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1、2022届四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高考适应性考试理科数学试题二【解析版】一、单选题1.已知集合”=2,3,4,N =XGZ,8x+120,则MuN中元素的个数是()A.2 B.3 C.4 D.无数个【答案】C【分析】根据集合的并集运算即可求解.【详解】1-N =x e Z|x2-8x +120=x e Z|2x 6=3,4,5).V u N =2,3,4,5 ,故MuN中元素的个数是4故选：C2.已知(1,6)是角a终边上一点，则8s 2a =()A.-B.；C.-且 D.B2 2 2 2【答案】A【分析】根据题意得出c o s a =g,然后根据二倍角公式得出结果.【详解】因为(
2、1,6)是角a终边上一点，1 1匚 u 、I c o s 0C .=一所以 阿可2，则 c o s2 a=2c o s2 a 1 =-g ,故 选:A.3.己知函数段)是定义在R上的周期为2 的奇函数，当 0 a。则“3 4”是 4 0,若“3%，即!72 1，则 4/,即4 4 成立,若 01V%,即4 4 闯2,解得g 1,当q T时,所以“4 4,s2 2 B.x=4,s2 2 C.x 4,s?2 D.x =4,s2 06.以原点为圆心的圆全部都在平面区域 八内，则圆的面积的最大值为（）x-y+2 0【答案】C【分析】已知原点为圆心的圆全部在区域j-。内画出可行域,发现只有圆与直线x-y
3、 +2=0相切时，圆的半径最大，从而求解.【详解】解：据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大,根据点到直线的距离公式可知，原点到直线7 +2=0的距离为：4=贵=及，以原点为圆心的圆的半径大于0时，由所画图中的阴影部分的可行域可知此时圆有部分面积不在此可行域内，只有圆与直线x-y +2 =0相切时，圆的半径最大R =4,即尺卷=近，此时圆的最大面积为S =T(&)2 =2 T.故选：C.7.已知 l a 0,b Q,向量加=(a+2 6,-9),n=(8,ah),若而 J_ ,则 2 a+6 的最小值为()A.9 B.8 C.-D.54【答案】B【分析】由向量垂直的坐
4、标表示求得满足的关系，然后由基本不等式求得最小值.【详解】由题意次=8(4 +2)-94方=(),即,9ab又。0,b 0,所以2 a +八 8(+2力(2 +份=8(2/+5 3 2/)=342)+竺 2匠+竺=8,9ab 9ab 9 b a 9-9 b a 9当且仅当2 =1,即a =b =?时等号成立.a b 3所以2 a+匕的最小值为8.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:（1）“一正二定三相等“一正 就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（
5、3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8.如图是抛物线拱形桥，当水面在A 8 时，拱顶离水面4m,水面宽AB=20 m,若水面上升0.8 m,则水面宽是（）（结果精确到0.1 m）（参考数值：0*1.4 1,6 B 1.73,有=2.2 4）A.9.0 m B.17.3 m C.17.9 m D.2 1.9 m【答案】C【分析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为？=机），将 B 点坐标代入抛物线方程求出m,从而可得抛物线方程，再 令 代 入 抛 物 线 方 程 求 出 x,即可得到答案.【详解】解：如图建
6、立直角坐标系，设抛物线方程为了=相），由题意，将 8（10,T）代入/=,”），得加=一2 5,所以抛物线的方程为N=-2 5y,令 尸-令，解得x=4&,所以水面宽度为8石=2.2 4 X 8=17.9m.故选：C.9.将甲、乙、丙、丁 4名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1 名医生，A 表示事件“医生甲派往村庄”，8 表示事件“医生乙派往村庄”，则 P（B|A）=（）【答案】A【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A）,P,尸（4 8）,再由条件概率的概率公式计算可得;【详解】解：将甲、乙、丙、丁 4 名医生派往三个村庄义诊的试验有C：A；=36 个基本事件，它们等可能,
