《2022年贵州省遵义市播州区九年级第二次模拟考试数学试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年贵州省遵义市播州区九年级第二次模拟考试数学试题（解析版）.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年贵州省遵义市播州区九年级第二次模拟考试数学试题一、选择题1 .下列实数中，为无理数的是（）A.亚 B.；C.0 D.3.1 4【答案】A【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解：A、后是无理数，该选项符合题意；B、g是分数，不是无理数，该选项不符合题意；C、0是整数，不是无理数，该选项不符合题意；D、3.1 4 是有限小数，不是无理数，该选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理
2、数有：兀，2 兀等；开方开不尽的数；以及像0.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1.,等有这样规律的数.2 .下列艺术字中，轴对称图形的个数为（）MATHSA.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断，若将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形.【详解】解：轴 对 称 图 形 有 A ,T,”共4个.故选：B.【点睛】本题考查了轴对称图形，充分理解轴对称图形的含义是解题的关键.3.某细胞的直径为0.0 0 0 0 0 0 0 9 8?，将数0.0 0 0 0 0 0 0 9 8 用科学记数法表示为（）A.9.8xl（）-8
3、 B.98xlO-10 C.9.8 xlO-7 D.0.98 xW7【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x l（T ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：数据0.0 0 0 0 0 0 0 9 8 用科学记数法表示为9.8 x 1 0*.故选：A.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a x l（P,其 中 上间1 0,为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.4.下列计算正确的是（）A.?5.加5=25 B.（W +）-=，/+”2
4、C.（?/?）=m2/?2 D.环 十 洲=加2【答案】C【解析】【分析】根据同底数塞的乘法，完全平方公式，积的乘方，同底数募的除法运算法则进行计算即可.【详解】解：A、m5.加5=该选项错误，不符合题意；B,（相+）=/+2 m +2 该选项错误，不符合题意;C、=机，2 正确，该选项不符合题意；D、加8+巾4=加4 该选项错误，不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，完全平方公式，积的乘方，同底数幕的除法.解题的关键在于正确的计算.5.如图，直线A 8 C Q,点 G在直线C Z）上，以点G为圆心，适当长为半径画弧，交 A 3 于点E,F,连接 E G,FG.若N l=5
5、0。，则N2的度数为（）A.130【答案】DB.40C.60D.50【解析】【分析】由平行线的性质求得N E F G=N 1=5 0。，再根据等边对等角求解即可.【详解】解：；直线4 8 8,.Z F G=Z 1=5 0 ,由作图知E G=F G,./2=N E F G=5 0。，故选：D.【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，注意：两直线平行，内错角相等.6.游泳时为了避免抽筋，最合适的水温是（）A.5 0 B.2 8 C.2 0 D.1 0【答案】B【解析】【分析】结合人的体温进行估算.【详解】解：人的正常体温在3 7 左右，故最适合的水温为2 8 c.故选：B.【点睛】本题考
6、查了对生活中有理数的估算，一定的生活常识是解题的关键.7 .九章算术是中国古代的数学专著，其中载有“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”译文“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5 钱，那么还差4 5 钱；如果每人出7 钱，那么还差3 钱，求买羊的人数和羊的价钱设羊价是x 钱，则可列方程为（）x +4 5 x +3 x-4 5 x-3A.-=-B.-=-5 7 5 7x 4 5 x +3 x4 5 x 3C.-=-D.-=-7 5 7 5【答案】B【解析】【分析】设羊是x 钱，根据买羊的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.【详解】解：设羊是X 钱
