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1、2022年北京市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共8小题，共16.0分）1 .下面几何体中，是圆锥的为（）2 .截至2 0 2 1 年1 2 月3 1 日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2 6 2 8.8 3 亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2 亿 吨.将 2 6 2 8 8 3 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示应为（）A.2 6.2 8 8 3 X 1 O1 0B.2.6 2 8 8 3 X 1 01 1C.2.6 2 8 8 3 X 1 01 2D.0.2 6 2 8 8 3 X 1 01 2A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0 4 .实数a,b 在数
2、轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）ab_1_L._I_I_ L I_ L_-3 -2 -1 0 1 2 3A.a 2 B.b b D.a b5 .不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.；B.；C.1 D.I43246.若关于X的一元二次方程%2 +X+m=0有两个相等的实数根，则实数T H 的值为（）A.4 B.一；C.D.44 47.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）D.58.下面的三个问题中都有两个变量：汽车从4 地匀速行驶到
3、B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A.B.C.D.二、填 空 题（本大题共8 小题，共 16.0分）9.若 后。在实数范围内有意义，则实数x的 取 值 范 围 是.10.分解因式：xy2 x=.11.方程二=工的解为_.x+5 x12.在平面直角坐标系xOy中，若点A（2,yi）,3（5,外）在反比例函数y=0）的图象上，则y】_ y2（填”或13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋
4、的鞋号，数据如下:鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双.第2页，共23页1 4.如图，在 A B C 中，4 D 平分4 B 4 C,DE 若A C=2,DE=1，则SACD=A15.如图,在矩形A B C D 中，若4 B则4 E 的长为.3,AC=5,1 6 .甲工厂将生产的I 号、口号两种产品共打包成5 个不同的包裹，编号分别为4,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、n号产品的重量如下:包裹编号I号产品重量/吨口号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备
5、用一辆载重不超过1 9.5 吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.（1）如果装运的I 号产品不少于9 吨，且不多于1 1 吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9 吨，且不多于1 1 吨，同时装运的I I 号产品最多，写出 满 足 条 件 的 装 运 方 案（写出要装运包裹的编号）.三、解 答 题（本大题共12小题，共68.0分）1 7 .计算：（7 r-l）+4 s i n 4 5 我+|-3|.2 +%7 4x 4+ZX 0时，对于x的每一个值，函数y-x+n的值大于函数y=kx+b(k*0)的值，直接写出n的取值范围.23.某校举办“歌唱祖
6、国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图：第4页，共23页甲0123456789 10 11 评委编号-乙6.丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙内平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：(1)求表中m 的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致(填“甲”或“乙”)；(3)如果每位同学的
7、最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表 现 最 优 秀 的 是(填“甲”“乙”或“丙”).2 4.如图，是0。的直径，CD是。的一条弦，AB 1 C D,连接AC,OD.(1)求证：乙BOD=24A；(2)连接。B,过点C作C E 1 D B,交DB的延长线于点E,延长C。，交4 c 于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为。的切线.2 5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着
8、陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：M)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y =a(x -h)2+k(a 0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下:水平距离x/m02581 11 4竖直高度y/m2 0.0 02 1.4 02 2.7 52 3.2 02 2.7 52 1.4 0根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系、=a(x ft?+k(a 0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系y =0.0 4。-9)2 +2 3.2 4.记该运动员第一次训练的着陆点的水