7、10 1 I事件A含有的基本事件数为A：+C：A；=1 2,则P（A）=：,同理P（B）=：,36 3 37 1事件A B含有的基本事件个数为A；=2 ,则 尸（A B）,36 1 8所以（即）=第4；故选：A1 0.己知正四棱台A B C。-ABCQ 的上、下底面边长分别为1 和2,P 是上底面AgCQ的边界上一点.若西正 的最小值为3，则该正四棱台的体积为（）A：B.么 C.亚 D.史2 4 6 6【答案】A【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量的数量积的坐标公式及二次函数的性质及已知得出正四棱台的高，再结合棱台的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，以O为坐标
8、原点，0 8,0 C,0 Q所在直线分别为x j,z 轴，建立空A（0-72,0）,C（0,72,0）,由对称性，点尸在A4 中 G，AR，G A是相同的,故只考虑在 4 G 上时，设正四棱台的高为3则用（白,0,，G 0,当,h,设 p（x,y,z）,PC =-x,与-y,h-z,4 盘=卜 孝，,，因为P 在 8c上，所 以 西=/1 瓯 （0 4/1 41）,则正=也 4 0-正+%_1/_正 4 正+2 2 2 2 2 2所以而 1，万+（克;I-逑 丫 也 4+也 +/?2 I 2 2 A 2 2 J=-Z2+-A2+-Z-Z-+/I22 2 2 2 2=A271 +A2=f A 4
9、-/z22 I 2 j 4由二次函数的性质知，当义=:时，丽.无 取 得最小值为2-二，2 4又因为西前 的最小值为所以解得 =1(负舍)，/4 2 2故正四棱台的体积为：1 Q 7V=1(Sl+7 +S2)/z =-(2 x 2 +72 x 2 x 1 x 1+l x l)x|=-1故选：A.冗1 1.已知。为正整数，且1如5，函数/(x)=2 s i n(o x+g)+l的图象如图所示，A,C,。是f(x)的图象与y =l相邻的三个交点，/*)与x轴交于相邻的两个点0、B,若在区【答案】B【分析】根据图像的特征，可分别求出8 =-夕，。=2,然后根据相邻零点间的关系以O及 函 数 图 像
10、的 周 期 性 即 可 确 定 为1 0 1 0个三冗 和1 0 1 1个号2 7r的和时，其值最大.【详解】设f(x)的周期为T,由图可知：|4。=工，且|。M=：二=0。32 co 3 co又/(O)=0 n 2 s i n(t y。+勿)+1 =0=s in。=，(p x =f a ig g x =+kit,k G Z6 3所以相邻两个零点的距离为g或 勺，则当为 1 01 0个三和1 01 1 个 乡 的和时，其3 3 3 3值最大 为 生 三故选：B1 2.已知。、b e R ,a2e+na=0,Z H n，+lnZ?-：)=1,则()A.ah ea h B.ab ea=h C.h
11、ei l ah D.ea=h +1 品=+/,构造函数g(x)=x+ef得出 +ln2=0,然后构造函数(x)=x+lnx 可得出 =，再对所得等式进行变形后b b b可得出合适的选项.【详解】由a%+I na =0 可得a e =I na =I n,由题意可知a 0,a a a构造函数 x)=m,其中x0,则造(力=(+1 户 0,所以，函数/(x)在(0,+8)上单调递增，由a e =1 lnL =e*l n L 可得a a a k a)所以，a-na,由 a 0 可得 l n a 0,则 0 a 0,I b)b b构造函数g(x)=x+e ,其中x0,则 g (x)=l +e*。，所以，
12、函数g(x)在(O,+8)上单调递增，由 1 +lnb =+e 7,B PlnZ +eln(=-+e*,可得g(l砌=所以，ln，=1,b b b)b由 ln6=，0 可得 6 1,且!=-l n ,则:+n?=0,(2)b b b b b令/i(x)=x+l n x,其中工 0,则，(x)=i +_ L o,所以，函数在(0,+e)上为增函数,由可得/?(“)=/(|=o,所以，=p可 得 而=1,由 a +lna =/e+lna =ln(a e )=O 可得 e =1,则 e =/?,因为则a b =l l时，且当 X .0 时，当 X f+o o 时，/?(%)-00,所以当X =1时,
13、函数（X）取得极大值=1,因为过点P ,o）存在2条直线与曲线y =x）相切,所以0 f 1,故答案为：y （不唯一）1 5.在AA6C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若AABC的面积等于a2+b2-c2),且。=1,则a+&bs ir t 4+&s in8【答案】2【分析】利用面积公式和余弦定理代入整理得t a nC =，再利用正弦定理进行边化角3代入化简.【详解】由题意可得：L必$m。=且（42+从-c?）=走x 2 c o s C ,整理得：t anC =2 12 v 7 12 3T T0 C 0）长轴的端点分别为A 8,点c为 椭 圆 上 异 于 的 一 点,a-b若在“18。
