《不要分送弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不要分送弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案.pdf（94页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一拿 错卷本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一-、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和柩圈，注意与其它力学在任务、研究对象和研究方法上的相同点及不同点.二、弹性力学的基本假定、基本fit和坐标系1.为简化计算，弹性力学假定所研究的物体处于连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、小变形的状态.2.各种基本量的正负号规定.注意弹性力学中应力分量的正负号规定与材料力学中的正负号规定有何相同点和不同点.外力（体力、面力）均以沿坐标轴正向为正，面力的正负号与所处的面无关（只与坐标系有关），注意与应力分量正面正向、负面负向约定的区别。3.五个基本假定在建立祥力力学基本方程时的用途.难点建立正面
2、、负面的概念.确立弹性力学中应力分量的正负号规定.典 型 例 题 讲 解例 1-1 试分别根据在材料力学中，和弹性力学中符号的规定.确定图中所示的切应力r1.r2.r3 r的符号2理 慎 力 学 箱 明 致WU案三版）金 根 导 学 及 习 建 仝 解【解答】（1）在材料力学中规定,凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力为正，反之为负.所以，c.r,为 正,为 负.（2）在弹件力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正，作用于负坐标面L.的切应力以负坐标轴方向为正，相反的方向均为负。所以r 3 ,小均为负o习 题 全 解1 -1试举例说明.什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向
3、同性体，什么是张均匀的各向异性体.【解答】木材、竹材是均匀的各向异性体;混合材料通常称为非均匀的各向同性体，如沙石混凝土构件，为非均匀的各向同性体;有生物组织如长骨，为非均匀的各向异性体。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【解答】一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体L 般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的弹性体.1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？【解答】（】）连续性假定:引用这一假定以后物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此,建
4、立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来袭示它们的变化规律。（2）完全弹性假定，引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程。（3）均匀性假定:在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比等）就不随位置坐标而变化。（4）各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说,就是物体的弹性常数也不随方向而变化。（5）小变形假定:我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进
5、行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次赛或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程.在上述这些假定下，弹性力学问题都化为线性问题从而可以应用叠加原理.1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是:当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时）.这个面上的应力（不论是正应力或切应力）以沿坐标轴的正方向为正.沿坐标轴的负方向为负.与此相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）.这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负.面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方
6、向时为正，沿坐标轴的负方向时为负.1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定.【解答】在弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同:材料力学中规定，凡企图使微段顺时针转动的切应力为正；在弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴正方向为正，作用尸负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正.相反的方向均为负。1-6试举例说明正的应力对应于正的形变.【解答】如梁受拉伸时,其形状发生改变，正的应力（拉应力）对应于正的形变.1-7 试画出题1 -7图中的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向.注意：（1）无论在哪一 个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均以沿坐标轴正方向为正，反 之 为
