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1、第二章 原子结构习 题2.1 氢原子薛定娉方程中的能量E包含哪些能量？2.2 令河r f,(p)=2 3(仇夕)=2(r)9(6)将单电子原子的薛定四方程分解为3个方程。2.3 氢原子薛定骋方程是否具有形为收=(l+”)e 的解？若有，求a、b和能量及2.4 若取变分函数为。=e-w,式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量和波函数。2.5 取变分函数为0 =e-”,式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量，并与其1 s态能量对比。2.6 分别求氢原子k电子和2 s电子离核的平均距离卜),并进行比较。2.7 求氢原子2 P电子离核的平均距离。2.8 波函数必(有多少节面？用方程把这
2、些节面表示出来。这些节面将空间分成儿个区域？2.9 验证氢原子波函数九和巴凡是正交的，匕凡和,也是正交的。2.1 0 求氢原子2p和 3d电子几率密度最大值离核的距离r02.1 1 求氢原子2 P z电子出现在6 4 4 5。的圆锥的儿率。2.1 2 求 氢 原 子 电 子 出 现 在 的 圆 锥 内 的 几 率。2.1 3 比较氢原子中2 P x和2 P z电子出现在相同半径圆球内的儿率大小。2.1 4 比较H中2 s电子，H e卡 中2s电子和H e (I s%)中2 s电子能量的大小。2.1 5 求氢原子第2电离能。2.1 6 实验测得O 7卡 的电离能是8 6 7.0 9 e V,试与
3、按量子力学所得结果进行比较。2.1 7 实验测得C 5+的电离能是4 8 9.9 8 e V,试与按量子力学所得结果进行比较。2.1 8 不查表，求4的角度部分。2.1 9 不查表，给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)2Px(2)3 s (3)3px(4)4分 少2.2 0 求氢原子2小电子出现在p G,兀/3,兀/4)和p 2亿 兀/6,兀/8)两处的儿率密度之比。2.2 1 一 H原子波函数有一个径节面，两个角节面，该波函数的主量子数和角量子数/各是多少？2.2 2 以p 3组态为例，证明半充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。2.2 3 以p 6组态为例，证明全充满壳层的电子
4、在空间的分布是球对称的。2.2 4 证明对于仅是尸的函数的s态 灯(/=0),径向分布函数0“可以写作D卜)=4病上：2.2 5 求处于1 s态的H原子中的电子势能平均值。2.2 6 试求氢原子波函数$的(1)径向分布函数极大值的半径；(2)儿率密度极大值半径；(3)节面半径。2.2 7 画出氢原子轨道4/4 3 2的角度分布图。2.2 8 画出原子轨道0V的角旋分布图在x y平面上的截面图2.2 9 画出原子轨道取户的角度分布图2.3 0 求角动量工的3个分量在直角坐标系中的算符,、,、2.3 1 氢原子中处于2幺的电子，其角动量在x轴和歹轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值；若没有，求其
5、平均值。2.3 2 氢原子中处于2 P x的电子，其 角 动 量 在 轴 和z轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值。2.3 3 氢原子中处于2 p,的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？2.3 4 氢原子中处于3 4V，的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？2.3 5 氢原子中处于=q%u+。2%1（）（忆2”都是归一化的）电子，其人和前有无确定值?若有，求其确定值；若没有，求其平均值。2.3 6 氢原子中，函数=C 1%I O+C2 2U+。3 3 1 T （，匕1 0，%1 1，3汀都是归一化的）所描述的状态，请给出其（1）能量的平均值（以火为单位），能量-（出现的儿率；（2）角动量
6、的平均值（以方为单位），角动量3方 出现的儿率；（3）角动量z分量的平均值（以方为单位），角动量z分量2%出现的几率。2.3 7 氢原子中，函数=。|%凡+C2%八+。3 4人（，%外,%外,4八都是归一.化的）所描述的状态，请给出其,（1）能量的平均值（以R为单位），能量-微出现的几率；（2）角动量的平均值（以方为单位），角动量0%出现的几率；（3）角动量z分量的平均值（以方为单位），角动量z分量2%出现的儿率。2.3 8 匕必和=%2。+%2 2中哪些是方的本征函数，哪些是乙2的本征函数，哪些是 二的本征函数。2.3 9 函数x +8，X-%是否是算符二的本征函数？若是，本征值是多少？2.
