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1、第五板块I 解析几何:层 级（一）:目标学法:教学定位嚣 矗 鑫:基础性考法 自主评价自我补短：二轮复习前的自查热身基础考法（一）直线的方程 评价诊断1.已知直线2xy+l=O与直线x+zy+2=0垂直，则机=（）A.-2 B.一 彳C.2D.1解析：选 C 当/麓=0 时，工+9+2 =0 0 X=-2,由 2xy+l=0 知 y=2 x+l,斜率为2,所以直线2 x-y+l=0 与工=一2 不垂直，不符合题意；当mWO时，x+m y+2=0 y1 2=-丫-.m in9因为直线2%y+l=O 与直线x+m y+2=0垂直，所以一、X 2=1,解得m=2.2.设直线/的方程为x-y s in
2、 9+2=0,则直线/的倾斜角a 的范围是（）n 7 T|A.0,7r B.w，2Jr J r 3九 V n 元、（n 3n|c 4 TJ D.匕，2 匕，Tj解析：选 C 直线/的方程为xysin，+2=0,当sine=O 时，直线方程为x=-2,倾斜角1 2当sin WO时，直线方程化为了=而彳”+而 斜率1 sin 夕因为 sin，G -l,0）U（0,1,所以 AG（-8,1U1,+）,即 tanaG（-8,lu l,+）,又因为 aGO,n）,所以 a G,普.综上可得，a d|j,里3.（2022常傀一模）已知直线 k a x-4 j-3=0,Z2：x-a j+l=O,贝!|“a=
3、2”是“/ihn 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A 若，15 则有一层+4=0,解得 a=2,当 a=2 时，2x-4y3=0,l2:x-2 j+l=0,h/l2,当。=一 2 时，/i：2x+4y+3=0,I 2：x+2 y+l=0,l/h,所以若/i/2,a=2,所 以“a=2”是11n的充分不必要条件.4.（2022山东济南二楼）已知抛物线方程为y2=4 x,直 线I：x+y+6=0,抛物线上一动点P到直线1的 距 离 的 最 小 值 为.X+V+W J=0,解析：设与直线/平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+?=0,由，得y=
4、4 xy2+4 y+4 m =0,则/=1616根=0,得，=1,所以切线方程为x+y+l=0,1 出一 1|2A/2所 以 抛 物 线 上 一 动 点 尸 到 直 线/的 距 离 的 最 小 值 为 =2 -田.2-g答案：扫盲补短】基础考法（二）圆的方程知识盲点倾斜角a 与斜率M的关系：当a 0,?时，*e 0,+8）,当a=1 时，斜率A不存在，当 a e R,7 t）时，左 G（8,0）思维难点（1）设直线的方程时要注意其适用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况.（2）已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意
5、验证与x,y 轴垂直的特殊情况 评价诊断1.设甲：实数“0,解得a|;5 5V a/z,0,所以过这三点的圆的方程为3+炉一争:一争,2727X6 59若圆过(4,0),(1,1),(4,2)三点，设过这三点的圆的一般方程为*2+炉+加+y+尸=o,分别将三点的坐标代入，(1 6+4 0+尸=0,可得2。+f=0,20+40+2E+F=0,解得，E=-2,易得。2+E24尸 0,所以过这三点的圆的方程为好+产一与x2y一学=0,即g 2+(y 1)2=.答案：(*_2)2+3_3)2=13 或(*_2)2+&-1)2=5 或q _ 3 2 +Q _ 3 2 =系或+扫盲补短方法疑点求圆的方程主
6、要方法有两种(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心3,。)和半径r有关，的标准方程，否则选择圆的一般方程则设圆思维难点求圆的方程时要注意应用圆的几何性质，即应用数形结合的思想方法基础考法(三)直线与圆、圆与圆的位置关系 评价诊断1.过抛物线y2=4x焦 点F的直线与圆*2+中-12*+27=0相切于点P,则|尸 司=()A.3B.23C.4D.32解析：选 C 由题可得F(l,0),圆 x2+j2-1 2 x+2 7=0,即(*-6)2+炉=9,圆心为(6,0),半径为 3,所以|P F|=d(61)2-3