7、，Y 4 5 X 3根据题意得：工 一=一厂.故选：B.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.8.已知X i,X 2 是一元二次方程/+3 尸 1=0 的两个实数根，则X 2 2+2 X 2-X 1 的 值 为（）A.4B.1C.-2D.-1【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到为2=3乃+1,则原式可表示为-（X 1+X 2）+1,再根据根与系数的关系得到为+X 2=-3,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解：及是一元二次方程/+3 厂 1=0的根，.*.X22+3X2-l=0,/.X 22=-3 X 2 4-1
8、,.*.X22+2A：2-X1=-3X2+1+2 X 2 X 1=-（X 1+X 2）+1,Vxi,X2是一元二次方程r+3厂 1=0的两个实数根，/.X|+X 2=-3,二 原式二-（-3）+1=4.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：若汨，X 2是一元二次方程5 2+法+片0（存0）be的两根，则 X+X2=-,XlX2=.a a3 39.小亮为了求不等式x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数尸一与一次函数尸+2的图像，观察x x图像可得该不等式的解集为（）A.x 1 C.-3 x 1 D.x -3 或0 尤 1【答案】D【解析】【分析】结合函数图像的上下位置关
9、系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集.【详解】解：观察函数图像，发现：当x -3 或 0 x x+2的解集为x-3或0%1.x故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式.10.如 图1,在oABCO中，E为A8的中点，ZC=6 0,动点为尸从点3出发，沿口ABCD的边按BTCTOTA 运动，设点厂运动的路程为x,AAE尸的面积为y,图2是y关于X的函数图象，当x=8时，AAE尸的 面 积（）【答案】C【解析】【分析】由图可知，B C =C D =6,且当尤=8时，点F在CO上，由此计算此时三角形的底和高，从而求出面积.【详解
10、】解：过点8作BGLC。于G.由图2可知，BC=CO=6,且当x=8时，点尸在CO上，四边形ABC。是平行四边形，A B =C D=6，：.AEA8=3.2在 R t B C G 中，B G=BCsin ZC=6sin 60=6x =373.2 S 4EF=；X AE 义 GB=X 3 X 3 6 =券故选：c.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数的应用，是一道动点与函数图象的综合问题，解题的关键是从函数图象上获取线段长度的信息.1 1.如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在），轴、x轴的正半轴上滑动，点3在第一象限，AB=BC=6,ZABC=60,连接0 8,则线段。8长度的最大值
11、为（）A.3 6 +3 B.3 G 3 C.3上 D.6【答案】A【解析】【分析】取AC的中点尸，连接8F、O F.首先求出。F=FC=3,根据三角形的三边关系可知:OBO F+B F,推出当0、F、B共线时，。8的值最大，据此求解即可.【详解】解：连接A C,取4 c的中点尸，连接8尸、OF.：AB=BC=6,ZABC=60,：.AABC是等边三角形,：.AB=BC=AC=6,ZBAC=60,J.BFYAC,OF=-AC=3,BF=ABsin60=-x6=3 也,2 2OBOF+BF,当。、F、B共线时，OB的值最大，最大值为3+3 6.故 选:A.【点睛】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐
12、标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题.1 2.如图，A/IBC BCC=a,连接A C,在 AC的上方作ND4G=N8AC=a,延长QE与 AG相交于点G,过点。作。H_LAG于点，过点 8 作 WJ_A。于点7,如图：在放/中，a+=90。，在 白 AD”中，ZADH呻,；a+8=90。,.,.Z l+Z2=90,：DB=ABt ZABC=120,A Z 1=30,则N2=60。,ZG=30,ZAED=ZEDC+Z C=60,J NEAG+NG=60。，：.ZEAG=ZG=30,；A
13、E=E G,则 AE+DE=OG=2OH,在 股 班）,中，VZl=30,DB=AB,：.DZ=A/=BDcos30=BD=AB,2 2:.AD=yiAB,在AA8F和 AOH 中，NBAC=/DAG=a,ZBFA=ZDHA=90,：.&ABFsXADH,:AD=4AB,：.DH=y/3BF,A E+E D _ 2DH _ 2 GB F-=DH 故选：c.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理等，作出合适的辅助线,得到Z G=3 0。是解题的关键.二、填空题1 3.如图，矩形的周长为1 0,面积为6,则加，+机 2 的值是.【解析】【分析】对原式进行因式分解，然
