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1、高中数学探究性试题汇编课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的 种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学
2、生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1.已知集合M是满足下列性质的函数/(x)的全体：在定义域内存在与,使得+1)=/(/)+/(1)成立。(I )函数/()=,是 否 属 于 集 合 例？说明理由；X(I I)设函数/(x)=l g 鼻 用，求4的取值范围；(n i)设函数y =2 图象与函数y =-x的图象有交点，证明：函数/(x)=2,+，eM。解：(I )若/(x)=工 e M,在定义域内存在 X。，则一!=+1 =x02+x0+1 =0 ,Xxo+1 xo 方程+/+1 =0无解，任M。X(I I)/(x)=l g-e A/=l g-=l g-A-+1 g -2
3、)X2+2 a x +2(o -1)=0,x +1 (x +1)-+1 x +1 2a =2时，x =-；a*2 时，由 ANO,得 a?-6 a +4 W 0 n a e1 3 V ,2)u(2,3 +石 。a e1 3 -5/5,3 +y fs j。(I I I)V%。+l)-/(x0)-/(l)=2句 +(x。+1)2-2%X；3 =2&+2(x0-l)=2*+(x0-l),又.函数y =2、图象与函数y =-x的图象有交点，设交点的横坐标为a ,则 2 +a =0 n 2+(与-1)=0 ,其中=a +1。二 /(X。+1)=/(x0)+/(l),即/(x)=2、+e 。2,已知/(x
4、)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、yeR都满足：/(x)(y)=/(x +y)(1)求/(0)的值，并证明对任意的xeR,都有/(x)0；(2)设当x/(0),证明“X)在(一8,+0 0)上是减函数；(3)在(2)的条件下，求集合V(S JJ(S 2),J(S“),J(lim S“)忡的最大元素和最小元素。(“T oo)解：/(0)./(0)=/(0)J(0)f 0)=l/(|)w 0,.-./(x)=/(j)./(|)=/(|)2 0(2),当x /(0)=l.6分 当王1 2，即匹一工2 /()=L即/1 )f(-x2)1,.-./(X,)1=f(X2)(f(x2)-f(-
5、x2)=/(0)=1)/(X)在(一 8,+8)上是减函数。(3)/(外 在(8,+8)上是减函数，是递增数列.数列/(5)是递减数列。15,集 合V(S JJ(S 2),J(S),j q i 9 s,力中的最大元素为/0)=/(5)=/9=三，最小元素为/(limS)=/(l)=1。T8 23.已知等差数列%中，公差d0,其前项和为S“，且满足的 9 =45吗+%=14,(1)求数列*的通项公式;C(2)通 过 切-构 造 一 个 新 的 数 列 也J,是否存在一个非零常数c,使也,也为等差数列;+C(3)求 )=;h(CN*)的最大值。(+2005)也用解：(1).等差数列。“中，公差d
6、0,a2-a3=45 a2-a3=45 a2n na1+a4=14 a2 4-a3=14 a3=5=9=d=4=%=4 -3 oO ”(1+4 -3)(1)Sn 2).1 R|zs,G(2)S,t=-=2m n-,hn=-=-,令 =，即得“，=2，2 2)n+c n+c 2数列h 为等差数列，存在一个非零常数c=-；,使 也,也为等差数列。(3)f(n)=_ b _=_fl_=_I_ _!_(+2005)也出(+2005)(+1)+迎+2006 272005+2006 Tn 45-J2005-(J2005-44)=89-252005=921-J8020 0,即 4 5-7 2 0 0 5 2
7、),=1 也 满 足an=n.3 分1 1-1-H-+2 2n 八)云+/(7 J+1)=1+21 1-1-n +3 +4+-1-H-2n 2n+1 2n+2“+l)-/()=*1H-2 n +21-+1-1-=0,2 +2 2 +2 n+16 分/()是单调递增的，故/()的最小值是/(2)=口。.8 分(3)vZ?M=Sn=1+-+-+,/-Sn_=(w 2),.0 分n 2 3 n n即 S“-1)S,T =S,T 一(-2)S“_ 2 =S,_ 2 +1，SS =5,+LS S =S +2 +S _ +7 2 1,S、+S2+=n Sn-n =(Sn-Y)-n(n 2):.g(n)=n
