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1、专题51正态分布-2022年(新高考)数学高频考点+重点题型一、关键能力(1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.(2)了解正态分布的均值、方差及其含义.二、教学建议(1)正态分布的图像和性质(2)概率统计在决策中应用三、必备知识1.正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数P ,(X 尸、2的0一A-G(0 0,+o o),其中实数，。0)为参数，我们称外“(X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质：曲线位于X 轴上方，与 X 轴不相交；曲线是单峰的，它 关 于 直 线 对 称；曲线在x=N处达到峰值;曲线与
2、X 轴之间的面积为1：当。一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿X 轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由。确定，。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散：。越小.曲线越“瘦 高 总 体 分 布 越 集 中，如图乙所示：2.正态分布一般地，如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX劭)=j ,“(x)dx,则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数 和。确定，因此正态分布常记作M/,).如果随机变量X服从正态分布，则记为XM/z,).3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值尸仪-aX/i+c)=0.6826；-2K x%+2C T
3、)=0.9544；P(/i-3oX9+3 0,则下列等式成立的有()A.0(-x)=l-(x)B.0(2x)=2(x)C.P(阁 x)=2 20(x)【答 案】ACD【解 析】【分 析】由 4 N(),2)可知正态曲线关于直线尤=0 对称，结合图象的对称性可得每个选项的正误.【详 解】因 为 4 N(0,2),所以其正态曲线关于直线x=0 对 称，因为0（x）=p（gx）,x （）,所以。（一x）=p（jw-x）=l-0（x）,A 正确；因为。（2x）=P 2x）,20（x）=2PqW x）,所以。（2x）=20（x）不一定成立，B 不正确；因为（忻|%）=（一*4 x）=x 或。-X）=1-
4、。（x）+。（一x）=2-2。（力，D 正确；故选：ACD.例 1-2.2.设X N（M，b；）,y N（2，8）,这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（）B.P（XW%）WP（yW bJc.对任意正数f,P（x P（yr）P（y r）【答案】c【解析】【分析】直接由正态密度曲线得到从 外，再依次判断4个选项即可.【详解】由图像可知：从 2,所以p（yNM2）p（y i J，A错误；X的正态密度曲线较y的“瘦高”，故5 P（ycrJ,B错误;对任意正数 f,P（X P（Y t）t）,C 正确，D错误.故选：C.例 1-3.3.已知正态分布的密度函数?”（x）=-e，x e（3,3）,
5、以下关于正yj27l（J态 曲 线 的 说 法 正 确 的 是（）A.曲线与x轴 之 间 的 面 积 为1B.曲线在x=处达到峰值 7=7 2兀0当。一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移D.当一定时，曲 线 的 形 状 由 确 定，。越小，曲线越“矮胖”【答 案】A B C【解 析】【分 析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出.1（i f【详 解】由正态分布的密度函数的解析式？s（x）=-e 可知曲线与x轴N27ro之间的面积即为必然事件的概率，其 值 为1，故A正确;2 c r24 0，.。“”（月 工 忌】，当且仅当x=时取等号，.曲线在x=处 达 到 峰 值r,
6、故B正确;7 2兀 b其图像关于直线对称，且 当。一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而 沿X轴平移，故C正确；当 一定时，曲 线 的 形 状 由 确 定，。越 小，曲线越“高瘦”，故D错误.故选：A B C.规律方法】1.求正态曲线的两个方法（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为襦.(2)待定系数法：求 出 山。便可.2 .正态分布下2 类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3 c 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的小。进行对比联系，确定它们
7、属于5一。，+。),(j u2 7,+2 o),(/3 7,+3。)中的哪一个.3 .正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x 轴之间面积为1.(2)熟记尸P(u-2(7Xn+2a),功，一3。*y+3 7)的值.(3)注意概率值的求解转化：P(X a)=1 P 色。)；P(X -a)=P(X印+a)；若 bn，则 P(Xb)=l-P特别提醒：正态曲线，并非都关于y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y 轴对称.对点练4.某 校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所 示，则 成 绩X位于区间(51,69的 人 数 大 约 是(
