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1、第一章行列式1.(9 5,九题，6分)设A是”阶矩阵，满足(E是阶单位阵，A 是A的转置矩阵，L 4 l n时，必有行列式I I AB昆0.(B)当 加 时，必有行列式II A 3 1=0.(C)当nm时,必有行列式I I A B I H 0.(D)当 机时，必有行列式I I 1=0.A+E=iA+AAT=A(E+Ar)=iAE+A=AA+E,于是(1 7A I)I A +E I=0.C 1因为 1 T A I 0,故 I A +E I=O【答】应 选(B)【分析】四个选项在于区分行列式是否为零,而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要2.(9 6,选(5)题，3分)四 阶 行 列 式a000出
2、a00b2%0h00的值等于q a2a3a4 b、b2b3b&(B)aia2a?ia4+bbb1bA(C)伍必2-*2)(。3 a 4-匕3仇)(D)(“24-4)(4逆4 一仇)条件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题未知AB的具体元素，因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。【详 解】因 为AB为m阶 方 阵，且尸(A B)m i n r(A),r(S)n时，由上式可知，r(AB)n=1 1 ,=4 =4x2=8-1 1B(A-E)=2 EI B(A-E)I=I 2 E II B I I A-E I=4I B I=4 I A-E r5.(0
3、 5,填(5)题，4分)设均为3维列向量，记矩阵A=(ax,a2,ay)B =(%+a2+%+2a2+4 a3,at+3 a2+9%)如果I A I=1,那么皿=2【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。【详解】对矩阵B用分块技巧，有1 1 1B=(a,a2 a3)1 2 31 4 9两边取行列式，并用行列式乘法公式，得1 1 1|B|=|A|1 2 3=2|川1 4 9所以I B I=2.-2 r6.(0 6,(5)题，4分)设矩阵4=,-1 2 _E为单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则I B I=【分析】本题为计算方阵行列式，应利用矩阵运算与行列式
4、的关系来求解【详解】由BA=B+2E得B A-B=2 E第二章矩 阵一、矩阵运算1 2 -2 1.(9 7,填(4)题，3 分)设 4=4 r 3 ,3 -1 1B为三阶非零矩阵，且AB=0,贝h=-3【分析】由AB=0也可推知r(A)+r(B)0。于是 r(A)W 2,故有I A I=0=t=-3.【详解】由于B为三阶非零矩阵，且A B=0,可见线性方程组Ax=0存在非零解，故1 2 -2A=4 t 3 =Onr =-33 -1 1二、伴随矩阵1.(0 5,1 2题，4分)设A为n(2 2)阶可逆矩阵，交换A的 第1行与第2行得矩阵B,A*,8 分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换A*的 第
5、1列与第2列得B*(B)交换A,的 第1行与第2行得B*1.(9 6,八题，6分)设4=七 一,，其中E是n阶单位矩阵，J是n维非零列向量，?是J的转置，证明：(1)/P =A的充要条件是聂7=1(2)当 打7=1时，A是不可逆矩阵【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中J是n维列向量，则 将 是n阶矩(C)交换A*的第1列与第2列得 6*(D)交换A*的 第1行 与 第2行得 B*阵且秩为1 而夕J是一个数【详解】(1)4 =(E -g)(E -2打r)=E 2野 +或夕？?=E -(2 -【答】应 选(C)【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关
6、系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B,所以用初等矩阵左乘A得到B,按已知有 0 1 0 1 0 0 A=B0 0 10 1 0又因I AI=-I B I,故 A*1 0 0 =_ B*,0 0 1所以应选(C)三、可逆矩阵因此4 =A=E-(2-夕?)&野 Q e J l),T=0因为J/0,所以打T W0故A2 =A的充要条件为三岁=1(2)方法一：当 =1 时，由 A=E-g r,有 A J =O,因为J/0故Ax =0有非零解，因此I AI=0,说明A不可逆方法二：当=1,由A2=AA(E-A)=0,即 E-A 的每一列均为A