7、 负.（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上方向沿坐标轴正方向为正，反4弹住力学简明敏根（第三版）余棋导学及习网全解解 7 图C）体力和面力Mb）体力和应力之 为 负，在 负 坐 标 面 上，方 向 沿 坐 标 轴 负 方 向 为 正，反 之 为 负。1-8 试 画 出 题 1-8 图中的 三 角 形 薄 板 的 正 的 面 力 和 体 力 的 方 向.鹿 1-8 图 解 1-8 图第二步 年面问题的基峰理卷本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一、两类平面问题的概念名称平面应力问1K平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移UtVw#0u vw=0应变 J，y,y jry二九二0p.=一 三
8、优+外）6*，口/,=/=3 =0应力*，0y，r*yr=at=0%(T y fxyry.=r =0,a.=+%)外力体力、面 力 的 作 用 面 平 行 于 外 平面,外力沿板厚均匀分布.体力、面力的作用面平行于I y 平面，外力沿N轴无变化.形状物体在一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向的几何尺寸（等厚度薄板）.沿一个方向（通常取为z 轴）很长的等微面棱柱体（等截面长柱体）.二、平面问题的基本方程平面问题的基本方程共有八个，见 下 表.其 中，E,iG 分别是弹性模量、泊松比和切变模量 心=配F号?名称基本方程表达式应用基本假定平衡微分方程言+誓+“0,型+需+/,=o.连续性，小变形均匀
9、性几何方程du 3v du,dve，F。，=万，”=+石连续性，小变形.均匀性6势 除 力 学 的 明 效 枚（第 二 版）金 枚 导 学 及 习 题 金 解续表名称基本方程表达式应用基本假定物理方程-平面应力问题1,、一=天（。工 ），_ 1,、,二有（力 ）%=Gr0平面应变问题一 卷%）,。=空（。-昌讣连续性,卜变形.均匀性，完全弹性，各向同性三、平面问题的边界条件弹性力学平面问题的边界条件有三类，如 F 表.其 中 S.S.分别表示面力、位移已知的边界，/和山则是边界面的方向余弦.位移边界条件应力边界条件混合边界条件.上U =u.v=t .S.上（。+/下功=五，5上=刀 *四、平面
10、问题的两条求解途径1 .处理平面问题时常用按位移求解和按应力求解这两条途径。在满足相应的求解方程和边界条件之后,前者先求出位移再用几何方.程、物理方程分别求出应变和应力;后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求出应变和位移.2 .按位移求解平面问题,归结为在给定边界条件下，求解以位移表示的平衡微分方程（平面应力情况3）一伫 典 +1 _ 亚）=01 一1 5 2 十2少十2 av y）U，E 1巡 十 上 史 小 十 L 十1 1 一 八 沙 2犷十2 dxdy!*3.按应力求解平面问题，除运用平衡微分方程外，还需补充应变相容方程，该方程可用应变或应力分量表示.用应力表示的相容方程：一般情况
11、下：*（%+%）3 3 （1 平面应力问题V，Q,+。,）=一（七）（蓼+空）.平面应变问题第 二 北 平 面 侧 魅 的 修 本 建 论7常体力情况下,*4-（7,）=0.用应变表示的相容方程：匕4乜一如dy2 djc2 dxdy*按应力求解常体力情况下的两类平面问题.归结为在给定边界条件下.求解如下的偏微分方程组若是多连通（开孔）物体相应的位移分量需满足位移单值条件：养+需+/，=0,粤+黑+/,=。，%+%）=0.五、关于位移解法、应力解法及应变相容方程1 .弹性力学问题按位移求解（或按位移、应变、应力同时求解）时，应变相容方程能自行满足。技应力求解时为保证从几何方程求得连续的位移分量，
12、需补充应变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分和必要条件。对于多连体只有在加上位移单值条件才能使物体变形后仍保持为连续体.2 .按位移求解时需联立求斛二阶偏微分方程,虽在理论上讲适用于各类边界条件，但实际运用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解.因此，使其在寻找精确解时受到了限制。然而,这方法在数值解法中得到了广泛应用。3 .应力解法通常适用于应力边界条件或仅在局部给定位移的混合边界条件.由于可引入应力函数求解,故在寻找平面问题的解析解时.用此法求解比按位移求解容易。4 .在按应力解法求解的方程组中并不隐含弹性常数，因此，按应力求解单连通平面弹性体的应力边界问题时，其应力解答与E.,G
13、无关（但应变、位移分量与弹性常数有关）,即应力与材料性质无关.这意味着不同弹性材料的物体（不论是属于平面应力问题，还是属于平面应变问题）,只要在外平面内具有相同的形状、约束和荷载，那么,。，力丁，的分布情况就相同（不考虑体力）.可 以 证 明：对于多连通（开孔）物体,若作用在同一边界上外力的主矢为零,上述结论也成立。难点一、两类平面问题的异同点。二、圣维南原理的适用范围,对其定义的把握。在利用圣维南原理在小边界（次要边界）上局部放松使应力边界条件近似满足时，注意主矢（主矩）的正负号规定:应力合成的主矢（主矩）与外力主矢（主矩）方向一致时取正号反之取负号。三、列出应力边界条件.8拜et力 学 而
14、 明 敕 桎（第 三 版）金 枚 导 学 及 习 国 金 x典 型 例 题 讲 解例 21已知薄板有F列形变关系迷，=A ry,=B y/r,=C-D 必，式中A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式.【解】（D 相容条件，将形变分量代入形变协调方程（相容方程）九*乜二叽dy2 十拓?M y 其中=0，筌 f =。，0.Jy*dx dxdy所以满足相容方程，符合连续性条件。（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为%=f+凡）=-E 加 一 +户，1 -u i fl%=上 下（,+/,）=/-fjAxy+By1）1 -fl 1 -flj=
15、G%=G（C-D/）.（3）平衡微分方程其中=r 7 3 即+加3黑=必需=-2 G D .若满足平衡微分方程,必须有 i y-2 G D y+f,=O,，顶部受集中力P 作用.第 二 京 平 面 问 题 的 事 本 理 论 9试写出水现的应力边界条件。【解】根据在边界上应力与面力的关系左侧面：（。,L i =九（y）=0，（r“）*=f、（y）=0,右侧面：Q,）L-A=7,（y）=pgh（rxv）x-A=7（，）=0 上下端面为小边界面，应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件。上端面的面力向截面形心。简化，得面力的主矢量和主矩分别为FN.F .M”F、=Psina,F=-Pcosa.
