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1、专题2 7 相似上 一 单 元知识点呈现知识点1：相似三角形定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形知识点2：相似三角形的判定：定理L 平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个
2、直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。知识点3：相似三角形的性质：性质1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。性质2.相似三角形周长的比等于相似比。性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。知识点4：位似1.位似图形、位似中心、位似的定义每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。2.位似比两个相似图形的相似比，成为位似比。3.位似图形的性质.4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋
3、转和位似之间的异同,并举出一些他们的实际应用的例子。-重 难 点 及 日 解 读一、用思维导图记忆本单元知识内在联系二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.已知：如图，AABC 中，AB=AC,BD_LAC 于 D.求证：BC2=2CD AC.整体分析：欲 证BC2=2 C D A C,只 需 证 匹=任.但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似2CD BC三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相 似.由“2”所放的位置不同，证法也不同.证 法 一（构造2CD）：如图，我们很容易想到
4、，在A C截 取D E=D C,（或者说在A C上取一点E,使得CD=DE,这样就有CE=2CD）；BD_LAC 于 D,.B D是线段C E的垂直平分线,；.BC=BE,/.ZC=ZB EC,又:AB=AC,二 ZC=ZABC.ABCEAACB.BC AC CE-BC.BC AC2CD BC.BC2=2CD AC.证 法 二（构造2AC）：如图，在 CA的延长线上截取AE=AC,E。c.AB=AC,AB=AC=AE.A ZEBC=90,又 BD_LAC./.ZEBC=ZBDC=ZEDB=90,AZE=ZDBC,AAEBCABDCCD BC CD BCABC2=2CD AC.证 法 三（构造!
5、8 C）：如图，取 BC的中点E,连结AE,2连结B E,得到AEBC.则 EC=-BC.2AA A E 1 B C,Z A CE=Z C二 Z A E C=Z B D C=9 0 A A A CE A B CD.g =/即1麦BC=.CD BC CD BC.B C2=2 CD A C.证 法 四（构造，BC）：如图，取 B C中点E,连结D E,则 CE=，BC2 2AV B D A C,；.B E=E C=E D,.*.Z E D C=Z C又；A B=A C,.Z A B C=Z C,/.A B C A E D C.BC AC 刖 BC ACCD EC CD 1 D /.B C2=2 C
6、D A C.说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路要开阔.对点例题解析【例 题 1】(2 0 2 0 重庆)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是4 (1,2),8(1,1),(7(3,1),以原点为位似中心，在原点的同侧画比尸，使 麻 与 4 6 C 成位似图形，且相似比为2：1,则线段8 的长度为()A.V5B.2C.4D.2 V5【答案】D【解析】把 4 C的横纵坐标都乘以2得到、厂的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段站的长.以原点为位似中心，在原点的同侧画龙尸，使庞万与4 5 C 成位似图形，且相似比为2：1,而 A(1,2),C(3,
7、1),：.D(2,4),F(6,2),:.DF=J(2 -6 产+(4 -2 尸=2 V5.【例题2】(2 02 0盐 城)如图，BC/DE,目.BCDE,A g B C=4,4 班庞=1 0.则一 的值为E.B【解 析】2【分析】由平行线得三角形相似，得 出A D E,进而求得力8DE,【解 析】YBC/DE,:.XADEsXABC,#AD DE AE 4 DE AE ,I、J =一 ,AB BC AC AB 4 AC 5鹿=1 6,3班=1 0,：.A B=2,庞 =8,AE DE 8-O 乙AC BC 4【例 题3】（辅助线添法）已知在aABC中，AD是NBAC的平分线.再由相似三角形求