7、x =0的解，因 为E A=,。0,说 明Ax =0有非零解，故秩(A)L(A +2 E)=E2故(A E)T =g(A +2 E)四、初等变换和初等矩阵1 .(9 5 ,选(5)题，3 分)设a!2%3(B)AP2P=B(C )PiP?A=B(D)P2PfA=B2.(9 7,八题，5分)设 A 是阶可逆方阵，将A 的第，行和第，行对换后得到的矩阵为B(1)证明B可逆；(2)求 T【分析】本题考查了初等矩阵的定义，性质级初等变换的关系，将 A 的 第i行和第j行对换，相当于左乘一初等矩阵，交换两行，行列式变号，其值仍不为零，从而6可逆【详解】(1)记 E(i,j)是由n阶单位矩阵的的 i 行和
8、的j 行对换后得到的初等矩阵，则B=E(i,J)A,于是有I B I=I E(i,J)I I AI=-I AI W 0,故B可逆(2)AE(i,j)=AA-E-(z,j)=E-=E(i,j)3.(0 4,选(1 1)题，4 分)设 A 是 3阶方阵，将 A 的 第 1 列与第2列交换得B,再把B得第2列加到第3列得C,则满足A Q=C的可逆矩阵Q为 0 1 0(A)1 0 01 0 10 1 0(B)1 0 10 0 1(C )o i r(D)1 0 00 0 10 1 01 0 00 1 1【分析】本题为矩阵运算，需要利用矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来求解。【详解】因为P为初等矩阵，P
9、 A相当于把A的第2行加到第1行，记8=骷，所以正选应 在(B),(D)之中，而3 P，相 当 于 把B的第2列加到第1歹U，故选项(D)错误，于是，正确选项为(B)【答】应 选(D)【分析】本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积【详解】由题意，有0 1 O-0 O-A1 0 0=B,B0 1 1=c0 0 10 0 1_于是-0 1 o-n o o-0 1 1-A1 0 00 1 1=A1 0 0=c,_0 0 1_o 0 1.0 0 1可见应选(D)4.(0 6,(1 2)题，4分)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1
10、行得B,再将B的第1列 的 一 1倍 加 到 第2列 得C ,记0-P=。1 0 则0 0 1(A)C =P A P(B)C =P A P-(C )C=PTAP五、矩阵方程1.(9 5,填5题，3分)设三阶方阵A,B满足 关 系 式：A-B A ()A +B A,且-003-3 0 0A=0-0，则B =0 2 041o 0 10 0-7_【分析】解这种矩阵的题型，应先进行化简后再计算，但注意的是：左乘与右乘矩阵时是有区别的，请不要轻易地犯这种低级错误。【详解】在已知等式ATBA=6A+BA两边右乘以TT L得A-B =6E+B于是-2 0 o-1-3 0 0B=6(A-JE)T=6 0 3
11、0=0 2 00 0 60 0 12.(0 0,十题，6分)设 矩 阵A的伴随矩阵(D)C =PAPTABA=BA+3E,其中E为4阶单位矩-1 0 0 o-01 0 0A=10 1 0,且0-3 0 8阵，求矩阵B【分析】本题为求解矩阵方程问题，B相当于是未知矩阵，其一般原则是先化简，再计算，根据题设，等式可先右乘A,再左乘A*,尽量不去计算人7【详 解1】由AA*=A*AT AIE ,知IA*1=1 A I-1,因此有8T A*I=IA|3,于是|A|=2在等式ABA-=BA-=3 E两边先右乘A,再左乘A*,得(2E A*)B=6E,于10-108=6(2 E-=6是000 _-6010
12、0060106 030-60 3。【阚I0 0H1而-1000-i-100o-01000100(A-尸=-2010=20 10030-300-41L4-4.-3.因此-100o -20 0 0-6 0 0 0B=3010002 0 00 6 0 02010 2 0 2 06 0 6 0010403010 3 0-1-3.44.六、矩阵得秩1.（96,填5题，3分）设A是4 X 3矩阵,1 0 2且A得秩r(A)=2,而8=0 2 0,则r-10 3(AB)=2【分析】本题是基本题型，考查的是矩阵的秩1 0 2】因为忸|=0 2 0=10声0,说明-10 33可逆，故秩4人3）=秩r（A）=2%