16、Mo=与sina.y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反;应力主矩与面力主矩的转向相反。所以|（外）,=0业=-FN=-Psina,（=Pl cos a-sin a-g p g。y=/坐标面,应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。所以|卜（%）,d lr=F、=-Psina,fA /JJ A10,）y.*d r=MD=Pl cos a P/isina fPM，J r”），5=Pcos a-幽.分析：（D与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现.如在左、右侧面.不要加入（叫 ,=0或 7 =0。（2）在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在
17、小边界（次要边界）上无法精确满足时.可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化.应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时取正号,反之取负号。习 题 全 解2-1如果某一问题中*=0,只存在平面应力分量o，。,，r“且它们不沿工方向变化，仅为工班的函数试考虑此问题是否就是平面应力问题？1 0也也力 学 版 明 敦 根（第 三 版）全 权 导 学 及 早 足 会M【解答】平面应力问题.就是作用在物体上的外力.约束沿7向均不变化，只有 平 面 应 力 分 量 且 仅 为 工2的函数的弹性力学问题所以此问题是平面应力问题。2-2如果某一问题中
18、，3=7U=7。=0,只存在平面应变分量一.一,且它们不沿z方向变化,仅为工 的函数试考虑此问题是否就是平面应变向收？【解答】平面应变问题,就是物体截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，只有平面应变分量（,3 0”），且 仅 为 的 函 数 的 弹 性 力 学 问 题，所以此向1 2是平面应变问题。2-3试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中.即2 3图.其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力,且在薄层内所有各点都有*=r =一，=0,只存在平面应 力 分,旦 它 们 不 沿z向变化仅为工,y的函
19、数。可认定此何跖是平面应力问题。2-4试分析说明,在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，题2 4图，当板上只受r,y向的面力或约束.且不沿厚度变化时.其应力状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时3=0,且不受切向面力作用则y“=y”=0（相 应 板 边 上 只 受 向 的 而 力 或 约 束 所 以 仅 存 在L.E y.y”且不沿厚度变化所以其应变状态接近于平面应变的情况。2-5在题2 -5困的微分体中若将对形心的力矩平衡条件2 M c =0 改为对第二 案 平 面 向 度 的 事 本 在 论 11角点的力矩平衡条件.试问将导出什么形式的方程？题 25图【解
20、】将对膨心的力矩平衡条件Z M、=0,改为分别对四个角点A,8.D.E的平衡条件.为计算方便.在z 方向的尺寸取为一个单位。XMA=0.力dr X I X 学 +(*4-dr)dy X I X 学 一(”X I Xdr十(r w-h-pd1 jd r X 1 Xdy-(%+等 dy)&X 1 X亨 一d_y X I(a)+f t drdy X 1 X 学 一 drdy X 1 X =0.X M”=0,(*+黑&)乂 1 X 学+(%4 d j)Ar X Xdy+(%Jc tr X I 义 华 一j d y X 1 Xdx-a,d X 1 X 9(b)%dr X I X 学+/,&d X】X 字
21、 十/声 的 义 1 X 华=0.Z M”=0,(%+羡 dy)dr X 1 X-r,dy X I X dr+%dy X I X学+Tyrdx X 1 Xdy ffv,dr X 1 X dy+%dr X IX12舞 性 力 学 陶 明 敏（第三Jlfc）金 技 导 学 及 习 理 全 解y （%+器dz）dy X 1 X-y-（r+业）*X 1 X dz-f1rdzdy X IX学+f,drdy XI X华=0。（d）略去式（a）、（b）J c）和式（d）中三阶小酸（亦 即d2I力，drcfy都趋于零），并将各式都除以drd后合并同类项，分别得到r”=fk 2-6在题2 5图的微分体中.若考虑