8、)A.997 B.954 C.800 D.683【答 案】D【解 析】【分 析】由题图知，X N 出吟,其中=60,b =9,P(一 b x W +b)=P(51 x 69卜0.6827,从而可求出成绩位于区间(51,69的人数.【详 解】由题图知，X N(,4)，其 中4 =60,b =9,P(/ja x M+cr)=P(51 x 69)0.6827,二人数大约为 0.6827x1000-683.故选：D.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.对点练2.5.海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数P(x)=-；=J F,x
9、 e R,则 下 列 命 题 正 确 的 是()72-10A.这次考试的数学平均成绩为100B.分 数 在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同C.分 数 在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同D.这次考试的数学成绩方差为10【答案】AC【解 析】【分析】首先根据密度函数的特点得到平均成绩和标准差，再结合正态曲线的对称性，依次判断选项即可得到答案.【详 解】因为数学成绩服从正态分布其密度函数尸(x)_!_e _ _ 200V2.10 xe R,所以=100,2a2=200.即 7=10.所以这次考试的平均成绩为1 0 0,标准差为1 0,故A正确，D错误.因为正态曲线的对
10、称轴为x=100,所 以 分 数 在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同，故B错 误；分 数 在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，故C正确.故选：AC【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题.对 点 练3.6.设 X N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCO中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 X N(,CT2),则尸(一b X +b)a0.6827)yC.7028D.6587【答案】D【解析】【分析】又正态分布曲线及其对称性可知P(0 X 2)0.6827,P(1X 2)0.34
11、135,进而求得阴影部分面积，从而确定取自阴影部分的点的个数的估计值.【详解】因为 X N(l,l),所以 =l,b =l,+b =l,b =。，又因为 P(一b X +cr)0.6827,所以 P(0 X 2)，0.6827,P(1X 2)*0.34135,所以阴影部分的面积为1 -0.34135=().65865,所以从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6587,故选：D.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P一7X5+o),PR 2o 0).已知 P(X K 1 8 6)=-,P(X K 1 8 9)=丝.(1)从该行业中随机抽取一人
12、，求此人身高在区间(1 8 7,1 9 0 的概率；(2)从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间(1 8 9,1 9 0 上的人数为3求4的分布列和数学期望传)(分布列结果可以只列式不计算).9 7【答案】丽(2)分布列见解析；E=0.0 3.【解析】【分析】(1)根据正态分布曲线的对称性，得到P(1 8 6 X 1 8 9)=P(X 1 8 9)-P(X 1 8 6),即可求解；(2)根据题意，求得尸(1 8 9 X 9 0)=击，得到J服从二项分布片3(3,、),结合独立重复试验的概率公式和二项分布期望公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，该行业人员的身高X (单位：c m)
13、服从正态分布N 0 8 8,4),可得正态分布曲线的对称轴为x =1 8 8,根据正态分布曲线的对称性，可得尸(1 8 7 X 1 9 0)=尸(1 8 6 X 1 8 9)1 4 9因为P(X 1 8 6)=而，P(X 1 8 9)=,4 9 1 9 7可得 P(1 8 6 X 4 1 8 9)=P(X 1 8 9)P(X K 1 8 6)=-.5 0 1 0 0 1 0 0又由 P（X 189）=-49,可得P（189 X 190）=P（X 190）-P（X 26)1-尸(-2b X +2cr)1(l-0.954)=0.023,设在82场比赛中，甲得分不低于26分的次数为y,则y8(82,