9、平距离为d】，第二次训练的着陆点的水平距离为d 2,则n 弓 2(填“”=”或2 6 .在平面直角坐标系x O y 中，点(3,7 1)在抛物线丫=。/+。%+0)上，设抛物线的对称轴为=t.(1)当c =2,m =n时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点(Xo.nO Q o消1)在抛物线上.若m n c,求t 的取值范围及出的取值范围.2 7 .在A A B C 中，乙4 c B =9 0。，。为力B C 内一点，连接B D,D C,延长D C 到点E,使得 CE=DC.如图1,延长B C 到点F,使得CF =BC,连接A F,EF.AF 1 EF,求证：BD 1 A F；(2)
10、连接4 E,交8。的 延 长 线 于 点 连 接 CH,依题意补全图2.若=A E2+B D2,用等式表示线段C D 与C H 的数量关系，并证明.第6页，共23页2 8.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P 向右(a 2 0)或向左(a 0)或向下(b 0)平移|b|个单位长度，得到点P,点P关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.(1)如图，点点N在线段OM的延长线上.若点P(-2,0),点Q为点P的“对应点”.在图中画出点Q；连接P Q,交线段ON于点7,求证：NT=g O M；(2)。的半径为1,M是。上一点，点N在线段OM上，且。N=
11、若P为O。外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含的式子表示).答案和解析1 .【答案】B【解析】解：4 是圆柱；B 是圆锥；C 是三棱锥，也叫四面体；。是球体，简称球；故选：B.简单几何体的识别.本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键.2 .【答案】B【解析】解:2 6 2 8 8 3000000=2.6 2 8 8 3 X 1 01 1.故 选:B.用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a x 1 0”,其中1|a|1 0,n 为整数，且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，
12、一般形式为a x 10%其中l W|a|1 0,确定a 与n 的值是解题的关键.3.【答案】A【解析】解：根据对顶角相等的性质，可得：41 =30。，故 选:A.根据对顶角的性质解答即可.本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键.4.【答案】D【解析】解：根据图形可以得到：-2a0 l6 0时，方程有两个不相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实数根；当/8【解析】解：VF。在实数范围内有意义，x 8 N 0,解得：x 8.故答案为：x 8.根据二次根式有意义的条件，可得：x-8 0,据此求出实数x的取值范围即可.此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二
13、次根式中的被开方数是非负数.10.【答案】x(y-l)(y+1)【解析】解：xy2-x,=x(y2 1),=x(y-l)(y +l).故答案为：%(y-l)(y +l).先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.第10页，共23页本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.I I .【答案】x=5【解析】解：去分母得：2x=x+5,解得：x=5,检验：把x=5代入得：x(x+5)0,分式方程的解为 =5.故答案为：x=5.分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，
14、经检验即可得到分式方程的解.此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.12.【答案】【解析】解：.%0,.反比例函数丁 =；(卜 0)的图象在一、三象限，5 2 0,点Z(2,yi),B(5,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，y-L 以，故答案为：.先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答.此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单.13.【答案】120【解析】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为总x 400=120(双)
15、.故答案为：120.应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案.本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键.14.【答案】1【解析】解：过。点作D H 14C 于H,如图,力。平分 NBAC,DE LAB,DH 1 AC,DE=DH=1,S4ACD=2 X 1=1.故答案为：L过。点作OH，AC于H,如图，根据角平分线的性质得到DE=OH=1,然后根据三角形面积公式计算.本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.15.【答案】1【解析】解：.四边形力BCD是矩形，AABC=90,AD/BC,v AB=3,AC=5,:.BC=y/A