7、4 0 求氢原子中处于%2 i的电子，其角动量，与z轴的夹角。2.4 1 求氢原子3 P电子的总角动量了与z轴的夹角。2.4 2 氢原子中1=2的电子的自旋角动量与轨道角动量的相对方向有哪些？2.4 3 用氨原子变分法结果求Li原子的第2电离能。2.4 4 由氢原子基态能量的实验结果为-7 9.0 e V,求Is电子间的屏蔽系数。2.4 5 用斯莱特规则求B e原子基组态能量。2.4 6 求N原子第1电离能。2.4 7 求C原子第1电离能。2.4 8 写出B e原子基组态的行列式波函数。习 题 详 解2.1 氢原子薛定谬方程中的能量E包含哪些能量？答：氢原子薛定丹方程中的能量E包含电子相对于原
8、子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引能。2.2 令必尸,&8)=/?(尸)丫(仇 夕)=尺 什)。(6冲(8)将单电子原子的薛定港方程分解为3个方程。解：将叭r,仇。)=火(r)丫(仇。)带入定谓方程,a /2 a、i a,.八 a、(r2 )+-(s i n g)十d r 3 r 厂 s i n O a er1两边乘以收，且移项，得i a2r1 s i n2 0 d。22 m r-E-V(r)RY=O(1)乂 a)+审R d d r 力(E/=-(s i n )+-YY s i n ea e a e y s i r r ea之令两边等于同一常数夕，于是分解为两个方程：色(Y 且火)+丝二
9、(E P)火=火(2)d r d r ni d .i a 2 y o.-(S i n )-,=BY(3)s i n S a e 3 6 s i n 3 d(/)再令y(令 夕)=0(6)(夕),带入方程(3)1 二3 s i n畔a。+i 。a联+侬=0s i n g H O d 0 s i n2 0两边除以y,移项得i d.3 0 Q i a2中-(s i n 0 )+0 =-O s i n ea e a e s i r r ea。两边乘以s i n?8得s i n。d 0 d 0,.八3 )、o -2(s i n 6 )+，s i n 0-1 32C)d(p2今两边等于同一常数1),于是又
10、可将方程(4)方程分解为下列两个方程-(s i n -0)4-/?s i n2 0 =v(5)s i n。d 6 d dd1z、=一 (6)d(p2这样我们将关于“(r,仇。)的方程，分解成火,0(6)和(8)三个常微分方程(2),和(6),于是,解方程归结为解方程(2),(5)和(6)。2.3氢原子薛定谭方程是否具有形为-=(l +)e 的解？若有，求。、6和能量从证明如下：由于“只是r的函数，故方的本征值方程为力2 1 d2 me 广 d r/2 4、t 七小 2 d“2 m,E或者 T+-+d rr d rh22 m e1 C式中=a ehr _ 3(1+ar)”=aebr-behl-a
11、breThrdr续=-abe-hr+b2e-hr-abe-br+ab2e-hr=-2 a b e +b2e-br+e-hrdr2代入且除以e2ab+b2+ab2 r 4-2ab+r r2m Ee_ I 2me Ear力2 方h2+2mee22mee%,+4密 片 4码方,2=0上式为恒等式，所以有：.,7 2m E 2m,e2a 八-4ab+b2+-=0ft2 4%。力 2+也 粤=o n b?+邛=0方2 方22 a-2 6+2=04乃 0方(1)(1)-(2)得:,2 m e2a 八-4ab H-7=0,4在0%一将b代 入(2),E=-力 2/ne2e4即z =&J8%方-4m e将b代
12、 入(3),2me2a=2b 2wee2 _ 2mee21284&2方22m,e24%方2 8%力2 4西方2_R_4庇0 mee2a -78密方/2a01式中&=-,R=一12。()432万&2%22.4若取变分函数为。=e-“，式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量和波函数。解:Hi/dTJ*照7=je-2,4 24r-4兀 r2e2ardr根据积分公式xneadx=oa有r2e-2codr=二 (2 a)3r e-2ardr=-=J(2 a)2因 为 丝=这”，dr1414 a7d E 方 2H i/dr=jc”一2万 方 2 2 I-a 九,27rh2 2-a me2 d、e1
13、H-)一r dr 4在ear r2dr(2 -lar 1 4%力2 fr e dr-a re1r+4a万 方 2 1 7ih2 1-1-2 meH y/dry/d r2一.夕 八=a-=0，da me 4 冗。y二e叫4加-a-mee2 1lard r-。LJ1 _ _ d4 014re2ardra 4/a2-万-方-2 -1-1-万-力-2 -1 -e-2 12me a me a 4 f0 a7t/a=匕 14把c 方2工 上 唐+心2m mee242-a-a4码 2me22e-a4在。将归一化得到:E为222me 1 6 4 2。2方4 4雁0 4兀尸 3 2%&2方2 1 6 2022
