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1、2017最新电大 工程数学课程期末重点、要点考试小抄整理汇总1.设A,8都是”阶方阵，则下列命题正确的是（A）.A.AH=|y4|Z?|5 .设 项，/，X”是来自正态总体N3，内 的样本，则（C）是“无偏估计._ C 1X+卜+|x,11.设A为3,矩阵，。为M矩阵，当C为（B）矩阵时，乘积武时有意义.设2 X 418 .设线性方程组AX=/,有惟一解，则相应的齐次方程组八X=0（A）.A.只有。解19 .设A.8为随机事件，下列等式成立的是（D）.LP（4-B）=P（A）-P（AB）1.设A B为三阶可逆矩阵，且 0,则下式（B）成 立.星 二 网=|那13.设A B为阶矩阵，则下列等式成
2、立的是（C）.C _（A +B）,=A,+B1.设4 B均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.工（八冏=_4.设A,8均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）,B.（ARY=|班厂5.设人&均为阶方阵，*o且g ,则下列等式正确的是（D）.区 卜 例=（左）”|川9.设A,B为”阶矩阵 既是A又是B的特征值，x既是A又是B的属于2的特征向量，则结论（）成 立.D.二是A+B的属于人的特征向量10.设A,B,P为阶矩阵，若等式（C）成立，则称A和B相 似.C.PAP;B3.设A=5,那么4的特征彳羁）D.-4,6|_ 5 13.设矩阵/4i -_ r I 的特征值为0,2,贝I34的特征值
3、为（）.B.0,6-1 14.设4,8是两事件，其中4,5互不相容6.设/是矩阵，8是s xr矩 阵，且AC，B有意义，则C是（B.S X 一）矩 阵.7.设矩阵，则/的对应于特征值1=2的一个特征向量a =（）C.1,1,011.设%1，%2，3是来自正态总体M 0,）的样本，则（）是的无偏估计.二1 1 3y+产+产10.设内，工2,，X是来自正态总体N（,，）的样本，则（B）是统计量.B.ly xn i=J 9.设A,均为阶可逆矩阵，则（AC次尸=（D）.DS.（B-,）C-|A-110.设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是乩（A+B），=/+2AB+y4.设向量组为 ，则（
4、B）是极大无关组.B.%6.设 随 机 变 量*8（，夕），且七（*）=4.8,（*）=0.9 6,则参数与,分别是（人）.A 6,0 87.设小）为连续型随机变量x的密度函数，则对任意的。，）（。），E（X）=（A）.区.V（x）d rJ 0 08.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）.B.9.设连续型随机变量x的密度函数为/“），分布函数为尸，则对任意的区间 力，则 X 。）=（D）.正 /（x）clr10.设X为随机变量，E（X）=，D（X）=cr，当（c）时，有E（F）=0,D（y）=l-U y _ X-4 TI 2I-2 01 5 x-36.若A是对称矩阵，则等式（B）成 立.
5、B Af=A8.若（A）成 立，则“元线性方程组AX=。有唯一解.A.r（A）=n9.若条件（C）成 立，则随机事件A,B互为对立事件.邑 A 8 =0且A+B=U13.若线性方程组的增广矩阵为 2 2,则当/=（。）时线性方程组有无穷多解.D .1/22 1 416.若A,B都是阶矩阵，则等式（B）成 立.工|A B|=|BA|7.若事件A与B互 斥，则下列等式中正确的是.A.尸（A+8）=尸（A）+P（B）8.若 事 件4,8满足P（A）+P（8）1,则百与6一 定（A）.A.不互斥9.设,“是两个相互独立的事件，已知则P（A+B）=（B）B.2/36.若某个线性方程组相应的齐次线性方程组
6、只有零解，则该线性方程组（A）.可能无解1.设士,为，是来自正态总体N（，/）（,人均未知）的样本，则（A）是 统 计 量.Ax,2.设演，三，三是来自正态总体,v（Rb（小均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计区 1 2 131.设 ，%_，贝!I“，%叫 （D）.D-6 b2%=2 26一 物 2a2 地 加3-物=2.若，则=(A ).A.1/21右-1 1 0,则 工=(A).A34.若A,8满足（B），则A与B是相互独立.=P（A）P（3）5.若随机变量X的期望和方差分别为.和 X），则等式（D）成立.4）（X）=E（X 2）-E（X）25.若随机变量X与r相互独立，则方差O（