7、2=4.2.过点M(3,l)作 圆 好+中-2*一6厂12=0的切线/,贝！1/的 方 程 为()A.x+j4=0 B.x+y4=0 或 x=3C.x y 2=0 D.x+y-2=0 或 x=3解析：选 C 根据题意，设圆好+y 2*6 y+2=0 的圆心为C,圆 x2+y22x6 y+2=O,即(x-l)2+(y 3/=8,其圆心为(1,3),又由点M 的坐标为(3,1),有(31尸+。-3)2=8,即点M 在圆上，则 AMC=1IZ|=1,则切线的斜率A=l,则切线的方程为j l=x 3,即 xy-2=0,故选 C.3.(2022洌博一模)(多选)若圆G：*2+炉=1 与 圆。2：(x-a
8、 p+u-力 2=i的公共弦的长为1,则下列结论正确的有()A.a2+b2=lB.直线AB的方程为2ox+2与-3=0C.4 5 中点的轨迹方程为工2+产=、D.圆 G 与圆C2公共部分的面积为零-半解析：选 BC 两圆方程相减可得直线A 3 的方程为4+小2or2 a=0,5p 2ax+2by-a2-b2=0,因为圆G 的圆心为Ci(0,0),半径为1,且公共弦A 3 的长为1,则 G(0,0)到直线 2ax+2bya?/2=0的距离为卓，所 以 二十：=坐,解 得。2+廿=3,所以直线A51 y 4(a2+b2)2的方程为2ax+2%3=0,故 A 错误，B 正确；由 圆 的 性 质 可
9、知 直 线 垂 直 平 分 线 段 AB,所 以 G(0,0)到直线2ax+2切一层一52=0的距离即为A B中点与点G 的距离，设 A 5 中点坐标为(x,y),因此7(x0)2+(y0)2=乎,即 产+产 二 故 c 正确；因为AB=GA=G 5=1,所以N 5 G A=g,即圆G 中劣弧A 5 所对的圆心角为三，所以7t扇形的面积为jx 7 rX 1 2=三 角 形 C/8的面积为W x i X l 义害=申,所以圆G 与 圆C2L it O L Z 4公共部分的面积为2 X,一坐 =W一坐，故 D 错误.扫盲补短基础考法(四)圆锥曲线的方程与简单性质方法疑点(1)与圆的弦长有关的问题常
10、用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长(构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.(2)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法思想高点涉及圆的切线和弦长问题，一般都要连接圆心和切点，或圆心和弦的中点，利用数形结合的思想方法求解 评价诊断X2 V21.关于椭圆C：，+方=1 3 方 0),有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为 2；丙：离心率为g；T：右准线的方程为*=4；如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：选 B 依题意，甲：a=2;乙：b=l;丙：!=；丁：-=4；甲、丙、丁真命题
11、，故乙为假命题.故选B.2.双曲线E 与椭圆G?+f=1 焦点相同且离心率是椭圆C 离心率的巾倍，则双曲线E的标准方程为()A./=B.y22x2=lc d=i D-9 一中=1解析：选 C 双曲线E 与椭圆C:+=1 焦点相同，则焦点坐标为(-2,0),(2,0),椭圆的离心率为亚_2乖=而2双曲线的离心率为小X赤=也，设双曲线实半轴长为生虚半轴长为b,焦距为2 c,则 C=2,、木今a=小,1 b=巾,所求双曲线方程为：j=1.3.(2022北京高考)已知双曲线丹=1 的渐近线方程为尸土坐x,则%=.解析：法一：依题意得m 0,双曲线的方程可表示为炉一士=1,此时双曲线的渐近,解得/九=3
12、.法二：依题意得/九0,令 y2一2 一=0,线的斜率为-9=兴y1-m J得 尸 7 =x=土坐x,解得/n=-3.J答案：一34.已知抛物线V=2p x(p 0),若过点(1,2)的直线/与抛物线恒有公共点，则 p 的值可以 是.(写 出 一 个 符 合 题 意 的 答 案 即 可)解析：若点(1,2)在抛物线y2=2px(p o)的内部或在抛物线上，则过点(1,2)的直线/与抛物线恒有公共点，所以当x=l 时，y=4 5 2 2,解得p2,故答案为2(答案不唯一，不小于2 的实数均正确).答案：2(答案不唯一，不小于2 的实数均正确)扫盲补短知识盲点h/丫 2已知双曲线的渐近线方程产力，