14、3 2万&2方2-R2.5取变分函数为0=e-k,式中a 为变分参数，试用变分法求H 原子的基态能量，并与其1s态能量对比。解：氢原子的哈密顿算符为/=-V2-2m 4密尸*方%=-r；-八力 2(2 d)/2m dr r dr 4密厂式 中J*d?=e2a，4加2dr=4兀r2e2arldr1 3 5(2-1)hr2 a7xlne-m2dx0按积分公式：e-a=4/9“一 2ae*方以=2-d )e-ar2-4r2drJ 2me dr m j dr 4 r0r按 积 分 公 式3 万 力兀 1 e214 af HdTJ*J-d r71712a 4 与 a 3h2.-a-2?2a 2a令 要=
15、0,得到：a =dam：/4l meE-1-2-%Wc 力、21 8 炉片方4mee43 2/府,(R=Q Q=-7?=,=0.8 4 9,3r r 3 1 s I s因 EV O,Ex 稣.2.6 分别求氢原子1 5 电子和2 s电子离核的平均距离卜）,并进行比较。解：1 s电子：=人dr兀a。J积分公式，na2 s电子:I 公 /3 2万若22-)r V2 r/2 t fMr%=-y er aQdrJ r e,aidr+-re,a()dr1 3!_ _ 1 _ 4!1 5!2%(，)4 2a：8 a；()64 4 a。_ 6%2 4%5 x 4 x 3 x 2 4。2-8=(3-1 2 +
16、1 5)%=6%2.7求氢原子2P电子离核的平均距离。解：三个2。轨道上的电子离核的平均距离相等，下面用2n求解甲”=(,产 淅 仔。)郎。p-4 历 a。6 =中细 内 邛户stnedrdBd2.8波函数匕心有多少节面？用方程把这些节面表示出来。这些节面将空间分成几个区域?解：径向节面：-/-1=3-2-1=0；角度节面：/=2%,2,o=%，=()2 r2e-r,O c o s2 6-1)8 1 J 6)&3 c os2 0 1 =0,c os2 0=,c os。=0.5 7 73仇=5 4.7,%=1 2 5.3 这2个角度节面将空间分成3个区域。2.9验证氢原子波函数以和凡是正交的，匕
17、p,和八也是正交的。证明：(1)也和巴幺是正交的：d T=f-()3/2e-r/%.)5/2re-r/(2 a)c os-r2sine d r d Od(t)J 一 ：4 4 2兀 /i 上)4r2e 2 4 c os sin 0 d r d Od(!)3 r zr(y r 2 a d r cQS0 s n 0 d O0。o|S I f=2 7-产-f sine d sine =O4万0()4 /2 o/j sin 0 dsin 0 =sin2 0 =0、o L2 J o(2)5P和匕夕是正交的：*-F x r yJ-2 p,夕2p、c 二 J 2 2%s i n c o s r ec os。
18、尸2 sin 0 d r d Od(pi=j r4e 如 sin2 0 co s(p-C QS0 d r d Ocl(p2乃 “8 _Lr=j c os t/j sin2 OcQs Od O j/4e 与 d r0 0 0=024(/J c os(p d(p=sin 湾=0)o2.1 0求氢原子2 p和3d电子儿率密度最大值离核的距离丫。解：(1)三个2夕电子几率密度最大值离核的距离相同，下面用2“求解。=(-1 产 版“3。)c osep：4岳 a。P=1 2八=3()中 。c os2 03 2 aQ细=()5 2 r-r2 c os2 0 =0d r 3 2%Q a()(2 r-1 r29
19、)=0%rr(2)=0%r =2 a o(2)5个3 P轨道离核的平均距离相同，下面用3心 求解。=-4=(-)7/2r V (3 c o s -l)8 W 6万%P=1|2=-(-)7r4e-2 r/3 a(9 c os46-6 c os?6 +1)/8 1-6 a0=()7(4 r3-r4(9 c os4 6-6 c os2 +1)=0d r 8 12-6 a0 3 424 r3-r4=03 a o7r3(4-r)=03%r=6。02.1 1求氢原子2 Pz电子出现在e 4 5。的圆锥的几率。解：%凡=&G)%广 山f i n展I(%Q2r2 s i n 9d r d 0 d（!）l兀2乃
20、=I I （R 2 丫 户 s i n 6 dd e d=R；/d r ,以 s i n Od Od（l）=F rosin 创创。夕）2 s i n Od 0 d（!）3 6、-x 2万 卜 c o s C d c o s。4 小=-|X|COS3 E2s(He)E2s(He+)2.15 求氢原子第2电离能。Z2解：12=E+=(X13.6)enZ=2,n=22I2=-(-x l3.6)=54.4 eV2.1 6 实 验 测 得 O7卡 的 电 离 能 是 867.09 e V,试 与 按 量 子 力 学 所 得 结 果 进 行 比 较。解:y2 Q2E=一 一-/?=-xl3.6=-870.
