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1、江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷阅卷人一、单选题（共8题；共16分）得分1.（2 分）若雇=771!堤，则m=（）A.6 B.5 C.4【答案】D【解析】【解答】由雇=rn!展，则m!=6,故m=3.故答案为：DD.3【分析】根据排列组合与阶乘公式计算即可.2.（2 分）根据样本点4（0,2.2）,6（2,4.4），C（4,切绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为y=0.65%+2 5 则九=（）A.6.6 B.5.1 C.4.8 D.3.8【答案】C【解析1 【解答】由已知得元=2,9=生 空，而 =9 一6元，所 以 2.5=驾4 一 0.65
2、x2,解 得 n=4.8.故答案为：C【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得n值.3.（2 分）一个袋子中共有8 个大小相同的球，其中3 个红球，5 个白球，从中随机摸出2 个球，则取到红球的个数的期望为（）A-1 B-I C-I D-5【答案】A【解析】【解答】由题意，取到红球的个数X的取值为0,1,2,P(X=0)=|I =/,P(X =l)=|,P(X =2)=,c8 c8 c8X012E(X)=0*5+l x 11|5 +2 x 站3 未3故答案为：AP5141528328【分析】根据已知条件，结合超几何分布的期望公式，即可求解.4.（2分）第十三届冬残奥会于2
3、022年3月4日至3月13日在中国成功举行.已知从某高校4名男志愿者，2名女志愿者中选出3人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（）A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.72 种【答案】D【解析】【解答】由题意可得需要选2名男生，1名女生，所以不同安排方案有C汽;汨=7 2种故答案为：D【分析】先选出一名女志愿者，共有2种，再选出2名男志愿者，共有以种，最后进行全排列即可.5.（2分）投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表：甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列收益-102收益012概率0.10.30.6概率0.20.5
4、().3则下列说法正确的是（）A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高【答案】C【解析】【解答】解：甲收益的期望E(X)=1 x 0.1+0 x 0.3+2 x 0.6=1.1,方差D(X)=(-1 -l.l)2 X 0.1+(-1.1)2 X 0.3+(2-l.l)2 X 0.6=1.29,乙收益的期望E(Y)=0 x 0.2+1 x 0.5+2 X 0.3=1.1,方差。(Y)=(0-l.l)2 x 0.2 4-(1-l.l)2 X 0.5+(2-l.l)2 X 0.3=0.49,所以E(X)=E(Y),D(X)/)”),
5、则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高.故答案为：C.【分析】根据已知条件，分别求出甲、乙种股票期望与方差，通过比较，即可求解.6.（2分）在四面体0 4 B C中，O A =a，机=石,O C=c，点。满 足 丽=2丽，E为4。的中点，且O E =-a+b+c 则4 =（）A,I B,?C,I D-I【答案】A【解析】【解答】而=鼻+4石+人=4a+*而+J而，Z 4 4 Z 4 4其 中E为中点，有O E =1 o l +1 o D ,故可知O D =1 O B +|O C ,则 知D 为 BC的中点，故 点D满 足B D =,A=1 .故答案为：A【分析】利用向量的
6、线性运算可得后=4会再结合已知，根据向量的基本定理可求得；I的值.7.（2分）六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.已知六氟化硫分子构型呈正八面体（每个面都是正三角形），如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形A B C。的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（）E【答案】D【解析】【解答】解：根据题意可得，假设四边形A B C D取A B ,则 与AB异面的直线为CE ,D E ,CF ,D F ,同理可得B C,CD ,AD的异面直线，所以第一条棱取自于四边形A B C D 的一
