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1、学习必备 欢迎下载 1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例 1 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：123 2nnnaa 两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan ，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa 转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan ，进而求出数列na
2、的通项公式。（2）累加法 例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)12(2)1(22 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。变式：已知数列na满足112 313nnnaaa ，求数列na的
3、通项公式。（3）累乘法 学习必备 欢迎下载 例 3 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(21)5 2(11)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaa
4、aaaa ，即得数列na的通项公式。变式：已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan ，求na的通项公式。（4）待定系数法 例 4 已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax 将123 5nnnaa 代入式，得12355225nnnnnaxax ，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx ，两边除以5n，得352,1,xxx则代入式得1152(5)nnnnaa 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待
5、定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 由1156510a 及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。变式：已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。（5）对数变换法 例 5 已知数列na
6、满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa ，所以100nnaa，。在512 3nnnaa 式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 11 将式代入11 式，得5 lglg 3lg 2(1)5(lgnnanx nyaxny ，两边消去5 lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny ，则 lg35lg 25xxxyy ，故lg34lg3lg 2164xy 代入11 式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan 12 推关
7、系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg 71041644164a 及12 式，得lg3lg3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg 2lg(1)41645lg3lg3lg 2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(
8、lg 7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg3lg3lg 2)5lg3lg3lg 2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan 1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa 转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg
9、2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。（6）数学归纳法 例 6 已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 21
10、22322243228(1 1)88 224(2 1 1)(2 1 3)99 25258(21)248 348(22 1)(223)252549498(31)488 480(23 1)(233)4949 8181aaaaaa 由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk 时，1228(1)(21)(23)kkkaakk 222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)(21)1(23)
11、8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)2(1)112(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2 由此可知，当1nk 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。（7）换元法 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的
12、通项公式学习必备 欢迎下载 例 7 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，故111 240nnba 则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()3
13、2nna，得 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。（8）不动点法 例 8 已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124()41xf xx的两个不动点。因为 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通
14、项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所 以 数 列23nnaa是以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41xf xx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最
15、后求出数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x 是函数31()47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa ，所以 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。课后习题：1数列25 2 211，的一个通项公式是（）A、33nan B、31nan C、31nan D、33nan 推关
16、系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 2已知等差数列na的通项公式为32nan ,则它的公差为（）A、2 B、3 C、2 D、3 3在等比数列na中,8,1641aa则7a（）A、4 B、4 C、2 D、2 4若等比数列na的前项和为nS，且1010S，3020S，则30S 5已知数列na通项公式3102nnan，则该数列的最小的一个数是 6在数列an 中，112a 且11nnnnaanNna，则数列1na 的前 99 项和等于 7
17、已知na是等差数列，其中131a，公差8d 。（1）求数列na的通项公式；（2）数列na从哪一项开始小于 0？（3）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值 8已知数列na的前项和为132nnSn，（1）求1a、2a、3a的值；（2）求通项公式na。9等差数列na中，前三项分别为45,2,xxx，前n项和为nS，且2550kS。（1）、求x和k的值；（2）、求nT=nSSSS1111321;推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下
18、载 数列 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列 等 比 数 列 递 推 关 系 121nnaaaa （*nN）1nnaad （*nN）11nnnnaaaa （2n）121nnaaaa （*nN）1nnaqa （*0,qnN）11nnnnaaaa （*2,nnN）通 项 1(1)naand （*nN）napnq （*,p qnN为常数）11nnqaa （*nN）nnqpa（*,0,0,p qqpnN是常数）求 和 公 式 12()nnSn aa （*nN）1(1)2nn nSnad (*nN)2nSAnBn(*,A BnN是常数)求积公式nnniiaaa)(121(*nN)11
