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1、 必 修 一 真 题 难 点 分 类 精 练 第 一 章：集 合 与 函 数【集 合 与 元 素】例、已 知 集 合 A=l,a=b=-a例、已 知 集 合 M=工 c N且 被 z,则 用 列 举 法 表 示 集 合 M.5-a解 析：5 a=1,2,3,6=a=1,2,3,6=M=1,2,3,6)例、给 定 三 元 集 合 1,x,x2-x,则 实 数 X的 取 值 范 围:.解 析：X H 0,1,2,左 科 _2_例、若 实 数。为 常 数 且 满 足 a6 A=x-/=1，则 a=_.V ax2-x+l解 析：o=0;aw0=x=0=/=1=。=i；故=0,la例、已 知 集 合”是
2、 满 足 下 列 性 质 的 函 数 外 幻 的 全 体：在 定 义 域。内 存 在 与，使 得/(%+1)=/(/)+/成 立.函 数/Xx)=L 是 否 属 于 集 合 M?说 明 理 由；X(2)若 函 数 x)=攵 2,+8属 于 集 合 M,试 求 实 数/M 满 足 的 条 件；设 函 数/(x)=l g Y 属 于 集 合 求 实 数 a的 取 值 范 围.X 4-21解：(1)D=(-8,o)u(o+8),若 f(x)=-M，则 存 在 非 零 实 数 X Q，X使 得 一-=*1 即 xo2+xo+l=O，xo+1 xo因 为 此 方 程 无 实 数 解，所 以 函 数(x)
3、=lgM.X(2)D=R，由 f(x)=k 2X-bWM，存 在 实 数 x o,使 得 k2x 0*1-b=k*2x 0-b-2k+b k*2x 0=2k-b 若 k=0，典|b=0，所 以，k和 3满 足 的 条 件 是 k=o,b=o或 q t o.a(3)由 题 意，a 0,D=R.由 f(x)=l g 4 乂，存 在 实 数 工。，使 得 尸+2a a a(x o+1)2+2%2+2 污 所 以，(xo+lr+2 X O+2 3化 简 得(a-3)xox+2axo*3a-6=O，当 a=3B寸，xo=-；，符 合 题 意 当 a 0且 a 壬 3时，由()得 l a-l g(a-3)
4、(a-2)3 0，化 简 得【集 合 之 间 的 关 系】例、若 非 空 集 合 S满 足：5=1,2,3,4,5,且 若。5,则 6-5,那 么 符 合 要 求 的 集 合 S有 一 个.解 析：首 先 有 三 对 集 合 满 足:1,5,3,2,4,然 后 有 23-1个 非 空 子 集，即 元 素 组 合 有 汴 例、集 合 M=1r|x2+x 61 N=却 71一 1=0且 N c 则 租 的 取 值 集 合 为.解 析：M=-3,2=m=2 3例、已 知 集 合 A=r|x 2,5 且 B Q A,则 实 数 机 的 取 值 范 围 是 解 析:q 1 2)Q=o(_ 8,_ J u
5、 0 2m2x-i 0-2;m x+1 0m2x-l 2 0m2 x 2-l 0 m x2+l 0 Z W2X 2-1 0例、集 合 A=x|x=12m+8+4/,m.n.le Z，集 合 3=xx=2 0 p 4-16+12 r,r e z,则 A B.2解 析：任 一 xw A,x=12m+8+4/=12(m+8+4/=12(m-n-l)+20n+16/=y B;任 一 y 8,y=20p+16q+12r=4x5p+8x2q+12r=x A=A=8例、集 合 A=x|x=2k+l,ke Z集 合 8=xx=4k+l,ke z,则 A _ 8.解 析：任 一 元 A,x=2&+1=2(2P)
6、+P+I2(2p-l)+l=2p-1任 一 ye B,y=4kl=2(2k)l=xe A 一 1=x有 解=a=0或 A0 4“不 动 点”同 时 也 是“稳 定 点”=4-1=彳 与。(一 一 1)2_1=%同 解=a?_*-=0与(*2 _%_ 1)(。2尤 2+以 _ q+)=0同 解=a2x2+ar-a+1=0无 解 或 加-x-l=0与 a?/+女-。+1=0 同 解=3 3 0或“2炉-以-4=0与 42/+以 一。+1=()同 解 即 24；1+1=0=2 或 61=二 4 4【集 合 之 间 的 运 算】例、设 集 合 A=卜 N-3x+2=o1 B=x|x2+2(rz+l)x