13、可设双曲线方程为今一方=如 为常数)，此时 双 曲 线 的 离 心 率1+0 2=业+卜2方法疑点(1)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为层=+,2,双曲线中的关系式为。2=9+系;(2)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置 课时验收评价 基础性考法满分练1.已知直线a x+2 y+6=0与直线x+(a-l)j+a2-l=0 互相平行,则实数a 的值为()A.-2 B.2 或一1C.2D.-1解析：选 D 直线ax+2y+6=0斜率必存在，已知两直线平行，则一5=即层一a2=0,/(I 1解得a=2或 a=1,当。=2 时，两直线重合，=1.2.(2022四川冰山二模)已知双曲线一
14、,=1,则下列说法正确的是()A.离心率为2 B.渐近线方程为小xy=0C.焦距为m D.焦点到渐近线的距离为由v2 x2_解析：选 A 因为双曲线：一 1=1,所以“=&，/c=-J a2+b2=2y/2,所以离心率e=：=1 亭=2;渐近线方程为7=齐=；景=土 乎 x,即小x 3y=0;焦距为2c=4 g；焦点坐标为()，272)焦点到渐近线的距离为d=10+3X221（小尸+32水.3.(2022江苏连云港模拟)直线，x-y+/n+/=0 与圆x2+y2=4相切，则机的值为()A.小B.1D.一小解析：选 C 因为直线mxy+/n+由=0 与圆*2+y2=4相切,所以由圆心到直线的距离
15、等于半径得：d=r,即,+小|y i n2+l2,解得:亚=3-4.已知从点(一5,3)发出的一束光线，经 x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x-l)2+(j-1)2=5 的圆周，则反射光线所在的直线方程为()A.2x3 j+l=0 B.2x3j1=0C.3x2 y+l=0 D.3x2j1=0解析：选 A 设点A 的坐标为(一5,3),圆(工-1)2+&-1)2=5的圆心坐标为3(1,1),设 C(x,0)是 x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(xl)2+(y1产=5 的圆周，所以反射光线经过点8(1,1),由反射的性质可知：30.10 1匕 C+ABC=0=二 +厂 三=0 0 *=-5
16、,于 是 痴=I。小号,所以反射光线所在的直线方程为：产 能+号)0 2x3 y+l=0,1一1一2故选A.5.(2022广东潮州二楼)唐代诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为8(3,4),若将军从点4 2,0)处出发，河岸线所在直线方程为y=x,则“将军饮马”的 最 短 总 路 程 为()A.5 B.35 C.45 D.5小解析：选 B 因为点4(一2,0)关于直线y=x 的对称点为A(0,
17、2),所以H 阴即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A B=y/9+36=3下.6.(2022河北磬山二机再为抛物线C：y2=4x的焦点，点 M(i,4)在 C 上，直 线 交C 的准线于点N,则|F N|=()A4 B.yC.5 D.12解析：选 B 点 M(i,4)在抛物线C:y2=4 x-L,则 42=4,，解得胆=4,则 M(4,4),又抛物线C:V=4 x 的焦点粗1,0),准 线*=一 1,则直线M F的方程为4 x-3 j-4=0,7.在 圆 M：*2+炉-2A 3=0 中，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为AC和 5。，则四边形ABCD的 面 积 为
18、()A.2y2B.4巾C.62D.82解析：选 B 圆 M:x2+j2-2 x-3=0,即 M:(x-l)2+V=4,圆心为 M(l,0),半径 r又|M E|=d#+(iy=巾,所以过点E(0,l)的最长弦|AC|=2r=4,最短弦|8。|=2可=一附：|2=2吸,且最短弦与最长弦互相垂直，所以S 臼 边 好 ABCD=ACXBD=4y2,故选B.8.(2022北京西城一模)已知点A 为 圆 C：(X一m)2+3?-1)2=2上一点，点 8(，0),当机变化时，线段4 B 长 度 的 最 小 值 为()A.1B.2C.2 D.2巾解析：选 C 由圆 C:(X/n)2+(y/n1)2=2,可得
19、圆心 C(?,m+1),半径为 r=&,则 18cl=yj(m-3)2+(m+l)2=y2m2-4m+U)=yj2(m l)2+S,当 机=1 时，|8C|取得最小值，最小值为18clmm=2 g，所以线段A B 长度的最小值2取一r=9.(多选)已知直线/：fcry+2A=0 和 圆。：x2+j2=9,贝！|()A.直线/恒过定点Q,0)B.存在#使得直线/与直线/o：x-2 y+2=0 垂直C.直线/与圆。相交D.若k=T,直线/被圆0 截得的弦长为2巾解析：选 BCD 直 线/:k x-y+2 k=0,即 y=A(x+2),则直线恒过定点(-2,0),故 A错误；当k=2 时，直线/:A