21、4 eV术 I2/=-=870.4 eV2 11计算值比实验值大3 eV,约 上 一=3.8x107=0 38%867.092.17 实验测得C5+的电离能是489.98 eV,试与按量子力学所得结果进行比较。Z2R 62X13.6.OA,.E=-=-=-489.6 eVn2 1/=-=489.6 eV解:底沪苦差：-4-8-9-.9-8-4-8-9-.-8-1=0_.0_3_7_%0/489.982.18 不查表，求巴小的角度部分。解：/=2为#=小 曲警处皿 j i n 3“r r因为 sin 9 cos 9=；sin2e只考虑角度部分=sin2esin2Q2.19 不查表，给出下列氢原子
22、波函数的角度部分Y(不需要归一化)(1)2%(2)3s(3)独 (4)4452答比：(1)2C pI 1 V X rsinOcos。.,x,1 =1,Y2=-=sin cosPx r r(2)3s,1=0,%=1r/)、r 7.x rsincos.八 ,(3)3Px,/=1,Y3=-=sin Ceos。Px r r(4)44x,-y2，1=2,v x2-y2(r sin 0 cos(p)2-(r sin 0 sin(p)1Y3d-2一 尸,=尸 =-尸2-=sin2 6cos2(p_sin2 sin2(p=sin 2(cos2(p-sin2 夕)=sin2 6cos2。2.20求氢原子2px电
23、子出现在pi(r,7i/3,7i/4)ll p2(匕 兀/6,兀/8)两处的几率密度之比。解：为=()5 2re-r/(2 、证明：。,忒 )=?=普 一 -=生产=4 2匕d r d r d r2.2 5 求处于I s态的H原子中的电子势能平均值。2积分公式 xe md x=p(V)=-=-2 R=-2 7.2 e V4 w 2.2 6 试求氢原子波函数2 s 的(1)径向分布函数极大值的半径；(2)几率密度极大值半径；(3)节面半径。解:26)=4加2%倏=0,即 r2(2-)2e-r/f l =0d r d r%r -+4 a；=0r =3Q()V 5(70rx-5.2 4%,r2=0.
24、7 6 a。“即，2=。Y 1 r .12(2 -L)(一上为 一 人 +(2-)2(-=0。0 ao ao ao2(2-)(-)+(2-)2()=0a。4%尸 2 r 1 .(2-)(-)+(2-)(-)=0%4%r 4 r(2-)(-+-)=0。0%。0A j 4 /0，/2 2 a 0弓二%,为极值而非极大值，应删去，故极大值为4=4%。（3）使 以=-4=j-Q(2 二)e=o4V2 a0J a0得到：r-2a02.27 画 出 氢 原 子 轨 道 的 角 度 分 布 图。板解：v =-5(-r-c-o-s-(9)-3r(2r-c-o-s-(-9-)-r-=5_ cos 3 6 -3_
25、 cos。”_3#2 r3=cos(5 cos2 6-3)(i)节面：令y,=o,cos 6(5 cos2 0-3)=0由 cos 6=0,得q=90,由5cos2。3=0,得cos。=小筵=0.775,2=39.2,2=140.8dYf(2)极大值：一5?-2=-15cos2 esin6+3sin6=3sine(l-5cos2 6)=0dO4=o,a=6 3 4,q=116.6(3)作图：按，=cosd(5cos2。-3)算出不同。值时的，值，如下表所示J5-izr2J5z2-3zr2在 XZ平面上作图，所得之图形如下图所示6(度)0180151653015039.2140.84513560
26、12063.4116.67510590270匕21.6080.6500+0.353+0.875+0.894+0.6890Y；&2 _ 3，10.8040.3250+0.177+0.438+0.447+0.34502.28 画出原子轨道帆工的角度分布图在xy平面上的截面图。W版：Yv =r-s-i-n-（-9-c-o-s-=sincosxr在 xy平面上，=sin。=1,Yp-cos(p(1)节面：令人=cos(p=Q,(p=%dY(2)极大值：一丝=-sin9=0,(p=0,兀d(p(3)作图：按,=cos夕算出不同值时的丫 值，如下表所示夕(度)022.5337.54531567.5292.