7、+(2+5)=o 若 A c B=2,求 实 数 a的 值；(2)若 A u 8=A,求 实 数 a的 取 值 范 围；(3)若 U=H,A c g,8=A,求 实 数 a的 取 值 范 围.解 析:A=1,2,A c 8=2=2 e 8 n a=-1,-3 检 验 得 a=-1或-3；(2)=B q A,=4(2。+6)=A 0检 验=a-3;(3)n A c 6=。=8=。;8 H。=a()()()()().【函 数 与 映 射】3【映 射 个 数】例、证 明：若 非 空 集 合 A 中 有 a个 元 素，非 空 集 合 5 中 有 8个 元 素，则 从 集 合 A 到 集 合 B 的 映
8、 射 有/个.解 析：A 中 的 每 个 元 素 由“任 一 对 唯 一”都 有 b种 选 择，又 由“分 步 计 数 原 理”，故 共 有 映 射/个.【定 义 域】例、已 知 函 数 y=yjmx2-6 m x+m+S 的 定 义 域 为 R,求 的 取 值 范 围.7 72 0 m 0解 析：，=0；=机 21.A 0例、若 函 数/(x)的 定 义 域 为 1,4,求 函 数/(x+2)的 定 义 域.解 析：1WX+2M4-例、若 函 数/(2%+1)的 定 义 域 为 2,5,求 函 数/(幻 的 定 义 域.解 析：2 x 5 5 2x+1 11,/.5,11例、若 函 数/(x
9、+1)的 定 义 域 为 2,3,求 函 数 的 定 义 域.解 析：-2 x 3-l x+l4,/.-l2x-l4 0,2.5【同 一 函 数】例、下 列 各 组 函 数 中 表 示 同 一 函 数 的 是()/,x1(x0)(A)/(1)=不 与 85)=(五)(B)=与 g(x)=(-X2(x0)(C)/(x)=|尢|与 g(x)=心？(D)/(%)=-与 g(x)=x+l(xWl)x-1解 析：D.【函 数 值】例、已 知 已 知 函 数/(1-2X)=E(X/0),则/(；)=.解 析：l-2x=p/(1)=15例、已 知 已 知 函 数/(2x+l)=3x2 且/(a)=4,则 a
10、=.解 析：2x+l-a,a=5.【函 数 解 析 式】4【配 凑 法 工 例、已 知 函 数/(6+1)=+2 6，求/(x)的 解 析 式.解 析：+1)=x+2=(五+1-1,/(x)=/1,x 2 1.换 元 法(注 意 范 围)亦 可.例、已 知 函 数 f(2+2)=/+4/,求/(幻 的 解 析 式.解 析：拼 凑 法 或 换 元 法，注 意 定 义 域.【赋 值 法 工 例、已 知 函 数/(X)=办 2+bx+c,若/(0)=0 且/(x+1)=/(x)+x+l,求/(x).解 析：/(0)=0,/(1)=1,/(-1)=0,代 入 可 得.【对 偶 法 工 例、已 知 函
11、数/(X)-2/(,)=3X+2,求/(x)的 解 析 式.X解 析：换 元，联 立 解 出.【函 数 值 域】【直 接 法】：例、求 值 域 f(x)=3+J2-3x;/(x)=f+5;/(x)=-*2.解 析：JZ-BxNO型/(x)3,.值 域 为：R+8)；匠+8)；0,2【配 方 法】：例、求 值 域 y=x+弥+1e=，-/+x+2 y-;y=x-2五+3厂+2%-31 3 3 1 9 1 3解 析：配 方 法 xe Ry=(x+)2+二 02,+8)；X W-l,2.y=J(X)2 0,-;2 4 4 V4 2 2 xe(-00,-3)u(-3,1)u(l,+8),y=(+)j
12、j(x+1)2 0=(x+1)2-4-4【换 元 法】：例、求 值 域 y=x-3+J2x+1;y=Jx-l-x.解 析：t=V2x+l,t0,y=-t2+e=-(t+1)2-8,v(z+1)2 1 y 2 2 2 2 25_ 3 1 1 3 3 3，=y j x-l,t 0,y=-r+z-l=-(z-)2+/,.一 耳)2 2 0 o-(r-)2+-2=1,%/?+求+3,的 值.解 析：设=8 5 7,丁=sina,x+y=&sin(a+i),ae(0,),则(x+y)max=3，(x+y)min=1【消 元 法 工 例、己 知 x+y=l,求 尤？+V 的 最 小 值.解 析：y=l x