14、中满足3t an N W C+3t an Z ABC+t an Z AC B=0,则椭圆的离心率为【答案】#%【分析】根据3t an Z BAC+3t an Z ABC+t an Z AC B=0以及两角和的正切公式，可得2 2t an Z BAC-t an Z ABC =|,这可看成是直线CA C8斜 率 相 乘 为,然后根据两点间斜率公式以及椭圆方程，即可求解.【详解】由 3t an Z BAC+3t an Z ABC+t an Z AC 4=0 可得-t an Z A C B =3(t an 乙 BAC+t an Z ABC)=3t an(A B A C+Z ABC)(l-t an Z
15、BAC t an N ABC)=3t an(7t-Z AC B)(l-t an Z.BAC-t an Z ABC)=-3 t an Z AC B(l-t an Z B A C-t an Z ABC)_/、?所以-t an Z A C B=-3t an Z A C B(-t an Z.BAC-t an Z ABC)=t an Z.BAC-t an /A B C -设 C(x,y),A(-a,0),B(a,0)1 一上 h2所以 y y _ 2 y2 _ 2 a2)_ 2 b2 _ 2x+a x-a 3 x2-a2 3 n x2-a2 3=/3故 e=Jl 一与=3a a2 3故答案为：立3三、解
16、答题1 1 、J i k f-1 7.已知首项为2 的数列 叫 满 足 a+=2,记 =。2,一 1，。=%,2a”,为偶数(1)求证：数列 4 是等差数列，并求其通项公式；1(2)求数列，的 前 10项和品).【答案】(1)证明见解析，2 =2 九 v【分析】(1)结 合 题 意 可 证b=2，根据等差数列通项公式代入计算得=2 ；(2)1 1 1 1 、根据题意易得g =+1 ,利用裂项相消7=不(二)代入计算.bn-cn 2 n n+l【详解】=2,b“+i=/”+1 =2a2=2(2-I+1)=2 +2,即 bn+l-b=2故 也 是首项为2,公差为2 的等差数列，.也=2.(2)知%
17、=3+1 =+1,bn-ctl 2n(n +l)2 n +l故,Sc o=(1-1-1-1-1-1-1-1 -1-、)=5.10 2 2 2 3 10 11 1118.2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2 月底学生不能如期到学校上课，某校决定采用教育网络平台和老师钉钉教学相结合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排,完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了48两个班级，并得到如表数据：4班B班合计严格遵守3 65 6不能严格遵守合计5 05 0(1)补全上面的2 x 2列联表，并且根据调查的数据，判断能
18、否在犯错误的概率不超过0.0 0 5的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；(2)网络授课结束后，高一年级8 0 0名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布N(1 0(),5 2),若9 0分以下都算不及格，问高一年级不及格的学生有多少人？并且估计全年级第一名学生的数学成绩是在多少分以上？(人数四舍五入)附1：参考公式:n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附2：若随机变量X服从正态分布X-N出吟,则 一c r X 4 +c r).0.6 8 2 7,P(-3 c r X 7.8 7 9即可判断;(2)根据正态分布求解概率，根据概率
19、计算人数，估计分数.(1)A班B班合计严格遵守3 62 05 6不能严格遵守1 43 04 4合计5 05 01 0 0所以能在犯错误的概率不超过0.0 0 5 的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系:（2）学生的数学成绩近似服从正态分布N（1 0 0,5。）,1-0 9545p(X 9 0)=P(X /+3 o-),8 0 0 )所以全年级第一名学生的数学成绩在1 0 0+3 x 5 =1 1 5 分以上.1 9.如 图（1）,在 四 棱 锥 和 四 面 体 耳-EA Q中，片A。，为等边三角形，平面3 A，棱锥FA B C D 的四条侧棱相等，四边形A 8
20、 C O 为矩形,S.AD=A B.现将两个几何体中的A R山 和 片A A 重 合（尸,4。分别与耳,A，。2重合），构成一个新的几何体尸E A8 C。，如 图（2）,并且C J _ E A.（1）证明：点 E为平面B A F 和平面C D F 的一个公共点;（2）求平面A E D与平面B C F所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 巫5【分析】（1）根据两条平行直线，可以确定一个平面，&CDUFE,C,D,E,尸四点共面，EF/AB,B,A,E,F四点共面，即可判断点E是两平面的公共点.（2）根据空间向量，利用法向量求两个半平面的平面角【详解】如 图（2）,.四边形ABC。为矩形