20、xy+2 =0 与直线/()：r2y+2=()垂直，故 B 正确；,定点(-2,0)在圆 O:x2+y2=9 内部，直线/与圆O 相交，故 C 正确；当 A=1 时，直线/化为一%y2=0,即 x+y+2=0,圆心。到直线的距离d=巾,直线/被圆O 截得的弦长为八万二1=2由，故 D 正确，故选B、C,D.1 0.(多选)点尸在圆 G：x2+j2=l ,点。在圆 C2：(x-3)2+U+4)2=16 上，贝！J()A.|P|的最小值为()B.两圆公切线有两条C.两个圆心所在的直线斜率为一：D.两个圆相交弦所在直线的方程为3x-4y5=0解析：选 AC 由圆的方程知：圆 G 的圆心G(0,0),
21、半径n=1;圆 C2的圆心Cz(3,一4),半径/2=4；|CiC2|=Aj(0-3)2+(0+4)2=5=ri+/-2,两圆外切；对于A,若 P,。重合，为两圆的切点，则|PQ|min=0,A 正确；对于B,两圆外切，则公切线有3 条，B 错误；,_ 4 0 4.对于 C,k C C=1=_Q,C 正确；J U J对于D,I两圆外切，.两个圆不存在相交弦，D 错误.x11.(多选)设椭圆束2 +v2=1 的右焦点为F,直 线 产，”(0 VZ巾)与椭圆交于A,5 两点,则()A.以 尸|十|8/|为定值B.A3尸的周长的取值范围是6,12C.当,=乎 时，ZXABF为直角三角形D.当,=1
22、时，ZVIB厂的面积为祈解析：选 ACD 设椭圆的左焦点为F ,则|A尸|=|8 尸|所以|4尸|+|5 尸|=以尸|+|4/|=6 为定值，A 正确；ABF的周长为 A B +A F+B F,因为|4尸|+山川为定值6,且用的取值范围是(0,6),所以AB尸的周长的取值范围是(6,12),B 错误；将 y=乎与椭圆方程联立解得A(一 嗜，明，3停，啜 又 因 为 尸(巡，0),所 以 万 7 =0+可 )+G)2=0,所以4 4 8 户为直角三角形，C 正确；将 y=l 与椭圆方程联立，解得A(一祈，1),B(木,1),所以SAABF=；X2出 X l=加,D 正确.1 2.(多选)在平面直
23、角坐标系xOy中，点 M(4,4)在抛物线V=2px(p0)上，抛物线的焦点为尸，延长M F与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是()A.抛物线的准线方程为了=一1B.MN=C.0M N的面积为TD.|MF|+|NF|=|MF|NF|解析：选 AD ,点 M(4,4)在抛物线 V=2px(p0)上，.42=8p=p=2 ir：.y2=4 x,焦点为f(1,0),准线为*=-1,A 正确，因为M(4,4),40 4 4故匕WF=T=3，故直线 M F 为：J=j(x1),1j2=4x,厂%_)=(X1)2=4X,解得 X=；或 X=4,1),)u 5 5 25.,.|M F|=4+5=5,|N尸
24、|=+=不.,.附N|=5+w=1,B 错误，25 i i|M F|+|NF|=|M N|=N=|M F|N尸 I,D 正确，OMN 的面积为予。尸 Ky“一yN)=5X lX 5.故C 错误，故选A、D.13.(2022天津一桃)直线Z：xy一帆=0 被 圆 C：x2+j24x+6j3=0 截得的弦长为4 2,则，的值为.解析：x2+j24x+6j3=0=(x2)2+(y+3)2=16,|2+3一川|5一相|圆心C(2,3),半径r=4,圆心。到直线/的距离d=啦=飞 厂则 2年产一.=4啦,即 16_ ；“)=8,解得m=9或 1.答案：1 或 9*2 y2、514.(2022 辽宁鞍山一
25、中模拟)与椭圆五+方=1 有公共焦点，且离心率e q 的双曲线方程为.解析:由元+看=1 可得焦点坐标为(0,5),(0,5),由题意设双曲线方程为，一户=l(a 0,Z0),贝 42 2所以方2=。2-2=251 6=9,所以双曲线方程为标一方=1.15.渐近线方程为y=V5x且过点P(黄，2M3)的 双 曲 线 方 程 为.解析：若双曲线的焦点在X轴上，设双曲线方程为工 2-笈M =1,则%且7亲 一3 爷 2=1,无v2 y l a 3解；若双曲线的焦点在丁轴上，设双曲线方程为右一於=1,则称=小且5 一本=1,得。2=3,ft2=l,则双曲线方程为一必=1.答案：专一好=116.(20