13、b C【详解2】l A 1=2(同解1 )。由A4*=1 A I E ,得-10 0O-01 00A=|A(A X =2(A*)T =2-10 103人10-088.可见A-E为 可 逆 矩 阵，于 是由(A-E)BA-=3 E,有B=3(A-E)T A2.（98,选4题，3分）设 矩 阵a2 b2 c2a3 A Q储满株的0则稠fZe4f、e-X-a-3=q -a2）一3 二瓦-瓦一。20 2 0 0=加 鱼 攵 他；y-h _z -。3勾74与一与C2 一。30-0-4(4A）相交于 一点(B)重合(C)平行 但不 重合（D）异面【答】应 选（A）【分析】本题综合运用了线性代数于空间解析几
14、何两个知识点，主要考查对满秩方阵、二向量共线的条件及三向量共面的条件等概念的理解及应用，作为选择题本题首先可由两直线不共线，排除选项（B）和（C）,根据对称性，不难观察到点（%+43，1-02+3，。1 。2+，3）同时满足两个方程，故 应 选（A）1【详解】设 矩 阵a2_ 34C|b2 c2是满秩的，所by C j以通过行初等变换后得矩阵 1 一a 2仇一b,Cj 一 C-）a2-a3 b2-b3 c2-c3仍是满秩的，于%by c3是两直线的方向向量S =。1 一2，q 2 S2=42。3也 一4，。2。3 线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合。又（苗,4,）、（,4,，3）分别为两
15、直线上的点，其连线向量为：S,=6!,-a2,bi-b2,c-c2,满 足S3=S,+S2,可见S 1,S2,S 3共面，因此5,S 2必正交，即两直线肯定相交第 三 章 向 量一、向量组地线性相关问题中a3x+b3y +c3=0其。；+6：。0力=1,2,3）交于一点地充要条件是（A）%0,见线 性 相 关（B）名,&2，火 线性无关（C）秩 厂（囚,4，%）=秩/（,2）（D）4线性相关，%,4线性无关1【答】应 选（D）【分析】三条直线交于一点的充要条件是方a x+bly +ci=0程组+打）+。2=0有惟一解a3x+b3y +c3=0【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组ax
16、+y +Cj =0 a2x+b2y +c2=0a3x+b3y +c3=0有惟一解，其充要条件为秩7（%,%，%）=秩7（%,。2）=2（A）,（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只 有（D）为充要条件，故应选（D）2.（98,十一题，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使 线 性 方 程 组=0有解向 量a ,且Ak x H 0,证 明：向量组a,A a,-,Ak a 线性无关【分析】向量组a,Aa,Ak-a是线性无关的，则当 4）a +4 A,c x+A a =0时，必有4=4=4T=。成立【详解】设有常数4,4,，4T，使得4a+4Aa+4_/1&=0则有 Ai（4）a +4Aa
17、+4 _ 1 设一匕）=0从而由题设屋一打力。，所以4=0类似地可以证明4=4 =-=4.T=O,因此向量组a,A a,4 以 是线性无关的3.（0 0,选 4题，3分）设 n维列向量组（m n）线性无关，则 n 维列向量组封，,凡线性无关的充分必要条件为（A）向 量 组%，,a,“可由向量组片,，底 线 性表示（B）向 量 组 ,以 可由向量组3,a,“线性表示（C）向 量 组%,a,“与 向 量 组4,我等价（D ）矩 阵 A =（,“）与 矩 阵B=（四,，氏）等馀（【答】应 选（D）【分析】向量组4,4线性相关Q向量组 的 秩”片，乩）=m，由 定 理“若%,可 山 口|,4线 性 表
18、 出，则区）4（/7 1,.,夕）”【详解】用排除法（A）为 充 分 但 非 必 要 条 件：若向量组a”,%，可由向量组片,/”线性表示，则一定可推导出口，力“线性无关，因为若片，,见 线 性 相 关,则 广（囚,大,于是名,a“必线性相关，矛盾。但反过来不成立，如 当 0 1=1 时，a,=（1,0/,1=（0,均为单个非零向量是线性无关的，但 并不能用I线性表示（B）为既非充分又非必要条件。如 当 m=l时，考 虑 a=（1,0 1，4=（0,1 均线性无美,但用并不能山 线性表示，必要性不成立;又如O=（1,0 尸,4=（0,0 尸，片可 由%线性表示，但4 并不线性无关，充分性也不成
19、立（C）为 充 分 但 非 必 要 条 件，若向量组%,火,与 向 量 组 ，凡 等 价，由必,线性无关秩，r（4,，夕“）=加，因 此4,我 线性无关，充分性成立；当 m=l时，考 虑 =（1,0 尸,女=（0,1 尸均线性无关，但与与片并不是等价的，必要性不成立故 剩 下（D）为 正 确 选 项.事 实 上，矩阵A =（a”与 矩 阵 8 =（4,4）等价r（A）=r（5）r（月）=m,因此是向量组用，,凡 线性无关的充要条件4.(0 3,选4题,4分)设向量组I 纵可由向量组n：4,4,4线性表示，则(A)当r s时，向量组I I必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关【答】应 选