8、.1 3 分故存在关于的整式g()=，使等式对于一切不小于2 的自然数恒成立1 4 分5.设函数g(x)=&+l,函数/心)=一1,6(-3,司，其中。为常数且。0，令函数/(x)为函数g(x)和力x +3的积函数。(1)求函数/(X)的表达式，并求其定义域；(2)当4=(时，求函数/(X)的值域；(3)是否存在自然数。，使得函数/(x)的 值 域 恰 为?若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：/(x)=立+1,x e 0,a (a 0)o%+3(2).函数/(x)的定义域为 0,1 ,令4 +1 =/,则x =(f l)2,t e 1,|1/（X）=F（
9、t）=-=7 3+4 f+4 _24 3:f=-时，=2 e 1,又fe 1,1时，f+；递减，./(。单调递增,%)，即函数/(X)的值域为(3)假设存在这样的自然数a满足条件，令6 +1=/,则/(x)=N t)=-=；一，/一 2/+4 -4I -LV j e 0,fl (0)-贝卜414+1 ，要 满 足 值 域 为,则要满足$L =；，由于当且仅当f=2时，有r +中的等号成立，且此时尸(。=；恰为最大值，/.2 e l,V a +1 =a 1.又 歹(。在1,2 上是增函数，在|2,五+1 上是减函数，.F(7 Z+1)=4|U；n O a W 9,综上，得laW9。6、已 知 二
10、 次 函 数/(月=/-公+。(n/?)同时满足：不等式/(x)W 0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0 修2,使得不等式/(x j/(x 2)成立。设数列%的前项和S“=/()，(1)求数列*的通项公式；(2)试构造一个数列 ,(写出物,的一个通项公式)满足：对任意的正整数都有么%,且l i m 3 =2,n并说明理由；(3)设各项均不为零的数列%中，所有满足0的正整数i的个数称为这个数列 c,J的变号数。令c“=l-(为正整数)，求 数 列 上 的变号数。%解：(1):/(x”0的解集有且只有一个元素，4。=0=。=0或。=4,当a =0时，函数/(x)=/在,+8)上递增，故不存在
11、0匹 打，使得不等式/(匹)/(苫2)成立。当a =4时，函数/(x)=X?-4 x +4在(0,2)上递减，故存在0 匹 /，使得不等式f M f(x2)成立。综上,得a=4,f(x)=x -4x+4,*.Sn=YI-4 +4,/S.S.二 2(2)要使limM =2,可构造数列bn=n-k,；对任意的正整数都有bn 00bJ 当 2 2 时，-2一 5 恒成立，即 5-恒成立，即 5-kk3,3又:k史N*,：.bn=n一一,等等。2(3)解法一:一3,=1由题设。=41-、2 一5n 2；心3时rL)。，时，数 列 匕 递增，1 4 V tz44 =-3 0=n 5,可知。4d 0，即之
12、3时，有且只有1个变号数;又丁 c=-3,C2=5,C3=-3,即G,c2 V 0,q。3 v 0，；此处变号数有2个。综上得数列 c.共有3个变号数，即变号数为3。解法二：由题设=22一5人n 2 -9 2 -7 c 3 5 T 7 9.2 时，令 c”-Z 2 一或一 一 =2或=4；2 一 5 2 3 2 2 2 2又 G=3,c2=5,，=1 时也有 C j-c2 一 M 一6 1 =-a2+6=(2)(理)2 o,.z为纯虚数，.,0在(0,2)上恒成立,且函数/(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围，并由此猜测y=/(x)的单调性(无需证明)；(3)对 满 足(2)的条件的一个常
13、数a,设=当 时，/(x)取得最大值。试构造一个定义在)=卜卜-2,且x w 4*-2 e N上的函数 g(x),使当 xe(-2,2)时，g(x)=/(x),当xwD时，g(x)取得最大值的自变量的值构成以M为首项的等差数列。解：(1)若a、b、cwR+,则 +z五 而(当 且 仅 当a=8=c时取等号)。3(2)在8 2)上恒成立，即 力g%2在(o,2)上恒成立,1x2 e（0,2）,：.a2 2,即 a 2 a ,又 力/（讲=x2a2-1X2Y2-1X2J 0故awO,要使/(x)在 2,+8)上单调递增，必须满足，,aNl。2a -(H)若a =0,f(x)=-24+2b-b2x,
