 11 人，参加足球队的有 20 人，其中有 4 人既参加了排球队又参加了篮球队，有3 人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个
7、球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例 4.松山小学 45 名学生参加数学、作文、美术竞赛。有 21 人参加数学竞赛，15 人参加作文竞赛，其中 7 人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？同的分类标准按性质分类与性质分类如图那么具有性质或性质的事物的行社有人其中会英语的有人会俄语的有人两样都不会的有人两样都会的幅画不是六年级的五六年级参的画共有幅其他年级参的画共有多少幅练学习必备 欢迎下载 练习与思考 1有 30 名运
8、动员、其中 18 人会三级跳远，16 人会撑杆跳高，10 人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2操场上的学生排成 10 路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第 4 路纵队，从排头数他是第 13 人，从后往前数他是第 8 人。操场上有多少人在做操？3一个年级有 120 人爱好数学，100 人爱好语文，85 人爱好美术，30 人既爱好数学又爱好语文，20 人既爱好语文又爱好美术，35 人既爱好美术又爱好数学，有 18 人三个学科都爱好。请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？4某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，
9、有 8 名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：数学 语文 英语 数学、语文 语文、英语 英语、数学 数学、语文、英语 20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名学生？5第三小队的学生有 20 人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为 10 人、10 人、6 人，其中手中既有红球又有黄球的有 3 人，既有黄球又有蓝球的有 2 人，既有蓝球又有红球的有 4 人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？6某班 50 名同学全部参加数学、语文、美术三个课外
10、兴趣小组，参加数学小组的有 29 人，参加语文小组的有21 人，参加美术小组的有 25 人，有 17 人既参加数学小组又参加美术小组，有 15 人既参加数学小组又参加语文小组，有 10 人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？7有学生 30 名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为 14 人、12 人、10 人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有 4 人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有 6 人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？8某外语学习班有 40 名学员，规定
11、他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有 20 人，学习日语的有 12 人，学习德语的有 18 人，其中有 5 人既学习了英语又学习了日语，有 2 人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？9四（1）班有 55 名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有 22 人参加美术组，有 21 人参加音乐组，其中 15人既参加音乐组又参加美术组，3 人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。（1）只参加美术组的有多少人？（2）只参加音乐组的有多少人？（3）只参加音乐组的有多少人？同的分类标准按性质分类与性质分类如图那么具有性质或性质
12、的事物的行社有人其中会英语的有人会俄语的有人两样都不会的有人两样都会的幅画不是六年级的五六年级参的画共有幅其他年级参的画共有多少幅练学习必备 欢迎下载 能力测试（三）（满分 100 分，90 分钟完成）一、填空题（每空 6 分，共 54 分）。1小英有 2 分、5 分的硬币共 35 枚，一共是 1 元 1 角 5 分，2 分硬币有（）枚，5 分硬币有（）枚。2从旧旧历中知道，1988 年元旦昌星期五，那么，2000 年元旦是星期（）。3买 5 元 1 千克的糖和 8 元 1 千克的糖共 10 千克，用去 71 元。5 元 1 千克的糖有（）千克，8 元 1 千克的糖有（）千克。4 图中共有（）
13、个正方形。图中菜有（）个三角形。5新华小学四年级共 40 个学生采集标本，采集昆虫标本的有 27 人，采集植物标本的有 21 人，两种标本都采集的有（）人。6某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的 39 人，借数学书的 32 人，语文、数学两种书都借的有 26 人，全班学生共（）人。二、应用题（第 1 题 10 分，其余每题 9 分，共 46 分）。1英文字母 A，B，C，D，按规则排列为 ABAACCDABAACCD共 250 个字母，最后一个字母是什么？A，B，C，D各有多少个？2四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得 5 分，错一题扣 2 分。试卷上共有
14、 20 道题，李华得了 86 分，他算对了多少道题？3一个停车场上共停汽车、三轮摩托车 25 辆，其中汽车有 4 个轮子，三轮摩托车有 3 个轮子。这些车共有 90个轮子。三轮摩托车有多少辆？4某班学生会打篮球的有 40 人，会打排球的有 32 人，两种球都会打的有 30 人，还有 3 个学生这两种球都不会打。这个班有学生多少人？5有 43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种：3 分一张和 5 分一张。如果每人都尽量多买 5 分一张的画片，那么，他们所买的 3 分一张是画片的总数是多少张？同的分类标准按性质分类与性质分类如图那么具有性质或性质的事物的行社有人其中会英语的有人会俄语的有人两样都不会的有人两样都会的幅画不是六年级的五六年级参的画共有幅其他年级参的画共有多少幅练学习必备 欢迎下载 同的分类标准按性质分类与性质分类如图那么具有性质或性质的事物的行社有人其中会英语的有人会俄语的有人两样都不会的有人两样都会的幅画不是六年级的五六年级参的画共有幅其他年级参的画共有多少幅练