21、，.C O L A O,./。，以，E AnAD=D,AD,EAu 平面 EAO,CQ_L平面 EAD如 图（1）,平面E4。，又 如 图（2）中，与ARAR重合，；.尸 ：，平 面 4。，；.C D/FE,：.C,D,E,F 四点共面，即点E 在平面CZJF内；又,：C D HAB,：.E FHAB,：.B,A,E,尸四点共面，即点E 在平面BA尸内；，E 为平面8AF与平面CQF的一个公共点.由（1）知：CD_L平面4。，Cu平面ABC,故平面ADE_L平面A 5C D,又AE/Q为等边三角形，。是 A。中点，.,.0 E L 4。平面AOEfl平面ABCD=4），所以0 E，平面 ABC
22、 D在平面A8CD中，作 0）4 A。，如图，以 0 为坐标原点，O A,O y,0 E 所在直线分别为 x,y,z 轴 建 系,则 41,0,0）,。（-1,0,0）,8（1,2也,0）,：（0,0,石）,尸（0,0,布）,又因为平面AOEL平面A B C D,所以而=（0,1,0）是平面AQE的一个法向量.设平面BCF的法向量为元=（x,%z）,因为8尸=（-1,_夜,石），BC=（-2,0,0）,所以_ 0 y +G z=O 令 则解得4 ，z=近,所以平面BCF的法向量为n=（0,73,及），记平面A E D与平面B C F所成的角为仇可得|cos0=也包=.mn V5 5所以平面AE
23、与平面8CF所成角（锐角）的余弦值为叵.r2 v220.设 双 曲 线 C -4 =1 （0,b 0）的左、右焦点分别是B,F2,渐近线分别a b为/,1 2,过尸2作渐近线的垂线，垂足为尸，且。尸 B 的面积为久.（1）求双曲线C 的离心率；（2）动直线/分别交直线/,，2于 A,B 两 点（A,8 分别在第一、四象限），且AOAB的面积恒为8,是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线C,若存在，求出双曲线 c的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）石（2）存在，-4=14 1 6【分析】（1）由A O P F/的面积为欧，可得m 的比值，再求离心率即可，4（2）先求得A,B的坐标，及
24、AOAB的面积恒为8,得直线/的方程，再联立双曲线的方程，得4 =0,即可求得双曲线的方程.【详解】（1）6（-C,0），E（C,0）,双曲线的渐近线方程为旷=2，ah、.由双曲线的对称性不妨取渐近线y =x,则点e（。,0）到其的距离为a=b,则|O P|=J|。段2 -|P 周2 =&,得 s M P F,=5 M P F2 解得 6 =2 a,c =ci2+b3 a_2+4a 旧a,所以双曲线C的离心率e =4 5 2 =逐.a ax2 v2 由(1)得渐近线/：y=2 t,1 2-.y=2 x,设双曲线得方程为=l,a 4 依题意得直线/的斜率不为零，因此设直线/的方程为x =y +f
25、,0,设直线/交x 轴于点C (1,0),A(xb y/),B(必 然)，联立x=my+tf 2 t-2 ty =2 x,得 匚病同理得看由由 O AB 的面积 5“。相=；|O C|-刃=8，得L2 1-2 m 1 +2 m=8,即岸=4|1 -4?|=4 (1-4m2)0,x=my+联立x-2 y-2/一方=1,得(4m2-)R+8 加)+4 (t2-a2)=0,因为4/TV0,所以，直线/与双曲线只有一个公共点当且仅当=（）,即 =6 4 m2;2-1 6(4/n2-1)(/-a2)=0,化简得4 加/+/一/=(),将(1)式代入可得4“2a 2+4(1-4m 2)-a 2=0,(a
26、2-4)(4 m 2-l)=0解得a?=4,r2,2因此双曲线的方程为L-匕=i,4 1 6因此，存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的 方程为工-工=1.4 1 62 1.已知函数g(x)=e*si nx+x,/=8-皿.,b e R 求 g(x)在(-()的单调性；若 丘(1 3 _ 9，试讨论f(x)的零点个数.【答案】(l)g(x)在(-1 0)上单调递增(2)3【分析】(1)根据题意得：g (x)=&e*si n(x +?)+l,分析即可得到g (x)的正负；(2)根据题意分x e(巴+8),x e(5，万)和x e(-8,5)三种情况分类讨论零点即可求解.【详解】(l