14、则/(x)无最大值，故a/O,./(x)为二次函数，要使/(x)有最大值，必须满足J a,即a 0此时，x =X。=4+2_时,/(x)有最大值。a又g(x)取最小值时，x =x 0=a ,依题意，有+2-二=a e Z ,则/=4+2b-b2=5-(b-l)2,aa 0且 1-A/?M/?1 +石，0 a2 V 5(a G Z),得 a =-l,此时/?=一1 或/?=3。,满足条件的实数对(a,b)是(1,1),(1,3)。(III)当实数对(见乃是(1,1),(1,3)时，f(x)-x2-2x依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。如对 x w(2左 一2,2左)，k
15、&N,x-2ke(-2,0),此时，力(x)=h x-2k)=f(x-2k)=-(x-2k)2 2(x-2k),故/?(x)=(x-2A：y -2(x-2%),x e(2k-2,2k),k e N。10.已知在数列 a“中，卬=1,a2n=q aln_,a2n+i=a2n+d(d e R,q*0)。(1)若q=2,d=-l,求 生、a4,并猜测出006 ；(2)若 的,-是等比数列，且 电“是等比数列，求4、1满足的条件；(3)一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第次运动的位移是怎，质点到达点匕。设点匕”的 横 坐 标 为,若d=0,若l i m为T，求qo解：(
16、1)V a=l,a2=2,a3=a2 1=l,a4=2a3=2,(20，猜测：a20 0 6=2.(4)(2)(理)由的=W 2-1，%+1=0 +d 得%用=效2,1+d，当d =0时,a2n+l=q a2n_t,显然 电,是等比数列当dwO时，因为卬=1,只有。2E=1时，。2 才是等比数列/.”2+i=期2-1+d n q +d=l，即 d=O,qw，或 g+d=l由。2=的2,1，。2+1 =a2n+d 得=的2-2+M 2 2),当q=l时，0 =%“-2+d(n 2 2),显然 的“是等差数列，当q w l时，%=q a、=q ,只有42,=时，的 才是等差数列，“2”+2 =4(
17、“2+1)=4+1=1，即4=1，或q+d=l综上，q、d满足的条件是q+d=l(;3)2/1+1-a2n-,a2n-(葭)*x4=Q生=-4,/=q+q q 3,=i-q +q2+/“-2一/I vii一m 8 x4=-=j,/.=|(X),为奇 数；J (X-l),为偶 数。1 1.已知函数力(x)=/(x),/2(X)=/(X),九|(x)=(1)若函数/l(x)=J 7,求函数力(X)、力(用的解析式；(2)若函数力。)的定义域是1,2,求。的值；(3)设/(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且函数/(x)的图像关于直线x=a对称。当x eO,l时，于(x)=&,求正数a的最小值及函
18、数/(x)在-2,2上的解析式。解：(1),/f(x)=4x,x e 0,+a=4.(3)；/(x)是定义在R上的奇函数，x)=/(x).函数/(x)的图象关于直线x=a对称，./(x)=/(2a x)在式中以 x替换x,得/(x)=/(2a+x)由式和式，得f(2a +x)=-f(x)在式中以x+2a替换x,得/(4tz+x)=-/(2a+x)由式和式，得/(4a+x)=/(x)(14)V/(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，.正数。的最小值是1.,.当x e 0,1时，f(x)-4x ,.,.当x e T,0时，一xe0,1,/(-x)=-f(x),即/(x)=-C 7.；函数/(x)的
19、图象关于直线x=1对称，.当x w(l,2时,2-xe0,1),/(x)=f(2-x)=V2-x当xc-2,T)当，一xc(l,2,/(t)=j2 +x=_/(x)，即/(-)=-J2+x.j 2-x,x G（1,2A /（X）=-也X G O,1_ V _ X,X G -1,0）一12+X,X G -2,-1）1 2.已知等差数列 J 的首项为P，公差为d（d 0）.对于不同的自然数A,直线x=an与 X轴和指数函数x）=g）的图像分别交于点A.与B“（如图所示），记纥的坐标为（%也）,直角梯形AlA2B2Bl、A2A3B3B2的面积分别为S和 S2 一般地记直角梯形A,出纥用%的 面 积%