8、得结果.求 证：AB/AC=BD/CD【答 案】见解析。【解 析】比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可 以 添 加 平 行 线 而 促 成 比 例 线 段 的 产 生.此 题 中AD为AABC内 角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证 法 1：如图，过 C点作C E A D,交 B A 的延长线于E.在 4 B C E 中，D A/7 C E,.B D/D C=B A/A E又：C E A D,N
9、 1=N 3,N 2=N 4,且 A D 平分N B A C,0Q,故错误.,/=/庆=6 0 ,，当N A D g N C P B 时,/ADQ /XBPC,故正确.设 则 四 边 形 尸 50的面积=x3-ax x x 堂 x 2一看x3 X (3 -x=)x*B+5 f x，4 1 Z L L L Z Z 0 O的最大值为3-1 =|,；.=细，四边形尸龙。的面积最大，最大值=曙，故正确，Z io如图，作点，关 于 的 对 称 点 ，作F U P Q,使得F=P Q,连 接 交 用 于 点 ，此时四边形户CD Q 的周长最小.过 点 C 作CHV 1)尸交D 厂的延长线于H,交 4?于J
10、.由题意，DD=24 s i n6 0。=*，HJ=：D D=苧，孥，qT T T，Z Z-L Z Z 4-4,：.CH=CJ+HJ=-,.四 边 形/的 的 周 长 的 最 小 值=3+零，故错误。7.（20 20成都）如图，直 线/I 1 2 1 3,直线然 和 被k，心所截，力6=5,BC=6,E F=4,则如的长 为（）10A.2 B.3 C.4 D.3【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.【解析】直线人/2人.竺 DE 二 ,BC E F,3 8=5,BC=6,E F=4,.5 D E.一=,6 4.310 Dh=8.（20 20哈尔滨）如图，在中，点
11、在比 边上，连接力，点月在力。边上，钝点、E 作.E F BC,交力。于点凡 过点 作用相，交 回 于 点G,则下列式子一定正确 的 是（）AE EFEC CDEF EGCD ABAF BGFD GCCG AFBC-AD【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可.【解析】.以 6G,AF AE.=FD EC:EG AB,AE BG ,EC GC.AF BGFD 一 GC9.(2020遵 义)如图，的顶点4在函数(x 0)的图象上，NA&)=90,M、N分别作x轴的平行线交46于 点 只 Q.若四边形网祀的面积为3,则A的 值 为(过力。边的三等分点)【答案】D【分析】易证4岭 4
12、 4吐月阳由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出惚的面积,进而可求出力刃的面积，则力的值也可求出.【解析】：NQ/MPOB,：.X A N Q s 丛 国 叱4A0B,:从/V 是 曲 的三等分点,.AN 1 AN 1 A M 2 AO 3.S&ANQ _ 1S M P 4:四边形物8的面积为3,.SR ANQ 13+S NQ 4 也儿 i p=1，=()2=S&AOB 4 0*,*S&OB=9，k=2S g()B=1810.（20 20 铜仁市）如图，正方形/小力的边长为4,点 后 在 边 上，龙 =1,/如汹=4 5 ,点尸在射线4 犷上，且 三 VL过点川乍力的平行线交胡的延长
13、线于点，与力相交于点 连接少。、E G、E F.下列17结论：,的面积为了；的周长为8；Ed=D 4+B 3其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图，在正方形/比力中，AD/BC,AB=BC=AD=,/B=N B A D=90,:./H A Q 9 0 ,：HF/AD,-90,?NHAF=90-N Z H k4 5 ,:.NAFH=NHAF.：AF=V2,:HF=BE.:.E IH A E+A U B-B m=B C,二 仍 侬 物1（弘 S）,:.EF=EC,2HEF=2BCE*:NBCE+ZBEC=9Q,:.HEF+NBEC=9Q,:.NFEC=9Q,.0%是等腰直角三角形，