14、0.023).Y 的均值 E(y)=82X 0.023 2.由此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2.例 2-3(2020-全国高三其他(理)9.某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图(1)所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图(2)所示，以这10()株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.(1)1.71.61.51 31 1 3 3 4 5 5 5 5 7 8 9 99(2)(1)求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并 求 图(1)中。，b,c的值;(2)若从这批树苗中随机选取3株，记4为高
15、度在(1.40.60的树苗数量，求J的分布列和数学期望;(3)若变量S满足 P(一b0.6826且P(-2 b S 0.9544,则称变量S满 足 近 似 于 正 态 分 布 的 概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5,0.0 1)的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？【答案】(1)概率为0.1 5,a =0.2,Z?=1.3,c =3.5；(2)分布列答案见解析，数学期望2.1；(3)被签收.【解析】【分析】(1)结合茎叶图，求得每组频率，再 求 得 仇。的值.(2)根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.(3
16、)求得尸(4-bX4H+b)与P(-2b X WM+2(T),由此判断这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5,0.0 1)的概率分布，应认为这批树苗是合格的，能被签收.【详解】(1)由题图(2)可知，1 0 0株样本树苗中高度高于1.6 0米的共有1 5株,以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.6()米的概率为0.1 5.记X为树苗的高度，结合题图(1)(2)可得：2P(1.2 0 X 1.3 0)=P(1.7 0 X 1.8 0)=0-0 2 ,1 3P(1.3 0 X(1.6 0 X 1.7 0)=0.1 3,P(1.4 0 X 1.5 0)=P(1.5 0 X 1.6
17、 0)=1(l-2 x 0.0 2-2 x 0.1 3)=0.3 5.因为组距为0，所以a =0.2,b =1.3,c =3.5.(2)以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在(1.4 0,1.6 0 的概率为P(1.4()X 1.6 0)=P(1.4()X 1.5 0)+P(1.5 0 X 1.6 0)=0.7.因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，所以随机变量自服从二项分布3(3,().7),故。的分布列为 P(4 =)=G x0.33-x0.7 (/1 =0,1,2,3),即401230.0270.1890.4410.343E(x)=0 x0.0
18、27+1x0.189+2 x 0.441+3x0.343=2.1(或 E(J)=3x0.7=2.1).(3)由 N(1.5,0.01),取=1.50,cr=0.1,由(2)可知，P(/b X V 4+b)=P(1.4()0.6826,又 结 合(1),可 得P(2crX+2b)=P(1.30X1.70)=2xP(1.60X1.70)+P(1.40X 0.9544,所以这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利被该公司签收.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图，考查二项分布，考查正态分布，属于中档题.【规律方法】1 .在解决有关问题时
19、，通常认为服从正态分布M/,/)的随机变量X只取一3(7,+3。)之间的值.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况.2 .求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定与。的值.(2)将待求问题向“,一 7,+团，(/2 c r,+2 o ,(/z 3 c r,+3 团这三个区间进行转化；(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1 求出最后结果.对点练1.(2 0 2 0 黑龙江爱民牡丹江一中开学考试(理)10.2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的 现 象.在 政府部门的牵头
20、下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标J N(15,0.0025),单 位 为g,该厂每天生产的质量在(14.9g,15.05g)的口罩数量为 818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为()参考数据：若4可(，4)，则尸(一b J +b =0.6827),P(-2b 。4+2b)=0.9545,尸(-3b J 4+3b)=0.9973.A.158 700 B.22 750 C.2 700 D.1 350【答案】D【解析】【分析】根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求出对应的频数.【详解】由题意知，J N(15,0.0025),即=15,=0.