26、22北京海淀二模)已知圆C：x2+j2+2 x=0,则圆C 的半径为；若直线y=k x被圆 C截得的弦长为1,则k=.解析：将 好+产+2%=0化为标准式得(x+l)2+y 2=l,故半径为1；圆心(-1,0)到直线y=k x的距离为 由弦长为1 可得22=1,解得k=其答案：1 73;层 级(二);目标学法:教学定位器矗矗:综合性考法i深化学习精细研究i二轮复习的重心所在微专题(一)圆的综合问题命题点(一)公共弦问题 例 1 过圆M：(x-l)2+y 2=4 内一点A(2,l)作一弦交圆于8,C 两点，过 点 8,C 分别作圆的切线尸3,P C,两切线交于点P,则点尸的轨迹方程为()A.j-
27、5=0 B.x+y+5=0C.x+j-5=0 D.x-j-5=0 关键点拨 解析 设尸点坐标为(Xo,Jo),切入点设尸点坐标为(xo,%),写出以M P为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点AQ,1)代入方程，由此得出结论障碍点确认点A在两圆的公共弦上根据圆的直径式方程知，以M P为直径的圆的方程为(x-l)(x-xo)+y(y 泗)=0,两圆方程作差可得公共弦BC的方程为(孙一l)x+yy(一刈-3=0,而4(2,1)在直线8 c 上，.,.xo+jo-5=O,故点尸的轨迹方程为x+y5=0,故选C.答案 C 例 2 (2022山东临沂二模)若圆G：x2+y2=l与 圆 C2
28、：(x-a)2+(y-b)2=l的公共弦A B的长为1,则直线层*+2尤y+3=o 恒过定点M的坐标为.关键点拨 解析 由 G：x2+j2=l 和 C2：(x-a)2+(y-6)2=l 可得公共弦所在直线方程为x2+y2切入点先求出公共弦所在直线方程，由公共弦4 8 的长为1 结合圆中弦长公式求得凉+b2=3,将直线转化为，(x-2 y)+6 y+3=0,解方程组即可求得定点坐标障碍点求公共弦A B所在的直线方程关键点寻求a 和 5 的关系式(Xa)2+(y b)2=0,B P 2ax+2by-a2 b2=0,由公共弦 A B 的长为 1 可得直线 2ax+2by-a2-b2=()与圆 Ci：
29、*2+y2=l相交弦长即为1,又圆心到直线的距离|一o2-y j a2-b2y j 4a2+4b2 2故心呼2,即/+=3,故直线。2*+2尤y+3=0,可化为 a2x+(62a2)j+3=0,整理得 a2(x-2J)+6J+3=0,Jx2j=0,由 6j+3=0,故定点M 的坐标为(一1,一，.【答案】(一1，-1)口方法技巧(1)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去了 2,y2项得到.(2)求两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半弦长 半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.(3)两圆公共弦的垂直平分线过圆的圆心.*对训练1.已知圆G：炉+产a3=0 平分圆。
30、2：(Xl)2+(y 2)2=4 的周长，则帆=()A.2 B.4 C.6 D.8解析：选 C 由圆Ci：好+产一切x3=0 平分圆C2：(x-lp+ty 2)2=4的周长可知，圆 G 经过圆C2的一条直径的两个端点，所以圆C2的圆心在圆G 与圆。2的公共弦上，两圆方程相减整理得圆G 与圆。2的公共弦所在直线的方程为(2山)工+4y一4=0,又圆心。2(1,2),所以2胆+8 4=0,所以 1=6,故选C.2.已知圆Oi：炉+炉2工-3=0 与圆。2：炉+炉4x+2y+3=0相交于点A,B,则四边形4。山。2的 面 积 是()A.1 B.2 C.3 D.4解析：选 B 根据条件易知01(1,0
31、),02(2,-1),所以|01。2|=也，圆 Oi：x2+y2-2x-3=0 的半径为2,圆 Oi：炉+产-2荣 一3=0 与圆。2：d+俨一4x+2y+3=0相交于点A,B,A 5 的方程为：2 x-2 y-6=0.即x-y-3=0,圆心Oi到 A 5 的距离为:|1一0-3|=也,于是4 6|=2 6，因为 OIO2LA8,所以四边形4 0 8。2的面积为：|AB|O,O2|=|X2y 2Xy 2=2.命题点(二)隐圆问题在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.例 1 已知点4(