16、C2 AB2=V52-32=4,AF 1 A D/B C,黄=；，.AE _ AF _ 1*BC FC 4AE 1.*-=一,4 4AE=1,故答案为：1.由矩形的性质得出乙4BC=90。，4DB C,利用勾股定理求出BC=4,利用相似三角形的性质，即可求出4E的长.本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.16.【答案】ABC（或48E或2D或ACD或BCD）ABE或BCD【解析】解:（1）选择ABC时，装运的/号产品重量为:5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16 19.5（吨），符合要求：选择4BE时，装运的/号产
17、品重量为：5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19 19.5（第12页，共23页吨），符合要求；选择4D时，装运的1号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7=13 19.5（吨），符合要求；选择ACD时，装运的1号产品重量为：5+2+4=11（吨），总重6+5+7=18 19.5（吨），符合要求：选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17 19.5（吨），不符合要求；选 择 时，装运的/号产品重量为：3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20 19.5（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或4。或ACD或BCD.故答案为：ABC
18、（A B E A D A C D B C D（2）选择力BC时，装运的1号产品重量为：1+2+3=6（吨）；选择4BE时，装运的/号产品重量为：1+2+5=8（吨）；选择力。时，装运的号产品重量为：1+3=4（吨）；选择4CD时，装运的号产品重量为：1+3+3=7（吨）；选择BCD时，装运的号产品重量为：2+3+3=8（吨）；故答案为：ABE或BCD.从 A,B,C,D,E中选出2个或3个，同时满足1号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运号产品最多的方案即可.本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解
19、题的关键.17.1答案解：原式=1+4 x 2-72+32=l+2V2-2V2+3=4.【解析】直接利用零指数塞的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案.此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.18.【答案】解：由2+%7 4x得：%1,由 等，得：%0时，对于的每一个值，函数y =久+r i 的值大于函数、=/c%+b(k H 0)的值.【解析】(D 先利用待定系数法求出函数解析式为y =：x +i,然后计算自变量为0 时对应的函数值得到4点坐标；(2)当函数y =x+n 与y 轴的交点在点4(含4 点)上方时,当x 0 时,对于x 的每
20、一个值，函数y =x +n 的值大于函数y =kx+b(kk0)的值.本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键.也考查了一次函数的性质.2 3.【答案】甲 丙【解析】解：徵=x(1 0+1 0+1 0+9 +9 +8 +3+9 +8 +1 0)=8.6；(2)甲同学的方差陷=x 2 x (7-8.6)2+2 x (8 -8.6)2+4 x(9-8.6)2+2 x(1 0 -8.6)2 =1.0 4,乙同学的方差歹=x 4 x (7-8.6)2+2 X (9 -8.6)2+4 x (1 0 -8,6)2 =1.8 4,.评委对甲同学演唱的评价更
21、一致.故答案为：甲；(3)甲同学的最后得分为;X (7+8 X 2 +9 X 4 +1 0)=8.6 2 5：8第16页，共23页乙同学的最后得分为;X (3 x 7 4-9 x 2 +1 0 X 3)=8.6 2 5；O丙同学的最后得分为;x (8 x 2 4-9 x 3 +1 0 x 3)=9.1 2 5,8在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙.故答案为：丙.(1)根据平均数的定义即可求解；(2)计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；(3)根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论.本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提.2
22、4.【答案】证明：(1)如图，连接4 0,k-74 B 是。的直径，AB 1 CD,BC-BD，Z.CAB=Z.BAD，乙 BOD=2Z.BAD,乙 BOD=2 Z71；(2)如图,连接O C,v F 为4 c 的中点,DF 1 AC,:.AD=CD,:.Z-ADF=乙CDF,V BC BD 乙 CAB=Z-DABv OA=OD,:.Z-OAD=4ODA,:.乙CDF=Z.CAB fv OC=OD,乙CDF=乙OCD,:.Z-OCD=Z-CAB iV 前=俄,Z-CAB=Z-CDE,:.Z-CDE=乙OCD,v Z-E=90,Z.CDE+Z.DCE=90,Z.OCD+LDCE=90,即。C 1