13、,带 入/+；/得 2尤 2-2X+1N(.【作 图 法】：例、求 值 域 y=|x+l|+&二 y=%2+x-2(x2);y=.解 析：表 示 数 轴 上 到 点-1和 点 2 的 距 离 之 和，易 知 该 距 离 2 3 即 值 域 3,+8)；作 图，值 域(4,+8)；作 图,值 域(-8,0)U(0,+8).例、求 值 域=X+2 y=x+-L y/-X+3x x-2 x解 析：(-00-2V2u2V2,+oo)(-co,05 4,+8)(-OO-2V3-lu2V3-l,+oo)二【分 离 常 数 法】：例、求 值 域=立 1 求 卜=药 匚 y=：；4x+3大 I 2 1 x 1
14、解 析：(-00,1)5 1,2)；(一 8,_ 3)U(3,+8)；在 定 义 域 下 变 形，(-OO,l)U(-,+OO).4 4 2 2【自 然 定 义 域 分 类 判 别 式 方 法】：例、求 值 域 y=Tx2(x w R)；y=2：x2+4x-7；二 工+上 1；x2+l X2+2X+3 x与 X2x+3/、y=-(x o)；x9解 析：y=1舍 去，值 域：(,1)；y=2 舍 去，值 域：,2)；值 域：(一 汽 一 4 u2,+oo)；图 象 法，-2-值 域：23,+)y-2 1 丫 _ Q例、求 使 得 函 数 y=，/的 值 域 为(-,2)的 a 的 取 值 范 围
15、.x-x+解 析：-0,*x2-(6/+2)x+40,又 XG 得 一 6 2尸 一 工+1【利 用 单 调 性】：例、求 值 域 y=x+-3x+2.6解 析：定 义 域(一 8,1 u 2,+8),当 2,+)时，y=尤+为 增 函 数，此 时 2,+o)；当 x(8,l时，下 证 f(x)=x j x1-3x+2 为 减 函 数:Vx(,x2(-8 J且 尤 2 为,/(工 2)/(芭)=%尤+Jx；-3尤 2+2 J-3尤 1+2min=l，又 y=x+J 无 2_3X+2=(X-372)(x+-3x+2)=x-ylx-3x+2 x yx 3x+223此 时 ye,)3综 上，yel,
16、-)u2,+oo).【利 用 导 数】：例、求 值 域 y=x+J d 3x+2.解 析：定 义 域(一 8,1。2,+8),当 尤 e 2,+8)时，y=x+Jx2_3x+2 为 增 函 数,此 时 ye 2,2)；当 xe(-8,1时，下 证/(x)=x+J?一 3x+2 为 减 函 数:3 3y=l+1-2X-3=1+/X工 O=l+-j-X-1O=r=0，即)=%+，厂/-3-%-+-2-为 减 函 数，得 2 3x+2 y l 3x+2 2 3+9X n i n=L 又+不 2+2(%-yx2-3x+2)(x+/x2-3x+2)3x 2x Jx-3x+2 xyx 3x+2c 2此 时
17、 1,1)73综 上，ye l,-)u2,+oo).【三 角 换 元 法 工 例、求 值 域 y=x+&-3 x+2解 析：y=x+7x2-3x+2=x+2 l,2x 3G(8,1D 1,+8)令 A 2C尤 一 C3=see6Z,exG rc0,兀、)d(/一 兀,、1 3 1 I j 1 z 1 sin。、3TI,倚 y=secocH-1 tan c x(-F：-：)H；2 2 2 2 2 2 cos a|cosa|2T、t,a e 小 0,兀 1、)x s 2,+0、)时，y 3 I 1(4-+-s-i-n-a)、=3 I 1-r-s-i-n-6-Z-(-l)n,取 口 A“(c os
18、a,si.n a),B(八 0,-1)则 2 2 2 cos a 2 2 c o sa-03 1y=5+C L，L e U,+0)Q y e 2,+o)；当 a e(7 时，y-+-(1-S i n a)-S m a-1,取 A(cosa,sina),8(0,l)则 2 2 2 cosnr 2 2 c o sa-03 1 3y=2 2 AB9AB e(Q y-t t);3综 上，61,-)U2,+OO).例、函 数/(x)=J l+x+J l-x.求 函 数/(x)的 值 域；设/。)=?J i=/+/(%)，记 尸。)的 最 大 值 为 g O)，求 g O)的 表 达 式;在(2)条 件
19、下，试 求 满 足 不 等 式 g(-m)(如 的 实 数 m 的 取 值 范 围.解 析:(l)xs-l,l=/(X)2=2+271-X22,4=/(x)e h/,2;设 f(x)=t,te-V2,2,-/l x2=r 1=F(x)=mt2+t-m,te 2,2=m 0;/?=0;m 02 2膜 一)=C 1-m+2,m 2J T l d-,机 作 出 图 象，易 知 J T I 一.2m 2 2 2A、血，2,“2-2【函 数 的 单 调 性】【定 义 形 式】1、增 函 数：设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 I,如 果 对 于 定 义 域 I 内 的 某 个 区 间 D的 任 意