14、后利用周长2（机+）=1 0,面积m =6代入求解.【详解】解：矩形的周长为1 0,面积为6,2（？+）=1 0,m n =6,m+n =5.nrn+mrr m n（m+）=6 x 5 =3 0【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是对原式进行因式分解，并由图得出机+与机的值.4 31 4.已知反比例产一（x 0）与 广-（x 0）的图象如图所示，8为 x 轴正半轴上一动点，过点B作 A C y 轴,X X4 3分别交反比例函数）=（x 0）与产（x 0）的图象于点A,C,点。，E（点 E在点。的上方）在 y 轴X X上，且。E=A C,则四边形A C O E 的面积为.【答案】7【解析】3【
15、分析】利用反比例函数系数2 的几何意义可得S“o s=2,SM O G,再根据同底等高的三角形面积相2等，得到SAADC=S OC，由平行四边形的面积公式进而求出答案详解】解：连接A O、。4、OC,；A C y 轴，D E=AC,四边形A C D E 为平行四边形,S 四 边）K ACE=2SA4OC,；A C y 轴，SAAOC=SAAOC,由反比例函数系数k 的几何意义得,i i 3SAOH=71 4|=2,SABOC=7 b 3|=,22 2.7 SAOC=SAOBS:BOC=一2S 叫 边 彩 A c。后 2SAOC=7,故答案为：7.【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，理
16、解反比例函数系数4 的几何意义是正确应用的前提.1 5.图，某数学活动小组为测量古建筑物4B的高度，从古建筑物正前方2 0 m 处的点C出发，沿坡角为4 5。的斜坡C。前进200 m到达点。，在点。处测得古建筑物顶部4的仰角为3 7。.已知点A,B,C,D,E在同一平面内，ABLBE,D F/BE,则古建筑物AB的高度约为 m.（参考数据：3 4 3si n 3 7 -,c o s3 7 -,t a n 3 7。=正=1.4,计算结果精确到 1?）A【答案】50【解析】【分析】作。G_LBC于 G,DHL A B 于 H,根据矩形的性质得到GB=。，G D=B H,根据坡角的概念分别求出O G
17、,根据正切的定义计算即可.【详解】解：作力G,8 c 于 G,DH_LAB于”，则四边形G D H B 矩形，G B=D H,G D=BH,：NOCG=45。，：.C G=D G,由勾股定理得，CG2+DG2=(20 V2)2-解得，C G=D G=20(m),BG=W=8C+CG=20+20=40(m),*“AH在用A。“中，tan Z A D H=，DH3则 x40=30(m),4AB=AH+BH=30+20=5 0(m),故古建筑物A B的高度约为50m.故答案为：50.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函
18、数的定义是解题的关键.16.已知二次函数），=奴2+法+。（a,h,c为常数，。0）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有.（填序号）95 5而c0；8一4a=0；（a+c）02；若当x=0时，y-2.5,则有-a -.24 42【答案】#【解析】【分析】根据开口方向确定”的正负，根据对称轴的位置确定b的正负，根据抛物线与y轴的交点确定c的正负，由此判断；由抛物线的对称轴为犬=-2可求得。与。的等量关系，由此判断；根据x=l与x=1时函数值的正负判断；由x=2与尤=3时的函数值正负求出“的取值范围，由此判断.【详解】解：抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，a 0,-0,2aa
19、0 ,/?0,a b c 0,错误；抛物线 对称轴为直线x=-2,b-=-2,即 Z?=4a 2a4。=0,正确；由图可知，当x=l 时，y=a+b+c Q,当x=时，y=a-b+c 0,(a+b+c)(a-b+c)0,B P (a+c)2-b2 0,.1.(a+c b2,错误;若当x=0时;y=2.5,则c=2.5,又：6 =4 4，该抛物线的表达式为y=ax2+4 a x+2.5，由图可知，当x=2时，y 0；当x =3时，y 09a+1 2。+2.5 0解得-a -,正确.2 4 4 2故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键.三、解答题