21、0 0 2 5,即b =0.05；所以 P(14.9 J 15.05)=P(M-2cr J o,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分 到 110分3之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有_人.【答案】180【解析】【分析】根据正太曲线的对称性求出考试成绩不低于110分的概率，用这个概率乘以学生总人数900即可得到答案.【详解】因为数学成绩服从正态分布XM90,42）,所以其正态分布曲线关于直线x=9 0对称，又因为成绩在7 0分 到1 1 0分之间的人数约为总人数的|,由对称性知成绩在1 1 0分以上的人数约为总人数的g x（l-1）=（,所以
22、此次数学考试成绩不低于1 1 0分的学生约有:x 9 0 0 =1 80（人）.故答案为：1 80.对点练3.（2021全国高二课时练习）1 2.一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润g（万元）分别服从正态分布N（8,32）和N（3,2?）,投资者要求“利润不低于5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？【答案】应选择第一套方案【解析】【分析】由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案，根据正态分布分别计算即可.【详解】对于第一套方案4 N（8,32）,因为=8,cr=3,所以 P（83 J 8 +3）=P（5 4 W 1”68.3%.所以尸
23、（自 5）=；l_ P（5 4 J ll）=；x（l_68.3%）=1 5.85%.所以尸（。之 5）=1-1 5.85%=84.1 5%.对于第二套方案4 N（3,22）,因为=3,cr=2,所以 P（3 2港 W3+2）=P（1 透 5人68.3%.所 以?（J5）=g l 尸（1 必 5）=g x（1 68.3%）=1 5.85%.所以应选择第一套方案.【总结提升】假设检验的思想（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设.（2）若 随 机 变 量 自 服 从 正 态 分
24、布），则1落在区间（n3G,N+3司内的概率为0.9974,亦即落在区间-3e,p+3。之外的概率为0.0026,此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明,不服从正态分布.（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对一次试验 来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理 进行推断时，也有3%犯错的可能性.考点三、正态分布与其他考点交汇考查例
25、3-1.13.一试验田某种作物一株生长果个数x服从正态分布N（90,y2）,且P（x70）=0.2,从试验田中随机抽取10株，果实个数在 90,110的株数记作随机 变 量X,且X服从二项分布，则X的 方 差 为（）A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21【答 案】B【解 析】【分析】由P（x70）=0.2，利用正态分布的对称性求得P（90 x110）=0.5-0.2=0.3,则X8（10,0.3）,利用二项分布的方差公式可得结果.【详 解】：N（9 0,5）,且尸（x 110）=0.2/.P(90 x M)=P(X 4)=0.5；(2)熟练掌握正态分布的性质，特别是正态曲线的对称性以及各
26、个区间概率之间的关系.例 3-2.14.2019年 2 月 13日 烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数嚏和样本方差5 2(同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x 服从正态分布N(,/),其中近似为样本平均数，近似为样本方差52.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X
27、令 则 y N(0,l),且 P(X a)=尸(丫 伫 幺).利用直a cr方图得到的正态分布，求 P(X 2)(结果精确到().()()()1)以及Z的均值.参考数据：/i 7 8 y ,0.773419 a 0.0076.若 y N(0,l),则尸(F W 0.75)=0.7734.【答案】(1)x=9:$2=1.78.(2)0.7734；(2)P(Z 2)0.9597；E(Z)=4.532.【解析】【分析】(1)代入公式计算均值和方差即可；(2)由题意可得X N(9,1.78),再代入所给的转化公式求解概率；计算P(X 1 0),得到变量Z服从二项分布，利用二项分布的概率计算公式以及期望
28、计算公式求解.【小 问1详解】x=6 x 0.03+7x0.1+8x0.2+9x0.35+10 x0.19+1 lx0.09+12x0.04=9，?=(6-9)2X0.()3+(7-9)2X0.1 +(8-9)2X0.2 +(9-9)2X0.3 5 +(1 0-9)2X0.1 9+(1 1-9)2X0.()9+(1 2-9)2X0.04 =1.7 8【小问2详解】由题意知=9,4=1.7 8,.X N(9,1.78).,-10-9r V178 4 P(X 10)=P(y )=P(y 10)=1-P(X 2)=1-P(Z =0)-P(Z=1)=1-O.773420-x 0.2266 x 0.77