32、5,5)在动直线,“一3 =0上的射影为点8,若 点 C(5,-1),那么|BC|的最大值为()A.16 B.14 C.12 D.10 解析 动直线的方程可变形为机(工-1)+。-3)=0,所以，该直线过定点Q(l,3),又因为点4(5,5)在动直线m x+n y m 3 n=0上的射影为点B,所以，NA8Q=90。，设线段4。的中点为点M,则 M(2,-1),由直角三角形的基本性质可得|8M=；|A Q=W(-5-l)2+(-5-3)2=5,所以点B在以线段AQ为直径的圆上，即点B在圆(X+2)2+(J+1)2=25上，又因为点 C(5,-1),故|CM|=y(5+2)2+()2=7,因此，
33、|BC|max=|C M+5=7+5=12.答案 C 例 2 若平面内两定点A,B 之间的距离为2,动点尸满足|尸3 也|E 4|,贝 iltanNAB尸的最大值为()D.小C巾【关键点拨】切入点由题意，建立坐标系后，设 点4(-1,0),8(1,0),根据题意，求出动点尸的轨迹方程，再数形结合即可求解隐藏点根 据 动 点P满足确定动点P的轨迹迁移点数形结合，利用直线和圆的位置关系确定使tanNABP最大的点尸 解析 以 经 过A,B的 直 线 为x轴，线 段4 3的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则 A(1,0),3(1,0),设尸(x,y),：PB=y2PA,.(X l)2+j2 r-,
34、y(*+)2+尸2,两边平方整理可得：*2+6x+V+l=0=(x+3)2+y2=8,即动点尸的轨迹是以(一3,0)为圆心，以2加 为 半 径 的 圆，当点尸在如图所示的位置时，tanNABP的值最大，+3.2 g 2ylitan Z A B P-1,答案B口方法技巧发现确定隐圆的主要方法(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.(2)在平面上给定相异两点4,8,设 点P在同一平面上且满足|松|=川产阴，当2 0且2#1时，点尸的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.(3)两 定 点A,B,动 点P满 足 铉 不 了=2,确定隐圆.斗对训练1.在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知
35、圆C：x2+j2-6 x+5=0,点4,8在 圆 上，且|AB|=2小，则|亩+苏|的取值范围是.解 析：设4(X1,Ji),B(X2,J2),A5 中点 M(x,y ).=空 至,y=肛 瞥，：.OA+OB=(xi+x2,yi+yi)=2O M,圆 C:x2+y2-6 x+5=o,.(x-3)2+/=4,圆心 C(3,0),半径|C4|=2.一 点A,B在圆 C上，|AB|=2小，A|CA|2-CM=(1AB2,即|CM|=1.点M在 以C为圆心，半 径r=l的圆上.：.O M O C-r=3-1=2,|O M|4|O C|+r=3+1 =4.：.2 OM 4,：.4 OA+7)B S.答案
36、：4,82.已知圆O：/+了 2=1,圆 Af：(x2a)2+(ya+l)2=l,若圆M 上存在点P,过点尸作 圆。的两条切线，切点为A,B,使得NAP5=60。，则”的取值范围是.解析：圆。的半径为1,圆M 上存在点P,过点尸作圆。的两条切线，切点分别为A,B,使得N A P B=60,则N 4P o=30。，在 RtzjR40中，|尸 0|=2,所以点尸在圆好+?2=4 上，由于点P 也在圆M 上，故两圆有公共点.又圆M 的半径等于1,圆心坐标M(2a,a-1),：.2-l O M 2+l,，2 1W-4a2+5 一1)2卜2+l=e 0 U.答 案:mm，气叵命题点(三)与圆有关的最值、
37、范围问题与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题、与圆相关的长度或面积的最值问题.除了以选择题、填空题的形式考查外，有与圆锥曲线相结合的考查趋势.例 1 (2022新高考II卷)设点A(2,3),5(0,a),若直线AB关于y=a 对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点，则a的 取 值 范 围 是.解析 由题意知点4(一2,3)关于直线y=a的对称点为A (-2,2a3),所以以，B=3c i3-a,所以直线4 5 的方程为了=厂工+。，即(3-a)x-2 y+2 a=0.由题意知直线4 B与圆(x+3)2+&+2)2=1 有 公 共 点，易 知 圆 心 为(-3,-