14、在 Rt 鹿 中，B E=,80=4,6 d=17,SAH C尸EC=,故正确；过点尸作FQLBC于Q,交AD于P,勿=90=A H=ZH A D,四边形4况/是矩形，：A H=H F,；.矩 形 是 正 方 形，：.A P=P F=A If=,同理：四边形力6少是矩形，:.P g A B=4,BQ=AP=,F Q=F K P g 3,CQ=BC-BQ=3,AD/BC,：.IXFPGSFQC,FP PG 1 PG?8=,=，:.PG=p,AGAPPG=-E，FQ CQ 5 3 5 5,_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 7在R t Z 4 G中，根据勾股定理得，EG=7AG2+枳=寺,p
15、17 /%的周长为力价小加三1+管+3=8,故正确;D=4,:.DG=AD-AG=,:D$+BU=芯144+,1.=君169,:E d=l)2斗嘿,5 25 25:.超大W+BF,故错误,.正确的有,二、填 空题(每空3分，共3 0分)11.(20 19广西百色)如图，4 5 C与 /夕C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，若点4 (2,2),B(3,4),C(6,1),B(6,8),则4 8 0 的面积为 y.【答案】18.【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.与C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，点/(2,2),B(3,4),(7(6,1),B(6,8),：.A(4,
16、4),C(1 2,2),B C 的面积为：6 X 8 -1-X 2 X 4 -y X 6 X 6 -*X 2 X 8=1 8.【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键.1 2.(2 0 2 0湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知R t/欧 是6 X 6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t 4力比 相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是.【解析】5&【解析】.在 中，AC=1,BC=2,：.AB=V 5,AC：BC=-.2,.与R t Z 4 9 C 相似的格点
17、三角形的两直角边的比值为1：2,若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线段为6 或，但此时画出的直角三角形为等腰宜角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,在图中尝试，可画出比三4 U,E F=2反,尸 =5 鱼的三角形，.叵 12/1 0 5/2标,：.4ABCs XDE F,:.NDE F=NC=9 Q 0,此 时 的 面 积 为：V 1 0 X 2 V T 0 2 =1 0,跖为面积最大的三角形，其斜边长为：5 位.1 3.（2 0 2 0 无锡）如图，在 R t A 4 8 C 中，ZACB=9 0,A B=,点、D,6分别
18、在边版 A C k,且 DB=2AD,AE=3E C,连 接 阳CD,相交于点0,则4 6。面 积 最 大 值 为.【解析】*【解析】如图，过点、D 作 DF AE,m lDF BD 2则=-AE BA 3 E _C_ 1 ，AE 3:DF=2E C,：.D0=20C,2：.DO=DQ.22 r*S&A后 qSAO C，S瞅产 含力殷、，.2 rS&AB SABCyV ZJ G?=9 0 ,。在以4?为直径的圆上，设圆心为G,当 偌U6时，板的面积最大为：）4 X 2=4,2 Q此时力。的面积最大为：-X 4=1 4.（2 0 1 9浙江宁波）如图所示，Rt AABC中,ZC=9 0,力。=1
19、 2,点在边 加 上，0）=5,劭=1 3.点P是线段力上一动点，当半径为6的。尸与/欧的一边相切时，力尸的长为.cD、B【答案】6.5或3后.【解析】：在 应4 6。中，/C=9 0 ,/C=1 2,B史CA 8,.6=4 2 2+1 8 2=6任,在位 4%中，ZC=9 0 ,AC=12,3=5,/,J/VAC2+CD2=1 3,当。尸于比 相切时，点一到a 的距离=6,过一作PH工BC于 H,则 阳=6,./C=9 0 ,C.ACV BC,：.PH/AC,，）羽 s 加心.P D _ P HDAAC .一P D-_ -6-,1 3 1 2:,PD=6.5,力Q 6.5；当。户于相 相切时