7、条边，第二次取的棱与第一次取的棱是异面直线的的方法数有4 X 4 种，设事件M 为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形A B C D 的一条边“，事件N 为“取的第二条棱与第一条棱成异面直线”，则任取正八面体的两条棱有1 2 X 1 1 种方法，其中第一次取的棱是四边形4 B C D 的一条边有4 X 1 1 种方法，所以P(M)=及,P(M N)=,4 x4所以 P(N|M)=2I )1 2 x1 1故答案为：D【分析】利用异面直线的定义求出满足条件的所有情况，再利用条件概率公式求解即可.8.(2 分)若(1 +2X)3(X 2)4=a()+atx+a2x2+a7x7,则做+4 +6
8、 =()A.-5 4 B.-4 3 C.-2 7 D.5 4【答案】B【解析】【解答】令 =1可得：劭+R1 +做+劭=(1 +2 尸(1 一2)4 =2 7 ，令 =-1 可得：-。7 =(1 2)3(1 2)4=-8 1 两式相加可得：2(a0+a 2 +。4 +%)=-5 4 ，所 以 劭+。2 +。4 +。6 =-2 7 ,令 x=0 可得 劭=（1 +0）3（0 -2）4=16，所以 a 2 +。6 =-2 7 a.Q 4 3 .故答案为：B【分析】分别令x=l，和 =-1,即可得到关于展开式中奇数项系数和偶数项系数和的方程组，解出奇数项系数和即可.阅卷人得分二、多选题（共4题；共8
9、分）9.（2 分）对于样本相关系数r,下列说法不正确的是（）A.r 越大，成对样本数据的线性相关程度越强B.r =0,成对样本数据没有任何相关关系C.r 刻画了样本点集中于某条直线的程度D.成对样本数据相关的正负性与r 的符号（正负）相同【答案】A,B【解析】【解答】解：相关系数7 是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的，相关系数r 是一个绝对值小于等于1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以A不符合题意，相关系数为0说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，所以B不正确，C、D的阐述均正确.故答案为：A B.【分析】根据已知条件，结合相关系数的
10、概念，即可依次求解.1 0.（2 分）已知五，E，H 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若 弓 氏b/c，则可GB.若 优 a 芸两两共面，则方，石,表共面C.对于空间的任意一个向量入 总存在实数,y,z,使得力=%五+yB +z2D.若 益，b,或是空间的一组基底，贝 1 伍+比b+c,+研也是空间的一组基底【答案】A,D【解析】【解答】解：a,b，表是空间的三个单位向量，由刃/说 b/c，Aa/c,A 符合题意；a,由下两两共面，但是苍，武不不一定共面，a,b，芸可能两两垂直，B 不符合题意；由空间向量基本定理，可知只有当第石，工不共面，才能作为基底，才能得到方=%E+yB+z
11、2,C 不符合题意；若 回，b,或是空间的一组基底，则 优 b，不共面，可知 益+员 b+c 0+d 也不共面，所以（a+b,b+c,，+五 也是空间的一组基底，D 符合题意.故答案为：AD.【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断A、B、C、D 的结论.11.（2 分）箱中共有包装相同的3 件正品和2 件/I 品,从中不放回地依次抽取2 件，用4 表示“第一次取到正品“，用B表示“第二次取到正品“，则()A.P(4)=P(B)B.P(AB)=P(4)P(B)C.P(A+B)=0.9 D.P(BA)=0.5【答案】A,C.D【解析】【解答】对 A,.P(4)=|
12、,P(4 B)=|x,=,P(AB)=x I =P(B)=PQ4B)+P(油)=余+磊=|，A 选项对；对 B,.P(4)P(B)=|x|#P(4B),B 选项错；对 C,P(A+B)=P(Z)+P(B)-P(AB)=0.9,C 选项正确；3对 D,P(B|A)=?翳 =?=0.5,D 选项正确.故答案为：ACD【分析】根据题意分别求得P（A）,P（B），再根据概率的公式逐个判断即可.12.（2 分）在平行六面体力BCD4避16。1中，AB=AD=AAr,乙4遇8=乙4送。=/ZMB=60。，点P在线段BQ上，则（）A.AP 1 BrCB.P到&Bi和CD的距离相等C.AP与&B1所成角的余弦
13、值最小为华D.AP与平面ZBCD所成角的正弦值最大为!【答案】B,C,D【解析】【解答】如图:对于 A,若/P J.B 1 C,易得四边形BCQBi为菱形，则B iC lB C i，又APCiBg=P,A P,B CX cffiA P B,可知8 1 c l面4 P B,则BiCLMABQDi，显然矛盾，A 不符合题意；对于B,其 中P点在线段B C i上，B平 分乙 B iB C,且 BCi为线段BiC的垂直平分线，又|CD,可 知BJ上所有点到&B i与C D的距离相等，故 B 正 确；对于C,设平行六面体4BCD-&B1QD1的边长为a,易得A C=V 3 a，其 中A C=A B +B