38、2),半 径 为 1,所以L 3 1 3-,+(二这,整理得6a2-u a+3 W 0,解得;W a w|,所以实数a 的取y(3十(一2)J/值 范 围 是 I.答案?例 2 已知直线A x-j+l=0,若尸为/上的动点，过点尸作。C：3 5)2+产=9 的切线RI,P B,切点为A,B,当IPCHABI最小时，直线AB的方程为.关键点拨切入点由已知结合四边彩面积公式及三角形面积公式可得3甲。卜以川=3加 正 口，说明要使|PC|A8|最小，则需|PC|最小，此时尸C 与直线/垂直，写出尸C 所在直线方程解方程求解即可 解 析 0 a (x-5)2+V=9 的圆心 C(5,0),半径 r=3
39、,障碍点求IPCH4BI的最值不会转化为求|PC|的最值反思点距离问题一般要应用数形结合的思想方法,:四边形 PA CB 的面积 S=PC-AB=2SPAC=PA-AC=3PA=PC-9,要使IPCHA阴最小,则需|PC|最小，当 PC与直线/垂直时，IPCI最小，此时直线PC的方程为y=-x+5,联 立 二 二1K 解得尸(2,3),则以PC为直径的圆的方程为(工一。+&-|)2号，则两圆方程相减可得直线AB的方程为x-j-2=0.答 案 x-y-2=0d 方法技巧(1)距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆
40、的弦长最值问题等，这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题求解.(2)与圆的面积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.牛对训练1.已知圆C：X2,4X+J2_21=O,过点尸的直线/被圆C 所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5：4,若 0 为坐标原点，则|。尸|最 大 值 为()A.3 B.4 C.5 D.6解析：选 C 由题意，圆 C:(x-2)2+V=2 5,所以圆C 是以(2,0)为圆心，半径为5
41、 的圆，因为过点尸的直线/被圆C 所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5：4,所以点尸在圆C 内，且最长弦的长度为直径长1 0,则最短弦的长度为8,所以由弦长公式有|P C|=F 二 4=3,所以点尸的轨迹为以C(2,0)为圆心，半径为3 的圆，所以|OP|max=|OC|+|PC|=2+3=5,故选 C.2.在平面直角坐标系中，已知点尸(3,0)在 圆 C：(x-/n)2+(j-2)2=4 0 内，动直线A8过点P且交圆C 于 A,8 两点，若AABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范围是()A.(-3,-1U 7,9)B.(一2 6，-1U 2,4)C.(-2 2,-1U 4,
42、8)D.(-1,0 U 2,8)解析：选 A 由圆的方程知，圆心C(，,2),半径r=2师，.SiM8c=2sinNACB=20sinZ A CB,.,.当N A C 3=t,SAASC取得最大值2 0,此时A B C 为等腰直角三角形，A B =y2r=44，则点 C 到 A5 的距离为 2 ：.2yl5 PC 2y10,即 2幸 W y/(m解得一3 /n _ 1 或 7W m+于 y o=1 6,即 N 点 轨 迹 为*+小 31 6=0,又 M 在 圆 炉+中=1 上，故|MN|的最小值为圆心（0,0）到直线x+d3y16=0的距离减去半径1,即故选B.8.已知圆 M：(x-f)2+w
43、+f)2=3 与圆 N：(了,”)2+&-/2)2=9(。，CR)相交于 P,。两点（点 M 与点N 在直线P。两侧），且|P Q|=3,则 m+的最大值是（）A.2小 B.3/2C.2*D.62解析：选 C由题意，得圆M 的圆心为M（f,t）,半径为由；圆N 的圆心为N（m,）,半径为3;连接 PM,PN,M N,则|PM|=0)与圆 Cn x2+y2=l,下列说法中正 确 的 是()A.若 r=L 对 于 任 意 的 仇 圆 G 与 圆 C2始终外切B.若 r=L P,。分别为圆G 与圆C2上的动点，则IPQI的最大值为6C.若 r=2,对于任意的0,圆。与 圆 C2的公共弦长为手D.若r
44、=乖,M,N 为 圆 G 与 圆 C2的交点，则 圆 G 上存在无数个点S,使NMSN=90解析：选 ACD 对 于 A,当 r=l 时，圆 G 的圆心G(2cos 0,2sin。)，半径为1;圆。2的圆心为(0,0),半径为 1;V|CIC2|=(2COS 6-0)2+(2sin 0-O)2=-/4(cos2(9+sin2 0)=2,：.圆 G 与圆G 始终外切，A 正确；对于 B,由 A 知：|C d=2,.|P0|max=2+l+l=4,B 错误；对于C,当r=2 时，公共弦所在直线方程为：4cos6-x+4sin(9-y-l=0,圆 C2的圆心到公共弦所在直线的距离d=I,1,=4,y