20、两 个 自 变 量 X”X 2,当 xiVx2时,8都 有 f(xJ 0,则 f(x)在 指 定 区 间 内 为 减 函 数；若 f(Xi)f(xJl,则 f(x)在 指 定 区 间 内 为 减 函 数；若 f(xJ/f(X2)Vl,则 f(x)在 指 定 区 间 内 为 增 函 数；5、设 xi、xzW给 定 的 区 间，若(xi-xz)f(xi)f(X2)0 增，0,则 f(x)在 指 定 区 间 内 为 增 函 数；若 若 f(x)-f(X2)/xi-X2 0).l-2 x x【作 差 法】例、求 函 数 的 单 调 性/a)=+?!；/(%)=&+1 一 葭 解 析：无 理 化 分 母
21、；有 理 化 分 母 逆 用+放 缩 法.【复 合 函 数 单 调 性】例、函 数/(%)=42+2%一 3的 递 增 区 间 为()A-L+oo)B.-l,+oo)C.-3,l D.(-oo,-l解：由 复 合 函 数 的 单 调 性“同 增 异 减”得：在 尤 2+2X-320的 条 件 下 求 g(x)=+2 x-3的 增 区 间 练、函 数/(幻=皿 龙 2一 2 3)的 单 调 减 区 间 为().A(8,1)3.(1,+8)C.(oo,l).(3,+)解：要 使 函 数 有 意 义，贝 UX2-2X-3 0,即 X 3 或 X 3时，函 数 t=x2-2x-3单 调 递 增，当 x
22、 3时，函 数 f(x)单 调 递 增，即 函 数 f(x)的 递 增 区 间 为(3,-c o).当 x-l 时,函 数 f(x)单 调 递 减，即 函 数 f(X)的 递 减 区 间 为(-8,-1).故 选：C例、已 知 函 数/(x)=log?(V 一 奴+3”)在 2,+8)上 是 增 函 数，则 a的 取 值 范 围 是().A.(-,4 8.(8,2 C.(-4,4 D.(-4,2解 析：真 数 0,同 时 利 用 复 合 函 数 单 调 性 可 得./(x)=log2(x2-a x+3a)在 2,+8)上 是 增 函 数 f 2-2a+3a 0/J a，即 一 40与 2 正
23、根 是 等 价 条 件 吗？如 果 是，那 为 什 么 我 们 考 虑 前 者 而 不 考 虑 后 者 呢？此 题 判 别 式 不 定 所 以 不 考 虑。练、若 y=log(利+3)(40且 a 1)在 区 间(-1,+8)上 是 增 函 数，则 a的 取 值 范 围 是.解：,y=loga(ax+3)(a 0 且 a声 1)在 区 间(-1,+8)上 是 增 函 数，I-a+30a 1，解 得 la0且 分 1故 a的 取 值 范 围 是(1,3.故 答 案 为(1,3.思 考：对 比 上 题 分 析 时 应 注 意 什 么？a=-3时 原 函 数 在(-1.+8)上 是 可 取 的，因
24、为 取 不 到.练、函 数 y=lg(x?-2x+a)的 值 域 不 可 能 是().A(-o,0 B.0,+oo)C.l,+oo)D.R解 析：设 f=3-2 x+a,则 函 数 图 象 开 口 向 上 若 ANO,复 合 函 数 值 域 为 R,即。有 可 能；若 0且 a H 1)满 足/1,则 函 数 y=log”，-1)的 单 调 减 区 间 为().A.(t+)3.(8,0)C.(8,1)D(0,+8)解：:f(x)=ax(a0且 a六 1)满 足 f(1)1,al,设 t=x2-l,由 t二 乂 2-10得 xl或 x-l,y=logat是 增 函 数，.要 求 函 数 y=10
25、ga(x2-l)的 单 调 减 区 间，即 求 函 数 t=x2-l的 单 调 减 区 间，；t=x2-l的 单 调 减 区 间 是(-8,-1),y=loga(X2-1)的 单 调 减 区 间 为(-8,-1),故 选：C10【利 用 单 调 性 比 较 大 小】例、若 X E(0一 1),=1 1 1%力=(勺 n c=*，,则 q,A,c的 大 小 关 系 为().2A.c b a B.b c a C.a b c Db a c解：x W(e，1)，a=lnx，a W(-1 0)，即 a(1)/M 1=(1)0=l.即 b”工 工 工 Xc=elnx=x(e1,1)b c a.故 选 B.