7、2X_ 3Y）=（）.心转+以 丫）9.下列事件运算关系正确的是（）.A.B=8A+而10.若随机变量X N（O,1）,则随机变量Y=3 X-2 （N2.,3）.D.8.若向量组2 ,a?，,1中线性无关的列有且最多达，列12.向量组。|=她 二1孤，4二1，2，&二 的 极 大 线 性 无 关 组 是（A）.4火，。3，。417.向量组0=，04,2,出守0,3冈工3 的螃工）.0.33.向量组1回惬问的秩为（A）0.I.0,2,00 0 I I 42.向量组的秩 是（B）.23 .n元线性方程组AX M有解的充分必要条件是（A）.A-r（A）=r（A仍）4.袋中有3个红球，2个白球，第一次
8、取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D）.D.9/2 5 310.对来自正态总体XN（，/）（未知）的一个样本X ,X2,X3,记又 X,，则下列各式中（c）不是统计量.C3 f=i1 3wN（X,一 ）23 ;=11 Q r7.矩阵 的伴随矩阵为（）.d 5-32 5 j-2 16.掷两颗均匀的骰子，事件 点数之和为3的概率是（B）.B.1/114.掷两颗均匀的骰子，事件 点数之和为4”的概率是（C）.C.1/122.已知2维向量组名,“2，。3，“4，则，.（四，”2，”3，%）至多是（8）-2.方程组卜一与，相容的充分必要条件是（），其中q=0,（i=l,2.3）.旦
9、二 x2+x3=a2-xt+x3=a33则下列等式中（）是不正确的.C_ P（A8）=P（A）P（B）12.对给定的正态总体N（M D）的一个样本（1，2，.，”），。未 知，求的置信区间，选用的样本函数月纵（）.B.，分布3.乘积矩阵J-iT-i 0 3中元素餐二C 1。2 山 2 18.方阵A可逆的充分必要条件是（B）.也|A|W 0X+2X2-4X3=1 x j*2+马=.2.消元法得 F=2的解lM 为（C）.d-l l,2,-2 了2.线性方程组X,+2飞+3%=2（B）.B.有唯一解 2 -X j=6-3X2+3/=41.4 B为两个事件，则（B）成 立.B.（4+8）-8U A5
10、.A与可分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）.D.秩（4）=麦（印）-17.以下结论正确的是（D）.D.齐次线性方程组一定有解2.如果（C）成立，则事件A与B互为对立事件.C AB A B =U3.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D）._ P3 xQ.72 X0.34.对于事件人，命题（C）是正确的.4 如果一 对立，则 上 对立5.某随机试验的成功率为m则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D）.D.（1_ 尸+（|_ q）2 +02（1_ 0）二、填空题（每小题3 分，共 15分）1.设A.B均为3 阶
11、方阵，网=2,网=3，则卜3 A B=上?.2.设力为阶方阵，若存在数人和非零维向量x，使得AX=加,则称入为A的特征值.3 设随机变量x(o 1 2)l l a=_ _ _ _ _ _ _0.3.(0.2 0.5 a)4.设X为随机变量，已知5 X)=3,此时5 3X-2)=_27.5.设0是未知参数0的一个无偏估计量，则有 E 6 =0-6.设A,8均为3阶方阵，闻=-6,网=3，则卜(4 8一|)3|=8 .7.设A为阶方阵，若存在数而非零维向量x,使得A X=M X，则称x为A相应于特征值人的特征向量.8.若 P(A)=O 8,P(A目)=0.5 ,则?(A 8)=0.3.9.如果随机
12、变量x的期望E(X)=2,E(X?)=9 ,那么。(2 X)=迎.10.不含未知参数的样本函数称为 统计量.11.设A.8均为3阶矩阵，且 网=同=3,则|-2 A B 1=-8 .12.设 1 1,r(A)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2A=0 4 00 7 013.设 人 是 三 个 事 件，那么八发生，但8 c至少有一个不发生的事件表示为A(4+。14 .设随机变量X 3(10Q 0.15),则 E(X)=15.15 .设X,x2,，X是来自正态总体“a 的个样本，元=，七，则)()=16.设儿8是3阶矩阵，其中W =3,网=2，贝”2 A B T卜 健.17.当2=1_