14、C+CC|，可 得 西|=J 函2+函+西+2荏反+2荏 苗+2前 鬲=隔，又&B1II4B,则？1P与4B 1所成角即为Z P 4 B,当P点运动到的 点处时，此 时 coszPAB最小，即4 P 与所成角的余弦值最小，c o s A B =递/=电，故 C 正确；1 2x0)与双曲线C 2：/一、2 =1 在第一象限的唯一公共点，点B,C 分别是的的准线与C 2 的两条渐近线的交点，则A B C 的面积为.题2：已知球的体积U 和表面积S 均是球半径H 的函数，分别记为V(R),S(R).若球。的半径R 满足l/(R)=3 S(R)，点P 到球心。的距离为1，过点P 作平面a,则平面a 截
15、球。所得截面圆的面积的最小值为.【答案】*3 5 7 t【解析】【解答】(1)因为抛物线的：x2=2py(p 0)与双曲线。2：x2-y2=l在第一象限只有唯一公共点，将2 =2py(p 0)代入 x2 y2=1 内，有 y2 2py+1 =0,4 =4 p2 4 =0 ,解 得 p=1.可得点1),双曲线的渐近线方程为y =%,可知 (一,一，C，2)，则 A B C 的面积 S =1 x (1 +引 x (+)=彳，I(2)v(R)=兀/?3)=47 rR2 ,3 S(R)=3 x (4 兀/?2)，=3 x8nR =2 4 z r R ,其 中 (R)=3 S(R)，可 得R =6,故截
16、面圆半径的最小值为V/?2-1 =V 3 5，则截面圆面积的最小值为3 5 7t.故答案为：I；3 5 1 1【分析】(1)联立抛物线与双曲线的方程有y 2 2 py +l =0,根据题意可得/=4 p2-4 =0,从而解得p=l,再计算A,B,C的坐标求解面积即可；(2)根据/(R)=3 S(R)可得R =6,进而根据垂直关系求出平面a 截球O所得截面圆的面积的最小值即可.1 6.(2 分)某商场共有三层，最初规划第一层为3 5 家生活用品店，第二层为3 5 家服装店，第三层为 3 0 家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量(单位：家)统计如下表：生活用品店服装店餐饮店第一层2 573第二
17、层42 74第三层612 3若从第一层店铺中随机抽一家，则 该 店 铺 与 最 初 规 划 一 致 的 概 率 为;若从该商场所有店铺中随机抽一家，则 该 店 铺 与 最 初 规 划 一 致 的 概 率 为.【答案】I【解析】【解答】若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为I I =，若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为25墙23=,.故答案为：1【分析】根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得出答案.阅卷入四、解答题（共7题；共7 0分）得分1 7.（1 0 分）已知配是等差数列 an 的前n项和,且由=1,S5=2 5,求:（I）（5 分）数列
18、）的通项公式;1（2）（5 分）数歹 的前n项和7 n.anan+l【答案】（1）解：设等差数列w 的公差为小 则S 5 =5%+岁d=5 x l +1 0 d=2 5,所以d=2.所以册=1 +（-1）x 2 =2 7 1 1,即=2 n 11 1 11 1（2）解：由（1）知，anan+1=（2 n-l）（2 n+l）=2 （2 n=l _ 2n+l）所以7 n=*x （寺-/+/Y+-+去 厂 方%）=品（1 _ J j）=不 抬【解析】【分析】（1）设等差数列斯的公差为d,再根据前n项和的公式求解即可；（2）根 据（1）可得斯=2 n-l,再裂项相消求和即可.1 8.（1 0 分）在
19、A B C 中，已知4 B =3,A C=2/3,B =可 点。在边B C 上，且8。=1,求：(1)(5 分)A D;(2)(5 分)s i n(C -J).【答案】（1）解：在AABD中，由余弦定理41）2=4 2+DB2-2 x 4 8 x D B x c o s B,解得：AU=3 2+M _ 2 x 3 x 1 x c os|=7,所以4 D =夕；解：在 砺 中,由 正 弦 定 理 黑=盖,得zH s u.iC =A B x si.nBc -,3=x si.n 71 彳3-TT在 A B C中，由48 V A C,0 C B 0,故c os C =V l sin2C=4所以s i
20、n（C ）=sinC-cos cosC-s i n =【解析】【分析】（1）由余弦定理求出AD的长；（2）由正弦定理得到s i n C=J，进而求出c os C =白，进而利用正弦差角公式进行计算.19.（10分）某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了 100位学生进行调查，结果如F：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的先 在回答 不满意 的人中，女生人数占去附a0.10.050.010.0050.001&2.7063.8 416.63 57.8 7910.8 282参考公式：公二乐居部E其中 a +b +c +d.（I）（5分）请根据以