26、例、已 知 函 数/(x)=2*+x,g(x)=log2%+x,/2(x)=lnx+x,苟 Xa)=g 3)=/2(c)=0,则().A.cba B.bca C.a bc D.a c 0例、已 知 符 号 函 数 sgn尤，O,x=O,/(x)是 R上 的 增 函 数，g(x)=/(x)-/3)(a l)M().-l,x l,x 0时，axx,g(x)=/(尤)一/(ax)O,sgng(x)=-1r.尤=0时，g(x)=0,sgng(x)=0 x 0 时，ax 0,sgn(x)=+1 1,x 0/.sgng(x)=0,x=0=-sg n xl,x 0例、函 数/(尤)=(2a l)x+4a,x
27、 x2-x11解 析：/(幻 在 R上 2a-l0c,1,10 a 1 W a log”1例、已 知 函 数/(x)=|：在 R 上 是 增 函 数，则 常 数。的 取 值 范 围 是().x+c i 3Q 4-2,XG(8,0)A.(1,2)B.(-8,1U2,-8)c.1,2 D.(-8,1)U(2,-8)解 析：/(x)7?=02 03+a2-3a+2=ae 1,2例、函 数/(X)=X2-2 OV+3,其 中 a e R,若 函 数/(x)在(一 叫 2 上 单 调 递 减，且 对 任 意 的 王，总 有|/(为)一/()|4 4,则 实 数。的 取 值 范 围 为：解 析：作 图 知
28、 J 离 a 较 a+l离 a远 且/1(x)m in=/(),a 2=2 6 f 3./(I),使 得 函 数/(x)满 足：/(幻 在 a,切 内 是 单 调 函 数；x)在 3,切 上 的 值 域 为 2a,2/，则 称 区 间 a,。为/(x)的“倍 值 区 间”.下 列 函 数 中 存 在“倍 值 区 间”的 有().f(x)=x2(X三 0);f(x)=ex(x E R)；f(x)=#(x 0)3+1 f(x)=/。且&(/-：)(。0,a=l).A.B.C.D.解 析：f(x)=x2(x0)f(x)=x2(x0)f(x)=ex(xWR)若 存 在“倍 值 区 间”a，b，则，I型
29、 尸 28若 存 在“倍 值 区 间”：0,2 5若 存 在“倍 值 区 间”a，b：，贝 J-2a诙)=2,2 _、a 2ab=2bea=2aeb=2bb=2构 建 函 数 g(x)=ex-2x g/(x)=ex-2 函 额 在(-8,ln2)上 单 调 减，在(ln2,-8)上 单 调 增,二 函 数 在 x=ln2处 取 得 极 小 值，且 为 最 小 值.vg(ln2)=2-21n20,A g(x)0恒 成 立，二-2x=0无 解，故 函 数 不 存 在“倍 值 区 间”；12AX)=4(X 0)4(X2+1)-4XX2X 4(1+X)(1-X)5/(X)=x+l(x2+l)2(x，+
30、l)”若 存 在“倍 值 区 间”a，bcro,1,贝 乂 7(。)=2a*)=2 b4a-丁 一 二 2 a2+l书-=2 方+1*a=0 b=l 若 存 在“倍 值 区 间”0 1loga(am-h=2 mOloga(an-h=2no0Ax)=7oga(aX-1)(a0,a?l).不 妨 设 a l，则 函 数 在 定 义 域 内 为 单 调 增 函 数 若 存 在“倍 值 区 间”O,n，贝 4 人”)2加，必 有 Jn=2n必 有 m，n是 方 程 b g a(/T)=2x的 两 个 根，O必 有 m，n是 方 程。“*-(2*4=0 的 两 个 根，S由 于 a2x-/+J.=。存
31、在 两 个 不 等 式 的 根，故 存 在“倍 值 区 间”m,n：!S综 上 知，所 给 函 数 中 存 在“倍 值 区 间 的 有 例、已 知 函 数/(公=/+0,若 函 数/(x)在 2,+8)上 是 单 调 递 增 的，则 实 数。的 取 值 范 围 为().XA.a8C.a-8或 a 8B.aW16D.aW-16或 a廿 16解：.函 数 f(x)=x2，在 xW2,-8)上 单 调 递 增,X:0 在 x2，+8)上 恒 成 立；2x?-a30，a42x3在 x W 2,+8)上 恒 成 立，.a2X23=16 实 数 a的 取 值 范 围 为 a416.2例、已 知 函 数/(