13、时，方程组J x,+x2=l有无穷多解.一$-Ax-,=118.若P(A+8)=0.9,P(A)=0.6,P(B)=0.5 ,则.19 .若连续型随机变量X的密度函数的是f(x =2x，V x V 1 ,则(x)=2/3.7 0,其它20.若参数，的估计量 满足/物=。,则称6为6的无偏估计二.n1.行列式3 8日 的元素心的代数余子式工的值为二二运.5 I 21 0 72.已知矩阵A民c=(%Q满足AC=8,则A与8分别是SX S,几x.阶矩阵.3.设人力均为二阶可逆矩阵，则。4 B1 0O BA O4.线性方程组X+x2+%3+匕=3$+3X2+2xy+4X4=62xj +x3-x4=3一
14、般解的自由未知量的个数为2.5 .设4元线性方程组4 仁8有解且/(4)=1,那么4六8的相应齐次方程组的基础解系含有_ 3 个解向量.6.设4,8为两个事件，若(/8)=(/)户(8),则称力与8相互独立.7 .设随机变量X的概率分布为则 行=0.38 .设随机变量X-1 2|,贝(l%x)丸5 ,(0.4 0.3 0.3J9 .设x为随机变量,已知D(X)=2 ,那么 7)=1.1 0 .矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为再，4 ,w，x4,三(百分数)，设铜含量服从(口，6 )，人 未 知，在a =0.01下，检验4=()，则 取 统 计 量=才-幺。.V V 51.设A,B均为阶可逆矩
15、阵，逆矩阵分别为A 1 8 ,则(B A)T=_(A)B.2.向量组囚=(1,1,0),a,=(0,1,l),a3=(,0,6线性相关，则*=.-13.已知 P(A)=0.8,P(A B)=0.2,则 P(A -B)=_0.6.4.已知随机变量x r-1 0 2 5 ,那么(X)=2.4 .o.3 0.1 0.1 0.5 1 1 0 45 .设王，元2,，M o是来自正态总体N(,4)的一个样本，则巧_A(/z,)_ .1。i=i 1。1.设 1 1 2，则/a)=0 的根是.1,-12 2f(x)=I 1 X2-22 x2+42.设向量/;可由向量组囚，。2,，a“线性表示，则表示方法唯一的
16、充分必要条件是q,a?，线性无关3.若事件 A.8 满足 A n B,则户(4 -8)=P(A)-P(B)4.设随机变量的概率密度函数为fix),0.E，则常 数 八 三1 +.V-7 Z-0,其 它5 .右样本 X.,9 *,来自总体 X N(0,1)I 且彳=x 1 则 X N(0,)白 7.设三阶矩阵A的行列式同=；,则|A-|=28 .若向量组：21-20%=0k-20,能构成R3一个基，则数 一.W 2=319 .设4元线性方程组及8有解且八A)=l,那 么 心8的相应齐次方程组的基础解系含有_3 _个解向量.10.设 A,8互不相容，且 P（A）O，则尸（用A）=011.若随机变量
17、 UO,2 ,则 0（x）=123.12.设J是未知参数的一个估计，且满足（0=，贝!k称为。的走遍估计.1 2-1 0 之1-4 0 =0 0-12 .-1 1 I是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是21 -1 x1 1 -13.若A为3x4 矩阵，8 为2X5 矩阵，切乘积A C B 有意义,则C为 5 x 4 矩 阵.4 .二阶矩阵A1 50 151 10 15.设A-1 24 0-3 4.B-1 2 O-3-1 4,贝%A+夕），0 6-35-1 86.设A 8均为3 阶矩阵，且 网=I 用=一 3,则|一2=2 27.设A,B 均为3 阶矩阵，且|A|=-1,冏=一
18、3,则卜3（4 夕|）2|=8 .若A=1 为正交矩阵，则a =09.矩 阵 一2-I 2的秩为 24 0 20-3 310.设A，4是两个可逆矩阵，则A,O 因 。o A -1.当/=上时，齐次线性方程组；占+壬=。有非零解.1耳+x2=02.向量组q=0,0,0,a?=1,1,1线性相关.3.向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩.4设齐次线性方程组a 内+%三+%弓=0的系数行列式值%|=0，则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量小,七,关 的.5 .向量组4=1,0 a 2=0,1,a,=0,0的极大线性无关组是,a?.6.向量组%e、的秩与矩阵四,4,a J 的