22、每一面上的应力分量不是均匀分布的,试问将导出什么形式的平衡微分方程？【解】微分单元体ABCD的边长d r,d y都是微量，因此可以假设在单元体各面上所受的应力如图（a）示忽略了二阶以上的高阶微髭，而看作是线性分布的如图（b）示.为 计 算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位.各点正应力0n一fnTnnnn!/滥raX“nnnnnDmQ/)A =M，(%B-%+含dy，Q*)D=%+d z,g c=%+养&+歆1y.各点切应力：(r”)A=r”，(r“)u=+如，(力)A =O y IQ,)B=。，+含 d_y，(%=Oy 4-d z；Q,)C=%+符&+翁 电)A =T I3B f+dy,(
23、r,r D=r）力+修 （%卜 普d r）+（力+养&+色 心）”（知k +（,.+*&）&+岳 （丁 +得 力）+卜+M&+煞 dy）dr+/,d rd y=o卜 卦,+（%+符 必）辰+圉（,+5力）+（力+翁+豕叫。-H 卜+.+/（*、）,+（/（r”+若&）+（%，+留力+型&）卜,+/加 打=0以上二式分别展开并约简,再分别除以dzdy.就得到平面问胭中的平衡微分方程2-7在导出平面向腮的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性.小变形和均匀性.在两种平面问题（平面应力、平
24、面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性.完全弹性,均匀性，小变形和各向同性.即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中的物理方程不一样,如果将平面应力问题的物理方程中的E换 为 点7中 换 为 金 就得到平面应变问胭的物理方程.2-8试列出题2-8图（a）.题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】（1）对于图（a）的问胭14弹 性 力 学M明 数 根（第 三 版）全 柱 导 学 及 习 题 全 斛在主要边界x-0.x-/上.应精确满足
25、下列边界条件,）,=。=一=-pgy，=0；=0.在小边界（次要边界）丁=0上,能精确满足卜列边界条件,(r“)=0。在小边界（次要边界）y 心 上 花 位 移 边 界 条 件=0.”）/=0.这两个位移边界条件可以应用圣维南原理改用三个积分的应力边界条件来代替.当板厚8=1时.0.!h：)b.(Ml眶28图（2）对于图（b）所示问题在主要边界丁=人/2上.应精确满足下列边界条件:y-*/=，=-q.-Qi=0.在次要边界1=0上，应用圣维南原理列出三个枳分的应力边界条件当板厚6=1 时，JT c%)心=-F w，心(ffr),=d y =-M.在次要边界工=/上.有 位 移 边 界 条 件=
26、（）,=0。这两个位移边界条件可以改用三个枳分的应力边界条件来代替累 二 立 平 面 向 我 的 慕 本 理 论152-9试应用圣维南原理列出题2-9图所示的两个问胭中Q A边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？题2-9图【解】(D对于图(a),上端面的面力向截面形心简化,得主矢和主矩分别为FN=q”2,F s=0.M =j j-z)dr=-q b?/12应用圣维南原理,列出三个枳分的应力边界条件当板厚=1时，.0(17 =一 弛/2,-c Lr=o.(2)对于图(b).应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件,当板厚S 1时，(%),H o dr=-q 6/2,=2上,