32、x)=J：在 R 上 是 增 函 数，则 常 数”的 取 值 范 围 是().x+3。+2,(-8,0)A.(1,2)B.(-8,1 U 8)C.1,2 D.(-8,1)U+OO)13解:由 于 f(X)jx2XO,+M.且 f(X)在 区 间(-8,-8)上 是 增 函 数，则 当 x?0时，y=Y显 然 途 增;当 x0，则 递 增；由 f(x)在 R上 单 调 递 增，则 O?Ao+a-3a+2，即 为 a-3a+2 0，解 得，14a42 20.设 函 数 f(x)=ax2-bx+l(aWO、b R),若 f(-1)=0,且 对 任 意 实 数 x(Xe R)不 等 式 f(x)，。恒
33、 成 立.(1)求 实 数 a、b的 值;(2)当 xd-2,2时，g(x)=f(x)-kx是 单 调 函 数，求 实 数 k的 取 值 范 围.解：(1)由 题 意 可 得 f(-1)=a-bl=O,即 6=2+1.再 根 据=b2-4a=(a-1)20,求 I导 a=l,b 2.(2)由(1)可 得 f(x)=X2+2X+1,故 g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 x二 k-217再 由 当 x 2,2时，g(x)=f(x)-kx是 单 调 函 数，可 得 早 2,求 得 k 4-2,或 k 6.2 2.已 知 函 数 f(x)=lo
34、g 2 U+log2(x-l)+log2(p-x)x-1(1)当 p=7时，求 函 数 f(x)的 定 义 域 与 值 域；(2)求 函 数 f(x)的 定 义 域 与 值 域.14解：(1)由 题 意，可 得 n，/.1X 07-x 0又,函 数 f(x)=log2Y+log2(x-1)+log2(7-x)=log2(x+1)(7-x)=log2;-(x-3)2+lx-16.令 g(x)=-(x-3)2-16,由 于 函 数 的 定 义 域 为 x|lx7,则 g(7)g(x)g(3),即 0g(x)0 x-1(2)由 题 意，可 得,，.7 1 且 x 0j)-x Q二.函 数 的 定 义
35、 域 不 能 为 空 集，故 P 1,函 数 的 定 义 域 为(1,P).函 数 f(x)=log2*+log2(x-1)-logs(p-x)=log2(x+1)(p-x)=log2 l-x2+(p-1)x+p：.x-1令 t=-x2+(p-1)x-p=_(X L)2+(p-l)=g(x)_ 2_ 4_ _ _0 1 当(2,即 l p3日 寸，t在(1,P)上 单 调 减，g(p)t g(1),gpot 1 0-f(x)函 数 f(x)的 值 域 为(-8,l+log2(p-1);当!1,兮 9,即 p 3时，g(p)t g(),g p o t 3时，函 数 f(x)的 值 域 为 f(x
36、)21og2(p-1)-2,函 数 f(x)的 值 域 为(-8,21og2综 上：当 l p 3 时，函 数 f(x)的 值 域 为(-8,log2(p-1)(-8,21og2(p+1)-2.本 题 考 查 导 数 函 数，考 查 函 数 的 值 域，考 查 分 类 讨 论 的 数 学 思 想，解 题 的 关 键 是 确 定 函 数 的 定 义 域,化 简 函 数.注 意：体 会 二 次 函 数 对 称 轴 在 求 某 个 区 间 该 函 数 最 值 时 的 分 类 讨 论 方 法!类 型 二：（隐 函 数）抽 象 函 数 恒 等 式+单 调 性/奇 偶 性/周 期 性 证 明 及 其 运
37、用 方 法：抽 象 函 数 恒 等 式 一 般 采 用 特 殊 赋 值 法 处 理.【周 期 函 数 的 性 质】15例、定 义 在 R上 的 函 数 f(x)满 足/(x)=L 1暇(11)，呈 0 八，则/(2015)的 值 为().A-l B.O C.l D.2板._(lo g2(l-x),X0解：.f(x)=0f(2015)=f(2014)-f(2013)=f(2013)-f(2012)-f(2013)=-f(2012)=-f(2011)-f(2010)=-：f(2010)-f(2009)-f(2010)=f(2009)即 当 x3 时，满 足 f(x)=-f(x-3)=f(x-6),
38、周 期 为 6/.f(2015)=f(335X 6-5)=f(5)=f(-1)当 x40时,f(x)=log2(1-x).f(-1)=1,/.f(2015)=f(-1)=1.故 选：C.例、若 对 任 意 的 x w R,函 豺(x)满 足/(x+2012)=/(x+2011),1/(2012)=2012,贝 旷(1)=().Al B.-C.2012.-2012解：,/f(x+2012)=-f(x+2011)=f(2 0 1 0+x)即 f(t)=f(t-2)二 函 数 的 周 期 为 T=2/.f(2012)=f(0)=-2012,对 于 f(x+2012)=-f(x+2 0 1 1),令