27、590270112.5247.5135225157.5202.518010.9240.7070.3830-0.383-0.707-0.924-1在 xoy平面上作图，所得之图形为相切于原点的两个圆，如下图所示2.29画出原子轨道的角度分布图.解：=-(3COS2-1)16%i)节面:令(3 co s。-1)=0co s。=Og=5 4 0 4 4；%=1 2 5 1 6 即 的 节 面 为8 =5 4 4 4和1 2 5 1 6 的二个锥面。中虚线所示。i i)极值：智=震/熹(3C-1)co s 0 s i n 9 0co aff=0 9 =9 0。此为 A T 平面s i n 8 =0 6
28、 =0 ,1 8 0,此为Z轴的正负方向。因此,n：2在%轴正负方向，及X Y平面上的任一方向有极值。当 6=0和 180 时，匕/=当 8=90时，%;后iii）正负号问题:在 08 0,在 5444V6V12516的区域内，Y 0oiv）作图:0018015165301504513560120Y0.63060,5672士0.3957-LO,1576一0.0788y，1.0士0.8995士0.62500.2500-0.125007510580100859590Y-0,2519-0.2868 0.3081-0.3153Y,-0.3995一0.4548-0.4886-0.5000因为y 不 含
29、变 量弧因此可在X，平面上画出曲线(3 cos2 0 1),然后将此曲线绕多轴旋转一周所形成之曲面，即为原子轨道右的角度分布。2.30求角动量1 的 3 个分量在直角坐标系中的算符。、,、L.o J /解：L=r x p-i J k=x y z=Lxi+Lyj +L:kPx Py PzLx=ypzp，,Ly=zpx-xp:,L=xpyPx在量子力学中，把动量算符化Lx=yp:-我，Ly=zpx-xp:,L=xpy-yp:人 d d d d d dLx=-ih(y-z),Lv=-ihz-x),Lz=-iti(x-y)。oz dy ox dz dy ox2.31 氢原子中处于2p_的电子，其角动量
30、在x 轴和y 轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值；若没有，求其平均值。解：W 2P.=R&)Yp=女与)cos8人d dL cos。=%(sin(p+ctg0cos(p)cos8=-ihsin9 sin0ae d(p人a aLv cos 0=诙(一 cos(p +ctgO sin 67)cos 0=ih cos 夕 sin 6d3 d(p角动量在x 轴和y 轴上的投影均没有确定值。&)=J 左 火 2 ,1 cos。*.押21(r)c o s r 2 sin 0drdOd(f)二公sin 0 cos 0Lx(cos O)dOd(j)=左)1-z%sinsinesin8coseded0=-i
31、tik2 sin sin2 0dsin 6=0 二 J%,Z2p dt=JZr7?2 j(/)cos 0 Ly kR2 (r)cos 0r2 sin OdrdOdcp二 8(R(r)r2dr j j sincos0Lv cos3d0d(p二 4 2 sin 8 cos 0LV cos OdOd(p=itik2 sin。cos。cos8 sina/仇/=ihk2j d sin(p)sin2 Odsin 0=z 2s in -is in3=02.32 氢原子中处于22 的电子，其角动量在x 轴和歹轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值;若没有，求其平均值。解：WZD=()5 2re-r/(2flo
32、)sin 0cos cp4427r aQ/、人 3 3(1)Lx sin 0 cos cp=z(sin(p-ctg0cos(p)sincosae a(p=法(sin 3 cos 8 cos 夕 一 以 g。cos sin Osin cp)=访(sin 8cos Ceos cos Ceos esin cp)=0所以，角动量在x轴上有确定值，4=0。、人 a a(2)L sin Seos(p=访(-cos(p-ctg0sin(p)sin Seos(pae d(pcos 0=cos(p cos 0 cos(p-sin(p sin 6 sin(p)sin 8=ih(-cos2(p cos 0-cos