45、 16cos2 0+16sinz 0 4，公共弦长为：2.一/=弯,c 正确；对 于 D,当r=小 时，直线M N方程为：cos Q x+sin，3=0,二直线MN过圆C2的圆心C2(0,0),即 M N为圆C2的直径，.圆C2上异于M,N 的点S,均可以使NMSN=90。，有无数个，D 正确.11.(2022湖北武汉模拟)(多选)已知圆 M：(X4)2+(y5)2=1 2,直线/：m x-y2m-3=0,直线/与圆M 交于4,C 两点，则下列说法正确的是()A.直线/恒过定点(2B.|AC|的最小值为4C.而 庆的取值范围为-1 2,4D.当NAMC最小时，其余弦值为；解析：选 ABC 直线
46、/:“tvy2机+3=0,即机(x2)(y3)=0,直线恒过点(2,3),故 A 正确；当定点(2,3)是 弦 A C 的中点时，此 时 最 短，圆心加(4,5)和定点(2,3)的距离为2 6，此时3 0=2 7 1 2(2吸)2=4,故 B 正确；.12+12-16 1 当|AC|最小时，ZAM C 最小，此时 c o s Z A M C=K-兀=，此时MAMC=|K4|MC|Z A JLZ JcosN4M C=12X；=4,当AC是直径时，此时NAMC最大，Z A M C=n,此 时 忘 求=丽 MC cosZAM C=1 2 X(-1)=-1 2,所以M 4MC的取值范围为-12,4,故
47、 C 正确;根据C 可知当NAMC最小时，其余弦值为;，故 D 错误.1 2.若平面内两定点A,3 间的距离为2,动 点 尸 满 足 瞿(=小，则上照F+IP B B的最大值为()A.3+小 B.7+4小C.8+45 D.16+8小解析：选 C 以线段A B的中点为原点，A 8 所在直线为x 轴，4 8 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.不妨令A(1,0),则 8(1,0),设尸(x,j).由 磔 1=由 则鹿+炉田|P8|9,气(1)2+.PA2+PB,2=Q+l)2+j，2 +(X-l)2+y 22=3+产+1,A/3,化简得：(x2)2+炉=3 为 P 的轨迹方程.其中*2+y2
48、可以看作圆(X 2尸+,2=3 上的点(x,y)到点(0,0)的距离的平方,工好+炉的最大值为Q+6户=7+4 5，*.x2+y2+l的最大值为8+4小，即 呷 斑 的 最 大 值 为 8+班1 3.已知两圆 G：*2+y22x+10y+10=0 和。2：x2+y2+2x+2y+l=0 交于 A,B 两点，则线段4 8 的 垂 直 平 分 线 方 程 是,公共弦4 3 长度为.解析：圆 G 的标准方程为(X-1)2+(J+5)2=1 6,其中圆心G(l,-5),半径为4;圆 C2的标准方程为(x+l)2+(j+l)2=l,其中圆心C2(-l,-1),半径为1,而线段A B的垂直平分线恰为直线G
49、 C 2,其方程为y+l=-p j-X(x+l),即 2x+y+3=0;联立两圆的方程可得，线段A 3 所在的直线方程为4 x-8 y-9=0,所以圆心C2(1,一1)到直线A 6 的距离d=|4+8-9|y542+82 4答案：2 x+j+3=01 4.若 点M在曲线x2+y2-6 x-4 j+1 2=0 上，0为坐标原点，则|。用的取值范围是解析：曲线 x2+j26x4 j+1 2=0,即(x3)2+(y2)2=1,表示圆心 C(3,2),半径 r=1 的圆，则|0C|=A/545=4H,因为点 M 在曲线 +/-6 -4 +1 2=0 上，所以|0C|rW|OM|W|OC|+r,即 亚
50、一1WI0MW回+1,即|。联恒-1,恒+1.答案：而 一 1,V13+11 5.已知等边三角形4 5 c 的边长为2,点 P 在线段4 c 上，若 满 足 前 铝 一 22+1=0的点尸恰有两个，则实数z 的取值范围是解析：如图，以A 3 的中点O 为坐标原点，A 5 所在的直线为x 轴，OC所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(1,0),8(1,0),设尸(x,y).则 启 前 一 22+1=0,即为(一l-x)(l-x)+y 2-2；l+l=0,化简得x2+j2=2 .(0),故 所 有 满 足 区 同 一 2 2+1=0 的点尸在以。为圆心，户为半径的圆上.过 点。作。MJL