19、秩 相 同.7.设线性方程组AX=o 中有5 个未知量，且秩（A）=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2 个.8 .设线性方程组AX=/,有解，儿是它的一个特解，且 AX=O 的基础解系为X,/，则A X i的通解为X0+k IX|+是X2.9 .若2 是A 的特征值，贝心是方程W-4=0 的根.10.若矩阵A 满足V=4,则称A 为正交矩阵.%是线性如1.从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为2/5 .2.已知P（A）=0.3,尸（B）=0 5，则当事件A,B互不相容时，P（A+B）=0 8 ，P（AB）=3.4,B为两个事件，目B u
20、 A ,贝!lp（A+B）=尸（A）.0.34,已知 P(AB)=P(Z豆)，P(A)=p,贝！J 2(8)=!5.若事件人 B相互独立，且P(A)=P,P(B)=g，则 P(A+8)=P+q-pq.6.已知尸(A)=0.3,P(B)=05,则当事件A,B相互独立时，P(A+B)=-fli65_ ,P(AB)_-S3.7.设随机变量X t/(0,1),则X的分布函数F(x)=.x 0 x8.若 X 8（20,0.3）,则 E（X）=A _ .9.若 X M,b2），则 P（|X_“W3b）=2（3）.10-E（x-E（x）（y-E（y）”称为二维随机变量（X,y的 协 方 差.1.统计量就是不
21、含未知参数的样本函数.2.参数估计的两种方法是点估计和 区间估计,常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估两种方法3 J匕较估计量好坏的两个重要标准是无偏陛,有 效 性.4.设X,%2，X”是来自正态总体M”.（/）（0 2已知）的样本值，按给定的显著性水平a检验4:=M :*0，需选取统 计 量 一 无 一。.U 一 bE5.假设检验中的显著性水平a为事件|x-/z0 u（为临界值）发生的概率.三、（每小题16分，共64分）A l.设矩阵A1 -1 22-3 53-2 4,8 =5.,且有AX=B2，求X.解：利用初等行变换得I23即1 -1 20-10 I00-1 2 1-1 1 -20-1
22、-50-01 -10 10 02-111 0 02-1 05-1-1X=A-B,=一275O 2由矩阵乘法和转置运算得-2750-2-12-111 161-3-225410001000T0101000114 50112,设矩阵AI-I O-I 2 I2 2 3ol,求o5200050,8 =解：利用初等行变换得1 -1 0 1 0 0-1 2 1 0 1 02 2 3 0 0 11 -1 00 1 10 4 311-20I00-0I1 -1 0 1 0 o0 1 1 1 I 00 0-1-6-4 10 1 0-50 0 1 60 0-3 I4-I-1 00 10 0001-4-56-3-341
23、1-1即A-x=-4-3-5-36 4II-1由矩阵乘法得-4-56-3-3420o508-1 012-1 5-1 52055-53.已知 AX=B,其中AI352583710,=25038,求X .解：利用初等行变换得I35258371 0100010A o5 100-14-520012-12-1-23-2-5-3-50100011 2 30 1 20 0-1031 I -200112 0 41 0 1 0 50 0 1-1-6-523200100-6 40 5-51 -1 2-11BP2-1X=AlB=4.设矩阵由矩阵乘法运算得-65-14-52-123818-1 581 3-231 20
24、-1-2 -2-3 -4-3-78.8 =20-35，是3阶单位矩阵，且有（L A）X =B ,求X 01.解：由矩阵减法运算得1000100010-2-3-1-2-423134379利用初等行变换得1 1 32 3 73 4 91 00 10 000I-1003101-2-301000I3(/-A)-1-31-30121-1由矩阵乘法运算得X=(I-A Y B =5.设矩阵A2012-1-240-I03i2I2014000o01T1 I 00 I 00 0 1-2-3 3-3 0 11 1 -1000 0 I1 0-30 1 I-302.即-240312Q72-210-1001-3-30I2
25、1-120-3510-4-952-1 5614BI201I-2，求（1）网；(2).(1)-i-1131（）72 1-2-11 131070-210-11 3=-25(2)因 为(，-A)=(。-20-1-2 0-1、2 1 -42 1 1-4 -3 0,6.设 矩 阵r0 1I例Z己知AX=8,且A=35A=1 12-1解：因 为fo 11 1 0 1 21 0 0 1J 10-3 -70 1 0、1 0 00-2 1,1 0 2-012、()0-1-1 1 0、1 0 0 5-3 2、彳 导 5-321 0 0 0107-427-4 23-2 k0 0 I-3 2-1,、-3 2-AB=5