29、349=1-(0.7734+20 x 0.2266)x 0.0076 0.9597E(Z)=20 x0.2266=4.532.【点睛】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴=；(2)标 准 差(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3o特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.例3-3.(2021全国高二课时练习)1 5.设随机变量自N（M，1）,函数 力=/+2%-没有零点的概率是0.5,则P（O 1）（）附：若 J N（,b2）,则 P（4 b J +b）a0.6 82 7,P （2 b J +2 力 0
30、.9545.A.0.1 587 B.0.1 359 C.0.2 71 8 D,0.341 3【答案】B【解析】【分析】首先根据函数/（x）没有零点求出4 的取值范围，再根据/（x）没有零点的概率是0.5,得到尸（4-1）=0.5,再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出产（0 J 1）的值即可.【详解】若函数=f+2%-4 没有零点，.二次方程V+2尤-g=o 无实根，.=4-4 x（3）0,/.-1.又/（力=%2+2%一。没有零点的概率是0.5,/.P 4 -1）=05由正态曲线的对称性知 =-1,.*N（-1,1）,=b =l,.一（7 2 ,/+cr 0 ,-2 b
31、=-3,+2 b=1,.尸（一 2 0）0.6 82 7,尸（一 3 0.9 5 4 5,.P（0 兴 1）=；p（_3 4 1）P（2 0）1 x（0.9545-0.6 82 7）=0.1 359.故选：B.例3-4.（2021全国高二课时练习）1 6.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4 千步的人为“不健康生活方式者”，不少于1 0 千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校4 0 0 名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.f 频率/组距0.2 2-().0805()402010SO
32、.SS46814步数/下步（1）求 4 0 0 名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数J （千步）服从正态分布N（,C T2）,其中为样本平均数，标准差。的近似值为2.5,求该校被抽取的4 0 0名教职工中日行步数（千步）J w（2,4.5）的 人 数（结果四舍五人保留整数）.（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2 人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；”一般生活方式者”奖励金额每人1 0 0 元；“超健康生活方式者”奖励金额每人2
33、0 0 元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量J 服从正态分布则 卜（）.6 8 2 7,P （-2 b J M+2 b）之 0.9 5 4 5.【答案】（1）7 （2）5 4（3）分布列见解析,2 0 0【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算可得；（2）根据正态分布的概率公式计算出概率即可得出；（3）可得X的可能取值为4 0 0,3 0 0,2 0 0,1 0 0,0,求出X取不同值的概率，即可得出分布列求出期望.【小问1详解】X =0.0 4 x 1+0.0 8 x 3 +0.1 6 x 5 +0.4 4 x 7 +0.1 6 x 9 +0.1 x 1 l+0
34、.0 2 x l 3 =6.9 6 7.【小问2详解】J N(7,2.5 2),.P(4.5 g 9.5卜0.6 8 2 7,P(2 自 1 2)=0.9 5 4 5 ,:.P(2 4.5)=g(P(2 J 1 2)-尸(4.5 J 9.5)卜 0.1 3 5 9.故该校被抽取的4 0 0名教职工中日行步数。e(2,4.5)的人数约为4(X)x 0.1 3 5 9 =5 4 .【小问3详解】用样本估计总体，从该校教职工中随机抽取1人，是“超健康生活方式者”的概率为(0.0 5 +0.0 1)x 2 =0.1 2,是“不健康生活方式者”的概率为(0.0 2 +0.0 4)x2 =0.1 2,是“
35、一般生活方式者”的概率为1-0 1 2-0.1 2 =0.7 6.由题意知X的可能取值为4 0 0,3 0 0,2 0 0,1 0 0,0,P(X =4(X)=C x 0.1 22=0.0 1 4 4,P(X =3 0 0)=C；x 0.1 2 x0.7 6 =0.1 8 2 4,P(X =2(X)=C；x 0.1 2 x 0.1 2 +C；x 0.7 62=0.6 0 6 4,P(X =1 0 0)=C；x 0.1 2 x 0.7 6 =0.1 8 2 4 ,p(X =0)=0.1 2?=0.0 1 4 4,.X的分布列为X01 0 02 0 03 0 04 0 0p0.0 1 4 40.1
36、 8 2 40.6 0 6 40.1 8 2 40.0 1 4 4（X）=4 0 0 x 0.0 1 4 4 +3 0 0 x 0.1 8 2 4 +2 0 0 x 0.6 0 6 4 +1 0 0 x 0.1 8 2 4 +0 x 0.0 1 4 4 =2 0 0.巩固训练一.单选题（2020湖北十堰期末）1 7.设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：”）服从正态分布N（7 5,1 6）,则在随机抽取的1 0 0 0个胡柚中，直径在（7 9,8 3 内的个数约为（）附：若 x NW。2）,则 P（一bX”+b）=0.6 8 2 7,P(/-2CT X,+2 b)=0.9 5 4 5