20、1 7.计算(1)计算：1 1一0|+2()2 2 -2 c o s 4 5 +次；X1 3(2)解方程=-+2.x x【答案】(1)3 (2)x=-4.【解析】【分析】(1)根据绝对值、零指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别计算，再合并即可；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【小 问1详解】解：1 1 -V 2|+2 0 2 2 -2 c o s 4 5 +7 9V 2-l +l-2 x +32=0-1+1 -0 +3=3；【小问2详解】x-1 3 c=-+2x x解：方程去分母得x-l=3+2 x,移项合并，得-x=4,解
21、方程，得4-4,检验：当4-4时，/0,.原方程的根是广-4.【点睛】本题考查了实数 混合运算，解分式方程.解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.18.先化简加士?|十二 再 从-1,0,1,2,选一个合适的数作为“的值代入求值.V a)a-a【答案】a+1；3.【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把。的值代入计算即可求出值.，、工 e.,”(2。+1、a1【详 廨 解：。+-k I a)a-aci 2a+l(Q+1)(Q 1)-1-H-ka a)a(a V)Q+2+1 a+1a a(a+1a-a a+=a+l
22、；当 a=-1,0,1时，原式没有意义；当 a=2时，原式=3.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.19.为开展航天科普教育，某班组织了一次太空实验原理讲述的班会活动，班长将三个太空实验：A.太空细胞学研究实验、B.浮力消失实验、C.水膜张力实验，分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面标记的字母不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，通过抽签的方式决定讲述的实验.(1)随机抽取一张卡片，则抽到A 实验是 事 件(填“随机”“必然”或“不可能”)；(2)若小明从中随机抽取一张卡片，记录实验名称后放回，洗匀后小华再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小
23、明和小华抽取的是同一个太空实验的概率.【答案】(1)随机(2)-3【解析】【分析】(1)根据随机事件的定义即可判断；(2)用列表法列举即可得解.【小 问 1 详解】因为是随机抽取，则抽中的结果是随机的，可能抽中A 实验也可能不是A 实验,故答案是：随机；【小问2 详解】用列表法列举如下:小 华小明ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC由表可知总的情况有9 利 J 小华与小明抽中同一个太空实验的结果有三种，即4 4、BB、CC,则小华与小明抽取同一太空实验的概率为：34-9=-,3即小华与小明抽取同一太空实验的概率为.3【点睛】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事
24、件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.20.2022年是中国共青团建团100周年，某校团支部举行了“2022年共青团建团100周年团员团章团务知识竞赛活动”，对全校报名的90名团员进行选拔，并随机抽查八、九年级各15名团员的成绩（满分20分）进行分析，相关信息如下：成绩X/分12x1414x1616x1818x20八年级4353九年级00510九年级抽取的15名团员的竞赛成绩统计图”成绩（分）2 0 1 ：令 r-1 ;：:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 序号说明：八年级抽取的15名团员的竞赛成绩在1 4 W x y或(2)你认为八、九年
25、级抽取的团员中，哪个年级的团员掌握知识更好？请说明理由.(3)若成绩不低于18分 为“优秀”，估计这9 0名团员中成绩为“优秀”的人数.【答案】(1)15.5；6=19；(2)九年级团员掌握知识较好，理由见解析(3)估计这9 0名团员中成绩为“优秀”的人数为3 9人.【解析】【分析】(1)将两个年级的成绩重新排列，再根据众数、中位数的概念求解即可；(2)从众数、中位数的意义求解即可；(3)用总人数乘以样本中优秀学生的人数所占比例，即可求解.【小 问1详解】解：八年级15名团员的竞赛成绩的中位数是第7、8个数，在12力14段有4人，在14夕18段的数据从小到大排列：14,15,15,16,16,
26、16,16,17,15+16=1 5.5；九年级1 5 名团员的竞赛成绩中1 9 分的有4人，人数最多,.,.*=1 9；S八 S九；故答案为：1 5.5；6=1 9；【小问2详解】解：根据以上数据，我认为该校九年级团员掌握知识较好，理由：九年级的众数、中位数高于八年级，说明九年级掌握的较好.【小问3 详解】解：估计这9 0 名团员中成绩为“优秀”的人数为9 0 当=3 9 （人）；15+15，估计这9 0 名团员中成绩为“优秀”的人数为3 9 人.【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2 1.小颖复习尺规作图