27、)g(x)=e*si nx +x ,x e(-y,O)g x)=er si nx +exc osx+1=&e*si n(x +?)+l.当利时,x +乂-抬)，所 以 一 冬 si n卜+讣冬-1 忘 i n(x+：)l,又0 e，一1,从而g (x)0,所以，g(x)在(-条0)上单调递增.(2)f(x)=si nx-ln(x+b),xe(-b,+oo)；当x e(乃,+8)时,所 以 x+b e(%+l,+8),所以l n(%+b)l n(乃+1)1,而 IW si n x W l,所以/(x)=si n x-l n(x +h)。，故无零点；当工 仁,乃)时，r(x)=c osx-最 匕
28、l-l n(-+e-)=0,又乃+方 乃+1#+巳)，2 2 2 2 I 2 J所以/（m =-l n（乃+。）。，所以函数/（X）在（,万）上有I个零点;当口 身 时 所 以 小）n x +&,21所以/OOn-c osx-7 正 0,所以;（x）=-si n x+7 不是减函数，又/（0）=0,/）=-1+”。,所以存在演（0,/）,使/（x J =O,当 x e（-b，x）时，f（x）0,当 x e（x ，5）时，/（x）0,所以/（X）在（-4 内）单调递增，在（8单调递减；并且当r（x）o,r（o）=i-l o,八 万）=一提二故存在（也 o）,使/也）=0,h 2 b存在毛（0,1
29、 ,使/（三）=。，且/（X）在（-6,X 2）上是减函数，在（工 2，工）上是增函数，在卜3,5 是减函数，又因为xf-。，/（x）0,/（0）=-l n/）0,/（y）=l-l n f|+0,故存在7-6,0）,使得/（附=0,存在 （0,?,使得/（）=0,即，（x）有2 个零点，综上所述：/0）有3 个零点.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧
30、和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.2 2.在平面直角坐标系x Oy 中，以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线G的极坐标方程为夕=4 c os。，曲线G 的参数方程为。V 2X=2+T?l （，为参数），曲线G，G 相交于A、B 两点，曲线G经过伸缩变换Tx=x+2,c 后得到曲线a.=2 y（1）求曲线G的普通方程和线段A B的长度；（2）设点尸是曲线G上的一个动点，求 P 4 8 的面积的最小值.【答案】（D（x
31、-2）2 +y2=4,|阴=2 五 4-6【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出G的普通方程，求出G 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出A B的长度，2（2）由伸缩变换可求出曲线C,的方程为三+丁=1,设点P（2 c o s s，s in。），求出点p到直线A 3 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从 而 可 求 出 的 面积的最小值【详解】（1）由夕=4c o s。，得p 2=4p c o s。，又0 2=/+y2,x =p c o s 0,所以（x-2）2+y2=4.V 2由 X=2+TZ（f为参数），消去参数得x-y=4,y=
32、-2+tI2G的圆心为（2,0）,半径为2,则圆心到直线x-y=4 的距离为所以|=2,以一（可=2 7 2 .r%，x+2曲线g 经过伸缩变换、二 2）,后得到曲线C|,则（x+2-2 y +（2 y）2=4,即曲线g 的方 程 为:+丁=1,设点P（2 c o s s，s in）,则点P到直线A 8的距离为石 I c o s e 一 好 s in。-41 2 c o s s in-4|15 5,/=V 2尸。一 t4二 一）（其中通”也，c s a =好），叵&5 5故当s in（a-*）=l时，d取得最小值，且4-7 5因此，当点尸到直线A 8的距离最小时，P AB 的面积也最小,所以尸
33、4 8的面积的最小值为:j AM-d m in =:x 2应 x+0的解集；(2)若不等式/(x)Z储一3|x+a|+2对任意的x e R恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)(9,0)U(2,M)(2)-2 a -lW il a 0,解得x 2,此时有x 0,解得x 0,此时有一lW x g时，有(2 x-l)(x+l)0,解得x 2,此时有x 2；综上可得解集为(,0)U(2,4W)(2)由题可得|2 x|尤+4 N 6 T 3|x+a|+2 ,B P|2 x t?|+|2 x+2 2|+2 ,由绝对值的三角不等式可得|2 i|+|2 x+2 a|2|(2 x-a)-(2 x+2 a)|=|3a|,故要|2 x 4+|2*+2 42+2恒成立则+2邛4,S ft(|a|-2)(|a|-l)0,B p i|a|2,解得一2MaJ 或