37、.A.1 3 4 B.1 3 6 C.8 1 7 D.8 1 9【答案】B【解析】【分析】由题意可得=75,。=4,则尸(7 9 X 磁3)=P(+b X +b),再由b与2 b 原则求解.【详解】解：由题意，4 =75,(y=4,则 P(7 9 X 轰*3)=-2 c r X +2 b)+b X?+c r)=1 x (0.9 5 4 5-0.6 8 2 7)=0.1 3 5 9 .故直径在(7 9,8 3 内的个数约为0.1 3 5 9 x 1 0(X)=1 3 5.9 a 1 3 6.故选：B.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和。的应用，考查曲线的
38、对称性，属于基础题.(20 21.全国.高考真题)1 8.某物理量的测量结果服从正态分布N(1 0,b 2),下列结论中不正确的是()A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,1 0.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于1 0 的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.9 9 与大于1 0.0 1 的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.2)与落在(1 0,1 0.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,为数据的方差，所以。越小，数据在 =1 0 附近越集中，所以测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越大
39、，故 A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0 的概率为0.5,故 B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故 C 正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(1。/0.3)的概率不同，故D 错误.故选：D.1 9.已知随机变量J 服从正态分布N(0,l),若 P(-l J 1)=A.-B.+C.+p D.-p2 2 2 2 2 2【答案】D【解析】【分析】由己知可得，再由P
40、(-l*0)=p,利用正态分布曲线的对称性求解.【详解】由题可知，随机变量 服从正态分布M 0,l)，所以=0,由 P(-iq 0)=p,得 P(0*l)=p,故 P 0 1)=y-P(0C 0),若P(0 l)=0.4,则 P(0 2)=A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.2【答案】B【解析】【分析】由正态分布的图像和性质得尸(0 专 2)=2P(0 g 1)得解.【详解】由正态分布的图像和性质得尸(0 g 2)=2P(0Jl)=2x0.4=0.8.故选B【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2
41、 1.某种品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2 年的概率为0.8,使用寿命不少于6 年的概率为0 2 某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4 年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（）A.0.2 B.0.25C.0.4 D,0.8【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性得到对称轴为4=4,得到摄像头在4 年内能正常工作的概率为再计算概率得到答案.【详解】尸偌2 2）=0.8,尸（4 2 6）=0.2,所以尸（6）=0.2.所以正态分布曲线的对称轴为4=4,即尸僮 0）,统计结果显示P（60X120）=0.8,假设该校参加此次考试的有780人，那么试估
42、计此次考试中，该校成绩高于120分 的 有（）人A.78B.156C.234D.390【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性得到120分以上的人数占比为0.1,再计算人数得到答案.【详解】因为成绩XN（90,b2）,所以其正态曲线关于直线x=90对称，P（60X 90)=0.8413 D.P(X120)=0.9987【答案】ABC【解析】【分析】根据正态分布的性质及3 b 原则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】解：随机变量X服从正态分布N(10(),102),=100,cr=10,石(X)=1 0 0,故 A 正确;r)(x)=o-2=i o o,故 B 正确;根据题意可得，P(90
43、X110)=0.6826,P(80X90)=0.5+-x0.6826=0.8 4 1 3,故 C 正确；2P(X120)=0.5+-x0.9544=0.9 7 7 2,故 D 错误.2故选：ABC.(A.2 5.已知三个 正 态 分 布 密 度 函 数=2婷(xGR,f=l,2,3)的图象J2 兀 o;如图所示，下列关于4，2,4 3,，7 2,。3的大小关系正确的是()A.4 1V 2=3 B.(J=a2(73C.D.【答案】AB【解析】【分析】正态分布关于 =对称，越大图象的对称轴越靠近右边，b 越小，曲线越瘦高，对比图像得到答案.【详解】正态分布关于x=对称，且越大图象的对称轴越靠近右边