20、(D)【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：%,%，?可由向量组H：4,乩，,及线性表示，则当r s时，向量组I必线性相关，或其逆否命题:若 向 量 组I ：ava-,ar可 由 向 量 组n ：/,尾,，耳线性表示，且向量组I线性无关，则 必 有 可 见 正 确 选 项 为(D)。本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】用排除法：如%=0%+0尾，但直，线性无关，排除(A)；由片线性表示，但/线性无关，排 除(B)；%=C 田=C 则 必 可由V V V V V 74,尾线性表示，但 名 线性无关，排 除(C)故正确选项为(D)5.(0 4,选(1 2)题，4
21、分)设A,B为满足A B=0的任意两个非零矩阵，则必有：(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关(D)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关【答】应 选(A)【分析】A,B的行或列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或A x=0 (B x=0)是否有非零解进行分析讨论【详 解1】设A为mX n矩阵，B为n X s矩阵，则由A B=0知，r(A)+r(B)0,r(B)0.可见r(A)n,r(B)n,即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关，故 应 选(A)【详解2】A B=
22、0知，B的每一列均为A x =0的解，而B为非零矩阵，即A x=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由A B=0知，于是有8 7的列向量组线性相关，从 而B的行向量组线性相关，故 应 选(A)6.(0 5,选1 1题，4分)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为名,。2,则%,A(+%)线性无关的充分必要条件是(A)4,O(B)4H0(o 4 =(D)4=0【答】应 选(B)【分析】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念，讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可【详 解】按 特 征 值 特 征 向 量 定 义，有A(a,+%)=+a
23、i=4 a l +4a2%,4（6+。2）线 性无关【详 解 1】因为若必,火,4 线性相关，则 与+&2 4（与+4）=。，&，女 2 恒为 0 （占 +4女 2）。1+4%2 a 2 =0,0，k2 恒为 0由于不同特征值的特征向量线性无关，所以%,名 线性无关k.+4心=o于是 小匕，&恒 为 0小 2 =0而 齐 次 方 程 组 k,+:一-0，只 有 零 解I 4A2=01 4 ,=H 0=d H 00%-所以应选（B）7.（0 6,（I I）题，4 分）设囚,，均为 n维列向量，A是 mXn矩阵，下列选项正确的是（A ）若/,4,%,线 性 相 关，则Aa,Aa2，,A4 线性相关
24、（B ）若%,火,，区 线 性 相 关，则Aat,Aa2，,A4 线性无关（C）若囚,火，区 线 性 无 关，则Aa,Aa2,-,Aas 线性相关（D）若%,口2,4线 性 无 关，则Aa,Aa2,Aa,线性无关J【分析】本题为判别向量组的线性相关性，可利用线性相关性的定义和矩阵的秩与向量线性相关的关系来求解存在不全为0的 S 个数少也,左,使k1%+k*a、=0用 A左乘上式两端，得+k2a2+ksas）=A-0=kiAat+k2Aa2+-+ksAa=0因k,k2,-,ks不全为零，故A a.A a 2,，A a,线性相关，所以，正确选项 为（A）【详解2】设矩阵B=ax,a2,-,as,C
25、=明,A%,A%则C=Aal,Aa2,-,Aas=Aat,a2,-,as=AB于是 r（C）r（AB）r（B）若 q,%，,G线性相关，则 r（B）s ,由此得r（C）s。此 时,C的 列 向 量A ,A a”，A a,线性相关，所以，正确选项 为（A）【详 解 3】因矩阵A 可任意取，故 当 A=0时，可得选项（B）,（D）是错误的，而当s=n时，WA=E,可得选项（D）也是错误的，所以正确选项只能是（A）二、向量组的秩与向量空间1.（9 7,七（1）题，5 分）设 B是秩为2的5X4 矩 阵，a1=（l,l,2,3）7,a2=（-l,l,4,-l）r,生=(5,-1,-8,9 y是齐次线性