20、s“（1）求证数列 s.是公比绝对值小于1 的等比数列；（2）设 册 的公差1=1,是否存在这样的正整数A,构成以2，%1也+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理）设%的公差d（d 0）为已知常数，是否存在这样的实数。使 得（1）中无穷等比数列h 各项的和S2010?并请说明理由.（文）设%的公差d=l,是否存在这样的实数p 使 得（1）中无穷等比数列瓦 各项的和S2010?如果存在，给出一个符合条件的。值；如果不存在，请说明理由.解.（1）a=p+（n-l）d,4=（g 严（1M 2 分s,=1（；严 叫 弓 严 W）吗 +（；）,对 于任意 自然数 n,（1 严+（1）（+i）d 1
21、 +（1/上 电=-J =（!），所 以 数 列 s“是 等 比 数 列 且 公 比 g=（!）d,因 为 d 0,所以S 2，+1 2 2同 b+l bn+2 6 分若以瓦也+1也+2为边长能构成一个三角形，贝 U0+2+及+1 ，即（I）11+（1）-（1）-21+24,这是不可能的.9 分所以对每一个正整数，以与乃小,外+2为边长不能构成三角形 10分（3）（理）由（1）知，0 q 2010,则2,201018分-2x2010 x(2-1)说明：如果分别给出生与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。a 1(文)S=,q=7 .11 分1 22
22、+P 2所以5=2=士 14分1-4 2*如果存在。使得$=-2 0 1 0,即2。2 =一.16分2P+I 4020 1340两边取对数得：p 2010也可。2PY1 3.函数八x)=(a,方是非零实常数)，满足2)=1,且方程/U)=x有且仅有一个解。ax+b 求 口 的值;(2)是否存在实常数相，使得对定义域中任意的x,恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点4(-3,1)到此函数图象上任意一点尸的距离14Pl的最小值。Y由尸1得2+匕=2,又x=0一定是方程-=x的解，ax+b所 以 一1=1无解或有解为0,a x+b若无解，则 如+=1无解，得=0,矛盾，若有解为0，则匕=1,所
23、 以 环！。22 r(2次 幻=,设存在常数团，使得对定义域中任意的心/W t/C m r尸4恒成立，%+22团取x=0,贝ij川0)切 勿?一0尸4,即-=4,ni=-4(必要性)m+22x 2(-4 -x)又 m-4 时，J(x)+f(-4-x)=:-1.=4 成立(充分性)x+2 -4 一%+2所以存在常数机=-4,使得对定义域中任意的x,/)尸4恒成立，x 2(3)|AP=Q+3)2+(-)2,设/+2=f,M 0,x+2 4 8 16 16 4 4 4则HP=+iy+(-f=t2+2t+2-+=(t2+)+2(t-)+2=(f-y+26-)+10t t t t t t t4 2=(f
24、-+iy+9,t4-1 +J17-5+V17所以当A A+1=0时即t=i I，,也就是x=u时,t 2 2W314.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：1、O C S；若a e S,则 一 e Sl-a 若 2,-2 u S,求使元素个数最少的集合S；（2）在上一小题求得的集合S中，任取3个不同元素4,仇c,求使。儿=-1的概率。（3）（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。解 2 eS =-=-lw S =-e S=-=2 e 5;1-2 1-（-1）2 J2-2G 2 eS1-（-2）3 2 i 二3 2使
25、2,-2 u S的元素个数最少的集合S为（2）设是5=4,一1,；,一2,；,|中三个不同元素，且使abc=1,由于S中仅有2个负数，故只有如下两1 1 3种可能：2（_1）=_1,（2）；=T2 1所相对的概率为P=一以10ci 1 1-w S=-r=aeSa i”1i-a（3）非空有限集S的元素个数是3的倍数证明如下：设aw S,则a k 0,1且C 1 c 1aeS=-e S=-：l-a 1 11-a由于.=一=。2一。+1 =0（。71）,但。2一。+1 =0无实数根1-0 1 r-f-rrn 1 C l-U -故 a手-同理-w-,-丰a-a l-a a a若存在b e S,而b e