21、上信息填写下面2 x2列联表，并依据小概率值a =0.001的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关满意不满意合计男生女生合计（2）（5分）为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于6（）分为达标，超过9 6%的学生达标则认为达标效果显著.己知这100名学生的测试成绩服从正态分布N(70,2 5),试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著附：若XS NQL,a2),则P 3-T W X W+a)“0.6827,P(-2。W X W +2(r)2 0.9545,P(3a X 60)=1-P(X 0,9
22、 6,故该校增加锻炼时长后达标效果显著.【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解.(2)根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.20.(10分)如图，在四棱锥P-A B C D中，PAB和 PAD均为正三角形，且边长为遥，BC=CD=V 2-乙BAD=90,AC与BD交于点、O.（1）（5 分）求证：BD 1平面P4C；（2）（5 分）求二面角P-C D-B 的余弦值.【答案】（1）证明：因为P4B和2?!）均为正三角形，所以AB=AD.又BC=CD,所以4 c为BD的中垂线.所以。为的中点.又PB=P D,所以P0 1 BD.又AC C P
23、0=0,AC,PO u平面P/C,所以BC _ L 平面PAC.（2）解：因为/BA。=90。，。为BD的中点，所以力。=。8=。.又因为PA=PB=P D,所以P4。，PBO,PDO为全等三角形.所以4POA=乙POB=Z.POD=9 0 ,所以P。1 AC.结 合（1）知，不妨以0 为坐标原点，OB,OC,OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。-则B（苧，0,0）0（-乎，0,0），C（0,孝,0），P（0,0,吟）,所以反=（苧，孝，0）,郁=既，0,例,而=（0,0,亭）设平面PCD的一个法向量为元=（%,y,z）,X令oO=yZ&2而2_-+D2_，,-o=O=L黑=(k师
24、UMJ一T贝用则y=-V3，Z=-1,设二面角P-C D-B的大小为仇则|cos。I =cos(n-0P)=需 焉 i 1 =I I =f-又二面角P -C D-B 为锐二面角，所以二面角P-C D-B 的余弦值为第.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以0 为坐标原点，OB,O C,0P 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系0-x y z,求解平面P CD的一个法向量，利用空间向量求解二面角即可.丫 2”221.（10分）已知椭圆C：滔+方=l（a b 0）的左焦点尸（一 2,0）,右顶点4（3,0）.（1）（5 分）求C的方程；（2）（5 分）设B 为C
25、上一点（异于左、右顶点），M为 线 段 的 中点，。为坐标原点，直线O M 与直线八%交于点N，求证：A B 1 N F.【答案】（1）解：设椭圆C的半焦距为c（c 0）.因为椭圆C：弓+4=l（a b 0）的左焦点F（2,0）,右顶点4（3,0）,Q b所以a=3,c=2.所 以 庐=。2-02=5,C 的方程为：+葺=1；（2）证明：设点BQ。，y0）（x0 0,y（）0）,且等+孕=i，因为M为线段A B 的中点，所以M（空，散，所以直线OM的方程为：y =令久=一|,得 =一 天 熬 y 所以点N（一|,一 翁）,此时，N F =（,2（万 福3），A B =（x0-3,y0）,所以A
26、 B ,N F=x （%o 3）+5,c、，5（9-延）5,八，5 、八=2（X-3）+2（和+3）=2（%。3）+a（3-&）=0，所以而1 而，所以4B J.N F.【解析】【分析】（1）由题意可知，a=3,c=2,则属=。2一 2=5,即可求得椭圆方程；（2）设Bg,y0）（x0 0,%0），求得M（空，炒，所以直线。”的方程为：丫 =算 匕 ，令x=之,所以点N（,根据向量的坐标运算可得6.必 =（），即可证明A B _LN F.22.(10分)已知函数/(%)=%-力n%1.(1)(5 分)证明：/(x)0,/(%)单调递增；当工 1时，/(%)0，/(%)单调递减，所以f(X)m