26、7-3-3-427设矩阵 A=23;；，求（1）同，（2）4 1.解-2 41)1 -1 2|1-1 2|A|=2-3 5=0 -1 13-2 4 0 1 -21-1 2：0-1 11=10 0-1|（2）利用初等行变换得123-1 2 1 0-3 5 0 1-2 4 0 00 F 10-01 02 1 0 0-1-2 1 0-2-3 0 11 -I 2 1 0 01 F1-1-0-l 1 -2 I 0-0 10 0-1-5 1 1J o 0I 0 0-2-1 05-1-1即-20A-1=7-25-I-1-135,B=223，且X 4=5 求X.（）得出AT3 15 0-5:于 以01 Fl
27、0-5 31 1 0-5 3l_|o -1-2 o 1 2-11 37 -.=：；2 3 I 2 3一5 7,8=5 8.求 X.8 10 0 19.设矩阵A=2 30-I0 01 0 1 2解：（1）因为2 3-1|A|=0-1 10 0 II 2 3忸|=1 1 20 1 20 1 II 1 20 I 2A所以I M=I 咽=2.(2)因为-2A/=003-i 10 10012 30-10 010 00 1 00 0 I1/2 3/20-10 0所以-I工 0.已知矩阵方程2 =/IX,B,其中A0 1-1 I-I 001li1/2 3/20-1O O1 -T ,求 X.2 05-3100
28、00A 13解：因为(/-A)X =B，且I-I 0 I 0 01 0i0()0000000f00 2-1-1 2-10 I -1即(7 一 A)所以O 1oX =(I-A)-B =0 2-1 -T-1 3-1 2-12 0=-2 40 1-1_ 5-3-3 32211.设向量组a.=(1,-2,4,-1)工。2=(Y，&-1 6 4)14 =(一3，1，-5,2)上4 =(2,3,1,1),求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组.解：因为1-24-48-1 64-31-52-42*7-7-4000-3212023I00000000所以,K多,%，%，)=3 它的一个极大线性无关组是,。3
29、,。4(或%，%，4).12.设A=0-1 2,8 =2 1 -13-2 10 0 24 ,求 AC+BC.解:AC+BC=(A+B)C=0 2 4-2 0 11 4-2 I0 26-4 1 0-2 2 1 020 3,c=3013写出4 阶行列式1-10304223-51I)63()中元素4 1，。42的代数余子式，并求其值.0 2 0a4,=(-1)4*4 3 6=02-5 3I 2 0a42=(-l)42-1 3 6=450-5 3工4求矩阵I oi i oi i的秩,I 1 0 1 I 0 0I 0 I 2 1 0 I2 I 1 3 2 0 110 110 11110 110 010
30、12 10 12 1 1 3 2 0 1F+4-2/1+4、-l o i i o i r0 1-1 0 1-1-10 0 0 1 1-1 00 1-1 1 2-2-1出、i o i i o i r0 1-1 0 1-1-10 0 0 11-100 0 0 1 1 -1 0_fR(A)10 110 1 1解r+r0 1-10 1-1-10 0 0 1 1 -100 0 0 0 0 0 015.用消元法解线性方程组X1 3X2 2X3 x4=63 xt 8X2+x3+5X4=O2X+x2-4X3 4-x4=12X+4X2 x3 3X4=2-1-3-2-1 6-3-8 1 5 04二-2 1-4 1
31、 -12-1 4-1-3 2-3皿2尚彳+4、1 -3-2-1 60 1 7 8 -180-5-8-1 00 1-3-4 83r2+45r2+41 0 1 9 2 3 -48-0 1 7 8 -180 0 27 3 9-900 0-10-12 26r%=2*2=-111一q11-10000 19 23-481 7 8-180 3-3 120 5 6-13-1 0 0 40 1 0 112：5-1 00 10 0_0 0L24-4619 23-487 8-181 -1 45 6-13_-42/4+7r4+r3、-19/3+/j-7”2$3+4)-1 00 11 0 0 42-1240 1 0 1