39、x=-2 0 1 2,则 可 得 f(0)=-f(-1)=-2012/.f(-1)=2012故 选 C本 题 主 要 考 查 了 抽 象 函 数 的 函 数 值 的 求 解，解 题 中 要 注 意 善 于 利 用 赋 值 法 进 行 求 解 注 意：一 般 地，/(x+a)=-/(x)或/(x+a)=一 则 有 周 期 为 2a./(x)例、已 知 定 义 在 R上 的 函 数”X),对 任 意 xe R,都 有 x+2)=-/(x)+/成 立，若 函 数 y=f(x+l)的 图 象 关 于 点(-1,0)对 称，则/(2014)=().A.3 B.2014 C.O D.-201416解：.函
40、 数 f(x-1)的 图 象 关 于(-1,0)对 称 且 把 y=f(x+1)向 右 平 移 1个 单 位 可 得 y=f(x)的 图 象，函 数 y=f(x)的 图 象 关 于(0,0)对 称，即 函 数 y=f(x)为 奇 函 数，f(0)=0,/f(x+2)=-f(x)+f(1)令 x=-l可 得 f(1)=-f(-1)+f(1),/.f(-1)=f(1)=0,从 而 可 得 f(x+2)=-f(x)=f(-x),即 函 数 是 以 4为 周 期 的 周 期 函 数/.f(2014)=f(503X 2)=f(2)=-f(0)=0故 选：C.【和 型 函 数】例、已 知 定 义 在 R
41、的 函 数/(x)对 任 意 实 数 X,y恒 有 f(x)+/(y)=/(%+y),且 当 X 0时,/(x)0,又 求 证：/(x)是 奇 函 数；(2)求 证：/(x)在 R上 是 减 函 数；(3)求/(X)在-3,6 上 的 最 值.17解：(1)证 明：令 y=-x,贝 ijf(x)-f(-x)=f(x-x)=f(0),当 x=l,y=0时,则 f(1)-f(0)=f(1).f(0)=0/.f(x)+f(-x)=f(0)=0即 f(x)=-f(-X)(x)为 奇 函 数(2)设 x i，X 2 R,且 x i 0,由 题 意 得 f(X2-X1)0时,/(x)0,/(1)=-l.求
42、/(2)的 值；(2)求 证：/(x)在(0,+-)上 是 增 函 数；解 关 于 x的 不 等 式/*)2 2+/(-).x-418解：(1)对 于 任 意 正 实 数 m,n；恒 有 f(mn)=f(m)+f(n)令 m=n=l,f(1)=2f(1)f(1)=0,又.吗)=T再 令 掰=2,得 m)=/(2 x f=夫 2尸 吗)-Aj)=-i-W)=i(2)令 0 xi 1X 1r 7,当 X1 时，fx)0：.f()0 x i 大 优)=/(加)t/5)V(X 2)R X I)=/(XI)/(X i)XI次%i)t/(-)-y(x I)=A-)oXI XIf(X2)f(X1)A f(x
43、)在 区 间(0,+8)上 是 增 函 数.(3)Vf(mn)=f(m)+f(n)f(2)=1/.f(4)=2f(2)=22端)=m)饮 告)=娼).原 不 等 式 可 化 为/)/与)，又(x)在 区 间(0,+8)上 是 增 函 数 X4一 12X-x-4 1-2金 4或 史 6A x 0.,.卜 0_ 1 L O 卜 4x-4本 题 为 函 数 的 性 质 及 应 用，涉 及 不 等 式 的 解 法 即 转 化 的 思 想，属 基 础 题.19 练、已 知 函 数/(x)满 足：对 任 意 实 数。都 有/(“勿=4 3)+勿 1().求 证：/(x)为 奇 函 数；设 门-f=g，记
44、4=/(2),w N*,求 数 列 a,挪 前 项 和 S“；若 对 一 切 实 数 x,均 有|/(x)区 1,试 证：Vxe RJ(x)=O.解：(1)由 已 知 得 f(0)=f(0 X 0)=0 f(0)+0-f(0)=0,又 f(1)=f(1 X 1)=i f(1)+l f(1)=2f(1),/.f(1)=0又 f(1)=f(-1)(-1)=(-1)-f(-1)+(-1)-f(-1)=-2 f(-1),/.f(-1)=0f(-X)=f(-1)x=-f(x)+xf(-1)=-f(x),f(x)为 奇 函 数.(2)-：/(-1)=A-1 x 2)=0.=4/(-1)=2/.an+i=f