27、应精确满足下列边界条件：-Y9 下封),-*/2=0。(*)叩*=0,(r产)，=A/Z=0自然满足.在1=0的次要边界上外力的主矢量.主矩都为 零.有三个积分的应力边界条件：产2产八八0 曲=。，匚，()，=。内=0,L 2(r“)。dy=0.在 工=1次要边界上，(),=0,(1 0,1 =0.这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替.j j，2a,),-/dy =J二-2 q#d.y =0,电7 2-2 4京 加=一 哈J二”J:一?东 T y D d y-所以满足应力的边界条件c虽然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件但都不满足相容方程,所以两题的解答都不是
28、问题的解.2-1 4试证明:在发生最大与最小切应力的面上正应力的数值都等于两个主应力的平均值.【证明】任意斜截面上的切应力为r.=5 1(6 6),其 中6 6为两个主应力.用关系式八+m=l消去m,得r=/J 一(S 6)=士一不(6 O)-j-(一?)一6)由上式可见,当方 一1=0时，j 为最大和最小于是得I-而 +。2，得到 G*=T，73 2-1 5设已求得一点处的应力分量，试求6，九Q,(a)%=100,%=50,=10/50；(b)%=200,a,=0,Tjy=-40 012 0弹 叫 力 争 蔺 明 数 横（票 三 版）金 桎 导 学 及 习 全 解(c)%=-2 0 0 0,
29、=5 0,r =1 0 /5 0 ;；卜1 0 0 5 0 土膺尹77嬴病得(b)o 1 5 0f (f i 09 a 1 35 1 6 a,=2 0 0.%=0.=-4 0 0 1:卜咿士照川+二嬴,5 1 2-2 0 0一4 0 0得(c)f f i=5 1 2 6=31 2,a i =-37 5 7 。a,=2 0 0 0.o7=1 0 0 0,r q =4 0 0；:卜-2%+1000 5/(-20002100)，+(-400),t a na 11 0 5 2 十2 0 0 0 4 0 0 6=1 0 5 2,ci=-2 0 5 2,a i =-8 2*32z.ax=-1 0 0 0%
30、=1 5 0 0*Tgy=5 0 0；一 1 0 0 0 1 5 0 02(-1000.4-1500 7 7,-6 9 1 +1 0 0 05 0 0=0.6 1 8 得at=-1 8 0 9,a i=31 4 3.2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q.试 证/=%=一 7 及r”=。能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件.也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。第 二*平 面 用 麴 的 事 本 理 论21解2-16图【证明】(D将应力分量i =%=-=0和/,=/,=0分别代入平衡微分方程、相容方程心力1 7a r+舞也力刍、/(
31、十 八二0,+A =0+外)=一(1+养 +箓)=。b)显然式(a)、(b)是满足的.(2)对于微小的三角板A,d r.d y都为正值斜边上的方向余弦/=COS(*N),m=8 S(、)将%=ay=q.r”=0代入平面问题的应力边界条件的表达式(以 4-m r =/*($),/、=E g aj 万22件 区 力 学 府 明 数 桎I第 三 版）全 程 导 学 及 习 现 全 做前二式的积分得到口 幺,一）qx+/i（丁），=E i）q y +，za）,（f）其 中 的 人 和 人 分 别 是y和N 的待定函数可以通过几何方程的第三式求出。将式（力代入式”）的第三式，得d/iV）_ cl/?（工
32、）d y d x等式左边只是y的函数,而等式右边只是工的函数。因此，只可能两边都等于同 个 常 数 3。于是有d/i （.y）d/2（JT）J,co*亚 =u .积分以后得（、）=-3 卜 “0，/z C x J t t K F-f-Vo.代人式得位移分地3 1）u=g-qx ay 十 “0，v（g）.V 3 E 1 +u+%。其中。,“皿为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得.从式（6可见,位移是坐标的单值连续函数满足位移单值条件。因而应力分量是正确的解答。21 7设有矩形截面的悬臂梁.在自由端受仃集中荷载F如图2-17图所示.题2-17图体力可以不计。试根据材料力学公式.写出弯应力，和切