27、时，及ABC（N A C B =9 0）进行如下操作（如图）：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 Z M 于点Q,交 B C 于点P,再分别以点P,Q为圆心，大于g p。的长为半径画弧，两弧交于点”，作射线B”；以点4为圆心，适当长为半径画弧，交 A 8 于点M,交AC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线AG 交射线8H 于点O；2作射线C O交 A B 于点。，且 NS4=9 0 ,以点。为圆心，OD为半径作。，交 AC 于点E,交BC于点凡构成如图所示的阴影部分.（1）求证：R t Z V I B C是等腰直角三角形；（2）若 AC =2,求图中阴影部分
28、的面积.【答案】(1)证明过程见解析(2)2-(6-4&)7【解析】【分析】(1)根据尺规作图可证点。是AABC的内心，根据内心的性质可证N A 8=/B C D,再利用AS4可证明 ADCM ZkBDC,可得AC=B C,从而证得 ABC是等腰三角形，根据已知即可证得结论.(2)连接OE,O F,根 据(1)中结论可证得。为AABC的内切圆，从而得到。E=O尸=8,AE=AD，BF=BD，C E=C F,即可证得四边形OECr是正方形，从而得到CE=CF=OE=OF=O D,利用勾股定理求得A B，利用A B、A。、8。之间的关系，联立方程即可求得OO的半径，即可求得QO的面积，再利用S阴影
29、=SRSABC-S。即可求得答案.【小 问1详解】证明：由题意尺规作图知，OB、Q4分别是NA5C和N84c的角平分线，点。是AABC的内心，.,.CD 平分 NACB,:.ZACD=ZBCD,.C A B,/.ZADC=NBDC=9 0,在AAOC和 8DC中，Z C D =NBCD.ABC是等腰三角形，又 NACB=9 0,./?以48。是等腰直角三角形.【小问2详解】连接OE,O F,如图所示，由（1）得点。是AABC的内心，且0 D L A 3,。是。的半径，二。为AABC的内切圆，：.AC,BC,A3 均与 0。相切，：.OEAC,OF LBC,S.OE=OF=OD,AE=AD，BF
30、=BD,CE=CF,Z.OEC=ZOFC=ZACB=90,四边形OECE是正方形，:.CE=CF=OE=OF=OD,设。得半径为，由（1）知ABC是等腰直角三角形，.3C=4C=2,AB=yAC2+BC2=2V2，：.AD=AE=AC-r=2-r,BD=BF=BC-CF=2-r,AD+BD=AB，.2+2-=2近，解得r=2-&，SQO=兀产=%x（2-J 5）2 =（6-472）,又.S.“8c=gAC.3C=gx2x2=2，S阴影=Rtc QO=2-（6-4正）万，图中阴影部分的面积为2-（6-4及）乃.【点睛】本题考查了三角形与圆的综合问题.主要考查了三角形内心的性质、三角形内切圆的性质
31、、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识的判定及性质是解题的关键.2 2.2 0 2 2 女足亚洲杯决赛中，中国女足时隔1 6 年再次夺得亚洲杯冠军，向世界展示了中国精神和中国力量.某超市购进甲、乙两种冠军纪念品，已知购进2 件甲种纪念品和4 件乙种纪念品，共需8 0 元；购进5件甲种纪念品和4 件乙种纪念品，共 需 1 1 0 元.(1)甲、乙两种纪念品的进货单价分别是多少元？(2)当甲种纪念品的销售单价为3 0 元时，日销售量为2 0 件，经调查发现，甲种纪念品的销售单价每降低1 元，日销售量上升的数量相同.设甲种纪念品的销售单价降低x 元，在
32、销售过程中，当2WXW20时，日销售量y (单位：件)与 X 之间的函数图象如图所示.已知A(2,24),B(18,56),求 y 与 x 之间的函数关系式.(3)甲种纪念品在(2)的条件下进行销售；乙种纪念品的销售单价为3 5 元，日销售量为3 0 件，设甲、乙两种纪念品的日销售总利润为w元，当甲种纪念品的销售单价降低多少元时，日销售总利润最大？最大日销售总利润是多少元？【答案】(1)甲种纪念品的进货单价为1 0 元，乙种纪念品的进货单价为1 5 元(2)y=2 x+2 0(2 x 2 0)(3)当甲种纪念品的销售单价降低5 元时，日销售总利润最大，最大日销售总利润是1 0 5 0 元.【解
33、析】【分析】(1)设购进甲种纪念品的进价为x 元、乙种纪念品的进价为y 元，根据购进甲种纪念品2 件，乙种纪念品4 件，需要8 0 元；若购进甲种纪念品5 件，乙种纪念品4 件，需 要 1 1 0 元，列出方程组，求出甲乙的单价；(2)设 y 与 x 之间的函数关系式为产5+乩 把A(2,24),8(18,56)代入，列出方程组，求解得出hb值即可得出函数关系式；(3)根据销售两种纪念品总利润等于销售甲种纪念品总利润+销售乙种纪念品总利润列出关系式为K,=(2X+20)(3 0-x-l O)+3 0 x(3 5-1 5)=-2(x-5)2+1 0 5 0,再根据求次函数最值方法求解即可.【小