19、,1(1),11nnnaqSaqqq (*nN)1,1,1nnna qSAAq q(*nN，0A)主 要 若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则 pqsraaaa.对任意 c0,c1,nac为等比数列.*112,2nnnaaanNn.若na、nb分别为两等差数列，则 nnab为等差数列.若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则rsqpaaaa.对任意 c0,c1,若 an恒大于 0，则logcna为等差列.2,211nNnaaannn.若na、nb为两等比数列，则 nnba为等比数列.若 an恒大于 0，则数列nniia1为等比数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等比数列.推关系式
20、转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 性 质 数列nSn 为等差数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等差数列.,232nnnnnSSSSS为等差数列.2nn mmSSSnnm，n2m，m、n*N.m nmnSSSmnd.若,mnSSmn则0m nS.,232nnnnnSSSSS为等比数列.mnmnmiinniiaa211，n2m，m、n*N*0,papN.mnm nmnnmSSq SSq S.若,2121nmaaaaaanm 则n
21、miia11.重要性质 若,pqaq app、q*N，且qp,则0p qa.若,pSqSqp且qp,则(),p qSpq p、q*N.)1()1(2mnmmmmnqqqSS =)1()1(2nmnnnqqqS.若|q|1,则nnSlim11aSq.求数列an通项公式的方法 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 11na=na+)(nf型 累加法：na=（na1na）+（1na2na）+（2a1a）+1a =)1(nf+)2(nf
22、+)1(f+1a 例 1.已知数列na满足1a=1，1na=na+n2（nN+），求na.解 na=na1na+1na2na+2a1a+1a =12n+22n+12+1 =2121n=n21 na=n21（nN+）21na=pna+q 型（p、q 为常数）方法：（1）1na+1pq=)1(pqapn，再根据等比列的相关知识求na.（2）1nana=)(1nnaap 再用累加法求na.（3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na.例 3.已知na的首项1a=a（a 为常数），na=21na+1（nN+，n求na.解 设na=2（1na），则=1 na+1=2（1na+1）
23、1na为公比为 2 的等比数列.na+1=（a+1）12n na=（a+1）12n1 3)(1ngaann型 累乘法：na=1nnaa21nnaa12aa1a 例 2.已知数列na满足naann 1（nN+），1a=1，求na.解 na=1nnaa21nnaa12aa1a =（n1）（n2）11=（n1）！na=（n1）！（nN+）41na=pna+)(nf型（p 为常数）方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf，则nnpa可用累加法求出，由此求na.例 4.已知na满足1a=2，1na=2na+12n.求na.解 112nna=nna2+1 nna2为等差数列.nna2=nna12
24、1 na=nn2 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 52na=p1naqna 型（p、q 为常数）特征根法：qpxx2（1）21xx 时，na=1Cnx1+2Cnx2（2）21xx 时，na=（1C+2Cn）nx1 例 5.数列na中，1a=2，2a=3，且 2na=1na+1na（nN+，n2），求na.解 1na=2na1na 122 xx 121xx na=（1C+2Cn）n1=1C+2Cn 3222121CCCC 1
25、121CC)(1Nnnan 6“已知nS，求na”型 方法：na=nS1nS（注意1a是否符合）例 6.设nS为na的前 n 项和，nS=23（na1），求na（nN+解 nS=23（na1）（nN+）当 n=1 时，1a=23（1a1）1a=3 当 n2 时，na=nS1nS=23（na1）23（1na1）na=31na na=n3（nN+）求数列an的前 n 项和的方法（1）倒序相加法（2）公式法 此种方法主要针对类似等差数列中 112nnaaaa,具有这样特点的数列 此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式 例：等差数列求和 12nnSaa
26、a 公式：等差数列：推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 111()(1)aadand 把项的次序反过来，则：()(1)nnnnSaadand +得：1112()()nnnnnSaaaaaa 个 1()nn aa 1()2nnn aaS 11()(1)22nnn aan nSnad (1)2nn nnad m nmnSSSmnd *(2,)2nn mmSSSnm m nNnnm 等比数列：qqaaqqaSnnn11)1(11；(
27、1)q nm nnmSSS q 1+2+3+n=(1)2n n；2222123n 1(1)(21)6n nn 3333123n 2(123)n 221(1)4nn（3）错位相减法（4）分组化归法 此种方法主要用于数列nnba的求和，其中na为等差数列，nb是公比为 q 的等比数列，只需用nnSqS便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论 q=1 和 q1 两种情况 此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和 例：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx 解：若 x=1，则 Sn=1+2+3+n=(1)2n n 例：求数列
28、1，112，11124，11124+112n的和.解：11111242nna 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 若 x1,则21123nnSxxnx 2323nnxSxxxnx 两式相减得：2(1)1nx Sxx +nnnxx 1 11nnxnxx 21(1)1nnnxnxSxx 111()1221212nn 1111(1)(1)224nS 1111(1)242n 211(21)(2)(2)22 11(2)2n 11112(
29、1)242nn 11222nn （5）奇偶求和法（6）裂项相消法 此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求 Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合 此方法主要针对 12231111nna aa aaa 这样的求和，其中an是等差数列 例：求和 11 357(1)(21)nnSn 解：当 n=2k(kN+)时,2(13)(57)nkSS (43)(41)kk 2kn 当21()nkkN时，例：an 为首项为 a1,公差为 d 的等差数列，求12233411111nnnSa aa aa aaa 解：1111()()kkkkkkkkadaa aaadd aad 1111111()()kkk
30、kd aadd aa 1223111111()()nSd aad aa 推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 21222(41)nkkkSSSakk 21kn 综合得：1(1)nnSn 1111()nnd aa 122311111111()()()nndaaaaaa 1111()nd aa 111(1)na and (7)分类讨论（8）归纳猜想证明 此方法是针对数列na的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要
31、是要分段求.此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出nS的表达式，然后用数学归纳法证明之.例：已知等比数列na中，1a=64，q=21，设nb=log2na，求数列|nb|的前 n 项和nS.解：na=1a1nq=n72 nb=log2na=n7（1）当n7 时，nb0 此时，nS=212n+213n（2）当n7 时，nb0 此时，nS=212n213n+42（n8）212n+213n（n7）nS=例：求和nS=21+23+25+2)12(n 解：11S，102S，353S，844S，1655S，nS=)14(312nn（待定系数法）证明：（1）当n=1
32、 时，)14(312nn=1=1S n=1 时成立.（2）假设当n=k 时，kS=)14(312kk 则n=k+1 时，1kS=kS+2)12(k =1)1(21)1(231kkk n=k+1 时，成立.由（1）、（2）知，对一切nN*，推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式学习必备 欢迎下载 212n213n+42（n8）nS=)14(312nn.推关系式转化为说明数列是等差数列再直接利用等差数列的通项公式求数列的通项公式变式已知数列满足求数列的通项公式累乘法学习必备欢知数列满足求的通项公式待定系数法例已知数列满足求数列的通项公式