45、(2n+1)=f(2X 2n)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,.加 1 a”一 又./2)_ 2w+1 2n 2 2，二 数 列?是 苜 项 为 1,公 差 为 i的 等 差 数 列，.，=，an=n 2n(n N*),2n 2n：.Sn=l*2+2-22+3-23+n-2n,2Sn=l-22+2-23+3-24+(n-1)出+一 叫/.Sn=n2n+1-(2-22+23+2n)=n，2n+1-2(2n-l)=(n-1)2n+1-2.200,x=0(3)记 力(X)=O.若 x o l,则 当 nEN时，h(xon)=nh(xo)=nt,附。)=九 X Qnf(xon)=n*f
46、xon,故 必 存 在 足 够 大 的 正 整 数 n,使 得 If(xo“)|=|n*t*xon 1这 与 已 知“对 一 切 实 数 X,均 有 If(x)|1”矛 盾;若 oxo1xo X0这 也 与 已 知“对 一 切 实 数 x,均 有 If(x)4 1”矛 盾；综 上 所 述，假 设 不 能 成 立，故 对 一 切 实 数 X,f(X)恒 为 零.即：Vx R(f(x)=0本 题 主 要 考 查 了 函 数 奇 偶 性 的 判 断，以 及 赋 值 法 研 究 抽 象 函 数，同 时 考 查 了 数 列 通 项 和 前 n项 和 的 求 法 和 反 证 法 证 明 命 题.综 合 性
47、 很 强，需 要 学 生 扎 实 的 基 础 和 灵 活 的 解 题 能 力，是 个 难 题.19.设 函 数 f(x)在 8,+8)上 满 足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且 在 闭 区 间!：0,7 上，只 有 f(1)=f(3)=0.(I)试 判 断 函 数 y=f(x)的 奇 偶 性；(II)试 求 方 程 f(x)=0在 闭 区 间-2005,2005 上 的 根 的 个 数，并 证 明 你 的 结 论.21毓 山 6 2-x)=*2+x)J/(x)=/(4r)s i nx解：由=f(4-x)=f(14-x)=f(x)=f(x+10),V(7-x)=A7+
48、x)U)=A14-x)又 f(3)=0,而 f(7)声 0,=f(-3)=f(7)关 0=f(-3)卉 f(3),f(-3)卢-f(3)故 函 数 y=f(x)是 非 奇 非 偶 函 数；(II)d由 J*2-x)=/(2+x=)f(4-x)=f(14-x)=f(x、)=Ff,(x+i1n0 x)V(7-x)=A7+x)U)=A14-x)又 f(3)=f(1)=0=f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0因 为 在 闭 区 间 0,7 上，只 有 f(1)=f(3)=0,故 在 4,7 上 无 零 点，又 f(7-x)=f(7-x),故 在 X,10 上 无 零 点，故 在 0,10
49、 上 仅 有 两 个 解 故 f(x)在 0,10 和-10,0二 上 均 有 有 两 个 解，从 而 可 知 函 数 y=f(x)在 0,2005 上 有 402个 解，在 而 2005.0 上 有 400个 解,所 以 函 数 尸 f(x)在 以 2005,2005 上 有 802个 解.本 题 主 要 考 查 了 函 数 奇 偶 性 的 判 断，以 及 函 数 的 周 期 性 和 根 的 存 在 性 及 根 的 个 数 判 断，属 于 基 础 题.21.设 函 数 fk(x)=xkbx+c(kN*,b,cWR),g(x)=logax(a0,a W l).(1)若 b+c=l,且 fk(1
50、)=g(7),求 a的 值；4(2)若 k=2,记 函 数 fk(x)在-1,11上 的 最 大 值 为 M,最 小 值 为 m,求 时 的 b的 取 值 范 围；(3)判 断 是 否 存 在 大 于 1的 实 数 a,使 得 对 任 意 xiEa,2a,都 有 X2Wa,r 满 足 等 式：g(X 1)+g(X 2)=p,且 满 足 该 等 式 的 常 数 P的 取 值 唯 一？若 存 在，求 出 所 有 符 合 条 件 的 a的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.类 型 三：显 函 数+函 数 单 调 性/奇 偶 性/(函 数 零 点)方 程 根 系 数 及 其 运 用 方 法：定