34、问 1 详解】解：设购进甲种纪念品的进货单价为X 元、乙种纪念品的进货单价为y 元，由题意，得2 x+4 y =8 0 fx=1 0/一C，解得：，5 x+4 y =1 1 0 y =1 5答：购进甲种纪念品的进货单价为1 0 元，乙种纪念品的进货单价为1 5 元；【小问2详解】解：设 y 与 x 之间的函数关系式为产区+4把 4(2,2 4),3(1 8,5 6)代入，得2 +6 =2 4 伙=2 解得：!，1 1 8 上+8=5 6 1 6 =2 0y 与 x 之间的函数关系式为y=2 x+2 0 (2x 20)；【小问3详解】解：由题意，得卬=(2 x+2 0)(3 0-X-1 0)+3
35、 0 x(3 5-1 5)=-2 x2+2 0 x+1 0 0 0=-2(x4)2+1 0 5 0,V-2 E(m,z-3),GDO=：.DE=m-3-,2 c oA-f 3丫 9(m 2m 3)H ，I 2j 43 9.当加二二时，OE有最大值，即 最 大 长 度 为 一2 4【小问3详解】存在连接G M并延长交y 轴于。，过 G 作 GFJ _)，轴于尸，*.*y=x2 2 x-3 =(x1)4,：.D(1,-4),VG (3,-2),直线GM的解析式为)=x-5,：.D(0,-5),A GF=3,D F=3,：.Z G 2=4 5,设点。(0,P)，当点。在点F 上方时，如 图 1,N
36、Q G D=N M G Q,ZG QM=ZG D Q=4 5 ,:丛Q G M s D G Q,：.QG?=GM G D,GM=J(3-+(2 +4)2 =20,GD=32+(-2 +5)2=3 7 2，g G2=1 2,Q G2=GF2+Q F2，：.32+(p +2)2=1 2,得。=-2 +6 或。=-2-石(舍 去)，Q(0，-2+5；当点。在点尸下方时，如图2,同理可得p=_ 2-6,：.Q(0,-2-7 3)；综上，存在点。，点。的坐标为(0,2 +百)或(0，-2-).【点睛】此题考查了二次函数与图形的综合知识,待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，相似三角形的判定
37、及性质，勾股定理，解题中注意运用分类思想解决问题.2 4.如图，P 是正方形A8CD中一动点，连接外,PB,PC.(1)如 图 1,若 B C=P B ,NCBP=3 0 ,求 NAPC的度数;(3)如图2,当NAPC=135时，求证：C D=P B；如图3,在（2）的条件下，若正方形A3CZ）的边长为8,。为 3 c 上一点，CQ=2,连接A。,图3P Q,求AAPQ面积的最大值.【答案】（1）135（2）见解析（3）16【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质分别求出N A P3与 NBPC的度数，从而求出NAPC的度数；（2）将“BP绕点B顺时针旋转90 ,得到证明 P C 四 E C
38、 P ,由此可得AC=P E,再证AABC与 P 8 E 都是等腰直角三角形，可得A B =P B，进而证明 8=尸5.（3）由（2）得 B A =B P =B C,以B为圆心，B C 为半径作圆，则点P 在 A C 上，过点8 作B N A Q,交A Q于M,交于N,连接A N、N Q,则当点p与点N重合时，AAQQ的面积最大.【小 问1详解】解：四边形ABCD是正方形,ZABC=90,AB=BC,ZABP=ZABCNCBP=90-30=60,v ABBC,BC=PB,；-AB=PB，ZBPC2180-Z A B P 1800-60ZAPB=-=-180-Z C B P 1800-30-=-
39、75,=60,222 1 NAPC=NAP8+NBPC=600+75=135.【小问2详解】证明：将&W P绕点8顺时针旋转9 0 ,得到 C B E,则A3=3C,BP=BE，AP=CE,ZABP=NCBE,/BAP=/BCE.ZBAP+ZBCP=360-ZABC-ZAPC=135,ZBCE+ZBCP=135,即 NECP=135,ZAPC=/ECP,又AP=CE,CP=PC,A A P C H E C P (SAS).AC=PE,：/PBE=NPBC+NCBE=NPBC+ZABP=ZABC=期，AB=BC,BP=BE，A/LBC与 P B E都是等腰直角三角形,AB-PB，又AB=CD,C
40、D=PB.【小问3详解】解：由（2）得 BA=BP=BC,以8为圆心，8C为半径作圆，则点P在AC上，过点8作5 N J.A Q,交AQ于交于N,连接AN、N。，则当点P与点N重合时，AAPQ的面积最大.BQ=BC-CQ=8 2=6,AB=8,AQ=ABr+BQ1=782+62=10.SABQ=gxA8xBQ=gxAQx6M,即gx8x6=gxl0 x8M.24BM=，5MN=BN-BM=8-生=曲.5 5A/UVQ的面积为LXAQXMN=LX10X3 =16,2 2 5即AAPQ面积的最大值为16.【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，构造圆求三角形面积最大值，勾股定理，解决本题的关键是能够想到利用圆的构造求三角形面积的最大值.