33、0 sin2(p)=-ih cos 6所以，角动量在y轴上无确定值。(3)L.srnOcos(p=-ih(sinlcos夕)=访sindsinGd(p角动量在z轴上无确定值.2.33 氢原子中处于2 P x的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？解：5 P=%中1Px V2状态匕“和匕1T出现的儿率均为（美）2=；,所以测量其角动量Z分量，得不到确定值，得到力和 的几率各位5 0%.2.3 4 氢原子中处于3 4）,的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？解：%外%2 2 匕2 2无确定值，得到2力和-2%的几率各位5 0%.2.3 5 氢原子中处于收=|%|+。2%10 （%2 i，%io都
34、是归一化的）电子，其上和厂有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。解：上无确定值，其 平 均 值 为 力+。2?，0 =CiW2有确定值，2=2方22.3 6 氢原子中，函数=G 2 10 +。2%1|+。3%|1（夕,2 1o 2 11，3 lT都是归一化的）所描述的状态，请给出其（1）能量的平均值（以R为单位），能量-微出现的几率；（2）角动量的平均值（以方为单位），角动量8力出现的儿率；（3）角动量Z分量的平均值（以力为单位），角动量Z分量2%出现的儿率。解：（1）G2 -R-F C2 R 2 R2-b Q 4 2 4 3 9(2 2,2、_ _+。2 。3I 4 9JR能量-
35、5出现的儿率：c：+c；（2）角动量也方出现的几率为c；+c；+c；,由于是归一化的，所以c；+c；+c；=l即角动量&方出现的几率为1.(3)(4)=c；()(+:力+c；(-%)=&-)%角动量z 分量2%出现的几率为0。2.37氢原子中，函数=。匕八+。2%八+。3%八(，%八，%八,4八都是归化的)所描述的状态，请给出其(1)能量的平均值(以火为单位)，能量-微出现的儿率；(2)角动量的平均值(以方为单位)，角动量0%出现的儿率；(3)角动量z 分量的平均值(以方为单位)，角动量z 分量2%出现的几率。解：=(上 一 五 一 立 卜=一 户+立+回 火，能量一与出现的几率为c：。(4,
36、9 16 J、4 9 16,2(2)角动量0%出现的几率为c；+c；+c；,由于少是归一化的，所以c；+c；+c；=i即角动量力力出现的几率为1.(3)=八 +。2%外 +。3 仁=GV2仃V2z+。3“4 1 0=/少 2 1 1 +金2 1 T +左 必”一房鬼【I+,X-沙是否是算符二的本征函数？若是，本征值是多少？.8 z 3 a解：L.=-ih(x -y )oy oxa aL_(x+zy)=-iti(x-y)(x 4-iy)=-ihix-y)=hx+ihy=h(x+iy)d y d xAa aL_(x-zy)=-iTix-y)(x-zy)=-ih(-ix-y)=-hx+ihy=-hx
37、-iy)函数X +W，X-均是算符二的本征函数，其本征值分别为方和-M2.40 求氢原子中处于%2i的电子，其角动量 与 z 轴的夹角。解：-3 2 1 =3,1=2,m=1%21=加方%21，L=h；%2 1 =4/+1)方 2夕 321，口 =/+1)方=后力cos6=&=，夕=65.91。|/|762.41 求氢原子3P电子的总角动量7 与z 轴的夹角。解:1 =1,s=；,J =1土；/=|时，|7|=J/(/+i)%=警 力,1 3 1 3m.=,=m.f i=/z,hJ 2 2 Jz 2 23 3co s 0 =x=,4 =3 9.2 3,3=1 4 0.7 7。V1 5 V1 5
38、 -F1 。co s。=/=.,a =7 5.0 4 ,0.=1 0 4.9 6V1 5 V1 52/=；时，|7|=J/C/+1)力=方w.=-,j=用力=工 力J 2 A J 21co s 6 =/=土 耳，q =5 4.7 4。,q=1 2 5.2 6。T2.4 2氢原子中1=2的电子的自旋角动量与轨道角动量的相对方向有哪些?解：1=2,卜 J/(/+l)=病5 =|,|5|=J,S(S +1)力=-h7 =|，|7|=66+1)力=孚 力，警方COS。=as q|7|2-ff-W2 T-6-42|同2x V 664=6 1.8 7 3八|二-6 一2 闹一 2x&?2工-,02=13