26、 Ja,一,3二1 1,则1 -a a,1 b-匚T 丁c 1 T=S且a,：；,l-a a-=（若 仇 一 中 有 元 素 ,一,则利用前述的（*）式可知A I）1-b b J l-a a J l-a aJ 1 a-,1 b-S上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止S的元素个数为3的倍数。1 5.已知二次函数/(幻=。/+/他、匕为常数且q/0)满足条件：/(-x +5)=/(x-3),且方程/(x)=x 有等根。求/(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m n),使/(x)的定义域和值域分别是 m,n 和 3 m,3 n?如果存在，求 出 m、n 的值;若不存在，说明
27、理由。b 1 ,-=C l =-1 T.解：(1)由条件易得 2 ,*f(x)=x +x.7 分A =(/,-l)2=0 1 2(2)假设存在这样的小、”满足条件，由于/(X)=-1 f,+X =一1(X 一 1)2.+1所以3|即 V V I,故二次函数f(x)在区间 如可上是增函数，从而有f(n i)=3 m m =一 4,0 m n/.m =-4,n =0f(n)=3 n n=-4,01 6.已 知 函 数=-，+_ L Qe R,a 0)的最大值为正实数，集合4aA =x-0 ,集合 8 =x X2 匕2 .X(1)求 A和 8；(2)定义A与 8的差集：A-8=x|xw A 且 x/
28、。设 a,b,x 均为整数，且 x wA。尸(E)为 1,取自A-8的概率，P(F)为 x 取自4 A B的概率，写出。与6的2 1二组值，使 P(E)=,P(F)=-o(3)若 函 数/中，a,b是(2)中a较大的一组，试写出/)在区间 号,n 上的最大值函数g()的表达式。(1)：f(t)=a t2-4b t +-(re/?),配方得 为)=。(能 产十若，由。0 =。1。/.A =x|t z x 0 ,B=x-h x h o(2)要使P(E)=,P(F)=1o可以使A中 有 3个元素，A-B 中 有 2个元素，A CI B 中 有 1个元素。则a =-4,b =2。A中有6个元素，4-B
29、 中有4 个元素，A C1 B 中有2个元素。则。=-7 ,b =3(3)由(2)知 f(f)=TJ _ 6 _ 需 孚,”)-47 22-6n-七,n 一 冬g()=01 7.给出函数封闭的定义：若对于定义域D 内的任一个自变量X。，都有函数值f(x)eO,贝！J称函数y=f(x)在 D 上封闭。(1)若定义域D产(0,1),判断下列函数中哪些在D 上封闭，且给出推理过程f(X)=2 X-L f2(X)=-y X2-yX+1 ,f3(X)=2 T,f4(X)=CO SX.;(2)若定义域D2=(1,2),是否存在实数a 使函数f(x)=在 D2 上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存
30、在，说明理由。解：(1).仅4)=0 e(0,1),二&)在 1)1 上不封闭；(2 0：f 2(X)=-(X+4)?+在(0,1)上是减函数，0 V f 2 (1)f2(X)f2 (0)=1,.f2(x)e(0,l)n f2(x)在 立 上 封 闭;(49V f3(x)=2x-1 在(0,1)上是增函数，.0=f3(0)f3(x)f3(l)=l,.fNx)e(0,l)=f3(x)在 口上封闭；(6 9,.,fi(x)=c o s x 在(0,1)上是减函数，/.c o s l=f,i(l)f i(x)0,则 f(x)在(1,2)上为增函数，故应有，(1 1 =卜 4 2=2 (1 0，)1/
31、(2)2 a 2若 a+1 0=0,则 f(x)=5,此与 f(x)e(l,2)不合，(1 2，)若 a+1 0 0,则 f(x)在(1,2)上为减函数，故应有1 了2 n,2-1,无解，(1 4，)/*1 1，G 中 后，且 P是 满 足(2)的正常数，试证：对于任意G i+1自然数，或者都满足C,.1 V 2 ,C2n y 2；或者都满足C2_t V2。(文)若 2 是 满 足(2)的数列，且 仍“广 成等比数列，试求满足不等式：-4 +%-/+(-1)”2 2 2 0 0 4的自然数的最小值。解(1)许=当 止=2+士，：.an-2=-1,C -I 1,又 C2=后，C“片 行。(C2n
32、-JI)(C2“_|-五)=。嗯 =-扬 V 2,C2 V2；或 C2n_x 5/2 O(文)P=-2 不合题意，.I =2=%=3,据题意，蜡 力 2004=(-3),+|l),/4(x)=x +l,(x 0)(2)a=4 (可知 k)g 2=2)(3)a=(略)/()=VX,%G 0,1；/(x)=-y/-x,X G-1,0)；/(尤)=y jl-x,x G (1,2 ；/(x)=-)2 +x,x -2,-1)o2 1.若函数f(x)对定义域中任一 X均满足/(x)+f(2a-x)=2 b9则函数y =f(x)的图像关于点(。4)对称。2(1)已知函数/“)=上土竺上的图像关于点(0,1)