20、，点一到4 9的距离=6,过户作P G L A B G,则 PG=6,：AD=BD=13,:/PAG=/B,:NAG NC=9 0,：./AGP/BCA,.AP PG AB=AC.AP,6.访 IF.3 后，.徵=5 BD.2 2.(2 02 0武汉)问题背景 如图(1),已知/LBCsADE,求证：/及5 /2；尝试应用 如图(2),在 必和中，/%。=N的 夕=9 0E点在优边上访AD=r6-求D方F的值；拓展创新如图(3),是4?。内一点，NBAD=NCBD=30,/的长.上工(1)(2)【解析】见解析。【解析】问题背景证明：:XABCS/XADE、AB AC：.一=一，4BAC=4DA
21、E,AD AE,4ABC=ZADE=3Q：与龙相交于点NBDC=90,43=4,AC=2 /3,直接写出I(3)AB AD：.ZBAD=ACAE,一 =一，AC AE:.XABDXACE、尝试应用解：如 图1,连接 乙图1*：/B A C=NDAE=90，/A B C=/ADE=3G,:.XABCSMADE、由（1）知力劭s 力阳AE ADEC-BDV 3,4ACE=NABD=/ADE,在 R t Z X/l庞 中，N 4 =3 0。,.A D*ECAD AE x -AE CE=V 3 x y/3=3.:/A D F=/E C F,ZAFD=/EFC,:ADFSXECF,DFCFAD=一 =3
22、.CE拓展创新解：如图2,过点4作4?的垂线，过点作力的垂线，两垂线交于点机 连接以人图2VZZ?=30o,NZMQ600,.N4M=30,/AMD=/DBC,又 Y/ADM=/BDC=9V,Z WC s 极巩.BD DC MD-DA又/BDC=/AD M,/BDO/CDM=/AD出4 ADC,货/BDM=4CDA,，做 吐 血：.BM=DM=r3,CA ADVJC=2V3,W2 g x b=6,：.AJf=7BM2 AB2=V62-42=2V5,：.AD=AM=VS.AD A z D2 3.（2。2。南京）如图在 脑 和 SU中，A 分别是腿/,月上一点，,CD AC AB,(1)当 r =
23、7 =一，7 时，求证4 比。/4 B C.C，D A Cf A B 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.CD AC BC(2)当丁-7 =十 下=十 丁 时，判断 力与/月 是 否 相 似，并说明理由.C D A C B C【解析】见解析。AD A/D/【解答】(1)证明：)=丁 丁，AB A B.AD AB D _ A，B，CD AC AB 0，一 A，U A B 9.CD 4 c AD 飞/D，-4 /C，-4 O ，:.X A D C s X/ff C,.N 4=N 4,AC_ Z B A C7-A B，:./ABCs/A B C.故答案为：7 7 ACA/CADA D,
24、NN=N4.(2)如图，过 点 如D,分别作小比；ff e 9 C,DE交AC于E,a E 交A。于E.,:DE BC,:.XADEsXABC,AD DE AEAB BC AC4 DA B同理,D/E/4 EB C Af CAD A/OAB A7 BDE O/EBC-B CDEBC f R E B C 同理，黑C D,且 第=6,4=8,.,屈=48,.初=府-5=1 2二/=麻+比2=28：.MC=247：BM/CD：./MNB/CND：.-MN 旦 MC=2yjC D C N 3:.MN=D2 6.(2 0 19 安徽)如图，Rt AABC中,ZACB=9 0,AC=BC,2为 内 部 一
25、 点，且N4%=N必。=13 5 .(1)求证：X P A B s X P B G、(2)求证：PA=2PC；(3)若点到三角形的边力区B C,。的距离分别为九，加，求 证=友 公【答案】见解析。【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出/仞伊=/也;是解本题的关键.(1)V Z J 6S=9 0 ,AB=BC,：.ZABC=45=/PBA+/PBC又乙4 期=13 5 ,/必班N物=4 5/PBC=/PAB又：/APB=/BPC=135,：.APABS/PBC(2)：PABs/XPBC.P A _ P B _ A B P B P C =B C在小Z U B C 中，AB=AC,.而A B _3 r.P B R P C,P A=V 2 P B：.PA=2PC(3)如图，过点作PDLBC,PEU C交 以4 c 于点D,E,:.PF=h,PD=hi,PE=/h,：/CP京NAPB=135+13 5 =2 70.,.N/T=9 0 ,：.ZEA PZA C P=,又华 NPg90。Z EAP=Z PCD,：.R tA A W R tX CDP,；=2 方 2：!PABiPBC,.hl A B r-.口=而=匹广&h2h j 2=2 h22=2 h2*h 2=h2h3-即：h：=h jth.