44、，故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故。越小，曲线越瘦高，则第二个图象。要比第三个的。要小，故%=%0）=0.8,则P（於2）=.【答案】0.2#1【解析】【分析】直接根据正态分布的对称性得到答案.【详解】随机变量X服从正态分布N（l,4），故正态曲线关于 =1对称，P（X N 2）=P（X W0）=lP（X 0）=0.2故答案为：0228.已知随机变量X服从正态分布N（0,82）,若P（X2）=0.0 2 3,则P（-25XW2）=【答案】0.954【解析】【分析】利用正态分布的对称性可知P（X 2）=P（X 2）,所以 P（2X 2）-P（X 2）=P（X-2
45、）=0.023,P（-2 X 2）-P（X 12）=m,P（8X10）=1,P（8Xl2）=m,故加+=L2且 m0,0,2 1 .2 I、-、/4 247、/_ l4n 2m/.nr I =(I )(2z+2)=6 H-1-2 6+2 J ,=6+4/2.m n m n m n y m n当且仅当包=2竺，即 加=立 史，=立二1 时等号成立.m n 2 27 1故工+上的最小值为6+4夜.m n故答案为：g；6+4&.30.按照国家标准规定，500 g 袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布XN(500,)，经检测某种品牌的奶粉尸(490WXW510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶
46、粉400袋，则卖出的奶粉质量在510 g 以 下 袋 数 大 约 为.【答案】390【解析】【分析】根据正态曲线的对称性求出P(X 510),再用这个概率乘以400即可.【详解】由XN(500,/)，得=500,又 P(490WXW510)=0.95,.P(X2510)=J；=OO25,，P(X+2)【答案】0.259【解析】【分析】根据正态分布的对称性得到P +2)=gl P(2 。+2),计算得到答案.【详解】随便变量 服从正态分布4N T。?)，故尸(一2 4 4 +2)=2尸(-2 4 +2)=；1 2 4 4 +2)=：x(1 0.482)=0.259.故答案为:0.259.3 2.
47、已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(100,64).现从该产品的生产线上随机抽取1000()件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有 件.质量在区间(108,116)内的产品估计有_ _ _ _ _ _ _ _ 件.(附：若 X N(,cp2),则 P(一 c r X +b)a().6826,P(-2b X +2b)仪().9544).【答案】.3413.1359【解析】【分析】由正态分布得 =100,b =8,然后利用3 b 原则判断计算概率，从而求得不同范围内的件数.【详解】由X 服从正态分布N(100,64),得 =100,b=8,二 P(92X
48、100)=-P(92X 108)=-6 8 2 6=0.3413,2 2I o 9544 0 6826P(108X U6)=-P(84 X U 6)-P(92 X 108)=-=0.1359,质量在区间(92,100)内的产品估计有10000 x0.3413=3413件.质量在区间(108,116)内的产品估计有 10000 x0.1359=1359件.故答案为：3413；1359四.解答题3 3.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位：g).(I)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？(I I)该生产线上的检测员某天随
49、机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g,检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ,则尸(一或以 +0.6826,产（一 2 或 i k +2 b）a 0.9 5 4 4,尸（一 3 成人 +3 b）合 0.9 9 7 4.【答案】（I ）0.0 0 1 3 （I I）见解析【解析】【分析】（I ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N（5 0 0,5 2）（单位:g）,要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于4 8 5 g 的概率，化为（一 3G +3 b）的形式，然后求解即可；（I I）由（I ）可知正常情况下，任
50、意抽取一包白糖，质量小于4 8 5 g 的概率为0.0 0 1 3,可求得随机抽取两包检查，质量都小于4 8 5 g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的.【详解】解：（I ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,由题意可知 XN（5 0 0,5 2）.由于4 8 5 =5 0 0-3 x 5,所以根据正态分布的对称性与“3 o 原则”可知1 1P（X 4 8 5）=-（1-P（5 0 0-3 x 5 X 5 0 0 +3 x 5）-x 0.0 0 2 6 =0.0 0 1 3.（I I）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（I ）可知，随机抽取两包检查，