33、对称，求实数，的值；X(2 )已 知 函 数 g(x)在(-o o,0)U(0,+8)上 的 图 像 关 于 点(0,1)对 称，且 当 xe(0,+8)时，g(x)-x2+a x +,求函数g(x)在x e (-0 0,0)上的解析式；(3)在(1)、(2)的条件下，若对实数x 0及f0,恒有g(x)/(f),求实数。的取值范围。解：(1)由题设可得/(x)+/(x)=2,解得机=1；(2)当x 0),其最小值为/(1)=3,g(x)=-x2+a x +=-(x-)2+,t 2 42当(o,即 a o 时，g(x)m ax=l+亍3,得。(-2技0),当即a NO 时，g(x)m ax l而
34、 P%儿)在 y =f(x)的图像上，；.%=1 0 gl(%+1)代入得，y =g(x)=lo g j,(2 x +f)为所求.1 1 分2%贻)=10%悬；或%L 等-15分如：当/z(x)=lo g g事:时,2 NX 1 Il x2 2x +t/(x)+g(x)+(x)=lo g x(x +1)+lo g,(2 x +0 +lo g=1 0 g4(l-X2)1 /在 0,1）单调递减，?.0 1-%2 1 故 lo g （l 2）2 0,即/(x)+g(x)+(x)有最小值0,但没有最大值 .1 8分(其他答案请相应给分)(参考思路)在探求力(x)时，要考虑以下因素：力(x)在 0,1
35、)上必须有意义(否则不能参加与/(x)+g(x)的和运算)；由于/(x)和g(x)都是以q为底的对数，所以构造的函数Z/(x)可以是以;为底的对数，这样与/(外和g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算；以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时,对数值才能取到最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去g(x)；乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线x 的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与x轴已有了一个公共点(-1,0),故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧(否则该二次函数的值在 0,1)上的值不能恒为正数)，即若抛物线与x轴的另一个公共
36、点是(。，0),贝心4。2,6 ,xe-2,0 ,A f-|x2 02 1 2 1 2?X +t-2-X +t-2 X 二”o 33 -2 77二 x 2=f-g x 2,即苫2 =,，了 =_ (_ !6 2,0 )时，fm i n。d#）猜想/(x)在0,2上的单调递增区间为 o,?0(3)fN9 时，任取一2 W X 2,；/(x j/(%)=(七Z-g Q j+玉%2 +X 2?)9,：.4-2/14,A 14 e 4-2t,2t-4.当f 2 9时，函数y=/(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上。2 4.对数列%,规定 4/“为数列%的一阶差分数列，其中an=an+i-a(w
37、 N)。对自然数k,规定 A 为%的k阶差分数列，其 中 不=心 乐(1)已知数列。“的通项公式%=/+(w N),试判断 Aa“,归6 是否为等差或等比数列，为什么？(2)若数列%首项q=1,且满足*=2(e N),求数列 a,J的通项公式。(3)对(2)中数列%,是否存在等差数列也,使得仿。：+打 亡+=%对一切自然 wN都成立？若存在，求数列也“的通项公式；若不存在，则请说明理由。解：(1)=a“+-*=(+1)2+(+1)-(2+)=2 +2 ,；.2 是首项为 4,公差为 2 的等差数列。A2tzn=2(/i+1)+2-(2 +2)=2二,2 斯 是首项为2,公差为0的等差数列；也是
38、首项为2,公比为1 的等比数列。(2)及a“-%+a=-2,即 Aa+1-an-Aan+1+an=-2 ,即 Aa-a=2，:.an+x=2an+2V al=1 f，生=4=2x2、a3=12=3 x 22,a4=32=4x 23,猜想：an=n-2n证明：i)当=1 时，a=1=1x2；i i)假设 =%时，ak=k-2kx =k+1 时，aM=2ak 4-2A=k-2k+2A =(k+1)2f”结论也成立 由 i )、i i)可知，an=n-2n-(3)b C+*+bq=a“,即 b +b C+)=2 一IC：+2C；+3C；+nC：=(C3+GT+)=-2.存在等差数列h ,a =，使得