32、5-460 0 1-1 40 0 0 1 1 -330 0 2 0 0-1001-1 40001-30 0 1 0 10001-3.方程组解为工3=1x4=-3A2.求线性方程组的全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为=1+5JC4 0-l 11 5 10-0-l I I 5 10-0 I -11-5-109 7 4 1 Z+1 J|_ 0 -2 22 10 4+词0 0 0 0 A-l 0 0 0 0 Z-I由 此 可 知 当 时，方程组无解。当2=1时，方程组有解。.7分此时齐次方程组化为产=-9X3-4X4x2=1 lx3+5X4分别令X3=1,*4=()及 =0,匕=
33、1 ,得齐次方程组的一个基 出解系X,=-9 1 1 1 0,X2=-4 5 0 1 令巧=0,匕=0,得非齐次方程组的一个特解Xo=8-10 0 0 由此得原方程组的全部解为X X。+%X+k2 X2(其中k、,k2为任意常数).16分3.求线性方程组的全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形I-3 I-I-2 7-2 11-4322-482Xl=1 +5X4（其中4为自由未知量）“2方程组的一般解为令3=0,得到方程的一个特解X（）=（10 0 0).方程组相应的齐次方程的一般解为N（其中匕为自由未知量）令 =1,得到方程的一个基础解系X=（51-1 1).于是，方程组的全部解为X=X。+
34、（其中k为任意常数）4.求线性方程组+x2 4-r3 4-=3x2 2 三 3X4=4-3X+2X2-xJ,-9X4=-52Xj x2 4-3必 +8X4=8的全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的一般解为1-212-52-312-53-424-1010002-3103-4201000 xy=2X4“4一“4匕是自由未知量令匕=1,得齐次方程组的一个基础解系X1=2 1-1 1令乂=0，得非齐次方程组的一个特解Xo=1 0 2 o由此得原方程组的全部解为X=X。+Z X(其中k为任意常数)5.设齐次线性方程组A X=O的系数矩阵经过初等行 换，将 2 0AT 0 20 0
35、1 0求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解.-3 20 0因为口00010得一般解：0 1 ()1 F1 0 1/22-32-0 1 -3/2o o oj o 0 0(其X3,无4是自由兀)令无3=2,%=0，得%=-1 3 2()；令 七=Q 工4 =1，得 x 2 o 1 o i 所以，X”X?是方程组的一个基础解系.方程组的通解为:x=k,X +h X2,其中K，&是 任 意 常 数.6.设齐次线性方程组已3三+2弓=(2为何值时方程组有非零解？在有非零解时,2j j -5X2+3.q =03X-8X2+Zv3=0解：因 为A=p23-3 2 p-3 2 1 h o-5 3 7 0 1
36、 一1 7 o i-8 2 0 1 2-6 0 0-1-1A-5当1-5 =0即4 =5时，r(A)3,所以方程组有非零解.方程组的一般解为：为=匕，其中&为自由元.令=1得%=(1,1,1),则方程组的基础解系为%.通解为kX,其中k为任意常数.求出通解.7.当人 取何值时，线性方程组%,-x2+x4=2 0-1 1 3 12-3 1 5 A+2 0-1 1 3 2-21-1 0 1 2 1-0-1 1 3 1 -00 0 0 0 A-30-11 -10 0-2 I-3-10 A-3由此可知当2,3时，方程组无解。当久=3时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为=七+2%（%3，1
37、4是自由未知量）x2=x3+3X4分别令x,=I,x4=0及&=0 f=1 ,得齐次方程组的一个基?出解系X,=l 1 1 0,X,=2 3 0 1 令 七=0,匕=（），得 齐次方程组的一个特解X=l T 0 0由此得原方程组的全部解为8.k为何值时，线性方程组.2x1 x2+x3+x4=Xj 4-2X2 x3+4X4=2 有 解，并 求 出 一般解x,+7X2-4X3+1 x4=k解：将 方 程 组 的 增 广 矩 阵 化 为 阶 梯 形A=211-1271-1-4141 1r2k002-5512-142-0-53-7-3，当左=5时,0000A-5-1 4 23 7 3-3 7 k-2方