26、方程组以=0的解向量，求B x=0的解空间的一个标准正交基【分析】要 求B x=0的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应线性无关的解，由题设知解空间的维数，即B x=0的线性无关解的个数等于B的列数减r(B),显然等于2,而4,。2，。3三个解向量两两均是线性无关的，选取任意的两个进行施密特正交化均能得到个标准的正交基，解不是唯一的【详解】因秩r(B)=2,故解空间的维数为：4r(B)=4-2=2又1,%线性无关，可见%,应 是解空间的基 2 3【分析】n维向量空间中，从基%,见，,。“到 基 丹,河，瓦 的 过 渡 矩 阵P满足 4,尾，血%P,因此过渡矩 阵 P 为：
27、【详 解】根 据 定 义，从 心的 基(I)(1)a.=至 il 基过 渡 矩1、0 甲0-1儿阵 为iY i2片 人12J再将其单位化：令即为所求的一个标准正交基2.(0 3,填4题，4分)从 a 的基口)(0%=。2=,至U 基自=，4=；)的 过 渡 矩 阵 为第四章线性方程组一、齐次线性方程组1.（9 8,十二题，5 分）已知线性方程组解(Ialx+al 2x2+-+al 2 nx2n=0玉+/2 2+%.2“.=0)2.（0 1,九题，6 分）设与,生为线性方 程 组 Ax=0的 个 基 础 解 系，=tlal+t2a2,。，1%+”“2工 2+-.+4,2“2“=4 =乙4 +，2
28、a3,，=tas +tia(其中的 一 个 基 础 解 系 为（如也2,，瓦2”）,t,t2为实常数。试问小，2满足什么关系时，(%也 2,也,2)，4，（端 也 2,也,2 厅，试写出线性方程组月 也为Ax=0 的一个基础解系(II加 X+a 2y2+2 2 =为1弘+打2%+一 +甸 2%=。V)【分 析】首先应理解 基 础 解 系 的 概 念，片,，氏 是 Ax=0 的一个基础解系，必须证明4,%M+%+地,2/2=。口均为Ax=0 的解，而且是线性无关的，而的通解，并说明理由基础解系应满足两个条件：解向量；线【分析】般地，若 A B=0,就应想到B 的每一列均为A x=0的解，本题也可
29、用向量形性无关且向量个数为S=n-r（A）【详 解】由 于时=1,2,s）均 为式证明A 的行向量的转置为（H）的解，但相对较复杂一些a,a,的 线 性 组 合，所以【详解】（II）的通解为4（1=1,2-,5）均为人*=0 的解，下面证明y ，“1,2）+02（421，“22,，.2,2）,4“？，凡,）片,4 线性无关，设，其中J,，k,c x,+k f C X-,H +k e x 0%为任意常数 Hr|即理由：方 程 组（I）,（H）的系数矩阵分别.一 ,n（，内+t1ks）（Xx+（t 2 k l+桃 2）4 T-卜 26-l+%）%=0记 为 A,B,则由题设可知A F =0,于是B
30、 Ar0,可见A 的 n 个行向量的转置向量 由于a,a 2,线性无关，因此其系数全为（II）的 n 个解向量由 于 B 的秩为n,故（II）的解空间维数为2n-r（B）=2nn=n.又 A 的秩为 2n 与（I）的解空间维数之差，即 为 n,故 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II）的一个基础解系，于 是得到（II）的上述通为零，即t,k,+t2ks=0t2kt+ttk2=0%i+依=0其 系 数 行 列 式乙 0 0 0t2 0 00 12 t l 0 =，；+(_ 1严弓0 0 0 t2 t可见，当1+(H O,即当s为偶数，r,*+t2；s为奇数,时，上述方程组只
31、有零解仁=&=%=0,因此向量组片,，月 线性无关，从而口,女 也 为 A x=0的一个基础解系3.(0 3,选 5 题，4 分)设有齐次线性方程组 A x=O 和 B x=O,其 中 A,B均 为 mXn矩阵，现有4 个命题：若 A x=O 的解均是B x=O 的解，则秩(A)2 秩(B)；若秩(A)，秩(B),则 A x=O 的解均是B x=O 的解;若 A x=O 与 B x=O 同解，贝瞅(A)=秩(B)；若秩8)=秩 8),则 A x=O 与 B x=0同解以上命题中正确的是(A)(B)(C)(D)【答】应 选(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、两个命题的反例比较复杂一些