39、AC：+%C；+=%对一切自然 wN都成立。v2 2V2 5.如图，过 椭 圆+三=1(4匕0)的左焦点尸任作一条与两坐标轴都不垂直的弦A B,若在x 轴上,且使得M b 为 的 一 条 内 角 平 分 线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆 +2=1的“左特征点”M的坐标；Y(2)试根据(1)中的结论猜测：M椭 圆 鸟+二=1 (a 6 0)的“左特征点”M 是一个怎样的点？并证明你的结论解：设0)为 椭 圆 曰+/=1的左特征点，椭圆的左焦点为F(-2,0),设直线A B的方程为x =ky-2(k丰0)r2将它代入-+y 2 =1得:(3一2 y+5。=5 ,即伏2+5)/_4
40、由一1 =0、4k 1设 A(x”力)，8(X 2，)2)，WJ yi+y2=5-，乃乃=-5-A:+5 k+5：ZA MB 被 x 轴平分，；.kA M+kBM=0即 +=0 ,=y.(x2-w?)+y2(x,-m)=0士 -m x2-m=1(2 -2)+力(6 1 -2)-(i+y2)m =0，2kyly2-(yi+y2)(m+2)=0 ,1 A L于是 2人(-J )-A(m+2)=07,2,c 7,2 m时，aW2;当nWm时，a2?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。(3)当n10时，证明Va-2解(1)a 尸 包 上=1 2,好 的 山=-8,a i0=-7 -%7%7 旬 3
41、(2)an-2=3%-4 _2=5(%-2),7-an-7-%二.当 a T 2 V2 时 一，an 2,又 2 9=一 8 8时a n V 2。山 4=得 an-2=.,.当 a n 2 时，an-1 20又 出=1 2 2,.当 n W8 时，an2 o综上所述，满足条件的m 存在，且m=8.(3)an-l+an+1-2 an=(-4-an)+(3 a +4-a)3+%7-%_-(a-2)*2.(an-2)2 2(an-2)3 *7a“+3 7 -%(7 an)(a +3)a io=-G (-3,2)03下面证明，当 n 2 1 0 时，-3 an 2,其中当n 2 1 0 时，an-30
42、an+3=3%+4+3=_2L_7-i 7-an_x当(-3,2)时，-0,即 a-3.7 一%.当 n N 1 0 时，-3 an2 o因 止 匕，当 n 2 1 0 时，anH+an+I-2 an=2(aS2)_.3 t当 n 2 2 时。由 3 t S-(2 t+3)S ,=3 t与 3 t S-l-(2 t+3)S-2=3 t 两式相减可得3 t a-(2 t+3)a.1=0 2段,由上可知，对于自然数n都 有 里 马/式Hn-1 3 t Qn I 3 t子成立，故 aj 成等比数列，且公比q 二2 t+3若 t=3 时，q=l,此时Sn=n若时,则S 产1(1-(等)n )O V1-
43、2 t+3(3 t)n-(2 t+3)n(3 t)n-l(t-3),2 t+3(2)由题可知：q=f(t)=记,今g(t)=3t 今g(t)=2t、+3t2,O L=gJ(t)=6 t2+6 t=6 t(t+1)；所以t(-8,1)-1(-1,0)0(0,+8)g(t)+-+g(t)增1减0增当 t=-l 时,g(t)有极大值1当 t=0时，g(t)有极小值0(3)画出y=g(t)及 y=k 的图象可得:当 k l 或 k 0时 ，有一解 当 k=l 或 k=0忖，有二解 当 0 k 0-+i=1.(4 分)又 ,2S =ax(%+1)ax=1/.(6 分)(2)假设存在正整数p,“更该不等式
44、对所有正整数均成立1 .-9则取=1,有一=2(p+q-1)即p+q 2(Jn+1 -1)成立d a Ja 2 J。(1)当=1时,12(后 一1)成立(2)假设当=k时,不等式成立,即5+*+美2(VTi斤-1)成立将 该 不 等 式 两 端 同 时 加 上 丁=,不 等 式 仍 然 成 立，即Vk+11 1 1 1 r-;八 1-j=H 产+H 产 4/2(Vk+1 -1)H /V1 V2&VT+1 Vk+l欲 证 上 面 不 等 式 成 立 只 需 证2(灰 工1-1)+-4=2(而/-1)成 立 即 可。VT+i欲 证 该 式 成 立,只 需 证I-2(Vk+2 Yk+1)成 立，k+