33、应力f r y的表达式，并取挤 压 应 力%=0然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明.这些表达式是否就我示正确的解答。【解】（D矩形悬臂梁发生弯曲变形任意横截面上的弯矩方程为M（.r）=-FT,横截面对二轴（中性轴）的 惯 性 矩 为I.=%,根据材料力学公式,弯应力第 二*平 面 向18的 薨 本 理 论23。，该截面上的剪力为F sC r）=-F剪应力r,y=号2（I 容）=一 春（牛 一1/）；并 取 挤 压 应 力%=0。（2）经验证.上述表达式能满足平衡微分方程驾+翳+乙=。符+争十八=也能满足相容方程（笠+券）y a（A，2 =0，T w）V=h f 2=0，（%
34、T，Z-0 （rvi=0.能满足.在次要边界”=0上列出三个积分的应力边界条件：1A.l（。T i d y -0.J T”*产 （%）,=c1y dy =0,满足应力边界条件.在次要边界*=/上,列出三个积分的应力边界条件，.E37 1 p p-A-2 （ar）,=/d y=-J T 2 -nr-r lydy=0,j j：（%，_d dy =_：一F L.k +徐=0.即为了满足式G).可以取v_ a”%_ v _ 歹。，苧+V，-V =0,%=弊+匕r”dJTdxdy*3Kdxdy*(a)(2)对体力、应 力 分 量 必 求 偏 导 数得=_ 型 必=a*v3xl 3y!)y2 济,DlV
35、筛/540,32V=5 7 5 7+4 /=5 7+砂段震|&一_ 衣万十 1万3 ty 司.。将式(b)代入教材中式(2-21)得平面应力情况下的相容方程：学+2 瑞+1?-啰+割,V”=(1 一)g.将式(b)代入教材中式(2-22)得平面应变情况下的相容方程：翳+2 禹+*一(呼)(券+部(b)(c)(d)杼)注:将式(c)中 的 替 换 为 自，也可以导出式(d).2-1 9 试证明,教材 2-4 中所述的刚体位移分量uo,%及s实际上就是弹性体中坐标原点的位移分量和转动角度.【证明】根据教材中式(2-9),得任一点P Q.y)的位移分量表达式为M=uo-oy.，=，o+a*r。将原点
36、的坐标x=0 d =0 代人上式得(U )0.=0=“0，(Z/).所以刚体位移分量“。，5是弹性体中坐标原点的位移分量.图中.P 为P 点至Z轴的垂直距离，合成位移邛的方向与径向线段OP垂直,也就是沿着切向。OP线上的所有各点移动的方向都是沿着切向，而且移动的距离第 二 案 平 面 向 题 的a本 理 论25等于径向距离p乘以3,3 代表物体绕N轴的刚体转动，各点转动的角度相同所以也是坐标原点的转动角度。第 三 章 牛 面 冏 题 的 直 角 坐 标 斛 条本 章 学 习 重 点 与 难 点重点一、按 应 力 函 数 求 解 平 面 问 胭用应力函数表示的应力分质通解：ra2（p,a?%=每
37、%=立一J=一 谢。同时应力函数S G r.y）需满足双调和方程,即相容方程：/+2 卫虹+立=0二、逆解法、半逆解法的基本步骤1 .逆解法:首先设定各种形式的应力函数少（1），使之满足相容方程；然后.再求出应力分量;母后来考察这些应力分量适用于何种边界问题从而得知该应力函数能解决什么问题。逆解法的另一种含义是通过材料力学或其它途径得知某些问期的可能解答然后检查它是否满足全部方程和边界条件.2 .半逆解法:根据弹性力学的具体几何形状和受力特征或某种问期的解答凑出应力函数6”.山的形式,然后再根据基本方程和边界条件确定该函数.若不能满足或出现矛盾.则须修改试选的函数,并重新检杳,直到满足为止.三
38、、多项式解答1 .一次式。（/3）=0 +A l T +6tx.不论系数取任何值相容方程总能满足,且对应的应力均为零.线性应力函数对应于无面力、无应力状态，多项式的应力函数加上或减去一个线性应力函数.不影响应力的大小.2 .二次式 6X.y）=2上式恒能满足相容方程且可得到：=2 c,力=2 a,r 4 =-6这一结果代表均匀应力状奋。3 .三次式+办,上式恒能满足相容方程,且可得到：%=Zc x 4-dy a,=6or+2 6 y.r”-2（6 z+,）这 是个复杂应力状态.又能由叠加原理分解为简单应力状态。若。=6=c=0,d/0,则%=6 公.力=r 0 =0能解决矩形截面梁的纯弯曲第
39、三 靠 平 面 同 国 的 大 角 生 佛 解 答27问题（注意坐标系变换，所能解决的问题也要变化）。4.四次或四次以上的多项式。其各项系数之间需满足一定的关系时，才能满足相容方程，各项代表的应力分布呈一种曲线分布.四、设置应力函数1.由多项式叠加淡出。当物体受力情况并不复杂时可用此法。2.从量纲分析法得出。此法适用于楔形体、三角形悬臂梁等以无量纲的角度来描述几何形状的物体。3.由材料力学解答导出.此法可适用于已知该物体的材料力学解答的情况.但用此方法得到的应力函数往往不能满足双询合方程，必须加以修正才得以满足，有时需经过多次试算才能使应力函数定野。4.根据边界上的受力性质推得解电所用应力函数