39、5x也COS 2=2342.4 3用氮原子变分法结果求L i原子的第2电离能。解：用变分法得到氯原子的能量为E=_2 x(Z_Q 火Li+L i2+I2=E(Li2+)-E(Li+)71 33(1/+)=一亍 R=_ fR =_9Rn2 I2(1广)=-2 x(Z-V)2R =-2x(3 得/R=-14.45火I2=-97?-(-14.457?)=5.457?=74.1 eV2.44 由氢原子基态能量的实验结果为-79.0 e V,求 1s电子间的屏蔽系数。解：He：1?2 x(-R)=-79.0 eVI2/TL7a=0.302.45 解：用斯莱特规则求Be原子基组态能量。Be基组态为Is22
40、s2=0.3,cr2s=2x0.85+0.35=2.05-E=2XT 4-0 3 0)2R+2X-(4-0.8 5：2+0.3 5)2RI2 22=29.28火=-398.2 eV2.46 求 N 原子第1 电离能。解：h=E(N+)-E(N)N+组态为 Is22522P2d,=o.3,E(M；)=一(Z F*=_(7-。J)?7?=-44.897?n 1 生,=0.85x2+0.35x3=2.75,E(N；S)=-(7-；7 5)R=-4.527?02P=0.85x2+0.35x3=2.4,E(N)=R=4-5 2 RE(N*)=2E(N；)+2E(N()+2E(N；p)=-107.867?
41、=-1466.90 eVN 组态 Is22522P3：0s=0.3，E(Ng)=-(Z )R -(7-0，3)R=-44.89Ancr2s=0.85x2+0.35x4=3.10,E(N2s)=-(7-；1 0)R=-3.S0RE2s(He)E2s(He+)2.15 54.4 eV2.16 870.4 eV2.17 489.6 e V,计算值大于实验值0.037%。2.18 Yid=sin?Osin 2。2.19=sin6cos0;4,=1；八八=sin6cosO;Yid=sin cos 20.2.20 1.757.2.21 n=4,1=2.咯各监fflfflffl234222zzz2.25-2
42、7.2 eV.2.26 5.24o0,0.76g;4%;2ao.2.27z2.31 均没有，平均值均为零.2.32 x 轴：有确定值，4 =0;.轴:无确定值，（4）=o；z 轴：无确定值，=0.2.33 无确定值，得到力和-方的几率各为50%,平均值为0.2.34 无确定值，得到2力和-2%的儿率各为50%,平均值为0.2.35 么无确定值,平均值为c）；2有确定值，产=2五2.2.3 6 (1)一(?+*+全)及，c：+4；(2)Ch，1 ；(3)(c；2.3 7 (1)-(1 +立+)火，c；;(2)4 1h,1;(3)0,0.c；)力，0.2.38全部是。的本征函数；全部是Z?的本征函
43、数；出1”%2”匕2是工的本证函数。2.3 9均是算符 二的本征函数，其本征值分别为力和.2.4 06 5.9 12.4 13 9.23;14 0.7 7;7 5.0 4;10 4.9 6,5 4.7 4,125.26.2.4 26 1.8 7;13 5 .2.4 37 4.leV2.4 40.3 02.4 5-3 9 8.2 eV.2.4 612.9 2 eV.2.4 711.4 4 eV.I sa I sa I sa。)lsa(4)2.4 8*2 3 4)=上I s伙 1)2sa 1s 夕(2)2sa(2)I s 伙 3)2sa(3)附4)2sa(4)2s 伙 1)2s伙2)2s夕(3)2
44、s伙4)第三章原子光谱习题3.1 求不等价电子曲/组态的光谱项。3.2 求不等价电子印d组态的光谱项。3.3 为什么在求p2组态的光谱项时，能由表(3.4-2)断定p2组态不具有L=3,即|匚|=疝h的角动量?3.4 在求p 2组态的光谱项时，否定了具有L=3的角动量后，能否断定有一个L=2的角动量？为什么？3.5 求等价电子/组态的光谱项。3.6 求等价电子p3组态的光谱项。3.7 考察4个电子填充到p轨道的方式，证明p4和p2组态产生相同的光谱项。3.8 求/组态中多重度最高的光谱项。3.9 实验测得某元素原子的基支项是6D/2,试确定其基组态是/还是s。3.10 某元素的基支项是5尸5,