23、 CE,OC为半径，直线CE为。的切线.【解析】（1）连接4 0，首先利用垂径定理得诧=劭，知4018=4 8/1 0,再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接0 C,首先由点F为4C的中点，可得ZD=C D,贝U乙4DF=4C D F,再利用圆的性质，可说明NCDF=乙OCF,/.CAB=U D E,从而得出/OCD+乙DCE=9 0 ,从而证明结论.本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.25.【答案】【解析】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8,23.20）,九=8,k=23.20,即该运动员竖直高度
24、的最大值为23.206，根据表格中的数据可知，当 =0时，y=2 0.0 0,代入y=Q。一 8 7+23.20得：第18页，共23页20.00=a(0-8/+23.20,解得：a=-0.05,.,函数关系式为：y=-0.05(%-8)2+23.20；(2)设着陆点的纵坐标为3则第一次训练时，t=-0.05(x-8)2+23.20,解得：x=8+/20(23.20-+)或 x=8-/20(23.20-t),.根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离虑=8 +720(23.20-t)-第二次训练时，t=-0.04(x-9)2+23.24,解得：%=9+J25(23.24-t)或x=9-J25(
25、23.24-t),根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离dz=9 +V25(23.24-t).:20(23.20-t)25(23.24-t),520(23.20-t),25(23.24-t),*d1 V d 2,故答案为：.(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出八、k的值，运动员竖直高度的最大值：将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；(2)设着陆点的纵坐标为3分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出四和d 2,然后进行比较即可.本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为3用t表示出心和
26、是解题的关键.26.【答案】解：(1)将点N(3,n)代入抛物线解析式，.(m=a+b+c tn=9a+3b+cm =n,a+b+c=9a+3b+c,整理得，b=-4 a,.抛物线的对称轴为直线x=2；2a 2at=2,V C=2,抛 物 线 与 y轴交点的坐标为(0,2)(2)v m n c,a+b+c 9Q+3b+c c,解得-4 a b -3 a,.3a b 4a,3a j b,4a nr|3-,QA -,即一 t 2.2a 2a 2a 2当t=|时，Xo=2;当t=2时，x0=3.,o的取值范围2 V&V3.【解析】(1)将点(L m)，N(3,n)代入抛物线解析式，再根据m=n得出b
27、=4Q,再求对称轴即可；(2)再根据m V 几V c,可确定出对称轴的取值范围，进而可确定 的取值范围.本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解.27.【答案】(1)证明：在BCD和AFCE中，BC=CF乙 BCD=乙 FCE,CD=CE BCD三%儿?),:.Z-DBC=Z-EFC,BD/EF,v AF 1 EF,BD 1 4产；(2)解：由题意补全图形如下：CD=CH.证明：延长BC到F,使CF=B C,连接AF,EF,AC 1 BF,BC=CF,AB=AF,由(1)可知BDEF,BD=EF,第20页，共23页V A B2=A E2 B D2,.AF2=AE2+EF29 AAEF
28、=9 0,AE 1 EF,BD LAE,H E=9 0,又 CD=CE,:.CH=CD=CE.【解析】证明 B C D 三 F C E(S A S),由全等三角形的性质得出4 D B C =FC,证出B D/E F,则可得出结论；(2)由题意画出图形，延长B C 到F,使C F =B C,连接4 F,E F,由(1)可知B D E 凡BD=E F,证出乙4 E F =9 0。，得出Z D HE =9 O。，由直角三角形的性质可得出结论.本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明 B C D 三 A F C E 是解题的关键.2 8.【答案】解：
29、(1)由题意知，(-2 4-1,0+1),如图，点Q 即为所求；Q(5,3),设直线P Q 的解析式为y =kx+b,=3b-卜b,43-76-7o同理，直线。M的解析式为y=x,-x +-=x,7 7解得X=|，呜 1),.NT=J(2 一|)2+(2 _|+=押i,V OM=V2,NT=30M；TQ=2MN,MN=0 M-O N =l-t9T Q=2 23:.SQ=S T-T Q =l-(2-2 t)=2 t-l,在 APQS中，PS-QS PS+QS,.PS的最小值为P S-Q S,PS的最大值为PS+QS,PQ长的最大值与最小值的差为(PS+QS)-(PS-QS)=2QS=4 t-2.
30、【解析】(1)根据定义，先求出P的坐标，从而得出Q的位置；利用待定系数法求出直线PQ和。M的解析式，从而得出7 的坐标，求出N7和。M的长度，即可证明结论；第22页，共23页(2)连接P。，并延长至S,使OP=O S,延长SQ到T,使s r =O M,由题意知，PPJ/OM,PPi=OM,PN=N Q,利用三角形中位线定理得Q7的长，从而求出SQ的长，在 PQS中，P S-Q S P S +Q S,则PS的最小值为P S-Q S,PS的最大值为PS+Q S,从而解决问题.本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键.