40、。难点一、应用逆解法、半逆解法求解平面问题。二、如何设置应力函数.典 型 例 题 讲 解例3 1如图示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用试取应力函数中=Az，：+B ry+C r、+D.ry+E r+F2 5By 3Cr2-3Dy2-F.（3）考察边界条件:确定应力分录中的各系数（%=一半R,得告 BA，-3Ch+6E=一华；（a）r=0.得（3 C-竽 母？+信BA，+弓*+F）=0|（b）（%）,i =0，得一-3 O i+6 E =0 i（c）=得（3 C-竽 班z）j+（条 母+F）=0.（d）若式（b）恒成立,必须满足3 C-B h!=Ot（e）4+4 2+F =0.一工，+八 一
41、制I，%=养尸 4/-A1）.下”=品 丁 -h2）（3x2-yl-I1+豹.分析:在工=0处,%能精确满足由此可得叫在筒支梁左端为精确解;应力函数含有四阶或四阶以上的项时要满足相容方程是有条件的，如 式 ）、（力例32图示悬臂梁梁的横截面为矩形，其宽度取为】右端固定、左端自由，荷栽分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量，第 三 靠 面 间 期 的J L*生 标 解 答29例3-2图【解】这是一个平面应力问题,采用半逆解法求解.（1）选取应力函数0.由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M G）与截面位置坐保才成正比而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设a
42、t=Q iQ，（a）式中的4为待定常数。将式（。）对了积分两次，得0 =工+人（兀（b）式中的人（）,人“）为”的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程V”=0,上式是y的一次方程，梁内所有的j值都应满足它，可见它的系数和自由项都必须为零,即（%）G r-；-7 =0,：7 =0.dr ar积分上二式得/i（x）=a2xi+42户+a$,/t +（asjr3+a*+4工 +%）（c）（2）应力分量的表达式%=axyoy=6（a?y+。6）+2 出+即=y1 a iy ：-3-a?1 2-Z9 a3x-a.（3）考察应力边界条件,以确定各系数.自由端无水平力，上、下部无荷载；自由端的
43、剪力之和为P得边界条件（%）*0=0,自然满足；（r ）,“=（）,得 一5必/2 3a/?-2。31a,=0；30强 肢 力 学 篙 明 数 桎（第 三 麻）拿 权 导 学 及 习 题 仝 X上式对/的任何值均应满足，因此得5=人=0.一。4/20=0.即a*-y a i A2.0 时号察左右两端的打分布情况:左端（%）,=0.八 =0=6 .（rrT）x=o 三 0;右端（a,）,=/.、=。，=6 a h ,（“=/三 0。应力分布如解3 1图（a）所示当/人时应用圣维南原理可以解决各种偏心拉伸的问题“因为在A 点的应力为零。设板宽为从集中荷载P的偏心距为一.P Pe（%=b h-师=所
44、以e=/6,如解3 1 图（b）所示.同理可知.当a ,-上 a,=-2ar.在次要边界“=0.”=，上.面力的主矢量和主矩为弹性体边界上的面力分布及在次要边界工=0，1=/上面力的主矢量和主矩如解3-2图（a）所示.（2）应力函数。=6工/,得应力分量表达式%=26”，力=0 r =Tyg -2by.在主要边界y=A/2上，即上、下边面力为在次要边界工=0.1=/上，面力的主矢量和主矩为,rhnJ T flx.o4y=0p/2 Car）,ydy=0,J T/2p/irhu（r“），_udy=-2byy=0.U 7 1 J T/2M/2 p/2J（%）/dy=J 2bldy 2hlh,r*/p
45、/i Q*）*/ydy=2blydy=0.J t J T/2C 4/2 p/2JT?（r个）dy J f?2bydy-0.弹性体边界上的面力分布及在次要边界才=0,”=/上面力的主矢量和主矩如解3-2图（b）所示.（3）应 力 函 数 中 得 应 力 分 量 衷 达 式。=6 cr y,力=0,=-Zcy1.在主要边界1y=A/2上，即上、下边面力为3（*）-=3c心 =fc A?.在次要边界M=0.Z=2上，面力的主矢量和主矩为 rhn=ody=0,J T/lrut=0.J T/Zp/2-“xP ody=-3cy2dy=U T/l J T/2 4算 三”面 问 题 的JL角 生 悻M答33A