38、 程 组 有 解 且 方 程 组 的 一 般 解 为4 1 6，3 7（其中工，4为自由未知量9.求 齐 次 线 防 程 组Jx+3X2 4-3X3+2X4+x5=02范 +6X2+9X3+5X4+3X5=0 的通解,X|-3/+3工3+2%=0393250132解:A=2-136-31 3 3 20 0 3 10 0 6 21133 23 10 0300100111 1 3()0 0 30 0 00001一般解为，其中应，乂是自由元x5=O令*2=1,毛=0,得 用=(3,1,0,0,0)；乃=0,恐=3,得 用=（一3,O1,3,O)所以原方程组的一个基础解系为%,%.原方程组的通解为：匕
39、X1+k2X2，其中用 ,用是任意常数.i o.设有线防程组)为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?当2*1且时，及(A)=A(N)=3 ,方程组有唯一解当 =1时，R(A)=H(X)=1,方程组有无穷多解1 1.判断向量0能 否 由 向 量 组,%，线性表出，若能，写出一种表出方式.其中解：向量能否由向量组/,%,内 线性表出，当且仅当方程组防匹+%*2 +%3=尸有解 2 3 5 8-1037 这 里 彳=外,。2，%,夕 =7-5 -6 -310 3 7-.0010-31041-1173-2 1 -10000571 _R(A)丰 R(A)方程组无解不 能 由 向 量 线 性 表 出12
40、.计算下列向量组的秩，并且(1)判断该向量组是否线性相关，该向量组线性相关13.求齐次线性方程组%)-3X2+X3-2X4=0-5%j +x2-2X3+3X4=0X1 1 1 2+2鼻=03Xj +5X2+4X4=0的一个基础解系.解：1-3 1-21-3 1-25 叱-5 1-2 3中0-14 3-7吨+4)-1-11 2-50-14 3-73 5 0 40 14-3 1 03-MA.-65-431-27_-OO4-一-0 00 01一彳*Q 、1八 5 11 0 14 20 I -A 114 20 0 0 30 0 0 01中、1八 5 11 0-14 20 I -A 114 20 0 0
41、 10 0 0 01耳+1 00 10 00 014.求下列线性方程组的全部解.方程组的一般解为=-能 令 为=1,得基础解系一_ E54-3 3*2=3 7=OV4=。1%1 一 5X2+2尢3 -3x4=11 3%+/4X3+2尢4 =-5一%|一 9%-4元|=175 MI +3/L +6占J -x,4=-1方程组一般解为.7 1 ,X1 =-QX3+5X4+114109,1172011J _-2720000000000O9-72oOoO巧=一/-x4 -2令 3=勺，了4 =七，这里和，的为任意常数，得方程组通解A3.设 X N(3,4),试求：P(5 V X 7),(已知=0.841
42、3.(2)=0.9772,6(3)=0.99872解,12(5*9)=P(土 黑 )=2(1 7)=汽 修 T)=心 2)=1 -P(Az2 s 2)=1 一=1 一 9772=0.02282 2 2 22 jg X -N(3,4)，试 求：P(X 1)；(2)P(5 X 7)(已知(1)=0.8 4 13 1(2)=0.9772(3)=0.9 9 8 7)解：P(X 1)=P )=P-!)=2 2 2=1-0(1)=1-0.8 4 1 3 =0.1587 储-=*金力2 2 2 2=0.9772-0.8413=0.13593.X 77(3,2?)，求 P(X v 5)和因*_ v 1)(其中
43、(0.5)=0.69150(1)=0.84134O(l.5)=0.9332 (2)=0.9772上解：设 y=2L12 N(O,I)2丫 一 3 5-3P(X 5)=P(-，=0.8413P(|X T I)=p(。x 2)=P(M与 与)=P(T 5 丫 -0.5)=(一。5)-(1.5)=0(1.5)-(0.5)=0.9332-0.6915=0.24174.ig X -N(2,9),试求 P(X 11);(2)P(5 X 8).(已知(1)=0.8413,=0.9773,D(3)=0.9987)解：P(X 11)=3)=8(3)=0.9987 P(5 X 8)=P(皂2 2L1Z t3=p(
44、i 2 L z l 0)=1-P(X=0)=1 -C?0.80.25=1 -0.00032=0.99968.(2)设B：至少4次命中靶心，则P(B)=P(X 2 4)=P(X =4)+P(X =5)=0.840.2+CfO.8SO J 2=0.73728.6.设 A.B是两个随机事件，已知 P(A)=0.4 J(B)=0.5 q P(BA)=0.45,求：(1)PAB)；(2)尸(A+8),解(1)P(AB)=P(B|A)P(A)=O-4 5XO.4=O.I8(2/成)=_ p(A+B)=i-P(A)+P(B)-P(AB)=1 -0.4+0.5-0.18=0.287.设随机变量*的密度函数为，