45、1即 2yk+l /1=ylk+2-4k+l2 V m y/k+2+v mv m（）,即 4k2-4（3-1）（_13）0,解得 史小姮,（9分）2 2 若以 AB 为直径的圆过 D（0,-2）,贝 IJADLBD,kA D-kBD=-1,即 2d=x x2:.（%+2）（y2+2）+xxx2=0=（3 +3）（5+3）+xxx2=0,（11分）1 q 2k（2 +1）项/+3攵（玉 +/）+9=0=（公+1）（-+3k +9=0.（12分）3 k 3 k解 得 父=2,.=巫 （_ 姮,巫），故存在改值，所求k值为土巫.8 4 2 2 43 0.已知数列明 的前项和S“满足S.M=3,+2,
46、又 叫=2.=L（I）求k的值；（II）求S“；C 2 2 1c m)是否存在正整数,%使 口 一成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由s +加 2解：（I）v S2=+2 t 4+g=N i+2又 卬=2,a=1,2+1=2攵 +2.k=.2 分（II）由（I）知S,m=；S“+2 当 N 2时，S=，S,i+2 2一，得a“+i=g%（-2）.4 分又 出=1 4，易见a“H0（eN*）=L（n eN*）2cin 2于是%是等比数列，公 比 为;，所以S.=-p=4(1-).6 分1-2(III)不等式 为即S.+i 一机 24(1 -1 4(1-1)-22“2W+1整理得 2
47、2(4-?)68分假设存在正整数机,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4-?为整数，则只能是2(4-?)=4-?或4 一根二2;2 =4,4-m =11 0分,一 1因此，存在正整数m=2,n=1;或机=3,n=2,使 口-(x-4)72 =4 x=x92-1 2 x+1 6 =0y2=4 x:.xx2=1 6 x+x2=1 2:.y y -(X)-4)(X2-4)=xxx2-4(x,+x2)+1 6 =-1 6xx2+必 乃=0 故 OA -L O B.6 分2)解：存在点尸(4,0),使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零.7分故设弦所
48、在的直线方程为：x =ky +4代 入/=刀 得y2-4-1 6 =0月+%=4攵 必 力=-1 6k.k 且_ 1一1K0A KOB 2 2 -1(一，王y 江 月 为 T64 4A OA 1O B故以A6为直径的圆都过原点.1 0 分设弦48的中点为M(x,y)则、=；(匹+了2)/=；(必+乃)阳 +x2=6+4 +ky2+4 =k(y1+%)+8 =k ,(4 k)+8 =4&之 +8.弦AB的中点V的轨迹方程为：r=2 G2+4一 消去k得 V=2x 8.1 4 分 y-2 k3 2 .设函数 x)=e i -X,其中加eR.(I)求函数/(x)的最值；(I I)给出定理：如果函数.
49、丫=/(工)在区间 凡6 上连续，并且有/他/(。)0,那么，函数y=/(x)在区间伍,。)内有零点，即存在X。(。力)，使得/1(x。)：。.运用上述定理判断，当相 1 时，函数/(x)在区间(加,2 加)内是否存在零点.解：(I)/(乃在(-8,+0 0)上连续,(幻=/-”-1,令 f (x)=0,得x=m.2 分当x (一 8,加)时,e-l,/z(x)1,/(x)0.所以，当x=?时,/(x)取 极 小 值 也是最小值./(-V)m i n =/(加)=1 一 见由知/(x)无最大值.6分(I I )函数/(x)在 m,2 m 上连续.T f Oy(2 m)=e -2m,令g(m)=
50、em-2m,则g (m)=em-2,v m I,.,.g(m)e-2 0,g(，)在(l,+8)上递增.8 分由 g(l)=e-2 0 得g(m)g(l)0,g P/(2 m)0,.1 0 分又/(M I)=1 -？0,.,.f(m)/(2/?z)0),对任意的正整数n,SH=al+a2+-+an，并 有S 满足(%一%)-2(1)求a 的值；(2)试确定数列 斯 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；(3)对于数列 4J,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有小3,且1 沛a=匕，则称“T8为数列 仇 的“上渐进值”，令以=乎+3 且，求数列3“2+P-2 的“上渐进值”。