27、ax =/(l)=0,所以f(%)0时,令g (%)=0,得x =I na.当工仇。时，g (x)0,g(x)单调递增，所以g(x)7nin=g(lna)=a alna-1 0.由(1)知，Q-。)Q 1 W0(当且仅当a=1时，取等号)，所以a C LITICL 1=0,所以a 1.【解析】【分析】(1)求导得/(x)=l-(仇x +分析/(x)的单调性，即可得出答案；(2)由e*2ax +l,则e X-ax +1 2 0,令g(x)=e*-ax 1,只需g(x)m i n 2。，即可得出答案.23.(10分)某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为p.(1)(5分)若p =0.9,从中随机
28、取出2 只鸡，记取到病鸡的只数为f,求f 的概率分布及数学期望；(2)(5分)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下：按每k(k e N*)只鸡一组分组，并把同组的k 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组k 只鸡逐只化验.设每只鸡的化验次数为随机变量少 当且仅当2 W k W 8 时，的数学期望E S)1,求p 的取值范围【答案】(1)解：依题意，f 的所有可能取值为0,1,2.且P(f =0)=以 x 0.9 x 0.12=0.0 1,P(f =1)=废 x 0.9 x 0.1 =0.1 8,P(f =2)=废 x 0.92 x0.1 =0.8 1,所以f 的
29、概率分布表为e012P0.010.180.81所以 E(f)=0 x 0.01+1 x 0.18+2 x 0.81=1.8；(2)解：设q=1-p.若同一组的k只鸡无感染，则牛=/；否则，77=1+1.1 1所 以 尸=及)=q，P(T J=五 +1)=1 qk.所以E(4)=1+1(/+Ii.一 勺与=正 +i _ 产又当且仅当2 Wk W8,k e N*时，E S)1,即*一 2nq(*),设/(x)=+仇q，则/(%)=，y,令f(x)=0，得x=e.所以f(x)在(1,e)上单调递增，f(x)在(e,+8)上单调递减.由(*)知，/(2)0,/(I)0,/(9)0，Ing 0,等+ln
30、qW0,trc-iu ln8 一，,ln9所以 g-Inq 所以ln 8 nq ln9-解得8 1 -b iq,再通过构造函数，并运用导数研究函数的单调性，即可求解.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：100分分值分布客观题（占比）24.0(24.0%)主观题（占比）76.0(76.0%)题量分布客观题（占比）12(52.2%)主观题（占比）11(47.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(17.4%)6.0(6.0%)解答题7(30.4%)70.0(70.0%)多选题4(17.4%)8.0(8.0%)单选题8(34.8%)16.0(16.0%)3、试卷难度
31、结构分析序号难易度占比1普通(47.8%)2容易(52.2%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1直线与平面所成的角2.0(2.0%)122相关系数2.0(2.0%)93古典概型及其概率计算公式2.0(2.0%)164等差数列的通项公式10.0(10.0%)175直线与圆锥曲线的综合问题10.0(10.0%)216独立.性检脸10.0(10.0%)197两角和与差的正弦公式10.0(10.0%)188双曲线的简单性质2.0(2.0%)159数列的求和10.0(10.0%)1710正弦定理10.0(10.0%)1811向量的线性运算性质及几何意义2.0(2.0%)61
32、2用空间向量求直线与平面的夹角10.0(10.0%)2013排列、组合的实际应用2.0(2.0%)414空间向量的基本定理及其意义2.0(2.0%)1015数列递推式10.0(10.0%)1716余弦定理10.0(10.0%)1817空间中直线与直线之间的位置关系2.0(2.0%)718正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义10.0(10.0%)1919众数、中位数、平均数2.0(2.0%)520线性回归方程2.0(2.0%)221利用导数研究函数的极值20.0(20.0%)22,2322二项分布与n次独立重复试验的模型10.0(10.0%)2323极差、方差与标准差2.0(2.0%)524平面向量数量积的运算2.0(2.0%)1225直线与平面垂直的判定10.0(10.0%)2026抛物线的简单性质2.0(2.0%)1527向量的共线定理1.0(1.0%)1328利用导数研究函数的单调性10.0(10.0%)2229条件概率与独立事件2.0(2.0%)1130二项式定理3.0(3.0%)8,1431椭圆的标准方程10.0(10.0%)2132离散型随机变量的期望与方差12.0(12.0%)3,2333排列及排列数公式2.0(2.0%)134空间向量的概念2.0(2.0%)10