46、/Z（%）./d yT/l*/：J Sclydy=01（%）ydyT/Z*/2t，（r”）,dy=1 6心2打=等，J 4/T 4=-J*3中 打=一 亨J T C 4弹性体边界上的面力分布及在次要边界x=0,”=/上面力的主矢量和主矩如解32图(c)所示.3-3试考察应力函数6=奈”，(3小-4yD能满足相容方程,并求出应力分址(不计体力)，画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题【解】(D相容条件：将0代 人 相 容 方 程+2=。，显然满足(2)应力分量表达式%=_弊W%=*f =卷(1一务)(3)边界条件:在y=h/
47、2的主要边界上，应精确满足应力边界条件(%),=b/2=0,r*=篝(1-%)=在次要边界上=0*=2上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件rha(%)*_o.jdy=O.(a)J fftr*/:p/2(%)Loydy=O,(%=FL b)J T/t J T/tp/7(r,.=o/dy=F.(c)J Tfl对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式(a)、(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变34弹 性 力 学 蔺 明 效 槛（第 三M）金 松 导 学 及 习 题 全M化的水平面力合成为 力偶.和铅直面力。所以,能解决悬臂
48、梁在自由端受集中力作用的问题.3-4试证0 =牛（7 8+3 -1）十 朱（2 5 一六）能满足相容方程.并考察它在1S 3-2图所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为/深度为人体力不计兀【解】（D相容条件：将 S 代入相容方程:号+2 肃：,+霍=0,显然满足.（2）应力分量表达式。,一争+窜一等.%7（_ 4 +3*_】），=”=一 爷（牛-，）上述应力分量可以写成%=+9 （4-1）.%=-笈1+烁）（1一系）,J，=7 7 -其中.S 为静矩,M g=-%/,Fs（x）=-Vx.（3）考察边界条件：主要边界y =A/2匕应精确满足应力边界条件（力）=q,（0yy i，Z
49、=0，（r W v=A ,2 =。在次要边界/=0上,应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件匚=匚（饕一豹d y =0.,匚,=匚（警_等限=0,6）L“，匚（-等+智-豹d.J二一d打=+翳_督 上 力 _号.b）匚=_ :*（与-力 力=一 椁对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时.由应力边界条件式（a）、（b）可知左边、下边无面力，而上边界上受布向下的均布在力；右 边 界 上 布 按 线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以能解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载/的问题.3-5设有矩形截面的长整住，密度为p.在一边侧面上受均布剪力q，如题3-5图所示试求
50、应力分量。第 三/平 面 网 见 的 亶 向 生 梅 解 除35【解】采用半逆解法求解.因为在材料力学弯曲的基本公式中,假设材料是符合简单的胡克定律，所以可以认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即%=0,(D假设应力分总的函数形式。%=0.(2)推求应力函数的形式此时,体力为,(),/,=p g。将叫=0代人应力公式教材中式(2 -2 4)有题3 -5图a25 7对工积分，得孕=f (工),a)6=(工).(b)其中/(“)，八(工)都是上的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数.将式(b)代入相容方程教材中式(2 -2 5),得d*/(x),d4/i -r)y-d d T-这是y的一次方程，