32、，关键是抓住与，迅速排除不正确的选项【详解】若 A x=O 与 B x=O 同解，则 n 秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B),命题成立可 排 除(A),(C)；若秩8)=秩立)，则不能推出A x=O 与 B x=(0、0 0、0同解如A=,B=，则秩(A)=I。o j l o 1 J秩(B)=l,但 A x=0 与 B x=0 不同解，由此,命题不成立，排 除(D),所以答案选(B)4.(0 4,2 0 题，9分)设有齐次线性方程组(1 +a)xt+x2 H-xn=02芭+(2 +。)+2 x.=0 2)+nx-,H-F (+d)xn=0试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
33、【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数。的可能取值进行讨论即可【详 解 1 对方程组的参数矩阵A作初等行变换,有-l +a11 -1 l+a11A =22+a2 2T-2 aa0nnn +Q-na00当a=0时，r(A)=l 1-n00-i _-n0可知a=-迪 士2时，r(A)=nTn故方程2组也有非零解，其同解方程组为 2耳+=0V-3%+x3=0_ g +=0由此得基础解系为 =(1,2,尸于是方程组的通解为X=k7
34、,其中k为任意常数 详解2方程组的系数行列式为当。=一世 土2时,2对系数矩阵A作初等行变换，有-1+.2 1 1 1a 1 122+。2 2-2a a 0A=Tnn n +na 0 0l+a 1 1 1-0 0 0-2 1 0 0-2 1 0一 n 0 0,1_-n 0 0故方程组的通解方程组为H=n+al+a1122a2nnn12=a+2a T-2X 1+X 2=0-3%|+x3-0-nxy+x=0当|川=0,即 a=0 或 a=_ (；，时,由此得基础解系为7 7 =(1,2,-,n)T方程组有非零解于是方程组的通解为对系数矩阵A作初等行变换,非齐次线性方程组当a=0时,有x=k，其中k
35、为任意常数一11 1 -1 1(o?,.填 勺；帆,3分H=222 20(-120.1(q丁:23 a+23nnn n0 c1ci 0 2(丁0无解，则a-故方程组的同解方程组为)已知方程组玉+X =0【分析】首先明确方程组无解的充分必要条件是r(A)=NX)【详解】化增广矩阵为阶梯形，有由此得基础解系为7=(-1,1,0,一、0尸,7=(-1,0,1/一,0)-,1=(1,0,0,1)1r1_121 1-122 3 a+23 0-1a 1 0-1，于是方程组的通解为1 a-200a-2 3 100 x=klrl+k272+-+kn_i?n_l,其 中仁 尤t为任意常数可见，当。=一1时,系数
36、矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3,因此方程组无解。注意,当a=3时,系数矩阵和增广矩阵的秩均为2,方程组有无穷多解2.（0 2,选4题，3分）设有三张不同平面的方程许+4 2 +%1 =1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵都为2,则这三张平面可能的位置关系为：则通解【分析】对 于 详 解2,关键在于求线性方程组=的通解，再由 为多,%?,%/的秩,并 对 照X1 2X2+X3+0 x4=0以 及X 1+X 2+X 3+X 4 =夕，便可求得结果（A）（B）（C）（D）【答】应 选（B）【分析】由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为2,故得知方程组有解，而且解空间的维数3 2=
37、1,即共同构成一条直线，所 以 选（B）项。但错误地选（C）或（D）,其原因是误认为这两种情形均有公共解，事实上，（C）仅是两两方程有公共解，（D）是某方程分别与另两方程有公共解，都不是三个方程有公共解。【详解】由题设，线性方程组得X。+工24+工303+=+%+0 3 +%将%=2%-a、，代入上式，整理后得(2%|+3)%+(Xj+%3)3+(1 4 1)。4 =0ax+al2y al3z=h1（。21%+。22丁+。23=匕2a3tx+a32y+a33z=b3系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2,由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程组有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（