45、试确定其基组态是还是3.11 试求/组态的基谱项和基支项。3.12 试求/组态的基谱项和基支项。3.13 试求d 6组态的基谱项和基支项。3.14 谱项2 P的轨道角动量与自旋角动量间的夹角有哪些？3.15 ss组态总自旋角动量8与z轴的夹角有哪些？3.16 p d组态两个电子的自旋角动量之间的夹角有哪些？总自旋角动量8与z轴的夹角有哪些？3.1 7 证明具有奇数个电子的原子只具有偶数的多重度，具有偶数个电子的原子的多重度是奇数。3.1 8 求铜原子基组态的光谱项。3.1 9 求硅原子基组态的光谱项。若有一个3 P电子跃迁到4s上，求此激发态的光谱项。3.2 0 证明单电子原子相对论效应修正项
46、()；当j=l-s,AEs 2角动量，而加/一的最大值为2,则此跖=2的角动量不可能是由 2的角动量产生的，故可断定有一 2的角动量.3.5 求等价电子/组态的光谱项。解：考虑到电子自旋，每 个d电子有1 0种微观状态，2个电子在这1 0种状态中的分布方式有C=一=吧=4 5种，即d?电子组态共有4 5种微观状态，如下表所示：2 X(1 0-2)!2d2电子组态的4 5种微观状态序号7/ML=MM s=m.光谱项210-1-23F力3P151TJ40】G2TJ201。3TJ00i。4-201。5TJ-406TT313户7TT213/8TT113F9TT013F10T3011T2012T101G
47、13T0014TT113P15TT013P16TT-11F17T101。18T001s19T-1020TT-113P21TT-21、F22T-103F23T-203尸根据此表求光谱项:24TT-313F25T-30:F263-13F272-13F281-13F290-13F30T303F31?203F32T103F33T003F341-13P350-13P36-1-1:F37T103P38JT003P39?-103户40-1-13P41-2-13尸42T-101。43T-201G44-3-13F45T-30(1)A/1.最大的只有第一个态，M,=4,即轨道角动量在z轴上投影的最大值是4方，由此
48、可断定有一角量子数L=4的轨道角动量，这应有1个G项。因为M/.=4的态只有第 个态，而第一个态的“s=0,由Ms=0可断定其S=0,所 以 这 个 态 应 属 于 匕。光 谱 项 好 并不只包含第一个态，对 于L=4,z的可能取值为4,3,2,1,0,-1,-2,-3,一4等9个，而对于S=0,的可能取值只有。一种，两者组合起来可有9个微观状态属于这一光谱项，这9微观状态的ML和M s分别为ML43210-1-2-3-4Ms000000000它们都属于光谱项9,从表中挑选出这9个态,在表中选出了第1,5,10,11,12,13,19,43,45等9个态，在表中注上这9个态属于匕。(2)在剩下
49、的36个态中先选出朋 最大的态，这样选出第6,10,26,30四个态，其 上(=3,因而2=3,这应有.个厂项。在 这4个 态 中 再 选 出 最 大 的 态，这选出第6个，其 s=l,因而5=1,这个态属于3尸，于是得到第2个光谱项3/。再将属于3尸的态都挑选出来。因Z,=3时用心的可能取值是3,2,1,0,-1,-2,-3,而S=1时 的 可 能 取 值 是1,0,和T,所以3尸项应有下面3x7=21个态，在表中注明它们属于光谱3尸.(3)在剩余的15个态中，再选出用心最大的态，M,_=2,因而L=2,有1个态，其 s=0,因而S=0,得到第3个光谱项，力 属 于 的 谱 项 包 括 下
50、列5个态。ML3210-1-2-3Ms10-110-110-110-110-110-110-1在剩余的10个态中，再选出A/,最大的态，,=1,因而1=1,有3个态，其中最大的s=l,因而5=1,ML210-1-2Ms00000得到第4个光谱项，SP.属于子的谱项包括9个态。10-1Ms10-110-110-1(5)最 后 剩 余 的 一 个 态=0 ,s=0,所以乙=0，S =0,得到第5个光谱项，6。这样，我们得到了等价电子/组态产生的光谱项为S,D,G,3P,3FO3.6求 等 价 电 子p3组 态 的 光 谱 项。解：考 虑 到 电 子 自 旋，每 个p电 子 有6种 微 观 状 态，