45、求：(1)%；(2),a m.广 +0 0.解：(1)因为 1=，/(元)d x=去2dx=&=3%,所以 k=Lj L 3X 1 3(2)=x-x2dx=1 J =九 3 n L.42 2 1 2 J(x：)=I x ,x-d x=1 1JT 3 T=(x;)-2(X)=5 I8 08.设随机变量*)(8,4).求 P(|X-8|l)12)/(0.5)=0.6915上(1.0)=0.8413/(2.0)=0.9973)解：因为 X /V(8,4)，则 丫 =三/(0,1).所以 P(|x 1)=0 5)=P(-0,5 0,5)=中(0.5)(-0.5)=2(0.5)-1=2x0.6915-1
46、=0.383.PX vi 2)=p(X-8 匕 12-8)=(2)=().9773.2-29.设 X N(3,4),试求 P(5 X 7).(已知=0.8413,0(2)=0.9772,8(3)=0.9987)解：W p(5X 9)=P()=P(I 3)2 2 2 2=(3)-7)=*-3 7-3)=1 一(2)=1 0.9772=0.0228 10.假设 A,B 为两件事件，己知 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|，_)=0.4,求 P(A+B)解：P(A8)=P(A)P(B|A)=0.5x 0.4=02.P(AB)=P(B)-P(A B)=0.6-0.2=0.4P(A+B)=P(
47、A)+P(B)-P(AB)=0.7o11 设随机变重 X-N(4,1).(1)求 p(|x-4卜 2 ；(2)若 p(X k)=0.9 332,求的值(已知(2)=0.9775=0.8413 0(1.5)=0.9332).解：(l)P(|X-4|2)=l-P(|X-4 4 2)=1-P(-2 X-4(2)-0(-2)=2(1-)=0.045.(2)P(X k)=P(X-4 k-4)=1-尸（X 4 A:4）=1-（4 4）=0.9332=。.5）（-4）=1-（1.5）=（一 1.5）即 A-4=-1.5,k=2.5.12.罐中有12颗围根子，其中8 颗白子，4 颗黑子.若从中任取3 颗，求：
48、（1）取到3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3 颗棋子颜色相同的概率.解：设 4=取到3颗棋子中至少有一颗黑子，A2=取到的都是白子，A3=取到的都是黑子，8=取到3颗棋子颜色相 同，则（1）尸（a）=i-p（4）=i-p（4）=1-3=1-0.255=0.745 （2）尸（B）=尸（A?+A。=尸（AJ+尸（AQ由0.255+售=0.255+0.018=0.273 1 3.设随机变量*A（3,4）.求：（1），（1 V X V 7）;（2）使，（*v a）=0.9成立的常数a (1)(1.0)=0.8413,(1.28)=0.9,(2.o)=。9973)解：(1)P(1%7)=1-
49、3 X-3 7-3 三 F=.1,85%,80%),求买到一个热水瓶是合格品的概率.解：设4=”产 品 由 甲 厂 生 产&=产 品 由 乙 厂 生 产4 =产品由丙厂生产3=产 品 合 格，尸(8)=P(At)P(8 1%)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BA3)=0.5 x 0.9 +0.3x 0.8 5 +0.2x 0.8 0=0.8 6519.某射手连续向一目标射击，直到命中为止.已知他每发命中的概率是c,求所需设计次数X的概率分布.解：P(X=1)=P P(X=2)=(1-P)尸P(X=3)=(1-P)2P.p(X=k)=(l-P)i P.故 X 的概率分布是r I 2 3
50、 k.p(1 -p)p(l-p)2p (1 -p)*1 p J20设随机变量X的概率分布为I-0 I 2 3 4 5 6 1 o.l 0.1 5 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03|试求P(X V4),P(2 X 5),P(X#3),解：产(X W 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.15+0.2+0.3+0.12=0.87尸(2 X 5)=P(X=2)+P(X =3)+P(X =4)+P(X =5)=0.2+0.3+0.12+0.1=0.72P(X#3)=1-P(X=3)=1-03=0.721.设随机变量工具有瞬密度/(x)=12