38、A）只有一个交点，（C）,（D）无交点，因此只有（B）符合要求。3.（0 2,九 题，6分）已 知4阶方阵A =（%,%，。3，1 4），%，氏，。3，&4均为 4 维列 向 量，其 中a 2，火 线 性 无关，a,-la-,-a3,如 果由&2，火，&4线性无关，知2%)+3 =0 X1+Xj=0 x4-l =0解此方程组得x=I,其中k为任意常数013+k-20110【详 解2】由线性无关和a=2%。3,知 A 的秩为3,因此A x =0的基础解系中只包含一个向量。=%+%+%+&4,求方程组A x =的1由4-2 a,+口3+0%=0,知!-21 为齐次1【详 解1】必要性：设 三 条
39、直 线4,4交于一点，则线性方程组o线性方程组A x =0的一个解，所以其通解为k为任意常数再ax+2 by -3 c 故秩（）3由于a 2 b、.=2(a c -/)=-2 a(a+b)+b2b 2 cI 3=-2 (。+加2+的 W O2 4故秩(A)=2,于是，秩 秩)=秩(1)=2因此方程组(*)有惟一解，即 三 直 线4,4交于一点【详解2】必要性：设 三 直 线 交 于 一 点(%,%),则 尤 为1a 2 b 3 cA x =0的非零解，其中4=b 2 c 3ac 2 a 3c于是|A|=01 2 32 4 6 (k 为常数)，且 A B=0,求线性3 6 k _方程组A x=0
40、的通解【分析】A B=0,相当于告之B的每一列均为A x=0 的解，关键问题是A x =0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩【详 解 1】由 A B =0知 r(A)+r(B)3,又a 2 b而 闾=力 2 cc 2 a3c3a3cI r(A)2,1 r(B)2=-6(a+b +c)(a2+b2+c2-ab-ac -be)(1)若 r(A)=2,必有 r(B)=l,此时 k=9-3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-tz)2 方程组A x=0 的通解是f(l,2,3),，其 中 t 为但 根 据 题 设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 W 0
41、,故a+b+c-0充分性：考虑线性方程组ax+2 by=3 c bx+l e y -3a(*)e x+l ay =-3b将 方 程 组(*)的 三 个 方 程 相 加，并由a +b +c =0可知，方程组(*)等价于方程组ax+2 by=3 cbx+l e y -3a(*)因 为a 2 bb 2 c1 3=2(ac -b2)-2 a(a+b)+b2-2(a 1 0 的 通解是2 44(1,2,3-+.(3,6,女)，,其中为任意实故方程组(*)有惟一解所以方程组(*)有惟一解，即三直线儿J 4交于一点任意实数 若 r(A)=l,则 A x =0 的通解方程是axt+bx2+c x3=0 且 满
42、 足a+2 b+3 c-0(%9)c =0如 果 c H O ,方 程 组 的 通 解 是tx(c,0,-a)，+f2(0,c,-b)T,其中 为任意实数；如 果 c =0,方 程 组 的 通 解 是4(1,2,0)+6(0,0,，其中乙由 为任意实数【详 解 2(1)如果左，9,则秩r(B)=2,由A B =O 知 r(A)+r(3)W 3,因此r(A)=l,数(2)如果 k=9,则秩 r(B)=l,那么，r(A)=l或 25.(0 5,2 1 题，9分)已 知 3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),不全为零，矩阵B=若 r(A)=2,则 A x=O 的通解是t(1,2,3 尸，其中 t 为任
43、意实数若 r(A)=l,对 ax+h x2+c x3=0 ,设 c W 0 ,则方程组的通解是/.(GO,-0)7+t2(O,c,-h y6.(0 6,(2 0)题，9分)已 知 非 齐 次 线 性 方程组X 1 +x2+x3+x4=-2,由此得r(A)W 2,另一方面,导出组的系数矩阵1111A=4 3 5 -1a I 3 b存 在2阶不等于零的子式所 以，r(A)2,综上所述，即 得r(A)=2(I I)因为非齐次方程组有解，故其增广矩阵与 系 数 矩 阵A的秩相等，由(1 )得 (田=2,故增广矩阵-1 1 14 3 5a 1 3的 秩 也 为2,阶梯形1-1b用 才-1-11刃等行一变
44、换把上述矩阵化为-1 1 11-F 1 1 1 1 -4 3 5-1-1 T 0 -1 1 -5a 1 3b10 0 4 -2 a 5+A a+b 4-由此得4-2。=0,5 +4 4+/?=0即。=2力=3利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组*xt+x2+x3+x4=-1-x+x3-5X4=3确定自由未知数玉+九2=-一刍 一 4-X =3 -%3+5X4山此得通解为V%=2-2匕+4X4X =-3 +x3-5X4其 中 七4 4为自由未知数【详解】设对应于4=4=1 的特征向量为&=（和,无3 尸，根 据A为实对称矩阵的假设知三。=0,即4+马=0,解得$=（1,0,0）飞=（0,1,-1
45、尸于是由4。,&）=（4配 4乙，4女）有A =（猫出基存盛2刍尸-01o-一 01o-1-10o-101 101=00-1-10-110-10-102.（9 8,填4 题,3 分）设A 为n 阶矩阵,|4 卜 0,A*为 A的伴随矩阵，E为 n阶单位矩阵，若A 有 特 征 值 2,则（A*）?+E必有特征值【分析】本题从特征值、特征向量的定义A x =4 x,x H 0 进行推导即可第五章特征值与特征向量一、特征值与特征向量1.（9 5,八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为4=一1，4=4=1，对应于4的特征向量为。=（0,1,1 1，求 A【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已
46、知A的三个特征值和三个线性无关特征向量。&，刍后，由公式A4,&）=（常 人&，遍3）可 解 出【详解】设A x =4 x（xH0）,则A lx=A_ 1x =4 x,（尤 W 0）A A即 A=xA从而5”）2%=（4 1）2A（A*）2+Ex=（）2+l x,X 声 0AA =（猫 存2,存3）&心尸可见（A*）?+E必有特征值（0A+14又 AA*=|A|E=-E,于 是A A a-A 4a=A a,即 a =4 A a3.（9 9,填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是a也即4 51-c-1b0由此可得【分析】因为r（A）=l ,所 以|立一4|=下 一 工 生/1
47、【详解】因为忆后-川=A 1 1 1 /I 1 1 0 0 24(-a +l +c)=1 4(_ 5-6 +3)=14(-l +c-a)=-l4一”0辘方程组,T导4)=l,b =-3,a =c_ A n 1 -1一 .又山.阂.二1和。=c ,有Z-n-1 A j-1a-i c5 b 3 =a 3 =1(A n)A 1 l c 0 a故a =c =2,因此 a =2,b=3,c =2,4 =1故矩阵A的n个特征值是n和0 （n-1重），?2人-l 、因 此 本 题 应 填0,04 .（9 9 ,十 题，8分）设 矩 阵a-1 cA=5 h 3 ,其行列式|川=1,1-c 0 -a又A的伴随矩
48、阵A*有一个特征值%,属于4的一个特征向量为&=（一1,一1,1 1，求a、b、c和4的值【分析】利用A 4*=|A|E,把A*a =4）a转化为4）4 a =-a是本题的关键3 2 25.（0 3,九题，1 0分）设矩阵A =2 3 2,2 2 3 _ 0 1 0 P=1 0 1 ,B p-A P,求 B+2E 的0 0 1特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵【分 析】可 先 求 出A P-l,进而确定8 =PT A*P及B+2E,再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征【详解】根据题设有A%=4 a,向量，最终根
49、据B+2 E与A*+2 E相似求出其特征值与特征向量。【详 解1】经计算可得-2-2产50 11 00 07 0B=p-AfP=-2 5-2-20一4,从而39 0 0B+2E=-2 7-4-2-2 5A-9|2-(B +2E)|=22一 广1所以属于特征值4 =3的所有特征向量为1k/3=&1 ,其中勺为非零的任意常数【详解2】设A的特征值为4,对应特征向量为 ，即Ar/-Ar/由于=7。0,所以；1。0o o 又因A*A=|A|E,故有4力=沫 7 4=(2-9)-3)2 彳-5 7 t 1B(P-加)=P-A*P(P-1T J)=回(尸 一 刀),A故B+2E的特征值为4=4 =9,4=
50、3当4=4 =9时，解(9E-A)x=0,得线,UI,(B+2E)P)=(+2)勿A性无关的特征向量为所以属于特征值4=4=9的所有特征向量为匕，是不全为零的任意常数当4 =3时，解(3E A)x=0,得线性无因此，坨+2为B+2E的特征值，对应的特征向量为上力由于几-3 2 2AE-A=-2 A-3-2 =(A-l)2(A-7)-2 -2 /L-3故A的特征值为4=4 =i,4 =7当4=4 =1时，对应的线性无关特征向量可取为关的特征向量为7=-110当4=7时,3，4 =-101对应的个特征向量为由pTP”=因此，B+2 E 的三个特征值分别为9,9,3对应于特征值9的全部特征向量为kP